(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Biodiversity Heritage Library | Children's Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Ioannis Keppleri Harmonices mundi libri V ... : Appendix habet comparationem huius operis cum Harmonices Cl. Ptolemaei libro III, cumque Roberti de Fluctibus, dicti Flud. medici oxoniensis speculationibus Harmonicis, operi de Macrocosmo & microcosmo insertis. Accessit nunc propter cognationem materiae eiusdem authoris liber ante 23. annos editus Tubingae, cui titulus Prodromus, seu Mysterium cosmographicum, de causis coelorum numeri, proportionis motuumque periodicorum, ex quinque corporibus regularibus .."


/ 



<r 







HERALD OF SCIENCE NO. 




BURNDY 
LIBRARY 

Otarterti in 1941 



GIFT OF 

BERN Dibner 



Tlic Dibner Library 

of the History of 
Science and Tecluwlogy 

SMITHSONIAN INSTITUTION LIBRARIES 





V 



6> 



Ioannis Keppleri 

HARMONICES 

M V N D I 

L I B R I V. Qvorvm 

Primus Geometricvs, DeFigurarurriRegularium, quse ProportiO- 

nes Harmonicas conftituunt, or tu & demonftrationibus. 
Secundus Arc hitecto n icvs , feu ex Gecmetri a Figvr at a , De Fi* 

o-urarum Regularium Congruentia in plano vel folido : 
Tertius propf ie Harmonicvs, De Proportionum Harmonicarumor- 

tuexFiguris; deqUe Natura fk. Difrerentiisrerum adcantum per* 

tinentium, contim Veteres : 
Quartus Metaphystcvs ) Psychologicvs & Astrologicvs, De Har- 
~ moniarum mentali Eflentia earumque generibus in Mundo; prafef - 

tim de Harmonia radiorum, ex corponbus ccelefti bus in Terram de- 

fcendentibus, eiufque effe&u in Natura feu Anima fublunariSc 

Hamana : 
Quintus Astronomicvs&Metaphysicvs > DeHarmoniis abfolutifli* 
" mis motuum cceleftium,ortuque Eccentricitatum ex proportioni- 

busHarmonicis. 
Appendix habet comparationem huius Operis cuni Harmonices CI. 

Ptolemsi libro 1 1 I.cumque Roberti de Fluctibusjdi&i Flud.Medici 

Oxonienfis fpeculationibus Harmonicis, operi de Macrocofmo Sc 

Microcofmo infertis. 

K^iCCESStT NVNC fropter cognationem mate- 

ru eiufdem Authoris liber ante lyannoseditus Tubing<e,cuiiitulutV f odroinUSi 

feu CMyflerium Cofmographicumydecaujts CcelorumNumeri. °roj>or- 

tionis motuumque Periodicorum , e x quinque. 

Corporibut Regularibtts. 




Cttm S. C. *M X \ Triuilegio adannos X V. 

Lincii Auffcriae, 

SumptibusGoDOFREDi TAMPAcMiiBiy.Francof. 
ExcudebatloANNEs Plancvs. 

«4nno M DC. XIX. 



4! 




A D 

Serenifsimum & Potentifsimum 

Principem & Dominum 

D.IACOBVM, 

Magn^Biitanmae.Franci^Hiber» 

nia? Regem, Fidei Defenfo 

rem, &c. 

^Dominum meum Clementifimum. 

V R hos ego libros Harmonices in* 
terhomines vulgandos, ex Impera- 
toris Auguftiffimi, Domini mei 
, aula, ex eius Regnis ck Prouinciis 
hsereditariis Auftriacis, ex ipfa deni- 
' que Germania, trans mare ablega- 
rem,tuoqj , Rex Incly te, confpe6tui 
iereniiiimoiifterem: cauiasnabui partim prsdentes, 
partim antiquas. 

Pnmumenimhocnonalienum ameo munere pu- 
tauij vt quiaCaefaris inreMathematica ftipendia me- 
reo, demonftrarem igitur etiam exteris , quantam gere- 
rct prouidentiam, Princeps Reip. Chriftianse, diuinifli» 
morum ftudiorum: vt intelligeretur ex curfu non m- 
terturbato Pacis ornamentorum per ha? prouincias, 
famaminteftini belli iiniftram , cum ipfa re proculdu- 
biobreuiextinclrumiri: DifTonantiamque hanc paulb 
dunorem, vtinPatheticaMeiodia,iam iamquein fua- 

* x uem 




D E D 1 C A T 7 0. 

uemClaufulam defituram. QJ.iem verbBonitatis Im- 
peratorie^digniorem aeftimatorem,Rcge magno? quem 
operis de Cadorum Harmonia, Pythagoram redolcn- 
tis& Platonem, conuenientioremPatronum,Regeillo 
legiflem, qui Platonicae fapientise ftudium domefticis 
monumentis,quejmbditorumvenerationeetiampub- 
licahabemus,eftteftatus? qui Aftronomiam Tychortis 
Brahei, cui opushocinnititur, pueradhuc,ornamen- 
tisingenii iui dignam cenfuit ? qui denique vir factus, 
&regni guberrtacula trac1:ans,Aftrologicam vanitatem 
pubTica cenlura notmit ? quae fane, libro huius opens 
1 V.deteclris veris fundamentis eifectuum fideralium, 
clariflimepatefcit: Vt nulli dubium eflepoflit, quint>- 
tius huius Operis,omniumquecius partium fis futurus 
intelligentiflimus. 

Maiorverbmihi eaufa dedjcatiortis ex antiquoeftifta. 
Cum primum ante annos^aulb minusviginti mate- 
liamoperis animo concepiflem, titulumqj nuncupaf- 
fem, nondum cognitisPIanetarum motibus propriis, 
in quibus tamert ineffe Harmonias inftin&us Naturas 
di(5tabat:IamtuncegO patrociniumoperis,fi quando 
idfuccederet, abfblutumqueeffet, Maieftatitue, defti- 
naui 5 hocqj veluti votU.m meum Legatis tuis ad aulam 
Imperatoriam femelatqueiterumteftatum feci. Cau- 
fas de hoc Harmonicorum meorum patrocinio cogi- 
tandi, fiippeditabat mihi Diflbnantia lllamultiplex in 
rebus humanis, manifeftaquidem, vtnon poflit non 
otTenderej exconcinnistamen&articulatis interuallis 
conflata,qUorumha:ceftnatura, vtauditum inmedia 
difcordantia, promiflione mccefluraefiiauis concordiae 
demulceat,eiufclemq5 expedtationefuftentet. Enimue- 
rbdigna erathomineChriftianoperfuafio,Deum efle, 
qui omnem Melodiam vitaehumanaemoderat&ur, di- 
gna magnitudme Dei patientia , nort offendi prolixitate 
diflbnantiarum,nec fpes abiicere? reputantemmon Dei 

proui- 



D E D 1 C A T l 0. 

prouidentiam lente agere,fed noftrum fingulorum asui 
lpacium velociter auolare. Docebar equidem lacris o- 
raculis, omnia a Deo certis & falutanbus vfibus efle 
deftinata: etiamdilTona ifta,ad elucidandam & com- 
mendandam Confonantias fuauitatem. Cur autem a 
tua potillimum Harpe Dauidica, Rex inclyte, princi- 
pium aliquod expectare confbnantise reftaurandae , de- 
fideria mea me iuberent: etfi noneft huius loci fufius 
explicare, neprudentum monita contemnere videar: 
hanc tamen, toto dudum ab orbe confeiTam partem 
gloriae, rerum abs Te geftarum , attingere nemoprohi- 
beat:quod Anglias regnum,hereditate&confenfii po- 
puliadeptus,breui illi commune cum Regno Scotise, 
Magnas Britannise nomen dediftij ex vtraq^ prouincia 
Regnum&Harmoniam vnam (namquidahudeft re- 
gnurn, quam Harnaonia) contemperafti , ditcordiam 
hereditariam Nationum infeniiflimarum fceliciiiime 
iuftuliftis memoriam crebrarum & cruentiflimarum 
cladium,quibus ceu notis quibufdam,feries f^culorum 
eratinterftinclra, penitus extinxifti. Hoc domefticum 
tuumopus,omen (intercetera ponderofiora) non in- 
fidum mihi continere videbatur, fore vt etiam foris, 
RexinterReges,FideiDefenfbrinter Chrifti fideles, ma- 
ius aliquod &: preitantius, etiamque durabilius opus 
perficeres: quod quidem& votis meis tacitis,& omina- 
tionepubiica,librodeftellanoua, quae veluti Carbun- 
culus arderet (nctus Scotiererficulus) fumprofecutus. 
Itaque velut iam confecto quod optabam & augura- 
bar, Harmofte^ tam laudabili, meas aliquando Mun- 
danas Harmonias accinere tanto firmius mihi propo- 
nsbam. 

Vellemhic, DiiTonantiam publicam,Vocumtrifa- 
riam obftrepentium,paulb mihi mitiorem eile, vt audi- 
ri publice ex animi mei fententiapoflem : qua in re vifus 
fueritadfpirarevotiseuentus? que^ vulneracapitis,qui- 

DUS 



j*\\\ 



D £ D l C A T I 0. 
busHarmoniistentata,aquoMedico?&vtetianihimc 
cgo in libi'odeftellanoua,longeantea viuis coloribus 
depinxenm ? At quodnam ent operas precium, fi Har- 
moniam afFectans priuatoftrepitu,necvincamrremi- 
tuspublicos, imbecillitatelaterum, & moleftias abfiir- 
di concentus in meis auribus infiiper augeam ? Faten- 
dum equidem eft, jproh dolor, tumere adhuc vulnus 
deculTatum ,an malumus facratiori fcelicipriq, voca- 
bulojcmciforme, tumere inquam, multiplicilabro 3 & 
hullo illorum conmuente, medicinam hactenus irri- 
tam, omnibusque partibus irrifam 5 propterea quod 
Medicus* vt aegro deliro pharmacum fallens ingerat, 
?*■ multa £n^fcck.m.ulr23dtia;r, quae a fana ratione pluri - 
mum abire videntur. Recreor tamen hac ipfa cogitano- 
ne, qubd fupremus vulnerum noftrorum Curator artis 
fuaecertusiit,necquicquam fiuftra applicet. Ergo qui 
curam iam eftaggreirus,quiiamexpemuit>iammun- 
domonfirauit, confblidantiaifta j mterim verbper ca- 
lamitatespublicaserodentibus vtitur,quoad confum- 
pta carne putrida& fera, charitatis fcilicet extinctae, fen- 
fiis aliquis dolorisad viue carnis profunditatem defcen- 
derit ; idem procul dubip lenientibus etiam vtetur pro- 
J>ediem ad deprimendos tumoresj vt confbhdantibus 
illis denique locus efte poffit : tandemque Diffonantia 
haec diuturna (vt ad propofitum exemplum reuertar) 
in meram & durabilem Harmoniam terminetur. Qua 
in fpe etiam contra fpem confirmor non tantum fiic* 
cefTu mearum fpeculationUm Harmonicarum, vt cuius 
fcelicitas audaciam in quaerendo longiffime fuperatrfed 
ctiam hoc ipfb, quod inter castera,quae, ad Operis perfe- 
cliionem neceffaria, pertotiamannosfuerunt loco pri- 
ftino, Maieftatem etia Tuam Regiam, cui patrocinium 
bperis, antequam inciperetur, deftinaueram,hucvfque 
> incolumem&florentemvidirnecdefinam aDeo Pacis 
&: Concordia? a.uthore contendere deuotis precibus,vti 



D E D 1 C A T t 0. 

tibi & vitarn & Maieftatem Regiam, vfque ad optatum 
illum euentum incolumem tueatur. 

Interim Maieft.Tuam B&2&£3i?" fiipplex rogo,vt 6c 
hoc opus Harmonices , Nomini flio dedicatum fereno 
vultu afpiciat, & hanc mei deuotifTimi affectusin Se, 
fignificationem aequi bonique confulat: contempla^. 
tione verb Operum Dei Regium oblectet animum , 
quantum per neceflarias Regni occupationes licebit ': 
& exemplis Concordiae refplendefcentis ex operibus 
Dei vifibilibus, ftudium in fe Concordiae & Pacis Ec- 
clefiafticae & Politicae confirmet excitetq? : denique me 
meaque ftudia Regio fuo patrocinio clernentiffimo di- 
gnetur. Dabam Lentiis Noricis ad Ripam Danubii, 
Ididus Februariis, Anno aere^ Occidentis M. D C XIX. 

Sercnifi Maieft* Tnam Kegiam 

Omni cumfuhmipons <v$nerans 

Imp.Qef MattbU y eimque fideli. £H 
dtnum Archiducatm tAufirix, Su~ 
pr*Antfanx Matbematicus 

loHANNES KePPLERVS. 



IO.KEPLERI 

Hablmonices Mundi 

LIBER I. 

DE FIGVRARVMREGVLA, 

RIUM, QJliE PROPORTIONES HAR- 

monicaspariunt, ortu, clafsibus 3 or- 

dine & differentijs,causa f cientia^ 

Sc Demonftrationis. 



Pkoglus Diadochhs 
Libro 1. Comment. ln I. Euclidis. 



Yl^)g $% tIw <pv<ri>dw ^iOdeA^^LLc^nLLcilm)TolLLiytg-ct 

ovLificLfoslou , tIwts t&v Aoym iVTcLJ*icvv oLvctQcuvixra. , ko$ Iw 

fehjLiivgylilouToTI&N } &cc:*$j Tctcl7i7\d n&j 7r%QT%%yoisoi- 

^&cL,ygiTSWTV\TyvuLLLLi%icL>^ GUuty/ofjSpa. fra^ct* 

<rct, $1 &v ngui o 7fcig i^c/LVog tTiKeiod^o-^LLOL^L to\ t®>£$<r- 

WQV < &,KCL& TclgiCW% LLi^OLg WO^j. 




CumS.C> AP». Pri- Mm^^m Kl)» vikgka&annosXF* 



tlNCII AUSTRI/E 
Xxcudebat Johannes Plancuf* 

~~JNNQ M. DC. XIX. 



2 De Figurarum Harmon: 
Prooemium, 




Vmadivifibnibuscirculi in parr.es aliqud- 

cas sequales , quae fiiirit Geometrice & fcientifice.hoc cft, 

KV a figuris planis Regularibus demonftrabilibus,fint nobis 

pecenaaVcaufa; Proportionum HarfnonicarUmiillud ini- 

tio fignificandum duxi, difFerencias reriim Geomecnca- 

rura mencalesyhodie,quaricurii apparec ex libris edicisjin folidum igno- 

rari. Adeoq; ne ex veceribus quidem,qui has fpecificas rerum Geome- 

tricarum difFerericias fe exacle cdgnbvifle fignificavef ic ,pra:tef Eudi- 

dem,ejufq; corhencacorem Pfoclum,quisq becurrit.Pappi quidem Ak- 

xandrini,veterumqvquosillefeqcur,diftribucio Problematum, in Pla- 

na,Solidac^Liriearia,faciseftapp6fica.adhabuusmehciscircaunamq.- 

q; fubje&i Gebmecrici pacrem oriericcs^explicandbs:iild tame & brevis 

eft verbis,& ad praxin applieaca;de cheoria niillafic menrfb:& vef 6 nifi 

toca rrience in cheoria hujiis V ei occupemiir,nunq aflequi pbcerimus ra- 

k , ciones harniorticas.Proclus Diadochus, libris quacuor in pnfnumEucli- 

inceHcaua.dis,edicis,Philof6phum Theorecicum in machemacico fubje&o ex pro- 

li effcnua f e flb egic ; g, fi comencaria fua iri decimum eciam libriim Euclidis nobis 

b«iica& ~reliquiflec:& noftrosGebmecras infcitia liberaflet non riegle£tus;& me 

labore hpc e xplicariai refum GeoitiecricarumclifTerenciasirifolidurri 

fublevaffec. Sacis enim illi cognica fuiffe difcrimina ifta Enciurri M.en- 

taliumiex ipfo exordio facilc appareceum principia cociul eflenciajM a- 

thethacicae ftaciiic eadem,quae'eciamjj pmnia Encia vadunc omhiaq;a 

fegignuncFinem{c.&Infinicurh:feuTerrriinum & Incerminacum:cer- 

lninum vel cirumfcripcionem pro Forma> incerminatum prtS Materia 

agnofcensrerumGeomecricarum; . . I. 

I Quancicacum h.propria funcFiguracio & proportio.-figuratio fingit - 

^rum>pr6p6rciojunc1:arum.Figuraci6pficicurcerminis,lincan.recl:a 

pun&U,fupfkies plaria linCis,corpus fuperficiebus cerminacur,circum- 

fcribicur & figuracur.Quae igr firiica circurnfcripca & figiiraca furicilla e- 

tiani cofripf ehedi mence pofluncinfinica & indecerminata qiiateh 9 ca- 

lianullis fcieritiae , que dcfinicionibus , comparacuf ,nullis dehibnftra- 

tionum repagiilis coarcari poflunc.Pf ius aucem figurae funfc in A f checy- 

po,quam inOper8>priusin mericedivina,quamincreacuris;diverfoq~ 

dem fubje&i modo,fed eadem cameri efliqritiae fijasrorrria.Igr quaritita- 

tibusfiguratio,Meritalisqdam efsetiafkjfeu intelle£tio,earum effencia- 

lis difTercncia.Id mulco magis clarum eft ex proporcionibus.Cum ri. fi- 

guratio pliiribus cermihis pnCiacur,fic uc pp hancpluf aiitatem figtifatio 

proporti6hib 9 utatur.Propo.rtio vero quid fic firie rnencis a£ci6rte;id ve- 

r6 incelligi riuilacenus poceft.Eoque cciam hocriofhincg, quaricicacib' 

terrriirios dac pro principio eflenciali,is figuracas quacicaces incelleclua; 

lem effericiam Habere pohic. Sed non eft opus argumecacione , legacur 

itbcus iiber Proclijfacis ajpparebicipfi difterencias incelleftuales rerum 

Geometricarurhprobe fuifle cognitds:etfi affirmatufn hoc ille non ita 

ieprfim folitariu iri aperto &cbrifpicub ponic , uc eciam oicicancem e \ 9 

admoneac:fluic n. ejus ordtib piferio velucalveo, copiofiflimis undiqua 

ftraca fehcencijs abftrufioris pliilbfophiai PIatoniga;,qua& incer & hoc 

^ft > iibri hujus arguraentu@a fj%uigre Verum 



Demonstratione^ Lib:L 3 

Verttm huic noftro fseculo non vacavic ha&enus,ad tam recondica p . RanS 
penecrare. - ledt p eftliber ProcliPecro Ramo,fed qudd ad nucleumacci-i n i qua m 
necphilofophiae,paricer cum decimo Euchdiscocempc 9 & abject 9 : qui-Budid"? 
q; comecarium inEuclidem fcripferacvelucifiapologiamproeofcri-*^]^ 1 ' 1 * 
pfiflecrepudiatus & obmutefcere juflus; irricata vero infenfi Cenforis 
irainEuclidemucreumvercicdamnatuseft atroci fententia Euclidis 
decimus.ut ne legeretur, qui Ie$us intellectufq;,philofophiae myfteria 
pandere poterat.Legite quasfb verba Rami, quibus ille nihil unc[ indig- 
nius Ramoproculit: Scholarum Math.lib. 21. Materies inquit,decimo libr» 
propojitz, co modoe(ltradiU;Vt in humanis literis at% artib 9 fimilem obfcuritstt? 
nufquam deprehenderim:obfcuritatem dtco non adintelligendum, quid pracipiaP 
Euc/ides{id n.vel indoctis & illiteratis,idflum quod adeft \quod<%pr<efens eflja- 
tuentihus ^poffitefeperfpiciiumjfedadperfficiendumpenitus tf exp/orandum » 
auisfintsjit gf ufus eperipropo/itu*,qu*g'nera,Jfecies,di/ferentiaJint rerumfub* 
ieuhrum: nihil n, unquam tnm confufum velinvolutum legi velaudivi. £)ui>i 
Cuperflitio Pythagorica inhuncquafiJfecuminduBa videatur d ' c. At hercle » 
Rame,nifi nimiumfacilemad incelligendum huncfibrum credidifies : 
nunquam tantam obfcuritacem fuifles calumniatus. Labore majore o- 
pus eft,quiece opus eft,follicitudinc opus eft,&: attentione pcipua men- 
tis,doneccomprehendasintentumfcriptoris: ubieofuencenifamens - 
generofa , tum demum fefe in lumine veri verfari cernens , mcredibili 
volupcace perfundicur exulcans, & ab illa veluti fpecula cotum Mundu 
omnesqueejuspartiumdifrerencias exactiiTimeperfpicit. At tibi,qui 
hoclocopatronumagisignoranciae,vnIgiquehominum, lucracaptan- 
cium ex omni re, divina,humana, vobis inquam finc lftaprodigio/afophis* 
wat?,, vobis ocio fterit Euclides intemperanter ahufus , vobis acumina ijh lo- 
(um in Geometria nullumhabeantiv eftrum efto , carpere quaa non intelli- 
gitis : mihi qui rerum caufas indago , pratcer quam in deeimo Euclidis, 
femitae ad illas nullae patuerunt. 

RamumfecutusLazarusSchoneruSjin Geomecriaftia , faflus eft* a j» rn * 
fe quinque corporumRegularium ufum planenullum in Mundo vide-' one 
repotuifle , doneclibellum meum, quem Myfterium Cofmographi- 
cum infcripfi, perlegerit: in quo Planetarum numerum & intervalJa »• 
probo ex corporibus quinque Regularibus efle defumpca» Ecce quid 
nocueric Ramus magifter Schonero difcipulo . Primum Ramus 
Ariftoceleperlecto, quirefutaveratPythagoricam philofophiam eir- 
ca Elemencorum propriccaces ex quinque corporibus dcdu£tas,ftacim 
animoconcepicconcempcum cociusPhilofophiaePychagoricae,- dein- 
de cum fcirec Proclum fuifle Pychagoricas fedaj > non credidic ei 
affirmanci , quoderac vcriffimum ,fc. Euclidei operisulcimum finem» 
ad quem referrencur omnes omnind propoficiones omnium libroruni 
(excepcis quae ad Numerumperfedtumducunc) eflcquinque corpo- 
ra regularia. Hinc orca eft apud Ramurn confidencifllma perfuafio , 
Quinque corpora efle rcmovenda afine librorum Elemencariorum 
Euclidis. 

Adempco fineoperis, reluciforma «dificij fublaca , relinquebatut 
informis ftrues propoficionum in Euclidcin quam veluc in larvam ali- 
quam Ramus cotis octo & viginti libris Scholarum invchicur , magna 

k i diceo- 



A De FlGURARUM HARMON. 

- • dicendi acerbicate , magna temericace , canco viro indigniffima. Hanc 

Schoaeri RamiperfuafionemfecUcus Schdneruscredidic ecce &c ipfe , corpora 

fentetia deregularia nulli efte ttfui : necS hoc cancurri; fed&Produmneglexic, 

ns fo?iif ^^ concenipfic , judicium Rafrii fecucus ; a quo Proclo difcere pocerac 

ufum corpdrum quinque & iri Elemencis Euclidis &c in Mundi fabnca. 

Ecquidemfcelicior efaC difcipulus Magiftro , qiiia ufum corporuma 

mepacefa&um in Fabfica Mundigraculabundusrecepic , quem Ra- 

musa Proclo inculcacum repudiaverac* Quid tum ehim fi Pychago- 

reifiguras has elemencis,non vero uc ego , Sphasris Mundi actr lbuerut? 

AnnifusefletRarnusjUt errorerrihuncipforumcirca genuinum figu- 

f arttm fubjetmm tolleret , uc ego feci ,' non tocam hanc Phtlofopni- 

am uno verbo tyrannico fuftuli ffcc Qnid fi Py chagorici hoc idem do- 

f7ciiagore- cuerurtC) q UO( j e gQ } fencenciam involucns verborum cexefuncf Non- 

q^gur^neCOpernicaiiaMundiformaexcacinipIo Afiftotele , perperam ab 

Myfticaia ipfo iefticaca fub nominibiis alijs : dum illi Solem Igrtem, Lunam Anci- 

Ser P retaU0 chchona appellarUric ? Si riamq; diipoficio orbium eadem fuic apud Py- 

ithagoreos, quaeapud Copernicum,fi nocaCorpOraquinque,eorum- 

quenumenquinarijnecef!icas,ficonftanteromnesdocuerunc , cor- 

poraquirique eiTe Mundiparcium Archecyposjquantulutn fupereft,uc 

credamus illorum fencenciam fub a?riigmace ab Ariftocele le£tam, qua- 

fi fub vero vocabuloriim fenfu fuiffe refucatam : dum Ariftoceles legic 

Terram.cuiCubumdabancj cum ipfiforceSaturnum incellexerinc, 

cujiii Orbis intef pOficu Cubi fummocus eft a Joye. Et terrae quidem 

quiecern vulgtts afcf ibic , Sacurnus vero mocum cardiflimu , quieti pro- 

ximum eft fof cicus,unde etiam ap. Hebraeos a Quiece nomeri obcinuit. 

Sic Aeridacurri Oclaedron legic Ariftoceles , cum illi force Mercurium 

incellexerinc, cujus orbis O&aedroinclufus eft > nec friinus velox eft 

MercuriUs (quippe omriium veiociffimtts) quam mobilis Aer habetur. 

Ignis vocabulb rbrcaffe Mars fttic infinuacus, cui alias eciam ab igne no- 

men eft Pyrois, acque illi Tecraedron dacttm, forcc quia includitur ejus 

orbishacfigura: Ec AqttaefubinvolUcrO, cui Icofaedron attribiicum, 

Veneris ftella ( utcujuscurricuiumlcofacdrocontinetuf ) latefepo- 

cuic > quia Vener i humores fub jecti , ipfaque dicicur orca Maris fpuma, 

linde vox AcpPQ^iTYIi Denicjue Mundi voxpocuic fignificafeTerram; 

& Mundo Dodecaedron adfcribi , quia Tcrrae curriculiim hac figura 

concmecur,duodecifrilongicudinisparcibusdiftiri£tum,utiillarigura 

duodecim coco ambicu planis conCiriecur. Quod igitur iri My- 

fterijsPychagoreorumhocpa&oquinq; figuraediftnbucaefuefincnon 

incer Elemenca,uc Ariftoceiescredidic, fed incer ipfos Plartecas y illud 

velmaximeconfirmac, quodProclusfinem Geometrianncef caecerof 

nuric cradic, quod doceac* quo modo figuras conveniences ccelum ccr- 

tis fui parcibus acceperiti 

Nec dum finis efidamni, quod Ramus ttobis dedic , ecce folIe!rti£ 
fimum Geometrarum hodiernorumSrtelliUm , plane fuffragantem 
Willebter-Ramo , pra:facione in Ludolphi a C6ljen Pf oblemata : primuffi aic , *d 
diSnellij ^ufum inutilcm efie divtfionem illnm inefabilium in tredecimjpecia. Conce- 
Utofc^"doi finullum ille ufum agnofcac, nifiinvica communi,& finuUuscon. 
tentia: tena 



DEMONSTRATiONE~ LlB. I. ? 

cemplationum phyfiearum fit ufus ad vicam. At cur non Proclum fe- 
quicur , qucm allegat , qui agnofcit aliqudd majus Geometria: bOnum , 
quam func arces ad vicam rieceffaria:? turic equidem & decimi libri ufos 
apparuifletinsftimandisfigurafumfpeciebus. AllegatSnellius au- 
choresGeometras,quiridn ucahcurlibro decimdEuclidis. Sane o- 
mnesilliauclineariacractaricproblemaca, autfolida , &defiguris vel 
quamicacibuscalibus,qU£riohhahencfine'm fuum incrafefe , fed rria- 
nifeftecenduricadufusalios,necfmeiisexquirerencur, AcFigurse 
reguiarespropcerfeipfasexquuUncurucArchecypi , fuam infeipfis 
habent perfedtionem,funcque lricer fubjecta planorum Problemarum, 
non obftance quod plariis hedris fdlidum eciam claudicur : fimiiicer & 
decimi libri maceria pdciffimum ad plaria percinec. Cur igicur allega- 
rencur hecerdgenea ? auc cur vilis aeftirriatuf merx,quam non emic Co- 
drus, uc ea vencrem pafcac , emic vero Cleopacra, uc aures ornec? Crux 
twtum defixa ejl ingenijs ? Equiderri ijs , qui nuriieris , hoc eft efFaado 
vexanc InerTabilia. AcegOhasfpecies tratld ndri riurriefis; ndn per 
A igebram , fed racidciriatione Mentis ; fane quia ijs mihi non eft opus 
adfubducendasRationesmercatuum j fed ad explicandasrerumcau- 
fas . Segreganda cenfet fubcilia ifta a 90(y«&)a"« 3 inque Bibliochecas 
abftrudenda. Omninofidcim Rami difcipulum agicnecineptamlo- 
cacoperam: RamusyEdificid Euclided farmamademifjCulmeripro- 
ruic,quinquecorpora;quibusabIacis,compages orririis diffdluta fuic> 
ftancmiirifirTi,fornicesirtruiiiammiriaces: SnellitisigicureciafhCa?- 
mencum aufert, uc cujiisnifi ad fohdicacem domus fub quihque figuris 
coagmcncacajnulluseftufus. Ofcelicemcapcumdifcipuh,quam ille 

dexcreEuclidemincelligeredidicicaRamo: fc.ideopucancSrdfy&fii 
dicta, quod inveniacur irt Euclide propoficionum & problem scum Sc 
Theoremacumomnivariacdpia^adornnegenusQuaricicacumartium- 
quecircaillasoccupatarum: cum hber Srdiy^Wte ficdi&usafbrfna, 

quodfemperfequenspropofidoirinicacur prxcedenci , ufque aduici- 
mamlibriulcimi(partim cvlibrinOni)cjua; riulla priorum carere po- 
teft. Ex Archicecto faltuarium fiicihhc auc materiarium,exiftimances 
Euclidem ideo librum fuum fci ipfifle , uc omnibus alijs.commodarec > 
folus ipfe propriam domum nullam habere t. Sed plus facis hdc loco de 
hifce-' revercehdum ef! ad capuc oracidnis. 

Cum enim cerner em , veras & genuinas f ef urri geomecricarum 
diffef ericias , aquibus arcefTenda; mihi func caufae Harmonicarum Pro- 
porcionum,vulgd ignotaripemcus : Ericlidem , quiftudio illas cradide-^^?'* 
ratjRamicavillisoppreftumexplodi >• ftrepituque lafciviencium ob- J 
turbance,anemineexauditi,aucfurdisetiarnnarrarePhilofophiaemy- 
fteriai Proclum, qui mentem Euclidis aperire , abftrufa eriiere , diffici- 
liora capcu , f acilia reddere pocuifTec , & deridiculo effe, nec Cojnmen- 
cariafuaufqudadlibrumdecimumcontiriuafTe: vidihocoriininomi- 
hi faciendu m efle ; uc initid , ex libro decimo Euclidis exfcriberem ea » 
quae ad praefens infticucufh frieum praxipue facerenc ; feriem eciam re- 
tumiliiuslibriiCercis quibufdalm incer)e6cisdivifionibus,inIucem pro» 
v A 3 ferrerrt 



4 Dje Figurarum Harmom; 

#errem,caufasindicarem,curquardam divifionum membra ab Eucli- 
dc fuerinc omifla : cunc dcmum de figuris ipfis agendum fuic. Ubi 
quacfueruncabEuclidedemonftracacIarilllmej m ijs fimphci propo- 
ficionum allegacione concencus fui: mulca quas lunc ab Euclide deruon- 
ftrata via alia , propcer finem mihi propoficum , fcilicec propcer com- 
paracionem figurarum fcibilium & infcibilium,hic fueruncrepecenda, 
vcIdif)un6caconjungenda,velordomucandus. Definicionum, Pro- 
poficionum,TheoremacumIeriemconcinuoNumerofurncomplex- 
us,ucinDiopcrieisfeci,propteraIlegacionumcommodicarem : ini- 
pfis eciam lemmacibus non accuracus fui , necmmiumdevocabulis 
follicicus,magisinresip(asincentus:quippequinonjaminPhilofophia 
Geomecram,fedinhac Geomecriajparce Philofophumagam. Acque 
ucinam de rebusGcomecricis adhuc populariusidummodo &c clarius 5c 
palpabiliusdifiererepocuiflem. Sedfpero -, lettores xquos in ucra- 
quere.&quodGeomecricapopularicercrado , & quod materisob- 
fcuritaceminduftriavincerenon pocui , meam operam boni conful- 
curos, Quibus eciam hoc ad excremum do confilij i uc fi Machematica- 
rum rerum penicus imperici fuerinc ; cransmiffis enarrationibus meis, 
folas leganc propoficiones, a XXX ufque ad finem ; & fide propoficio- 
nibus lpfis adhibica fine demonftracione , pergancadlibroscarceros, 
prasfercim ad ulcimum ; nedifficulcate Geomecricarum argumenca- 
cionum abfterrici , fru&ufefeprivencHarmonicajconcemplacionis 
jucundiflimo. Nunc adrem accedamus cuni Deo. 



De Figurarum Regularium 

xlemonftrationibus. 

L Definitio. 

PLana FigUra rcgularis illa «hcitur » 
quse omnialacera 5comnesangulos,extror- 
famverfos, asqualeshabet. 

Vt hic QPRO> Uter* QP, PR , RO. OQ_,funt *. 
qm/ia^ anguliQPR, PROTROQ^PQP, tqmUm, 

11. Definitio. 

p Arum quacdam funt primas & radicalcs , qu« fuo* 

*?f ipfae cerminos non excedunt , quibus proprie convenic pofira dc- 
finicio : quaedam furic au&ae , qu* fua veluci lacera exccdunc , concinu- 
atis alicujus radicalis laceribus non contkuis^ ad concurfum : dicuntur 
Stellar, VJM 




Demonstratione" Lib.L ? 

VthicA^B CDEefiperfcBumquinquangutum i efiquefiguraprima^» 
non defiderans aliam perpEhm, ex 
qua , continuationelalerum',pr«- 
ducatttr. 

AtFGHI Kefifiella quinquan- 
pula, Q ' fi^rtra auEkt, contiftuatis la- 
teribus binis,non contiguis ,verbi cau^ 
fi* l J^Btijf ' DC,ad concurjum I. 




lli. Definitid' 



C Emiregularesfunt,qua;ari- jw 

^ gulosyanancesjaceraquacuorha- / 
bcnc a^quiiia ; uc Rhombi NMPO j /■ 
GEKD. -^— 




' jiz. "■ 

IV. rropofitid. 



s~\ Mnes figura? Regulafes angulis fuis omnibus fi- 

^^ muleidem circulb poflunc infiftere. , 

'K/jmper z i. Tertij Euclidk, Qmnes anguli xquales , eidem,^ ficetiam 
ejufdem cifculi xqualibus figmentis infifibi pofiunt , /unt autem omnes anguli 
Reg uh.risfi^urx xquales, omnes igitur uniusfigurA angfih xqualibus unius ciff 
culi (egmeftiis pofiunt infcribi. Sed £?. citlu omnes injcribi necefiee/i , iino in~ 
Jcrivto. 'N^dm /dtera omniafitnt xquatia ; quare eiiamfunt xqua/iapgmentst 
circuii ,qux a binis unius angulilaieribus dbfecahtur , pert^. Tertij Euclidis: 
Ergb tem angulus , quam /aterumfines ,Jtmu/in eundem circulum competunt. 
Fines verb laterum Junt & ipfi angu/i. Secus ejfctfi , quamvis aqudlibm 
angulis , laterd hon e/fent xqualia^ : ikncemmdifio/vereturnecefttatin* 
Jcriptionisomniunu. 

V* Definitid. 

r\Efcribere Figuram , eft propoftionerri linearuni 

—^ angulisfubcenfarum ,' ad anguli crura geome- a. 

tricoa&udecerminare;exdecerminacis , criangula 
figuras Elemencaria conftruere, ex criangulis coafla. _ 
tis,figuramipfamperficere. e 

Data enimproportione DAadAE, ED ,fiunttrian° 
gula DAE, DAC , CAH : ex quibus conjbtfigurtu,, 




VlD^ 




g Ds Figurarum Harmon, 

VI. Definitio. 

INfcribereFiguramcirculo , efc proportionem la- 
teris figurae ad diamecrum circuli , cui eft infcribenda, Geomecri- 
*oa&udecerminare,quaconfticuca proporcione*facilein circulofi- 
gura propofica dehneacur, 

IJtfidetur LD fimidiameter , velejus iupla diamc- 
ter,fifiiamus , quidfkciendo cum ea,ju(hm longitudinem 
lateri DE indulgeamus ; fhciie pofiea repetitione ipfius 
DE,per circumfirentiam , confummamusfiguratru. 

VII. Definitio. 

C Cire in geometricis , eft mensurare per notam 

•"* menfuram ; quasmenfura nocain hoc negocio infcripcionis Fi- 
gurarum in circulum , eft diamecer circuli. 

VIII. Definitio. 

C Cibiledicitur, quod vel ipfum per fe immediate 

*-* eft menfurabile per diamecrum , fi linea ; velper ejus quadracum, 
fifuperficies:vei quodformacur ad minimumex calibus quancicacibus , 
cerca &geomeericaracione, quaequancumcunquelongaferie, candem 
camen a Diamecro , ejufVe quadraco dependeant Graece dicicur 

IX. Definitio. 

r\ Emonftratio cft quantitatis vel describcndas uel 
^* fciendae, ex Diamecro dedudtio,per intcrmedia poflibilia, Grace 
Tl6&fJL0L. 

lta demonflratio communiterveldefcriptionemparit velfiientiam. Et 
Defiriptio quidem quantitatem nudam , fiientiaverb infuper $ ' qualitatem.? > 
quantitatemve certam profitetur. Potefl autem aliqua linea efie geometrice de- 
terminata ,Gr*ceTCHMYly quxtamenactumentis ,qualisfit, nondumfiiatur» 
Poteft vicifiim a/icujus vel aliquarum /inearum qualitas a/iquafcifi , qua tA- 
tnen ipfa$ nondum determinet , ve/necefiitet ;fimmirum qua/itasilla multis a- 
lijs reBus , quantitate differentihusfit communis. Eft etiam quarundam line- 
arum defcriptiofhcilis ,/cientia difficilimcL». Deni% multa defcribipo(?unt a- 
Bu Geometrico qualicunefr i fiiri famen nonfoptnt naturdfitd : vt quidemfcL 
iilefuprddefcripfiwus. 

X. De- 



£>EM0NSTRAT10NE LlB:i $ 

X. Definitio. 

PRopriademonftratioeit:, cum numerus angulo- 
rumfigura: velipfius, vel ci cognacas nume.ro lacerum duplo 
aucdimidio , fic medius cerminus ad decerminandam proporcionen^ 
laceris, quam id habec ad Diamecrum, 

Omnis enimfigura regularis, efi aut ipfa trtangulut», aui refilvitw m trh 
tngula^dufik diagonaJibuf. C&w *utem omne tstte tfiangulum habeat trtt du- 
dnsreclisaqualm ;'m T.rigonico tgitur angulo efi pars tertia ,'m Tstragmicie- 
lemsniaris angulo minimo^ pars quartn , in Penfagonici pars quintia , in Heptx* . 
gonici > pars feptima &c: duoruw recloruw. Et ab hac quaotit&te -anguli, i?0 
tipit demonfiratip czjus%. 

XI. Definitio. 

i Mpropria demonftratio eft % cum proportio lats- 

* ris ad diamecrum ex ipfo angulorum numero immediace adhibico 
nequic decerminan Georascrice, nifi adhibeacur latus figura; alcerius , 
aon duplo aux dimidio numsro lacerum, 

XII. Definitio. 

GRadusfcientiasdiverfisunt 3 alij remoti , alij pro- 
pinqui, Primus 5c proximus gradus , cum lineam aliquam fcio 
& demonftrare poiium , effe diametro a:qualem , auc pianum > licec 
alicer formacum > quadraco diamecri arquale.. 

Hic wenfureu nota^ } perficle , fci/icst feips.i hg? un? aBu , wenfurat 
nofcibilcji 

Xill, Definitio, 

r Ecundus gradus,cum diametro in aliquotpartes 

^ aequalescerconumerodivisa, velejusquadracofimiliccr , linsa 
Tel planum propoficum ajquacur cali parci vel parcibus. Talislinea 

dicicur Graece forn fjumet Effabilis longicudine. Planum vero tale 

fimplicicer dicicur ploy , EfFabile. Numerus enimeft Georneirarura 

ftrmo. 

<LAd hunc fiientidt gradunu> velperdefcriptionem } injcriptionemque per- 
•venimus-, velaliter etianu per cognationem cum alia aliqua quantitatcj , *4 
quamper illa mediaperveniebatur. Eoque non determinat, hacqua/ita* unaat 
eUiqmm quantiUtem ; neque enim fufficit addeterminationem , TJt fciam-a, *li- 
quidcaufa commenfurationU fic velfic ejfej cemparatunu ioporte/t etiairu h&f 
jcircfi , quQmtoffa , id efi,quo numerofit Eff*bi/cj>. 



io De Figurarum Harmon: 

XI V. Definitio. 

tt Ertius Gradus eft hic , cum linea longitudineeft 

* InefFabilis , ! ac e jus quadracum EfFabile , & percinens ad fecun- 
dumgradum. Dicicur |^ JWaxte^ EfFabilispocencia. 

XV. Definitio. 

QVifequuntuf gradus, omnes appellantur KKoybi^ 
InefFabiles. Incerpreces Laciniverceruric,Irracionales,magno 
^ e ^" e ambiguitacis & abfwrdicacis periculo. Nos fepeliamus hune vocis u- 
«is. Furri , quia mulcarf uric lineae , quae quamvis InefFabiles , opcimis carhen 
Contifteriturfationibus. Arichmecici confimili cfanslaciorie appel- 
SurdjNtt- laricNumeros furdos , id eft , quihbri plusloquuncurquam ftirdus au- 
w«L dic : fed fub hdc riOmine cam EfFabiles fola pocericia , quam inefFabiles 
quancicacesintelligunc. Eft igicur qUarcus in ordiriegradus,primus ve- 
ro inefFabiliurri , quahdbhec liriea , fiec ejus quadracum fUnc EfFabilia ; 
(ed carrieri Quadracumin tale Re&angulum transformari pOceft,cujus 
lacerafincEfFabiliafalccmpbcericia. Htetlineadicicur MESE , quia 
eftmediaproporaorialisincer diias EfFabiles fola pocencia cornmen- 
fttrabiles : uc fi una quidem fic EfFabilis Ibngicudine , alcef afola pocen- 
tia i auc fi ucraque fola pocencia. EfFabilis , pocentiae tameri incer fe non 
imtucquadratushumerusadquadracurri. 

Talis linearionfcicurvel menfuracurlongicudinecertarum pa^ 
tium jequalium diametri , nec ejus quadracum , quadraco diame» 
tri ; fednec lineae menfurancur a Diamccroambaefimul} incer quas 
M E S E eft rriedia prbpbrcionialis ,• fed illarumlinearum quadraca, 
liasc derrium aquadracodiamecrimenfuraricur» 

Quadracurri ME^ES & ipfum M E S O N dicicur, fivcflc 
formaequadracae , feu inReftangulum cransmucecur : eftquc hoc al- 
fcerum Plani genus , poft EfFabile planum: Et hifce duobus planis , Efta» 
bili & Melo fequences fpecies incer fe diftinguuncur. 

XVI. Definitio. 

fh Dlineas alias fingulafes trahfitus efthbbis,pef co- 

**■ pulationem linearum biharum - t quae ipfaequoquenovosgradus 
(cienciae incerponuc Sececiir fi. vel diarriecet,vel aliqua diamecro com- 
menfurabihs falcem pocencia & fic EfFabilisi aut eciam ahqua Aiefc ife- 
cecur inquam in pairces duas inaequales, auc cbhferancur ex dwarum ca- 
lium fe£tionibus,duae qiixcuriq; parces, vel cbmpoficae ex paf cibus, vel 
compoficaspocericias,diminucafveiexcalibus habences, duaeinquani 
in gencre inaequalesHllarauc eriinc longitudirie commenfurabiles incer 
fc » auc incornerifurabiles qclefri longitudirie , cornerifurabiles vero po- 
tentia. Hicquamvis a cbtrimenfuratiorie jplane receflefunc fingulae, 
ac junftae camen nonriullas adhuc vel quadracis iri unam fummam col- 
laciSjVelReclangulocommunicerferm^to^ coafticuuttc plana ha£te« 



Demonstratione, Lib:L ii 

nus'explicata,nonminusquamidemfaciunc&illae, quae func incer fe. 
commenfnrabiles. Csecerum cum mukiplex fit talium duarum plana 
incommenfurabiliumcopulacio,aliaalia ignobilior j non poterimus 
omnes bigas in unum gradum referre. 

XVU. Definicio. 

Sitergoquintusfcientias gradus, CumduasnecEf- 
fabiles ambae,nec MESvE, ampliusque inter fe plane incommen- 
furabiles,ucrumq-, faciunt Effabile, & fummam quadracorum,& com- 
mune Reclangulum : nonminus quamucrumq;horumfaciuncduae 
longicudineEffabiles,per20.decimiEucIidis, veletiam duaefolapo- 
tennaeffabiles, fedinterfetamenlongitudinecommenfurabiles, per 
eandem. Uc lacus de quadraco 2, &lacusde quadro g, funcincerfe in 
propoicionedupla,quiaquatfra funcincerfeinproporcione quadru- 
pla. Sunc ergolongicudine quidem Ineffabilcs,acincerfecommen- 
furabiles. Earumquadracaz. &8- jun&afaciuncjo. Fffabile planum» 
Ecipfaeinfemulciplicacae (quodeftRectangulum formare) faciuncre- 
c~tans;ulum 4. eciameffabile. Hoc idem inquam , faciunc etiam duae nec 
Ef fabiles nec Mefae , ampliusq; incer feplane incommenfiirabiles : eo- 
que non,uc priores illae,in fecundum vel cercium gradum fciencia; func 
referend<e,fedin Quincum. 

Nocaigitur quodin hocgradumenfuremus nonlirreasipfas, nec 
fingularum quadrata , fed menfuramus & commune ipfarum iRectan- . 
gulum, &jundlautriufquequadratainunamfummam,- ucquodunt 
quadr ato deeft, quo minus fic effabile, id ab alcei o quadr aco fociaco ex- 
actecompenfecur. 

XVlll. Definicio. 

=C extus&ignobiliorfcientiaegraduseft, cumbinas 

*-* jun£tae,quaeneceffabiles,necMefae,ambaefimul, eciamquein- 
ter fe incommenfurabiles , alcerucrum falcem Effabile faciunt , teli- 
quum vero Mefbn. Eftque geminus ; auc enim fumma quadracorum 
tffabilis , Rc&angulum Mefon ,• aut illa Mefon„ hoc effabile eft i 



ius, 



jUo EffeBu (imilasfunt Duabus Effabilibusfblapotentia Commenfurabifi- 
'I\fam potentia amb*,hoceft quadratn Effabilia,fhciunt etiamfummar& 



qwtjunt aaje mutuo , zrt du/e tLjfabiles , inter quas pnma ex 2 . CMcJis, e/r pro- 
fortionafis Media; per 26,t£ zS. decimi Eucf. i\am quiafunt potentia com> 
menfurabifes : addit* igiturpoteHtUfhciuntfummampartibus commenfurabi- 
lems. ^Atpartesfunt Mef/L, y tf fuod Mefieji commcnfurnbtlejpfum etiam 
e(lMefon,per>24.dccimiEttch 

rs »• 



12 Dfi FiGURARUM HaRMON! 

HieReftanguIum binarura metimur quidem plano quadraco di« 
ametri, acnoneciamfummamquadracorum: namei folum invenimus 
duaslineas, Re&angulum ei sequale formantes, quarum quadraca me- 
eumur quadrato diamecr^. 

XIX. Definitio. 

C Eptimus adhuc ignobilior fcientias gradus eft , 

*J cum duarum incer fe incommenfurabilium neuter efFe&us eft ef- 
fabilis, necfumma quadratorum ,nec commune Re&angulum; fed ca- 
men adhuc ucrumque Mefon. 

Hifcefunt effecT:ufimi/es,duxMefx pvtentia fola commenJurabiles,quarum 
un*Ji.t ada/teram^iJt unaearum,quas inter MESEvere ejl Mediaproportiona~ 
lis , commenjurabi/umjc-.jo/apotentia 3 adtertiam aliquam ,Jola potentia com- 
menjiirabilem,per .29. Decimi Euc/. 

Has tres bigas^dup/icigenere Planorum diJlinc?as,Eucfides ob idpotijjimum 
docei invenircj) , quiaficiunt adcompojitionem (f conJlitutionemfyecierunu> 
Jeqitentiurru). 

. XX. Definitkx 

ERgo fcientias Gradus OcStavus ex prarmiffis inter- 
poficisderivacur,eftquelinearumicerum fingularium , fedquae 
compoficione duorumnominum,fc.duarum copulacarum ex praxe» 
(dentibns copulis , vel abftratlione unius,Epharmozufas didtee, ab altera 
focia,conftituuncur,novamfpeciemfaciences. Ucfic in his fciamus 
feu menfuremus non incegras lineas , non incegrarum quadraca , non 
binaunufcujufqueNomina,fedeorumjunc~caquadraca & commune 
Reclangulum , uc prsecedencibus XVIII. XIX. Ec quamvis cocidem 
fcienciajgradusnumerarepofremusjquocfuncfucuraefpeciesjquarum 
femperprioreftpoftcriorenobilior : quia camen quaelibec compofi- 
ciovelabftractioadfuumgradumrefpicic , necipfbcompoficionisvel 
abftrattionis opere confticuicur ulla diverfitas , fedomnes feha- 
benc ex aequo ad fuas Nominum feu Elementorum bigas : ideo 
unumfblum earum gradumfaciemus: fedfpeciesejusfciamus no= 
feihcacediftin&as. 

XXI. Propofitio. 

C Ciendum efl: autcm , exduabusinter selongitu- 

** dine eommenfurabilibus nihil fieri, quod hic incenfum venire 
debeac : five EfFabiles illae fuennt , five Mefe , five Ignobiliores. 

'N^mficommenfutabileskngitHdine , totaetiamexifscompo(i& , erit 
f«rtibus 6Qmmenfir*bUif t ^Atqhi g«<e Effili/i emmenfttratHT , EffthUis eft: 

feriik- 



Demonstratione. Lib.I. 15 

per definitiones ante zo. decimi Eucl. ^u^ verb Mefk commenfurabilk , ejl 
Mefe pcr 24> ejujdems. Etqu&citiqueexjamJecuturisIneffabilibuspoftMei 
fts , commenfurabilis , ejufdem cum illajpecieieft , pef Q6. 67. 6S.S<). 70. )0 s.)0a. 
jof. 106. 107. Etficeftetiam cum a/if'sjj>eaebus remotiortbus,ab Euclide non 
commemoratis , qu&gradusremotioresfhciunt. <lAc etfi 'cumys non ita efie£ x 
id Uimen ad nos nihilpertinef, ^Aut enim recidunt in unamj^ecierums , quas 
hamconfiituemusex incommenfurabilibus ', £? 'fic non augent numerurru> t aut 
faciuntjbecies ignobi/hres ue/Jui ve/ alterius generis ; & ' fic nonjunthujus loch 
ulugradusjiruimus , pr&mifiisproximos nobi/itiitcj»^ 

XXII. Definitio. 

TRansmiffis igicur ijs,qua; func longitudine commenfurabiles, ac» 
cedamus ad eas , quu: fola pocencia funt commenfurabiles. Igi- 
tur il componantur cales duae Effabiles,-fic BiNO MINIS: fin abflrahan- 
tur , ex relitto fic Apotome : «triufque fex func fpecies fubordinats 

P.48.S5. libridecimi * ' 

SinaucemcalesduasMefascomponancur, aucEffabileformantes 

Re&angulum, aut Mefon : fiunt compofitione B I M E D I A L t S, ab^ 

ftractione,M£SES APOTOMy£,illicPRIORES,hic POSTERIQ- 

R E S cognominatae. 

HicconjungerenonlicecEffabilemcumMjESE : funtenimtales 

dus fimplicicer incommenfurabiles , de quogenere jam jnfequentia- 

gendum eft. 

XXIII. Propofitio. 

REftant igi tur plane inter fe incommenfurabiles. £x ijs vero ali - 
quaebigaerequifitoseffe&usprajftarenonpoflunc i utfuntbinae 
Mefae, item unaMESEcumunaEffabili, 

11I& quidempropter big<t ignobi/itatenu., iftx verb propterfuas difirepan- 
tes'Naturas. *Uide7i. )Og.iop.decimiEuc/. T^ulta igltur Jfyecies compo- 
fitionis hincpoteft arcejfi; reftant^ nobis Ignobi/iores tztntum , exc/ufis tfEJfa^ 
bilibus & \Mefis. 

XXIV. Propofitio. 

EX biga vero prima talium plane incommenfurabilium > fcilio que 
funt in przemifsa X Vll.fcibiles gradu quinto,componendo abftra- 
hendove rurtiim nafcitur Effabilisj funtque necefTarid B I N O M I NIS 
&APOTOME,videii2. ns.iH-DecimiEuelidis. Ucfi&fumm* 
quadratorum Binominis & Apocomes,& commune Re&angulum il- 
lis eft Effabile , oportetNomina fingulaunius, Nominibus fingulisal- 
teriuseflecommenfurabilia , quod nonficinomnibusBiNOMiHi- 
bus&Apotomis. 

gupdBime tn/es /inea, (foosrequifitoseffeBuspr<eJkintef } necfffariofiant 

65 Binp* 






Krik tf 


* 


X 

o 



14 DeFigurarum Harmon, 

Binominis^ Apotome;demonflratur adeundemmodum,adquem 33Je c imiefl 

ismonfirata, , ftwtf »>» vtproduab 9 nyHou? ^lLUCtfiet (JLOVOV^adhiheantur j>wCU 

UMet,d uhivox fJLiO~OVoccurrit ,hr\\oV ponatur : d* u/timo comparetur Defi- 

nitio c Binominis {$ Apotomes. 

Qubdautem ex compofitione gf ahfiraBione^Binominis tfApotomes, du- 
9s feqmfitos Effecluspr<ejkintium ,fitiL rurfum Effahilis ;ficpatet t Cum e- 
nimfumma quadratorumfit Effahilis, Z$ retTnngnlum Effahile; compofitarum 
igitur in unum,quadratum conjkihit ex utrius% quadrato, & duohus rethngu- 
\is communihus , ex duahus fi.partihus Effahihhm : quareif totum quadratum 
Effahile erit : igitur & ' linea compofita , potensilludqua- 

dratunu» Sit ^Binominis KfJL ejm quandum Y.0 ,fit & 
apotome ?$, ejus quadrum QX,& 'fint Ox, XO,juncktfimut 
Effahili*,fitg ReltTtngulum ex Qh } 7\fl, effahile , tati- 
um autem duo x,u, jc^ complent quadratumtotiut "f£ com» 
pofit<e } quodquadratumefi 00. 

De tlftraclioneprohatur in hunc moduwu>. Sienim compofiu ex oA> fJtihy 
Hefi ^fJLyefi effalilis , erit & dimidia 07T EffahiiisMnquam majus Nomen , C? 
3"A Minus nomen , $ altera dimidia 7ff/.j aupr ah eatjjx aqualem ipfi(}X> erit 
tfrefidua 7TQ~ Effabilis , $ tota /\q- ,fc. dupla ipfius 7---. ^At tjq- efi refidu* 
pofi ablationemApotomesp."- i aBmomme hfjL.RefiduumergbfitEffabi/otii, 

XXV. Definitio. 

1 Gitur ex fecunda biga fexti gradusNum.XVIII.pras^ 

* miflb, linearum interfeplane^ncommenfurabiIium,quibus fum- 
maquadratorumeft EffabilisjRe&angulum MefDmcompofitione naf- 
citur MIZON,(eu MAIORdiaa,abftraaioneELASSON,feuMINOR, 
Extertia,ubifummaquadratorum eft Mefon , Re&angulum Effabi- 
le,qusecomponendo nafcitur , nomenbabet Potens eftabile 
Et MESON,quasabftrahendo,FACiENS cum effaeili mf.soii 
T o t u M.Deniquc ex quartabiga feptimi gradus, NumrXIX.prarmiftaV 
ubiuterqueEffe&usfitMefomcomponendofit Potens bina me- 
jpiA,abftrahendoFACiENS cum meso meson totum, 

Et ecce Originem duodecim ipecierum Euclidearum,earumqud 
Numeri caufas. Nam ad remotiores,quae vel fummam quadratorum, 
velRe&angulumcommune, vel utrumque , proferunt ultra Effabi- 
lia& Mefa, in ignobiliores ipecies, noacenluitEuclidesfibiprogre- 
diendumeflV 

xxv% 



DeMonstratton& Lib. L 15 
XXVI. Definitio & Comparatid. 

SVFficereiftapoterantetiamnobis ad conftituen- 
dos gradus Derrioriftracionum, quibus lacerafigur.Vrum, ribbis ad 
Harmonica neceflatiarum, diftinguUncut : hifiquibufciam exf ecenficis 
accederencaliannfuperpropriecaces i irrioriifi prjevenirencur hadte- 
rius recerifica; propriecaces , nobilioribus alijs S quibus cumulancur gra* 
dusfciencificarumDemonftracionum. 

Vericum eft ad compofiCioriem & abftraclionem ,• ubi line3s corri^ 
ponendasvelabftrahendas laxe fumptimus , nulla ljs impofica cercaj 
quarititacis neceflicace. Quod fi jarri adftf ingamus leges, impofica cer- 
ta propoftione bigis, nori qmdem fic daciis, uc llla; junctee ririarri duode- 
cimfpecierumfeceruric; fed bigis aliter dacis , unifcilicec ret~taedat*> 
& ejus parci majori inveriienda: > uc fic riimirum vel mirior pars ad ma- 
jjorerri, uCmajoradcomponendamexUcraqUe; Vel vidflim Major ad 
minorem, uc fninof ad refiduam: quod manec abfti attiohe duarum fa v 
clajrion femperfiecgradusaliquisremotior, fedpro re naca , recide- 
musinuriamexplicacarumlpecierum , 8c regreflU fatto , compara- 
bimuslineamconfticUcam > qua^perfeeftottavigradus , cumlineig 
quartigradus. ,...., 

Quemadmodufnenim iri quartogradudefin. XV. doae rcllx confc 
rnuniOperap!anumformabanc,exquoin quadracum redaclc nafces 
bacurlirtea, dictaMefe: ficjamduajredtxTota&parsuna , formanc 
ipfamparcemalcerim fubcrahendo, veldua?partesf6r~manttotaro ad- 
dendo. Illicrecta£formances,erahcihcerfecomnienfurabilesfolcipo- 
tencia : Hicmiflacommenluracione, fucCedit proporcionis idencicas 
incer cOcum& parces.Illic proporcionis flimilicudo erac incer rniriore & 
faciendam, incerq; faciendam & rhajdrern ; hie eciam eft proporcionis 
fimilicudo , iricer faciendasduas, inCerqueearum unarn &propoficam 
tocam , in abftratliorieun compoficione vero iricer faciendarum unam 
& propofitam, iriterque propofitam & faciendam alceram; tllic ijgicuf 
dacis duabus , dabacur Rectartgulurri ajquale quadraco facieridae , & fie 
planum ance lineam: hic e concrariOi fadhs duabus faciendis, fequicus 
demurri asqualicas mcer Rectangulum excrernarum & quadracum Me- 
dias, per 17. fexci & ii. fecundiEuclidisj 

Illicredbefofmances, quadracahabebanc commenfurahilia qua- 
dracoRe£taepf6poficse:hicdocecEuclides,Prop 3o.libriSexci,&fume- 
requadracurri , pfopoficas quadraco cofnmenfurabile »fc. fefquincu- 
plurriejus, &abhujusquadra£ilacereauferrefemiflefnprop6fica:, uc 
reftec pars in propofica ftaciienda, qua parce de propofica ablaca, relin- 
quebacurpars altera requifica j (vel ad cocam addica fiebac eciam cercia 
requifica). Eccoc riomiriibus parces has videncuf accenfenda? gradui 
quarco. 

ln hoc vero punclo riobilior ipsa Mefe f eddicur linea, quamcunq; 
bccupaveric ifta proporcio : qudd Mese longiori cachena , ex quacuor 
'At ciculis corripofua , dcpendec ab EfFabili propofica; hujus vero parcet 

nicut» 



g6 DeFigubarumHarmgn. 

nicunturproporcioncfuajquamhabencimmediateadipfamEffabilena 
propoficam. EoqueficucMesonpoflincefTe mulcar, eodem omnes 
gradu diftances ab EfFabili > pars veromajorin hacproporcione ipfius 
EfFabihs unafola fic , & ornnino cujufquelineaepoft Eftabilem , una 
fingularjs. Quonominesquiparacurejusdemonftracioprimo quo- 
dammodo gradui» 

Quando igicur propofica Re&a jubetur efle tota, ejufque duae ca- 
Iesparcesquaeruncur,cunchjecGeomecrisdicicurfectiofecundum Ex- 
trema&Medium. Nimirum hocfibivulcNomen, quodcumahas 
ynjgaris fe£tio cocius inparces duas,non refpiciac proporcionem,auc 
fi ad cocam aliqua comparecur in ea proporcione,in qna cft minor pars 
ad majorem , cunc fianc quacuor cermini , duo exrremi & duo Medij : 
hicconcrafianc cancum cres cermini , coca quidem Scpars minor , dija 
cxcremi; pars v<:r6 major, medius terminus unicns- 

Dicitur eciain eadem de caufa fectio proporcionalis. Hodierni & 
feclionem & proporcioncm ejus cognominant Divinam , propccr ad- 
mirabile ejus ingenium, & mukiplicia privilegia % quorum pra:cipuum 
cft, quodfemper parte majoriad cocam addica, compoficarurfum eft 
fimilicerfecta,- & quaeparsmajoreracjamfic mTi^or ; quae coca , jam 
major pars fic compofica;, per £. Tredec jrm Euclidis» 

XX VU. Propofitio. 

r^ Vm autem fectio talis in omnibus lineis Iocum ha- 

Vr* beac,inEfFabililongicudine,inEfTabiIifoIapocencia , inMe- 
fe , in duodccim reliquis fpeciebus recenficis , in alijs omnibus : nos in 
prsfenci opere duabus folisejus fpeciebus habemus opus,quae cum fpe- 
ciebus hactenus explicacis coincidunc fecundum duas lineas fecandas. 
NamaucEfFabiliseftillalongicudine , aucMizon, QuodfiEffabilis 
«ft longicudine , quae ad fecandum proponicur i fecla: pars major fic A- 
potomequarcasfpeciei i &refpondec ci Binominis ejufdem quarta: 
fpeciei*, communia cum ipsa habens nomina. Sed cave confundaris 3 
pars quidem major illa dicitur , relatione ad propofitam ; at eadem A- 
potomehicdicicur , nonrelacioneadpropoflcam;fedqualicacive. 
Quod fi quaeras , cujus fic apocome ; refpondecur , qudd f ic apocome a- 
licujus , quae fola potentia eft commenfurabilis propofits , quas fc. po- 
«eft fefquiquartum propofitae. 

Sit GJpropofiu adjecandum ,fitque Effabilis longitudine^». Fiatrecim 

angulus GAMzf AMfitdimidia ipfius GA, (£ 
connexis GMpuntlis , centro M , intervall» 
GMfiribaturfemicircu/us PGX , & AM con- 
tinuetur in ejzts circuwtfirentiapuntbl PX.fiat 
fuper PA,quadratum PO. Ergb linea GAjcffo 
ejiproportionaliterinpunBoO^ H<ecigiturJO 
efipars majorfeffteproportionaliter GAi atea- 
demJO velei «qualis JP 3 \efi Jpotome non ipfius GJ } /ed ipfite MPvelMG „ 



c 

4 


i — — ~-^T 




tu \m Nsg 



Demonstratione. Lib:1. \? 

siu potefttam GA, quam AM illius dimidiam: vtfipotentiaipffats GAfit 4. e~ 
rit ipfius AM h Et ipfius igituf GMpotentia erit / . In quantum igitur AO vei 
J Peft Apotome,refpondet ei binominis AX:funt% nomina ipfius communia MX, 
ve/MP, velMG , ef AM. 

Quadautem APjit Apotome,^ AXBinbminis, utra^ quart<ejbeciei,fie 
trohtur ; \Eft enim utrunque nomen effabile ifj MXtf MoA ifunt tamenfo/d 
potentia commenfurabi/es , quia MX ( ideft M G ) potefi f. qualium MoA ' po- 
teji 1. eAt ). adj. non eft ' vt numerus quadratus adquadratum. Deniquedift 
prentia potentiarum 1. £5? /• eft 4 . numerus quadratus, cujus latus 3. longitu- 
iine Effabi/e , cequa/efi. ipfi GApropofitx. Hd verbfunt nOta fteciei quartA 
Binominum , in definitiombus ante P. 74: £f Apotomarums , antepr. Sf.deci- 
miEuclidx. 

DeniquefiG A Effabilis ficetur proportiona/iter , pars ejus major OA & 
tomttofim ex utraque 0<iA ,<sAG cadunt in gradumfiientict quintum-». f^am 
quadrata ipfarumjunifa, fummam^fhciunt Effabilenu, , trip/um fcilicet ipfiue 
GAeffabilis , per 4> Tredecimi Euclidis : ^Refkngu/um verb ttiam Effabile 
fit , quia eft aquale quadrato ipfim GqA effabt/i , cumfit G A medtapro- 
portiona/is inter OzA partem, $ 0<zA , <lAG compofitam,perprcemifia^> t 

XXVllf. Propofitio. 

Vlciffim , fi aliqua E ffabilis longitudine fic pro- 
pordonalicer fueric fedta, parsejusniinorfic Apocome primae 
fpeciei. 

IJtfi Effabi/isfit GA, vtantea, £f ejus fiBot proportiona/iterparsma- 
jor A , minor 0,G , erit tfiam G Apotome_n , per 6. Tredecimi Euc/idis* 
^Rurfum a, QG dicitur Apotome qua/itative non relatione ad G Aeffa bi- 
lem /ongitudinzj> , cujus efi pars minor ,necre/ationead MG , vel MP, cuius 
ipfaAOve/ APeft Apotomcj>; fedbab&t GO/Afjminapecu/iarias. Ciinzj, 
«nimper ?rop. §7, decimi Euclidis , quadratum cujuscunque Apotomes,^ fic e- 
tiam quadratum \?0,extenptm ad Effabi/em("Vt hicadGT, ipfiG Amqualem) 
Jhciat, latitudtnemGO , primctjfeciei Apotomeru>: ipfavicifiim oAO erat, A- 
potomeffeciei quartct.lllius igitur GO nomen majus,efl Effabile /ongitudincj» i 
hujus AO majus nomen MP erazfo/apotentia effabi/e. Et viciffim,quia nomi- 
na funtfolapotentia commenfurahi/iasi oport&t Minus nomen , feu Vrosharmo- 
z,ufan ipfius GQ , efe folapotentideffabi/entj> : cumipfiusAOnomenminus 
JMefetlongitudineeffabiltLs) : utriquetnmenhocmanei , quoddifferentia 
quadratorum a nominibus defcriptorurru> ,fit quadratum alicujus effabilis lon- 
gitudincji. 

Gfuxautenij, fint hujusG Oyprima^fpotomesNomina-», relinquo alijs 
qu&rendunu. Prosbarmozufa quidemipfiGO vt Apotoma Primx eflunkafb/a 
fer 7 , Decimi Euc/idis . Qux debet efie talis , vt ejus quadratumfit Effabi/cj* 
non tnmen numero quadrato : ipfa verb cum GO debetfucere lineam unam Effa- 
bdemlongitudine^s, : t$ ' per 30. Decimi,fiexhacundtQtafietdiar»eJtercircu/i y 
ixrbi caufa PX > £jf fi ' Prosharmozufi, paulb lengiorquam Pa (fiquidem totaj, 
efiet aqua/if ipfi PX) ab uno termino Diametri X , app/isaurcircumfbrentict 
XG ; tunc qudfigm GP conneffit , debe-t efie ipfiPXtoti commenfurabilis /0 ngi- 
fudinej. q XXIX 



ig De Figurarum Harmon: 
XXIX. Propofitio. 

aVando vero fe£ta fuerit proportionaliter aliqua 
Mizon ; cujus quadracum fic arquale reclangulo fub longicudine, 
compofica ex propofica erTabili & pocence ejus quinq; quarcas , & iiib 
lacicudinequinquequarcaspocence ; cuncminorparsfkElaffon : ubi 
Elaflbn eftnomennon comparacionis, fed qualicacis; majorveropars 
fic Mizon alia , rurfum qualkacive incelleda, quascunque ejus finc Ele- 
menca. 
Infchema- Siti/tprius, propofit&effabilis longitudo dimidia GA, ejusfj, rurfiimdimi- 

tefol. i(T. £ a jj^. wquafiium GApotefl 4.pofit AMi.tfftl GAMretius, poterit igitur 
MG talium $■«, continuttur MAutrin^ , tf centro M., intervallo MG fcribatur 
Jemicirculus PGX. EJi igitur PXdupla ipfius GM ; quare $ PX poterit quiha, 
quartaspartes de potentia propofitte , duplte ipjius G A. Sed PG , GX quadrata 
junL~ki,junt tequalia quadrato PX , ergb $ illafunt quin^ quartx dc quadrato 
propoJittgeffabi/is.Porrbjiex PG.GXficeris /ineam unam;ejus quadratum con- 
ftabit ex duobus quadratis P G, GX, & ex duobus ReEhngulisfub PG. GX, qui- 
husjunt xqualia duo rethngu/ajub GA. PX, hoceft, unum Refhngulums Jub 
propoftta dupla ipfius GA, & fub PX, ejfabi/ibus duabus , (edfola potentia com~ 
menfurabilibus:qtiam ob caufam rechngu/um hoc eritMeJon,per 22.de •cimiEucl, 
Cnmergb quadratum/ine&P GXtotius , conftetex quadrato PX effabi/i, {f 
rectangu/o Mefo , efufdem latitudinis PX: qu£ duo , quadratum PX, $ rechn- 
gulumfub dupla ipfius GA tfjub PX,funt aqualia reclanguio , quodcontinetur 
fub PX, effabili, £$ fub compofita,ex PXtf dupla ipfius GA,Jo/a potentia com- 
menjurabi/ibus,quarum partium major PXp/uspoteft minore(dupia ipjius GA) 
a/iquafibi commenjurabili longitudine (poteft enim PXf. qua/ium dupla ipfius 
CApoteft 4 . excefius igitur l .eft quadratum alicujus,quA incommenfurabilis eft 
ipfiPX, eb quod i.adf. nonfit,ift quadratus numerus adquadratum ) quibus de 
caufisditia compofitaex PXg? GAduplicatajeft^BinominisquartttJ^ecier.cum 
inquamquadratumtotius PGXJit xqualetalireB 'angulo Jub Apotomcj quarta 
£2? Ejfabili : linea igitur PGXtota, erit Mizons. Elementa ipfam componentia , 
ftntpartes PG, GX. Namquia PA, eftApotome,^ AX^Binominis: (unt igitur 
interje longitudine Incommenfurabiles. l Ut verbPAad AX:Jic quadratumPG, 
adquadratum GX. Ergb PG , GXjuntpotentijs £$jicftmpliciter incommenfu- 
raSi/es interft ;%$ fthciunt Jummam quadratorum effabilem , qttippe xqua/em 
quadratoPX:rettangulumverb(ubPG, GXMeJon. Ergbper ^g.decimi,com- 
pofita ex PG, GXeft Mizon : Etper 75. Decimi,ablata PG , d GX, relinquitut 
Elafton. <zAtquitota PGXeft Jeclaproportiona/iier inG,Namift PAad AGJit 
PG ad XG.<LAt PAeJl ipftus GAproportionaliterJetl* pars major OA,quia MP 
foteft ipftus MAquintuplum £J? Apotome APxqualis e(l AQper 1 i.Jecund.Eucl. 
Ergb & PG eft ipfius GXproportionaliter (ectttpars major; d) per f .Tredecimi % 
addita PG,parsmajot,ad GXtoUm,parit novam totam PGX,proportionaIiter 
JeBam inG;%rt jam PGftt hujus compofitx pars minor, GXejus major. Etfic 
PGX , exijlens a/iquaMizons, jeBaefteodempuncJo G $ injua Elementa.»» 
€X quibus Mizon denominatur , & ftmui 'infuaspartes proportkm divina. 

Disk 



Demonstratione. Lib:1. 19 

3ico eafcmpartes proportionaliler QB* , efiefimuletiam Elafona £«f Mi- 
uena. QuiaenmAPeft Apotomequarta, quodigiturfub AP Apotomt & PX 
Effabih, eftpotentia Elafonis,^ Q^decimi Euclidis: d> quia AXefl <r Binominie 
auarta, quodigitur (itbhac £=f PX Effabi/i , efl miz,onis potentia : fedquadrata-» 
PG,GX,funt tqualia Reftangulis APX, AXP ' ,fingulafingulis ,ergb PGeft 
EUfion, GXMiz,otu>. 

Conveniuntigiturhicinunum,nominaqualitatum&nominapn> 
porcionum.Nam PG dtcicur pars minor , refpeftu cocius PGX propor- 
cionaliterfe&aunGidicitur&lineaminorfeu Elemencumminus ip- 
fiusPGXtotius,uthaeceft aliqua Mizon qualitativc;dicitur deniqu» 
graece Elaflbn , quod fonacLacineminor, qualicacive>refpeclu aliarum 
duarum linearum,hicnon expreflarum, quarum fubtractione unius ab 
altera, ipfacanftitukur. 

Eodem modo GX , primo dicicur pars major cocius PGX propor» 
tionalicerfecta; fecundbdicicurlineavelElemencummajuslineaeco- 
tiusPGX, uthaeccftqualitativeMizonfuoproprio jure, non minu* 
quam toca PGX fuo : fed lineae faciences ipfam GX Mizona compofiti- 
one fua ; non func hic expreflk. 

Propcer hunc concurfum fectionis proportionalis, & fe&ionis Mi» 
zoriisinfuaElementa, credoinditafuiftehisfpeciebus Nomina quali- 
taciva Mizonis & Elaflbnis, 

Cavendumautem hiceft diligenter,ne difcriminarerum confun- 
damus;fe£tioproportionahseftabfolutaproportio,nonalligataad u- 
nam aliquam lineam , in notitia primam, quae propofica Effabilisdici- 
tur:fpecies verb ifhe Mizonis & Elaflbnis, func figurats cercis gradibus 
difceflionisiua^aprimapropofitaEfFabili.Itaqueiedliodivinaprogre" 
ditur in infiniturmatnonfequituream afFeclio Mizonis & Elaflbnis: 
in illa (feclioncj pars quae modo major erac, proximo gradu fir minor; 
in hac, Elaflbn qualitate fua, nunquam nulloq; refpsftu fit Mizon, nec 
Mizon Elaflbn. Itaq; fi GX M izon dividatur rurfu m proportionalicer» 
pars ejus major ent «qualis ipfi PG, eoq; Elaflbn manebit qualitative i 
nequaquam verb Mizon qualitate fiet, ucficparsmajorquancicate : <| 
diu quidem GA eft EfFabilis propofica. 

Quaeris fi Mizon fic PG X qualicatc,Mizon etiam GX qualicatccuE 
HoneciamipfiusGXElemenrummajuspoflicefFealiqua Mizon,ficue 
ipfiusPGXMizonismajus EIernentumeratGX,Mizon&ipfa ? Quia 
ctfi utraque cft Mizon, cam-pcx , quam gx ,alia camen illic , alia hic eft 
formacio. Naminquadratum PGXvenicquadracumpxcotum , re&an- 
gulumjfub duplici ga & fub Px, totum. At in quadratum gx, ingreditur 
de quadrato quidem px, dimidium, fc, quod fub mx, xp , de redFangulo 
verbfubduplici ga &fub Px,parsfolummodo quarta,fcquodfub am& 
fub px. Alia tgr hic eft proporcio Mefi ad EfFabile,alia illic Noftra verd 
propofitio concurfum hunc,fec~tionis divinae,& quahrativae compofiti- 
onis , in partibus lineae ijfdem.de priore folum pgx, eiufq; propria pro- 
portioneMefi adEffabilede.moftrare nititur,non itidem de pofteriori. 

Nota verb & hoc ad perfedionem anaiogiae,- qubd ficut gx Mizon 
«ompoficionc proporcionis divina-, fitmaior aliquaMizon v fc,PGX, ad_ 

6 z diefi 



20 De Figurarum Harmon: 

dita PG,q eft ipfiiis Gx, pars maior ih fe&ionedivina : fic e contrario ,'pe 
Elaflbn hupfpeeieijfe&ione proportionis divinsejdat PY minorem aliq, 
Elaflbnafeipsa,fc. ipfiusPGfe&aepartem majorem,vehpfius GXfeclae 
partem mihorem GV:utficutmaximaPGX cadit per fe&ionem divi- 
nam , in XG Mizona & GP Elaflbna , fic fecunda Mizon GX, cadat in 
duas Elaflbrtas X V, VG, aequales fc. ipfis GP, PY : atque ita duae Elaflb- 
nescomponantuham Mizona i Mizoh vero & Elaflbn aliam Majo- 
remMizoha. 

XXX. Propofitio. 

jr* LafsesFigurarumfingulasfingulifaciunt numeri 

V^ laterum Primi;& reputantur in elafles,qua?habentNumerum la- 
terum continue duplum numeri fiii Primi, 

Sequitur hoc ex defin, X. hujus. T^am fidmniumfigurarum,qu <e Nu~ 
tneros /aterum habent unius a/icujus continue dup/os , eadem ejl fbrma demon- 
jirationis propri<e : omnium igitkr i&arum eadem efl C/affis, causd demonflra- 
tienis.Nonmutat quippe bifeciiogenusvei c/afiem,afibciatn eartimfingulis ipro- 
pterd) fimplicitntem & <equalitztemPartium,junclim: exfingu/is enimprioris 
figur<e arcubusfiicit partes binas tnntun±s> , eascfc <equales. oslt trifetiione aut 
^ujnifeEiione , aut fequentibus , non effugies , quin aut inaquales defignespa r- 
tes , (ibin<e tantum efie debeant , aut multas , idefi ,p/ures duabus ,fi<equa/esSUt 
in trifeBione arcus j, ve/ficatur in z. i, binas ^ inaqua/es, ve/in /./. /. <equa- 
lesfedmultas. 

nAntecedens verbfic probatur. fiemoaflraiiopetitur d numero laterum; 
g X. hujus i Jam Primi numeri non communicant a/iqud parte numetosa, nam 
unitas qua communicant , divifionem non admittem , nonefl pars numerofavel 
numerus. Ergb eiiam demonflrattones per eosfhb~i£ > non communicant inter 
Jcj. CU/f^ igituffingu/orum Primorum diflinBdJunt. Harumpritnaefl y 
in quafuntfigune (ve/quafi) numeris laterum hifie : 2. 4 J. 16 32. © infinit<e: 
Secunda habet 3.6. 1z.24.4f. o(,^ infinitas : lertia habes sjo.zo.4o.io.l60. 
320td> infinitas, A/i<einfinit<s. 

KKKL Propofitio. 

■f LafsesFigurarum fingulas finguli faciuntNume- 

^ -1 ri, laterufn duorum Primorum (excepto binario) minimimul- 
cipliccs. 

Sequitur hocex definitione XI. hujus. T^amfifigura tnlis addemonftra- 
tienemfui /ateris non utitur numerofuorum angu/arum : efi igitur diverfa ejus 
demonflrationisfdrmaafuperioribusomnibus,auareGtiamdiverfa c/afi&. Ex- 
eeptus verb fuit binarius dgenefinev<e clafiis , in Primum aiiquem multip/ka- 
lus: quia bifetiio angu/i cumfit Geomarica , ipfa efl , qu<e clafiesfingulas e« 
^quoininfinitumprorogat,:qubdnifiefi&t,clapes nulla efientfidfinguUreslan* 
tumfigura. Harum primaefl, 1$. 30.60,120. Z40. 480. tfc. multiplica- 
tis i.inj.Secunda zy 42. S4- &c. multiplicatis j, in 7* Ssqumtuf infinita, 
vt tum s.in 7,ducitur. Hinc^s-7». I49.f$c XXXIX 



Demonstratione. Lib. I. 21 
KKKll PrOpoficio. 

S£d & qiiadrati Primorum numerorum , excepto 
Binarij quadraco , & fac~ti a quadracis 5c alio Primo , Primive qua- 
draco , clafles gignunc fingulas , & diftin&as a prioribus. 

Quodquadratus numeri Primi,noneandem cumPrimo clafemfacit ,caufa> 
3fi,quu cum Primus ipfe novamfigurarum c/afemfkciat,dividentium circulvt 
totum, pcr XXXhujm :jam idem Primus , non totum ,fedpartem circuli divi- 
dens , omninb aliamfiiciet demonfirationem ,fiqu\dem illa pofihlis fr/erit: cum 
Pars circuli a Toto multum d,fferat causafl>eciej,figiirationii% abflutte: in qua 
fguratione nunc oceupamur , quippe qu<£ demonfrationem fbrm aL. ~ . 

Qupd auiem binarij quadratus excipitur > caufa efl, quiafigura, bis duos ha~ 
bens anguloj , hoc efi , Tetra %pnus, cadit in ctafem primaw : mu/tiplicatus verb 
Quaternarius in Primum , cadit in Primi tlafem , quia quatuor fiunt bis duo : 
omnis verb figuraj, dtip/olaterum Numero , eodemrefertur, quofigura.-fimpl» 
laterum Numeiro. 

Harumprima efi, in quafigurd 9.18. 36*71. i 44.2.$ S./aterum £? infinitx. 

Secunda, inqua2f. jo. joo. 200. 400. & " infiinittt. 

Tertia ,inqua 49.98. & infinitx. 
Infinitct alitx. clafies a quadratis. 

Sic27. f4> 108. 216. 432i£$ infinrix,ex 3.^ 9. 

Sic7S. //<?♦ 300. £5? infiniU,ex 3. £■? 2f. 

S1CI47. 2j4, £jf infinitd,ex 3. if 49. 

Sic 4f. 90. 180. 360 i$ infinitx ,ex 5. £f 9. 

Sici2f*2fa, foo. 1600.& infinittz, ex /. £$ 2f. 

Sic etiam Z2S> 4fo. goo, $j> infinit<x.ex 9. d? 2f, duobusqmdrath. 

Infinitx ali<e clafes,ex Primis in quadratos , aut ex Primorum quadratk 
infmuitiplicatisi 

RXXlll. Propofitio. 

C I a duplo numeri angulorum Figurae abftuleris 

*-* quacuor , formabis Numeracorem parcium anguli re&i , quas va- 
lecangulusfigurae ; Denohiinacorveroparciumeftipfenumerus An- 
gulorum. 

iJt in Trigono bis triafiunifex , aufir 4 , refhnt 2. Ergb angu/us Trigoni- 
cusva/et duastertias Recli. Sic in Jcofigono , bis 20.fiunt 40,aufer 4. Ergb 
angulus lcofgonicus valet 3 6. vicefimas ve/9. quintas unius Reffi. 'I^ant 
eujusfyfigura angu/i diflribuuntur in totidem triangu/a , quot habet /atera, du- 
obus minus. ^At cujuslibet Triangu/i anguli va/ent duos Refios : ergb cujus- 
/ibetfigura angu/i va/ent dup/o p/ures Retlos , quamFigura habet angu/os, 
quatuor minus. Hic verb numetits ReBorum difribuendus eflin numerum *H- 
SHlorumfigurtt t ergb hic denomimt , il/e numerat partes unm Retfi. 

c 3 xxxir. 



«2 DeFigurarum Harmon. 

XXXIV. Propofitio. 

ClrculusGeomctrica defcriptionc in duo fecatur a% 
qualia ; & linea bifecans illum fci cur fcientia primi gradus ; eft e- 
aim Diamecer ipfa. 

Principium enimfigurationis in circulo efl,ducere relktm lineam per pun- 
Slurn imperatum, quoufy efl opus. 

^Reffa bi(ecans ciratlum efi diameter,fc. per centrum ducln, quia partiutm 
circult inter fe xqualium efl maximajewictrculus, linea iqiturfecans in duosje- 
micirculos, efl g? ipfi longiflima,per 14. Tertij Euchdis, d> diamuter>per 75.fi/ 
per definitionem^, 

Porrb diame-ter efl illa ipfa Effabilis, propofita pro Menfura axterarurrui 
ipfaflbi aqualis ,fuique Menjur a perplU , principium fckntix Geome&ric<t. 

XXXV. Propofkio. 

rr Etragoni latus habet Geometricam defcriptio- 

-*• nemexangulis, extracirculum > & fi infcribatur circulo , Ipfa 
«ft in gradu lciencis cercio , quadracum ejus infecundo, uc&aica 
figurat. 

Tetragonus Eflo OQPR,ejus angulus,per XXXIII hujus, efl reftus,qu&* 
teper 46. primi Euclidis \jacile dato Iatere_> , defcribitur Tetragonus. 

Citm^anguloshabeatquatuor, lateraque t*tl- 
denu) ; duo ergb latera coeuntia , duas Circuli quartat 
intercipiunt , hoc efl , flmifem circuli. Quare pef 
X XXIV. hujus , extrema latcrum conticuorum 
connecitt diamcter circuli. Vt Q0> QP > *«- 
gulum QP reftum tnfemicirculo QPfbrmanta , 
extremis 0. P. eonnexa funtper diamatrum circuli 
OLP. Quarepcr 47. primiEucl.quadrata dvorums 
laterum OQj, QP , xquant quadratum diametri. Etfidimidia pars de qua- 
drato diameftri redigatur infbrmam quadratam,perJ4-flcundi Eucl.lattu ejut 
eritlatmTetragonicurru,. ltnquadratumlatcrisefiEffabil(L» t 

Et quia quadratum OP efi ad quadratum OQjVtz.adi. non verbvtnu- 
merus auadratus ad Numerum quadratum i P verb efi Effabilu longitudme ; 
trgo latus OQ.efi Effabilisfolapotentia,per % decimi Euclidts. zAreavcr» 
tetragoni efilZclem in hacfigura , qm Quadratum latem , crgb & area Fig*- 
vxeflEffabilis. 

XXXVI. Propofitio. 

O&ogoni latus habet Geometricam descriptionera 
exAngulis , necminusetiamOaogomcajftellaelatus > feufub- 

tenfa tribus oftavis partibus circuli , funtque in gradu fciennse odtavo , 

iingult 




Demonstratione. Lib. L 25 

fiugula , illud quidem ElafTon , hocveroMizon; jun&averoingradu 
fexco , & proporcicnis cujufdem fingularis. Area deniq; Ineffabilis eft ; 
quippeMefon. 






Sit oclogonw VQTOXRSP,fe//a vcrb VOSQXPTRV-.chm igitur /i«. 
nex binx, vcrbi caufa QT. TO , comprehendentes an- ^ 

gu/um otloqonicum QTO , conneclantur extremis ^^^'TsJ^^xk 

0. 0. linea conneBens eji latw Tetragoni , quia de /¥>n^^^\ 

O.iofemis efi quatuor. tj j \ffC^\p\f\ 

Ergb defcriptoTetragono (vtaliosdefcribendi t j^m)\ "'~~~}w^'^ 
Oclogoni modos omittam) in circulo , ducatur in /a- V> j /\xt\ I ij 
tuserus OQex centro L, perpe ndicularis ,fcans la- ^J^lX-I^i^fb 

tus in M , arcum in T, per i i , primi Eucl. quo faclo ^^^L^^ 

fcr 30. Tertij Eucl. erunt qu.rrtxpartis circuli 00, 

duxpartes,fc t arcus OT. TQ^jequales. Connexisergbpunciis 0& ' T, erit OT 
retia latus Q3ogoni,d ' connexu 0. S. erit OS/atus fie/l<z. 

QonneXo centro L ctim Q^auia QML efireciw, ergb QL Effabilis /ongi- 
tudine, potefi M, Z§ ML. potefi autem QL fimidiameter duplum ipfius QM 
fimilateris Tetragonici, Ergb QMd) MLfunt ctqua/es,^'i(tra^, EjfdbifyjQ- 
la potentiaper XXXVhujus. tius igitur potefi L 0, quam LM, potentid tp- 
ipji ; JS MQjjfu.* /ongitudine efi incommenfurabilis ipfi LQ^ Sedjunt <equdle/ 
LQjp' LS , c? LT Ergo compojita S M erit Binominis quarta, cujw Nomina 
funt S L, £$ LM. per definit. ante 48- decimi Euclidis. ^Refdua verb M.T 
erit Apotome quarta , cujus Nomina. TL , tf L M.per definitionem ante Sf. de- 
cimi Euclidis. 

Et quia MS binominis quartn , £•? STeffabilis , quareper /7 . decimi Eu~ 
clidisjinea Q)S, quctpotefi Reciangulum fub ipfis,efi Mizon :fcquia TMefi A- 
potome quartz , if TSejfabilis ;ergb TQlatus Oclanguli ,potens reflangulum 
ftb MT, TSefl Elafion,per 94. decimi Eucl. 

E/ementn iilarumfunt in hac delineatione, PAmajw,if ATminw. 1S[am 
ad PAaddita AT,facit PT latw flcllcz-.rurfitm d PAvcl TTablatx TA,relinquit 
AT , ideji Q Vlatus Ociogoni. Sci/icef E/a/Ton TQpotefi duplum Prosharmo- 
zufe TAi tf/atw Tetraeoni OP ,poteJi utrumque Elemenium P A$ <LA O > 
ideflAT 

Etftcut PXMizon admajw Elementum PA,fic TQE/afibn adminw £r 
lementum TA, gf viciffim, vt majw e/ementmn PA, adminw AT,fic Mizott 
P X ad E/ajfonem.3 TQ? IJtparsmajor adminoremj> ; fic totum ad diffe- 
rentianu,. 

Porrohxc latera SQ^QT, nonipfa fitnt tztntumMizon £•" E/afon ; fecl 

Junt etiam ules linea. , e x quibw ali<z tzt/esfiunt addendo ve/Jubtrahendo . Pri- 

mum enimfunt interfe incommenfurabiles ,fecundb quadrata ipfarum TQiQiS 

juncla £quantur quadrato effabili ipfiw TS. Tertib Reciangulum fub TQj^ 

QSefl Mefon , efienimaquale ReBangulo fitb QMfemilatere Tetragom, fola 

potentia effabi/i , fj> fub TSeffabili longitud'mtj> : quam ob caufamjunt efianu> 

juncia ingradu fcienti&Jexto. Quareper $g decimi, compojitxin unam C EQS 

funt Mizon, tjj per76^ decimi, T 'Qhocefi QZab/ataa QS, re/inquitZS 

Elaj&nenu. Ita^fieriptefl , vt Elafon & Miz>on mius big<z ,fiant Elementzt 

«Itc* 



24 De Figurarum Harmon. 

(tlteriw higtt , $ Elafons , ahlatn a Mizonefua , relinquat Elafona alterius, 
GhtpdareamOcfogoni attinet ,illa conjkitex ociotalihus trigonis , qualis 
eflL QT. Sed conjkit RetTangulum QTRSex tnlibus quntuor ; eji ergb Jemijte 
Arex: £$ eji Mefons , •vtpau/b anteaprobatum; ergb etiam duplum ejus ,Jcilicot 
Area OUogoni , Mefon eft , per porifma Prop, 2 4 . decimi Euclidis. Hinc Cla~ 
<vius Geom: Pracl, libre VIII. Vrop t j /. demonjirat, , aream ejus efe mediurrL» 
proportionale inter aream Tetragoni injcripti £jf aream circumjcripti Tetrago- 
ni , qu&Jitnt ad invicem ,vti.ad2.qu<z determinatio quantifiztis sertte , injert 
eandem qualitatem MeJi, ^ 

XXXVU. Propofitio. 

O EKKaedecagoni latus habet Geometricam defcri- 

* *■• -^ pcionem ex angulis , fed laceris fciencia longms evagatur , in gra- 
dus ignobiliores omnibus prxmiffis; mulcoque magis ejus ftella- 
rumlacera,feufubcenfa: cnbus, quinque,feptem,fedecimis. 

■W. §htiahis otio Junt fedecim , idebper latus OBo- 

Aj^^T^^^V^ goni,figura h&c ex ijfdem fundamentis defcrihitur, 

//V^\^f^f^J^\ quihus antea OBogonus per latus Tetragoni. 

(/ '• \r^^\rXj\ Eft° -2P ^ atus non j am Tetragoni,fed OBo^oni 

*|^1a "^"A?Nr ^ ®$ ? ^° latera j am fe<kc<™gt*li> d Q? l*** 

V» I /\X/V >/ fletta OcTangulcZ efio: idfuit priusdMizon: ergb £? 

0^r™V /~--^Bt. LCM. ejus dimidia erat CMizon, Quare reBangu, 

^^M^->^ lumftb STEffabili £5* LM. Mizone, ejijpeciei pla- 

ne nov£,cujus inter gradus Jitperius explicatos , vt 

nobiliores, nullaft mentio t Tale verb novum, ahlatum ah eo , quodfuh LT, TS, 

Effahilihus longitudine continetur , relinquit iterum remotiorem a/iquamjpcj - 

ciems , reBangulum fcilicet Jub MT, TS aquale quadrato TQ> lateris Hek- 

k&decagoni. dMv/tb magis idverum de p/uriangu/is hujus C/aftis:vt 32.64. 

12$. angulorumetc: 

Cum fic habeac cum lacere uno , feu f ubcensa uni fedecimas , jara 
illius pocencia ablaca a pocencia diamecri , relinquicfubcenfam, fepcem 
fedecimis , eft igicur illa gradus remocioris. 

Tresverofedecimsfubcenfamhabencderivacam a fubcenfa tri- 
busodtavisperbifedtionem.-func igicurinremociorigradu, quamilla» 
Ec pocencia f ubtenfaj cribus fedecimis , ablaca a pocencia diamecri , re- 
linquicpocenciamfubcenfsquinquefedecimis. Eftigicurh&c rarfuna- 
remociorigradu» 

XXX VIII. Propofitio. 

" \\ - - ■ 

*V Rigoni 6c Hexagoni latera geometricamhabent 

A defcripcionem , ex angulis figurarum; & in circulum infcripca , 
funcfcibilia, illud cercio, hoc fecundogradu ;plana vero < feuareaefigu« 
rarum func Mefa, proporcionis incer fe dupls, 



Demonstratione. Lib:1. 25 

Trigoni conflruciio extra circulum eflfhcilimaper j , primi Euclidis. Jn- 
fcrlptio in circulum expeditiflima , vt c&teros modos tnceam ,flt beneficio Hexa- 
gonici/ateris. Quja dejexjemis funt tria. Et Hexa- 
goni quidem defriptio £jf inflripth funt libro quar- 
ti Enclidis propofit. if . Sed oflendenda eji conjecu- 
tio quantitatis lateris } ex angulorum rationibus. 

Sit Hexagonus BHCGDF. Cum igiturjint an~ 

guh 6 , p/anum etiam Hexagonidividetur 'in Trian- 

guUfex,verticibusin centro A coeuntia: qualeunum 

efl CAG, Qua re quatuor Keciorum , centrum A cir- 

cumfkmtium,fumma divifa infex vertices , datuni 

verticaliangulo CAG quatuor fextasfluduxs tertias 

uritusRecii. ^Atqui trianguli CAG omnes tres angulijunttifunt tequales duobus 

reiiisjeufex tertijs unig Keclii Abflratio ergc angulo adA, 2 tertiaru, ajummd 

6 ' tertiaru,re(fant duobus adC,d> G,fumma 4 tertiie : funt verb xquales omnes ; 

ergb unkuiA ad C. ff G. manent *. tertit unius ReiiT^ non miniis quam ver- 

ticahadA, Jtquifitres anguli funtxqua/es ,oportct & /atera efle aquatia in 

Triaigulo. guire CGlatus idem tf Hexagoni,£$ trianguli , qutdeflfextas, 

cjits pars, efl aqua/e (emidiametro circuli CAvei AG. Efi igr Effabile /ongitudi- 

ne Iat^Hexagori,iimidiufc. diamctri. Hicvero efiGradus Jl.per Xlll.hujus. 

Ja?n Trigoni, quifit BCD, latus B Cconnnetiit duo iatera Hexagom LH, 

HB, coeuntiain H. Cumergb BHCfit 1 terli<i(emicirculi,d) CGuna tertia,ar- 

cus ergb BCG efi femicirculus,Z$ BG diameter , per A tranfiem. ErgbBCGan- 

gu/us tn eo efi Kecius, per 3) . Tertij Eucl. Quadrata igitur BC, CG <x.qua/iafunt 

quadrato BG ,per 47 PrimiEucl. Sed CG A efl femidiameter , ejttscf, quadratum 

edhujus quadratipars q 'tarta; ab/ata iqitur quartdparte de quadrato BG,re_»- 

/inquj-tur quadratum lateris Tetragonici B C. Efi ergb quadratum hoc effa~ 

bi/e : fed qttiafenon habct ad quadratum BGvrt numerus quadratus ad quadra- 

tum numerum ,fed ut 3 ad 4 , ideb B Ceflfold potentid Effabi/is. Hic verb efl 

gradus Tertius ,per XIV. hujus. 

Et quia BC, CD xquates, anpulij, BCD, ^BDC^quales : ergo BEperpen- 

iku/aris,demiflainCD ,fcabit i/lamin E in xqualia CE,ED. Eratverb Effabi- 

lisfoldpotentid, tom CD; quare $ eius dimidia CE. Kettnngulum ergbfub CE> 

AG {oldpotentidcommenfurabilibus, quarumifla efi Effabi/is /ongitudine, Me- 

fon efi. Sedhoc Kefhngu/um eflxquale arex duorum triangulorums, ipfius CGA 

Aqualium (quorumfunt in Hexagonofex ) $Jic tertixparti ArexHexagoni. 

Area igitur Hexagoni eflplanum MefotLs. Et quia BC A($ BCH tri- 

sngu/afunt /aterum BA& BH, CA $§ CH *qua/iu,uno communiBC: habent i- 

gitur areas xquales. SedBCH, BDF, CDGfitnt partes Hexagonic* are<e,qui- 

bus itta excedit aream Trigonicam BCD, totidem xqualium triangulcru , BAC t 

CADfDAB. Dup/a ergb efi areaHexagonica Trigoniae: Mefon igiturefletiam^ 

Trigpnioa area, quia commenfurabi/is^fcihdupIa^Hexagonicnt^qudi erat Mefon. 

XXXIX. Propofitio. 

Latera Dodeeagoni6c Stellascognominisfeu fub- 

4 tcnias 



26 De Figurarum Harmon: 




tenfae quinque duodecimis parcibus circuIiGeomecricedefcribipof- 
func, &infcripcaeidemcirculo> fcibilia func, fingulagradu odlavono- 
bilioriscognicionis,junttagraduquinco; Planum vero Dodecoeoni 
cftEffabile. 

Dodecagonus eflo ^B MHL CKGOD PFN , flel/a Dcdecaponica EK 
FLDMGNCPHQB. 

Quia igitur bisfixfitnt duodecim , idebper /atus Hexagonifigura ijfdent* 

ex fitndamentis defcribitur,qu'ibus anieaO-i ..- 
gonusper latus Tetra^oni, ducia in HC latus 
Hexagoniex A centro perpend'tculari,fecantt 
latus in O , circulum in L. P. & connexis 
L H pro latere Dodecagoni ,HP pro /a tercj, 
flelU. 

Cum igitur HC /atwfexangulifit Effa*> 
le tongitudine_j>;ta!is erit & dimidia HO ,fed 
AC, <equalis ipfi HC, poteft &* quoda dimidio 
fui OC, & quodab AO , Ergb quadratum infi- 
us AO fehabct ad qdm AC vel AP ,ift $.ad 
4. nonvtnumerus quadratus adquadratum. 
Sftntigitur PA, AO , folapotentia inter fe commenfurabiles , irt $$ LA , <lA0, 
Et CA, hocefl PA vel A L, major Effe.bilu, pluspotefi quam OA mincr , a/iquo t 
auod eft a COfibi commenfurabili. Ergb per def. ante 4S. decimi Eucl: Co?rpo- 
Jita PO efl Binominis, g? per def. ante Sf. OL refidua, eft Apotome, utra% Prma, 
cognomineui. "Nfomina funt AP , Effabi/isfimpliciter , Z$ AO , Effabilisfold 
potentia. Sedper / 4. decimi Eucl. HP \potemret~kmgulum (ub OP^Binomine_3 
primd gf PL Effabi/i , efl Binominis , £3 per 9/ ejufdem , HL latus Dodecago- 
ni, potens refhngulumfub OL Apotomeprimd p LP Effabili , efl Jpctotne. Ita 
cadunt fingula in gradum fcientix ofhvum nobiliorenu,. 

NominahujuscompoficaePH&diminuca; HL , func PS & SH. 
Cumq; HB ficfexanguIilac^KPTriangulijBPiQuadragulijillud gdem 
poceftduplumNominisminoris,fc.HS,&SB^iftudduplummajoris,fc. 
KS, & SP; hoc vero poceft urrumq; fimuhquodq; femel, fc. BS & SP. 

Componicur eciam PHbinominis,exPRlacerequadraci,&RHla- 
tere Dodecagoni,ac propcer hanc compoficionem nondicicur Binomi» 
nis; quia per 42 decimi Eucl.prxcer unum fignum, quod hic fuic S,nul- 
lum aliud dari poceft, quod illam dividac in fua Nomina. 

Cumq.HOXPfincErTabileslongicudine, reclangulum fub ijs, id 
eftfubLH,HPericEffabile,&fummaquadracorumLH,HPefticidem 
EfFabilis,a'quaIis quippe qiiadracoipfius LP. Ergd hocnomine , junclas 
LH, HP, func in gradu fciencia; quinco.Nec quicquam novi faciunc jun- 
tta?,nec rurlum Binominem vel Apocomen/addica enim LH ad HP, fa- 
cic Effabilem pocencia fola,fc. cu jus quadracum eft felquialcerum qua- 
draciLP.-ablacaveroLH , velHR abHP , confticuicrurfumEffabileni 
pocencia.PR, lac 9 quadraci : cup quadracum eft dimidium quadraci LP. 
Curnq; AreaDodecagoniconftecTriangulis i2,qualiumeftunum 
LAC, inrectangulo veroLHPD Effabiliconcineacureorum quacuor, 
id eft Triens Areas cocius; ergo & coca area Effabilis eft, quancam fcil. 

creac 



Demonstratione. Lib:1. 27 

ereat du&a H O in LP cer; Efl igicur Area Dodransde quadratc dia- 
mecri , feu Medium Arichmecicum incer Tecragonum circulo circum- 
fcripcum, & Tecragonumeidem infcripcum > ficuc Arca O&anguli eft 
incer eos Msdium Geomecricum. 



XL. Propofitio. 



I^ Igura Regularis vigintiquatuor laterum , &: om- 

r- nes ab ea, duplicaco concinue numero lacerum,Geomecricas qui * 
deminfcripcioneshabenc , fcd laceramfcienciaevagacurlongius, in 
gradus remociores ijs qui prius func pofici : uc & ftellarum ejus feu fub- 
tenfarum j. 7. \i. vicefimis quarcis. ~ 

Probatur irtprius Prop. XXXV II. de fedecanguhi hoc tamen difcrimintj> % 
qusd jamhic latus flelU Dodecagonica. ejus^ dimidium ,Junt Binomines prima^ 
quarerethngulum fub dimidia & fubdtametro , irtEffabiU, nondumpt novtC 
Jpeciei , quiapotens illa m per s 4,eft iterum Binominis. &At jam hoc reBzngu- 
lum ablatum ab Effabili fubtota zf> dimidiaDiametro , relinquit novi quid » 
cujus haBenus non fkEh cfi mentio , $ ignobilius , quippe magis compojitum i £5* 
hocfit potentia Itteris 2 4 anguli. 

Idmultb magis vsrum de pluriangulis figuris hujus ClaJJIsitrt quadragin- 
tocianguli, nonagintafexanguli, t$c. 

**"* Subtenfa quinque viccfmis quartis cir- 
culi patefit , bifedioncj arcus ifts quofunt 
quinque duodecim& : potentia illius ablata^ £ ■■ 
potentiajt diametri,relinquit potentiams> fiib- 
tenfk feptemvicefimis qmrtis : (icpotentitt* 
l.iteris ftu fitbtenfk uni vicefimx quarta , ftr- 
mat, eadem methodo potentiam fubtenfx un- . 
decim tulibuspartibus. Simt igitur emnes ix 
graduremotioTh 




XLI. Propofitio. 



t Atcra Decagoni & ftellas decagonica?,feU fubtcn- 

-■ fa cribus decimis partibusCirculi.defcriptionemhabent Geo" 
metricam exangulis , infcriptionemque incirculum i funtque fcibi- 
lia, feorfimquidemfingulaGraduo&avofciencias, jun&avero, gra- 
du quinto ; & cum femidiamctro jun&a , gradu quarto. 

. SitDecagonus BCDEFGHIKL,tfJleUae)usBEHLDGKCFIB.QiT* 
ergbjint angulidecenu> , ftguret planunu> erit compofitunLs ex decenLstrian* 
gulis coeuntibus in centro A , quale unum eji FA G. Diftributd igitur qua- 
tmr reciorumftsmmd,qua ejlcirca unum Afunclum t in decem iSorum triarigu- 

d s lorum 





28 De Figurarum HarmoN! 

lorum veriices,vemuifi»guiu 4±decimit vel z.quintx unius recli.Atqui (um'm% 

irium angulorum bujus trianguii ,ejl 10 quiniJt 
ideji z. Kecli ; hinc igitur ablato verticali ad A 
2. quintu,retinquitur duobut adbafim 8. quin- 
i<e : & cumfint xquales ijingulis igr 4. quintx 
Jta quilibet adbttjindriplus ejl anguli adverti- 
cenLs» Hoc eji Vinculum demonfirationis fi- 
quentis. 

Seclo enim dnguto AFG in duasparies teqUa- 
les ,per FO tineam, per 9. primi Euclidis ; erunt 
AFO ,OFG inter ft aquates , & quitibei z. 
quintx Retli; uterque igitur ipfiFAO tequalis, 
Quarepcr sjexti EuclidU, vt jf a j FG,fic AO ad OG. 

Quja verb OFGefi l.quint*,crai verb OGF 
(nempe AGF) 4. quintteerit, igitur fif FOG 4, 
quintae. Angulis igitur adO^ G tcqualibus, la. 
iera quoque FG, FO tequaliafubtenduntut, 
Eodem modo $ in triangulo AOF,quia AFO 
A. - , \ML - - ■ ^l eflz. quintdc, quantm erat & FAO :ergb (f AO 
yFO(hoceflFGtatus)aqualeterunt. Vt 
qjerb AFadFG,fic AOadOG,vt)amdembnftratum ; ergb eiiawut AG ad AO 
partem ,fichnecadOG refiduunLa.Secaiur igitur Qriss AGin proportibna/iter. 
Jgiturper 5. Tredecimi Euclid: O A velOF, Cohtinuata ih 1, i?t 01 fit xqualis 
toti AG, etiam FlfiUu eft proportiohatit er in 0, & connexis Alfignis, erit AIO 
triangulum congruuminitiaUF AG , eo%OA Iduplus ipfius FAO ,£$ FAI 
if.quinttt.Quate centro A,intervaUo AGfcripto circulo rGlgrit FG laius deca- 
toni , parsmajor femidiam&tri AG proportionaliterftcjte t &FI tatusftetiajeu 
fubtenfa tribus decimis ,compofitit ex FO £5? 01, tatete aecagoni zffimidiametro. 
Ob hanc caufam h<ec latera,junciafimidiamctro ,pofiunt accenfiri gradui 
tjuarto , per XXVI. hujus. 

Cum% AGfiEhfit Effabilis longitudine,^ laiusdecagonipars ejus major ; 
latusJieHa, compofi&t ex tota ^ partemajoreiqiiareper XXV II. hujus,iliude1t 
Apotome , hoc^Binominis , utrum<% quartajpeciei 1 hoc rejpeclujurii ihgradujci- 
€ntUoEhvo t proKimepoftIatusDodecagoni^ftelittfua,plane^ iu eodemor- 
dine cum Iatere OBogoni ^fieUeefui. 

Etper XXlIXhujus, etiam refidua OG, eo% etidm ejus dimidia NG efl A- 
potomaprima) fpeciei. Sedcave putes,Nomina ejus efie,Majus AG, minus AN. 

Denifyper eandem XXViL hujus , latera GF, velOF^ FL non cumfi- 
midiametro yfdficum ipfajunbTa , quia ^fiimmamquadfatorum,^ commu- 
neRecTsingutumhabent Effabilia,Junt in gradu (cientis. quinto . 

Qompofita igiturjatus Demgoni cum iaterefivifieli&,Jaciunteffabilempfr> 
tentia Jola,potentem quinque quartas, depoUntiafemidiametri,qute infchema- 
tepnecedentiex Pr.XXVlLefl PXicdmpofitn exPA (*quaji ipfiOA,) 'd AX: 
inter quas efl mediaproportiondtis GA effabilisi 

ViciJTim abflractum Decagbhi iatus OFa latereftett* Flifelwquit Effit^ 
tttemOI iJc.jemidiaptetTHm Ifaper itk nihitfit ngvi, 

xtii 



DemOnstratione. Lib. I* 2$ 
XLU. Propofitio. 

LAtera Pdntagoni &C Stellat Pentagonicas, feu fub- 
cenfa duabusquintis partibus Circuli ) defcnpnonem habent Ge- 
bmetricarhexangulis, funtque fcibilia, fingulao&avogradujjuncta, 
tam fextd qdam quartogradu fcientise. 

Defcfiptio extra circulum eji iAlts-.fiiatus futurum detuf /ongitudine , fe- 
cabimm iiludproportionaiitef,per i i fecundi-vel jofexti Euc/idis,ei% adjunge- 
mm partempfiioriis mdjorem: & ' fkliisduob 9 cruribm, compofitte xquaiibmfin- v t h!c fcB '; 
gu/isxx propofita T)erb,fkc~ia c Bafi i iriangulumfMtuemm y Pentagoni intimum. ?h wf s *' 
Cum enim crm compojitum conflat ex tbtapropofitd; ejust^ parte mdiofifeciionis 
divinx ; esiam compofithficeftt feSfa , ejm%pars m^ajor erit laius pnpdfitUm,eo^ 
i£ Trian^uii hujus arigulm ad bafiri ; auplus erit ejus ad verticem , irtfupra ins 
Decagono: ctiifitpet 'duobm diBis cttiribmvt Bafibm , adjickmus duo triangu- f u p er C FB& 
ia exteriofa , quortlm crurafint xqtlalidpropofito /atefi. BKH fupei 

Irifcfiptio in circulumfuci/ima ejiper tdtus Decagoni. Cum enim de decem Bt *' 
femisfit qtiirique , duorum igiiur Decagorii laterttm , FG , GH , contiguorum iri. 
G,terminosF. H. conricSiemus Jinea^FHerit latm Penupiini ,fic '0. HK: tf 
coririexis F,K.tefmiriis,/inea FK erit /diusfklU;Sit igitur PenUgon 9 BDFHK^ 
tfjlel/a ejus BFKDH&. 

Demonfirat igitur Euc/ides Prop. io. TredeCimi qu' dFHlatm PenUgoni 
pn/Jitlaterd FAHexagoni,£§ FG Decagoni,hocefi femidtametrum AG,vtJeci<z 
Majofempafiem <iAQfimu/. ti&c demorijiraiiu in EucLde dtfficulmtem habsi 
saptus, teritnbo igiiuf hicfhci/iofemji. 

oAiermiriis iatens Pentdgonici B. D.ducanturpef A ceritrumfectdBGi 
k§ DI: tfviD^B (ttbteridit du.ts decimds, ,ficpro~ 
stima DL tfes , ff> DKquatuor fubtehdatyfecari- 
tes ^BGiri S.R-punEiis. lgiiur LDIangu/usJdefi J^y^ 

SDAhabeS duas quintas unius ReBi,\quia Lleji f/.--' 

unaquintdparscirculificut^ FHiiverbaqua- J m=£t? "7 " j^V " i^pffi * PoneO ubi 
libusarcubus,an^uiiadcircumferentiamirififiuni j \^v>^' < "^/^'^/ 1 DH ' FKSe 
*quaies,perXXIveiXXyiI.TefiuEud. EJl \V l^^Xjfi JS ftSE 
"jsrbDAB) id efi DA S quaiuor quint&uriiuire- \\fy / 

Hi , quia DB pars quinta eji circuti , menfufantis tr^~ 

quatuorreBoscirca A.Juribiiigitur SAD\AD S "~W 

funtfex quiritx uniusrefii. <LAi omries tfes funi 

decem quintx, Efgb eiiam fefidum DSAefl quaiuof quintte. EJl igitur DSA 
aqualis ipfiDAS, latuS igitur DStequale efi lateri D^Afemidiametro. Erga 
per priora ^femidiametri DAproportionaliterJetltepafs major tzquat SA, efi igr 
SA xqualis lateri Decagorii,per dilTa.Et D Aeji JemididmeterJatusfcJHexagQ* 
nl Dico latm Pentagom D^B; pofie utfama^ & SA, ff AD. 

Qon nexo enim KctimS & cumA, Iquid DA, AK funt xquales , (f DS, 
Si lijfilem Aquaies , erunt £5? ' paries SR^ RoA aquales, e? DRB retlus efi.Ergi 
LfB,poteflDR,RB. QAiquiDRmiriuspoteJi 3 quamD<LA ', quantitatepo- 
fntia R<lA,d'BRminmpoteflqudmBAqudntitateifrec~ianguIi,Jub <r B% it 
c B^Ahis % tfpotentiteipfiusRkjunfforum-i. 3unftttigiturpotentUDR,RB> 

d i ffliwm 



50 De FlGURARUM HARMOtf. 

minoresfunt junclis potentijsDA, AB, reclangulofubRA,ABbis ,hoccfl ,re» 
Bangulofub SA, ABfimel. ^Atqui duo reclangu/afub SA, AB, & fub SB, BA 
conftituunt totum quadratum BA. dAb/ato ergb reciangulofub SA , /tB ,re* 
linquitur quadratumipfius DA, & reclangulumfub SB , BA ,junlhcj ; ttquan- 
tur quadrato DB. Cum verb BAfmidiameterftproportionaiiterfeda in S, 
£=f pars major AS: reBangulum igitur SB , BAefl ctqua/e quadtato S A. ■ Ergh 
latus Pentagonipotefl duo quadrata D A & ' AS; laterumjcilicet Hexagoni £•? 
Decagoni. ■ 

^fuodattinet fleUctPentngonicx, /atus B F : iRud efl compofitumex, BD, 
•velB Qjatere Pentngoni , Z$ ex QF ', ejus fecli proportionaliter parte majori : 
per g, ^redecimi : quod idem eiiam probaripotefl ex triangu/o quinquangu/ari 
FBH,tJtfupraj. 

Citm igitur latus Pentagompoffit fmidiametrum qu<t efl Effabilis longi- 
tudincj, , £=f ejusfici<e proportiona/iter partcm Majorem, %rt infchemate pr<t* 
mifo femicirculari, PGpotefl PA, d AG ,& vt PAefl adAG , Jic/it PG /atus 
Pentzgomad latusjux fte//<e: Jit verb vt PA ad AG , fic PG adGX. Ergb GX 
efli/ludlatusflell<t ,poteflque$ GAfemidiametrum Circu/i circaflguram De-* 
cangu/am , if AXcompofitnm ex PA i$ AG, Quare per ibi demonflrata GX 
efl Mizon , GPElafon. Singu/<t igitur funt in ocl avo gradu fcientitt , ejusque 
ficundo ordinc_*. Qui& verbjuncitt linett PG , GXfhciunt quadratorumfum~ 
mam Effabi/em ,fi. <tqualemquadrato PX , quodefl ipfiusGA Effabilis qua- 
drati quintup/um \:] e<zdem% PG , GXrefhngulumfisrmant Mefon ; hoc nomine 
junt~i<e PG , GX fitnt in gradu fcientitt fexto , dequoeflXVin t pr<emifas. De- 
ni% quia latus PenUgoni & /atusfte/ltefunt "Jt fefiionis divin<e pars major i_f 
tota ; ideb funt etiam ingradufcienti<e quarto ,junB<e invicems : vide XXIX. 
hujus. Qonfiquitur autem hasproprietntes , vtficut Pentngoni iatus eft ElafZ 
fon, Stell<e Mizon , Jic etiam compofitaex utro^Jit iterum Miz,ons , £$ /atus 
Pentagonifit hujus compofittt %rt Mizonis , e/ementum minus ; Latus verbflelldt 
Jit illius E/ementum majus ; & zrt etiamdifferentia inter utrumcjg latu/Jit ali* 
qua E/afon ,fci/icet DQye/QF. per eandem XXIX* hufm. 



XLIH. Propofitio. 

PLanaDecagoni & Pcntagoni, cachmtinGradu* 
fciencizeremocioresjuc&lacusleofigoni , & reliquahujus claf- 



fisfigurarum 




TStam latus PentztgomFH , duclum in AH 

flicit dup/um FAHquintttpartis Are<e Pentngo* 

nktt. Efl verb FH E/afon , & ANefl Uiis, qu<€ 

potefl Effabile AF , diminutumpotentia Elafo- 

, nis FN. Si autem quod eft ab Elafone , auftra- 

tur abeo ,quodeft abEffabi/i , re/inquitur nova 

Jpecies /ine<e , quttpoteft tule rejiduum-?. Ketian- 

gu/i verb contentifub tali linea nova tffubElaf 

jbne_> , Jpecies adhuc remotior erit ,• areaverb 

ftntngoni erit ei commenfurabiiis , Jcihcet njt 

f.a4 



Demonstratione. Lib. |. 51 

mtinque ad duas , quare zff ipja eritfpeciei adeb remot<t t Sic latus Decagoni 
FG , duBum injuam Perpendicu/arem ex centro ,fhcit dup/um FAG partis de- 
eim<t de Plano Decagonico , id eji unam quintanu,. EJi verb FG Apotome quar- 
ta i tf perpendicu/aris ex centro in illam ,poteJi ejus quarta parte minus quant» 
femidiamater. Atjiquodeftab Apotoma,auferatur abeo , quodefl ab Effabili > 
linea qu.t refiJuum potefi,fit nov.t (peciei, ultra recenjitas-, & Jiizilis linea cunu> 
Apotoma fhciat retlzingu/um, illud erit fjieciei adhuc remotioris ,tf cum eo etiam 
qttintup/umejus , fc. Area Decagoni. 

Deniqu; czimjemilatus Decagonijit Apotome quarta i potentiaverb dpo* 
tomes extenfa fecuaium Diarnztrum , (Effabilem longitudine ) fhciat /atitudi- 
■nzm , Apotomen primim, fcdic "Jt fagittam decim<t partis Circu/i : Latus certe 
lcofigonipotefi =j Jsrtii/atmDecagoni , Apot me ■> quartam , $ hancfagittam, 
ADotomen primantj,, Planum vero combojitum ex Apotomis diverjarum JJ>e- 
cierum , eo^ incommenjitrabi/ibus , poterit nulla Hnea prius recenjitarum i Jed 
4/iqm p/ane novx ffeciei : eotf s £y ignobilioris. 

fffuintb magis idobtinebitin Tefaracontztgono £? c<tteris hujusclajfis ? 

XLIV. Propofitio. 

p EnteK£decagoni,ejufquefteHariim latera , puta 

-*■ fabtenfie duabus , vel quacuor , vel fepcem quindecimis , Geome- 

tricamquidemdefcripuonemh.ibenc,fed nonexcracirculum ; &ih 

circuloquoque non ex angulis, eoqueimpropriam, &fcienciamhe- 

ccrogeneam,gradusremouoris, quamomniaancecedencia. Triacon- 

tagonus&reliquxhujnsclaffis funcadhucremociores. 

Defcribitur enim ex feprioribusfiguris, quas oportet habere numerum late- 

rum alium quam (itbdup/um , qitia 1 5. efi impar , non habens partem dimidiam-» 

numeric.im 1 fci/icA ex Triqono ^BCD $ Pentzt- 

gom TllFHK, ab eodem ^Bpunilo inceptis. Nam fi 

Jt 'tert tam^BC 'auferas a duabus qu:ntis <7 B IV ', id ///i\\\ 

n h • ■ « 1 • • Jf jr ' • » >v \ 

ejt f .decimxsquintas a § decimisquwtis ,manet // / \ \ n\ 

CF, 1 decimaquinta. Connexis ergb C F. an- IC / \ \ /p" 

gu/is ,/ineaCFerit/atus. HicadaBumdefirip- h[\/ j^ \J I 

tionis non accerfo qvantitatem anguli,aut nume- VXi/ '& «» /'</» 

ruw Angu/orumfigurct propofittz ; nec fecundum \A^ ; m // 

hunc numerumfbrmo aliquodtriangulum , xrtin E^ZZJ"^"'» 

figuris fuperioribusfhclum_s. At necpoteji a/iter 

d-icribi . Ergb etiam fcientia ejus efi remotu £=f vi/is. (fum enim latus Pentngoni 

FH ,Jit /ateri Trigonico CD parallelum ,proptereaqubdutraquefiguraimpari- 

latera ab eodem Bpuncio efl inceptzt, : ducatur igitur ex F. perpendicularis in L > 

ff ex B, diameter iet centrum A,fecans /ineas in E. N. G, Ergb latus CF po- 

teflquantumtf CL, & FLjuncla ;fed CLeJi excefius ipjius CE Efabilis Po- 

tentia , fitper FN , hoceflfuper LE , E/afona : efl igitur CL Jpecieip/ane No- 

vt. IJicifimANefHinea qu<tpoteJirefiduumde EJfabili plano , cumabeopt- 

qrit ablatumplanum Elafonis : ejfi igitur nov<tJj>.xiei. SedENefi rejiduum hu- 

jusno- 



3* De Figurarum Harmon:. 

jus novx, pofi ablatatn Effa bilem longitudine AE. EJi igitur EN b is rrmotkri 
gradu. Dcni/fc CFlatus Pentektedecagonipoteji CL,£$ LEnovasfyecie*-, ejl igr 
iUicbis, hic ter, ^Jicquinquies remotius. Pr<xtereacj ; componuntttr diverjarnm- 
ClaJJium, Trigonicx d> Pentngonic<z,proprietates inunum,eji igitur fcieniiahe- 
terogenea. ^u/djam de Triaconfagoni latere Jentiendum ? cumfempcr tiuge- 
atur gradus remotionis , cumipja duplicatione laterum prioris. 

(lAtJubtenfaJeptem quindecimis ,hoceJl 14 Tricefimis ,utitur laiere Tria- 

contitgonico , efi igitur eopoflerius. Subtenja vero 7 Tricefimis ejiab illa, per bi- 

Jec7ione;eadem%gignit fubtenfam 8 Tricejimis, ideji 4 quindecimis,a quJeJic- 

tiamfubtenja z quindecimis, per bifetlionem^. ^uanq/tam h&c habet ortum c- 

M repone tiam alium; 'verbi causa, fitbtenfa MF,quadratum habet cornpofitum ex quadra- 

wedio loco f QF lateris Pentek<edecagonici , (f ret~b,ngulo Jub eodem CF cf Fl laters Pen- 

1BCer ' tagonico.ljtrofymodo pojlerior ejl fuperioribus Jiguris, 

XLV. Propofitio. 

HEptagonus §£ figime ab eo omnes,quas numerum 
laterura ex Primis (fic di&is) unum habenc, earumque fterla^ to- 
txque adeo claffesab ijs derivacar.extra circulum defcripcione Goome- 
trica carenc : in circulo, ecfi lacerum quancicas eft neceflaria , iliarfi ca- 
men ignorari seque necefle eft, 

CMagna res agitur,perhuncenimeffec~iumfietit,quo minus Heptagonus t 
^ if ccttera hujus generis figurx, a Deo fiterint adhi- 

^^ bitte adornatum Mundi , vtjunt quidem adhibita 

V~^? Jcibiles figura in fuperioribus explicatcz. 
'/C \\ Sit igitur Heptagonus BCDEFGH , tf con- 

>\\\ I neElantur anguli omnes cum omnibus, tfjit ji cen- 
\ — 3?T* trum circuli, Z§ Diamoter BAP , ii lAconneHx- 
y(y/J turcumE, 

^kj^ Primum igitur talesfigune impropriamjuprii 

dilhmdemonJirationemnuUamnancifcuntur: ejl 

enimearumnumerus laterumii angfJorum 5 ex 

Trimis unus : atnuUa bigafigurarum pr<tmij?arum , totum circulum dividit in. 

partes Numero-aliquo Primonumerabiles:Jed(ortiunturiU& Numerum Multi*. 

plicem Numerorums utrius^figurx. 

Sed necLpropriam habent hujusmodifigur<t demonfirationem ex angule- 
vum numero : quiaquicquidex hoc elicitur, idvagum £5f multiplex minimeque 
determinatum eji. 

Secetur enim HepUgonus infita triangula quin^, duo extrema <equicrur<t 
Ohtufangula BDC, BGH, unum intimum czquicrurum AcutangulumBEF , if 
duo Scalena interjetla BED, BFG. Cum igitur circumferentia,fuper quafinnt 
erura anguli,ad circtimfireritictpartem oppoJttamJacli,admetiatur angulojuant 
cjuantitntem , angulus BEFJhtJuper tribus circumfirentix partibus,BH,HG a 
GF: angulus B F E fimiliter Jitper tribus, BC,CD, DEs at EBFJuperuna £F» 
ErgbBEFefitstletridngulum , quodhabet utrumt^arigulum adbafin triplum 
ejus qui ad verticenu* Eodem modo probatur Scakmm BED haberc angulos 

inpro* 



Demonstratione Lib.L 35 

mproportione continul dup/a. t Simp/um enim efi , angulut *B , dup/um E , qua~ 
druplum D.hocefl ipfim EduplunL». 

Quod fihaecfiguradefcriptionem fuamcertamhabetexcra circu- 
ium,nonminusquamhabebacfupraquinquangulum , oporcec, (uc 
jamolimmonueruncCampanus&HieronymusCardanus,&Candal- 
h Fluffas) ance omnia calia criangula dari poffe, ficut ancc Pcncagonum 
dabacurcriangulum,cujusuterqueadbafineratduplusanguh ad ver- 
cicem. Acqui dabatur nobis in illo Triangulo Pencagonico , laterum 
proporciocercaexangulis: inhocHeptagonicocriangulo, certa pro- 
porcionulladatur. Sintenim I.Kfigna,quibusBFfecacurabEH,EG, 
tr ifecancibus angulum BEF.Igicur in FEI ,quia bife&us cft angulus FF Ij 
ucicncurineoFEadEI,ficFKadKI. SedEFaquarurcociFI. Eftenim 
F£I parcium 4 fepcimarum unius ret\i, qualium EFIefttf (epcimarumj 
ergo EIF eft eciam 4. fepcimarum. Crura igicur F E> FI, ajqualibus an- 
gulis oppofica , func jequalia.Eademque de eaufaeciam £!,& IB func a> 
quales s quare eciam uc FI ad IB , fic FK ad K I. Amplius, in KEB>quia 
angulusKEBbifefftuseftperEIH,? ucigicur KE adEB;ficKI adlB. 
Acke&fe funcaequales, quiaKEFaequicrurum&fimileipfiEBF,erat 
yero e f aequalis ipfi 1 f , & e b eft aequalis ipfis f B ; quare etiam uc 1 f ad 
fb fic ki ad ( iB. Ineademigitur b f flibtensatribusfepdmiscirculi» 
dua: funt invencae propor ciones, parcium trium: primum ut media k i » 
adminimaniKF ,ficmaximajR adiFcoropofitamexucraqueminore, 
hoc eft ad fe lacus feptanguii : icerum uc maxima ib ad mediam 1 k r fie 
tocaBF adFicompoficamexg.minimis, Haecproporcio fpecrem quU fcatdanjjp- 
dem prae fe fer cnecefTaria: decerminationis ad cercam & unam propor- ^Tq J^ 
tionem ipfius ef ad fb i impofuicque Cardano , qui-cum cale quid in 1&* RefleM. 
teribus Scaleni crianguli ded anhnadvercifTet , quod Proportionerrt 
Reftexam appeLI avic , de invento feptanguli lacere fruftra glbriacns eft» 
Nam nulla cerca fbquicur quancitas , ipfius e f vel 1 f > quia id quod pu« 
tamus nos nancifci novum in feeunda vice , coincidtc cum primo.Quo* 
tiefainqueenimfunc^. Proporcionales,in quibusduaepnmaeaequant 
terciam : fic eciam , uc ficuc prima eft ad ter ciam , f ecunda ad quarcam » 
fc fic & terciaad compoficam ex cercia & quarta, qti* compofica fic nu- 
tnero quinca. Horum vero Cafuum funt mfiniti, cam in cerminis 
eommenfurabilibus , quam in incommenfurabilibus. Et hominacim 
eommenfurabilium cerminorum cafus tocidemfunc, qUotproporti* 
ones fuperparciculares >feilket quor quadrati Numeri iropares. 



*BF. 9. Bh «• 


1& i. KF. u 


vel aj. j/. 


6. 4. 


vei 49» *>$* 


n< & 


vei $1. 4^. 


20J 16% 


**/ 121. 66. 


?o. tl 



Wisfuotfuperpar- 49. t 35. 10. 4. 

tientet ve/ 64- 40 lfc *«. & c » 



Naco 




54 JOfe Figurarum Harmon: 

Nartiutif. ad9»fic40. ad24>compoficumex 15 5c 9. Ecuc^o. adi5,fiff 
$4 (conftans ex 40. 15. &9)ad24.compoficumex i^.&p. 

Ecce comrtiunem affeclionem mulcarum proporcionum, qua? co- 
ftitucum quidem feptangulum neceflario confequicur > fed ex qua fola 
data, criangulumfepcangulareftruineg.c. Caufacurin Pencagonopro- 
porcio laceris cerca pendeacex anguks,eciam excracirculum >■ m Hep- 
tagono & reliquis caiibus non icem ; facile ex dictis pacec, In Pencago- 

nicocrianguloBFKper bife&ionem BKF an- 

guliftacimvenicurad aequicrura BKT & KTF 

duoejuselemenca, fequicurq; aequaleseorum 

^r: angulosBFK,BKT,a:qualii:aslacerum BK,KT, 

TF; at in Hepcagonieo , per crifectionem angu- 

inSthcm. \\ yN^l^f-'-/ L li,triafiunccriangulielemencajduo jcquicrura 

&i>*. y\ / y^i\J\ I / criangulaBEI,KEF,& unum fcalenon IEK;ne- 

que fequicur in eo proportionem angulorum, 
proportiolaterum,ut nocum eft in Geome- 
tria. Cum igitur anguli hujus figura: non doce- 
antquicquamulceriusexcracirculum > non flruiturigiturcriangulum 
requificum excracirculum. Noneftigiturhxcfiguraincirculumin- 
(cripcilis, per aliquid fe priusinfcienciaveldefcripcione» fedipsade- 
mum infcripcione qualieunq; , vaga iftaproporcio cogieur ad unici ca* 
£us anguftias, &ficprincipium pecicurmcn. id poffic inVeniri,per quod 
perficicur infcripcio , jubemur adhibere ipfam infcripcionem , quafi 
jjam aricea poftlbilern. 

LatetigiturproportioJLaterisEFadlatusfteliaEFB, Iacet inquara 
in maceria quancicaciva, fic uc causa quidem principij quantitatum ma- 
terialis, quod eft, magnitudo iridecerminata , poffibile fane fit , confti- 
tuere latus fepcanguli in jufta proportione ad circUli diametrum : 
cum detur aliqUid, feptanguli lacere cerco majus, aliquid minus, in ipfb 
Circulo:& ampiiUs>fe&ione ininfinicumprogredience,femper aliquid 
majuslacereEF, veleominusaliquiddaripoceft." accausaejus, quod 
eft in quancitatibus formaie , fimplicicer eft impoffibile , quiafigura 
fepcaftguli & fimilium,medrj$ omnibUs>Guibus aliqua lateris cercapro- 
porciodefriOnftrecUf inveniatUrve - t &ficformacionefeudecermiiaa- 
sioneriofcibiliperiituscaret. Quodcumitafic , quare neque flgura 
14. angulorum in circulum, cujus femidiamecervfic AP infcribi poceft » 
lacere EP>neque ejus duo lacera coUcigua una redta. EF fubcedi poffunc, 
quee fit latus Hepcagoni in illo circulo : neque lacuslhoe eum dianaetro 
eompararipocenc , cumficNacurafuacomparacionisignocasadDis-. 
trietrum. 

IcaquenulIumunquamRcgulare Sepcangulum a quoquamcon- 
ftrucVurri eft * (cience &volerice, &expfopofico agence ; nec con- 
ftruipoteftexpropofico: fedbeneforcuicdconftruipoffec; &camea 
ignorarinecefleeft> ficntfconftrutturriannari, 
, Objiciac hicmihi aliquis doctrinam Arialyticara , ab Arabe 

l j« m Qebri denominacam Algebram > Icalico vocabulo Coflam .• viden- 
«ur enira ia ea decerminari p©& <M»,nis gsmm Polygonorum 

(' lao&ra 



Demonstratione LlB.l. 55 

lacera. VerbicausainSepCanguIoficprocedicJuftusByrgius,Meeha~ Cofra B „ 
nicus Cajfar is 8c Landgravij Haflix,qui in hoc generc ingeniofiffima & gij. 
inopinabil ia mulca eft com mencus. Primd ille diamccro circuli B p nu- * n f~cm~ 
merum 2. affignac, uc AB ficunicas cocalis, qua inparces infinica fedtio- £&<». 
nedivisa,perillaslongicudolacerisBCenumerecur. Deinde ponic, 
nocam efle proporcionem ipfius AB ad BC , quae camefi proporcio de- 
nmm qiuvricur. In hacproporcione concinuicacem fingic, uc fieuc eft 

AB 1 . ad BC 1 jy , fic fic 1 1^ ad j j , & 1 j ad 1 c^ , & j c^ ad 1 jj , & i jj ad 1 jcf 
&ficperpecu6,quodnoscommodiusfignabimus perapices fic,i. ij. 
I ij. I tij. 1 iiij. iv.ivj.i vif. &c 

Hifce fic pofttis confideratur primb quadrangulum BEDC, (fum igitur 
demonflratumfit a Ptolemxo , (ffopernico , Regiomontnno, Pitijco , EJ 3 ceteris qui 
de docirinafinuum firipferunt ; cjubdin qu.tdrangulo circuli quocun^, reb~b,ngu- 
lum unum Dia qpniorum CE, DB , aquet junBn duo reciangula oppoptorum ia*- 
terum ,fcihcot,quod (ub DC r S EB , $ quodfubCB^ DE: l^urfumfycartLs 
jit certum ex Geometria , CO dimidiam fubtenfe CH, £? cr Bfagittam,juncik f e °" onenj 
mtentijs^&quarepoient.amlalerisC^B,. nuuuam 

Sa igitur BP z.CB ij, quadrm 1 ij, quoddivideper BP,prodibit BO. lif di- CH & Bpi 
•vifumper 4,quadr?a 1 iiij dhnfumper 4,quodaufcr a q$o CB 1 ij,rejfat 4tj—iiiij 
divifumper 2 , quadratum CO. C um- autem CHfit ipfius CO Uupla , erit qua- 
dratu-n ipfius CH 16 ij — 4 iiij divifumper 4. idefi 4 ij — / iiij. 

Cum ergo babeatur qdm CH vei BD ,idefi ,reLTangulum fiib BD £5? CE\ 
W^ltiplica C^B in DE , iitfit reciangulumfub ijs 1 if,quod aufbr a re&angulo fuh 
BD, CE4 ij — 1 iiij, refiat recianguiumfitb CD, ^BE^ y — 1 iiijsidin ij dtvide, 
fc, in CD ,\prodibitBEsj — I Hj. 

Pergimus ulterius ad Quadrangitlum DBHE. Et quia BEefi 3]-- 1 Hj,e- 
fit reEhngulumfub BE,D H, idefl,quadratum a BE, pij—tf iiij -+_/ vj: aufbr re- 
Oiangulum fub BH, DE 1 prefiabit reiianguiumfub BD,EH S ij—6 iiijfcf 1 vj. 
q T toddividepcr EH, 3J--1 iij,prodibit BD S ij—6 Hij -t-/ vj, divifumf 3J--1HJ: 
efquadratum 64 iiij—^G vj -±f2 viij—12 x -+jxij,divifumt^if-~6iiif- ~+wf ) 
quodpriuserat 4ij—l iiij: inhocduciUiusdenominatorem,t$ ' xquabuniuf 

3Giiij~23 vj -^10 viij—i x,cumd4iiij~^6vj -±./2 viij--12X -t-ixij 
Ergoetiam 63 vj -+nx cumzSiii) -t- 42viij -s. ixij 
Ergbetiam 63 ij ~+ // x cum %$ iiij -+42 viij -ki xij. Hicaquatio 
prodit quantiiatem lateris Hepta^onici. 

Vel pergimus ulterius a4D^,EG i Efln.quadrmDG,EB9ij--6iiij ^wj. 
Jt qtm DB, EG efi 4^—1 iiij, aufer hoc ah illo , erit refiangulum fub DE, ^BG 
fij—iiiij -+ ivj ,qtioddiviae inDE ij,crit BG,<;j~}iij -+iv,cuji*squadra* 
tum Zfij—jo iiij -+■ 3? vj—10 viij -*■ 1 x,quodprius erat 41J—1 iiij 
<sAtquantur igitur 49 iiij -+ 10 viij cum 21 ij -+3fvj -+ix 

Ergbetiam 49 ij -^iovj sum 21 -+3piij-+i'viiji 

Hicicerum acquacio prodic quantitacerhkceris Heptagdnici : fed Byi% 
gius oculos avercic ab incegricace circuli, eumq; confiderac rancummd» 
do uc arcum dividendum in 7-Cum igr fubcenfa parcib 9 2. habeacur hoc 
proceffu coflicejquaeric jam fubcenfam parcib^eamqjinvenic (eadcrti 
methodo quafupra)qudd ficRadix dei6ij-2oiiij -*-$vj~ iviij. Jamq ; ha<3 

# Z «cicuf 



56 De Figurarum Harmon: 

Diagonaliinnovoquadrilatero,cujuslatera fint,fubtenf<e tnbus par- 
cibus, eoq; earum Rectangulum 9 i/—6 iiij -+ 1 vj, quod ablatum a R-t &- 
angulo 16 ij— 20 iiij *■•- 8 vj— 1 viij, relinquit reliquorum laterum reftan- 
gulum 7 ij — 14 iiif -+7 vj-'- If/^.Hac illefubtertsa utitur, comparans c- 
am,vel cumnumero,quocertiarcus feptifeeandifubtenfaenunciatur, 
vel cumfigura rtihili, fl totuscirculus >ut hic> eft feptifecandus: & tunc 
ilh velnumero , vel figurae nihili aeque valent quantitates ha; : 
7J— "14 iij -+ 7 v — i vij vel 7 -- 14 tj -+ 7 iiij — 1 vj. 
Prodic a. illi ex aequatione,quam juvat mechanice, valor radicis non 
nusjfed in Quinquangulo duo , in Septangulo tres,in Nonanguio 
quatuor,&ficeonfequenter;urtusenimvaloreftBC > alter BD> ter- 
tius B E. 

itt igi tur appareat, hoc genus inveftigandi Iatera flgurar, plane ui- 

hil communehabere cum Definitionibus noftris,Numero I»II»UI. prae- 
miuls/nOtabisprimOjquidprofiteaturhajccon^cafubteniaByrgij.^Ni- 
mirumhocillaprofitetur , fi conftituantur fcpcem mter fe continue 
proportionalesin ea proportione , quam habetlatus feptanguli ad fe- 
midiametrum circuli , qaarum propoftionalium prirna fit ipfum iept- 
anguli latus .* tunc feptem primas cum fcptem quintis , tantundem eiri- 
cere , duarttum quatuordecim tertias cum una feptima. 

Hoc enunciatum quidem eft Geometricum & demonftrabile , 
non minus quam in fuperiOribus, quando demonftratum i uit, planum 
Octanguliefle Mefon,autlatus Dodecagonieflealicujuslinea: Apoto- 
men. Illicenimdeplanoaucdelineaaliquidenunciabacur, hicdepro- 
portiorte linearum aliquid enunciatUf > 

Ac ficuc non fufficic mihi ad fcientiam & ad menfurationem plani, 
fcire illud efle Mefon, non ad lineaemenfuracionem , fcire quod illa fit 
alicujus Apotbme ♦ cum & multae fint hujufmodi , & defcriptio ex hac 
notitia geherali nulla , quantitas plani vel lineae nulla certa & determi- 
nata eruatur,fed confequantur cantummodo hae atTecliortes,antea con- 
ftitutas & defcriptas quantitaces : fieeciamhic, nOnfiifficitutfciam, 
quidfitfuturum/faclisfepcem continueproportionalibus in piopor- 
tione , quamdefidero : fed cumeam proportionem nondum habeam 
ulio geometrico atlu defcriptam : illud igitur expe&abam , ut qu ts me 
doceretprius illampropOrtionem conftituere» Sicenim in ommbus 
praemiflisfigurispraecedebacdefcriptio> infcriptio, determinano cer- 
tx quantitatis, certusque aclus Geometricus,quo perficeretur haecde- 
termiaatiOifequebaturdemumfcientiaproprietatumillarumjqujefa- 

eieban t ad compar ationem inter fe figurarum. 

Uc clarius appareac difcrimen Utriufq; rei > videamus Pefltflgoni- 
cumiacus, eujus defcribendi modus in fuperioribus hic erat, utconjun- 
ftis quadratisduobusjuno femidiametri, aicero ejus dimidiae parcis, in> 
formam quadracam , ab hujus quadrati latere auferremus dimidiam 
parcem fcmidiamecri,'Reliclaeiinea»quadratamrurfumcum quadrato 
femidiametr i compofitum in formam redigeremus quadratsum > hujus 
n.quadrati latus fore latUsPentagoni.Haec omnia erant facliii & poffibi- 
lia,&facilioraquamdiclujucftoruncquicifcmostfac^ajoc, Quidn. fa- 

cilius 




DeMONSTRATIONE. LlB* L 37 

cilius, quam reftum angulum G AM facere, & in ejus cruribus 0gtiare 

oc lubec AM,ejufque duplaffl AG, & po< 

ficopedecirciniuno in M , alceroirtG 

excenfo, fcribere circulum G P , conci- 

nuaca M A in P , deniq; G P circino coffl- 

prehendere,&inaliumcirculum,cujus 

GA femidiamecer> inferre l 

Ac vide nuncquid nobis de lacerePert- 
ca°x>nico dicac ColTa Byrgiana. Illamechodopriusdedu&a^pfodicnu* 
merum f i — 5 dj^-iv aequalem fubcenfae nullae ; id eft; fi qumque fiane 
ordine continuo proporcionales , quarum prima fic lacus Pencagoni ; 
proporcio yero fic Ula , quae eft laceris Pencagortici ad femidiamecrum, 
cunc quinque primascum una quinta, fore seqtiales quinque cercijs. 

Rurfum, uc in fepcangulo, non docec confticuere concinuam pro« 
porcionem , inqua hoc fiac, necexprimiclongitudirtemproporciona- 
lium per ance noca , fed docecea confhcuca, qua; fequacur afreclio. Ju- 
beorJgicurreprajfertcareaiFecliortem , foreertim, Uthabeam&pfo- 
pr>rcionem. Acquoi«odorepraefencaboafFe£tionem , quoa&uGeo- 
mecrico ? Nulloalioiddoceorfacere.quamufurpandoproporcio- 
nem , quam quasro; principium peticur: & mifef Calculacor, deft icucus 
omnibus Geomecnae praeHdijs>h«rens incer fpirieca Numerof um, fru- 
ftra coflam (uam refpedtac, Hoc unum eft dilcnmert incer Coflicas Sc 
incer Geomecricas decerminaeiortes, 

Alcerum eft , qucd coca haec racio Byrgiana ihnicicur effenciae qua- 
cicacis difcrecae feu numcrorum; & divi«hc diamecrum in parciculas cer* 
cas,quoties$cquamdm vuk, generaliterinparcesduas;cuinumero 
cocus proceffus innititur, mutareturque, fi nomen Diamecroahud, feu 
numerusaliusdaferur. Atnonfi:Geomecriafigurarum,fuperiuscra- 
dica , quae lacera , EfFabihalortgicudine , fignat fane Numeris ;at inefFa- 
bilia , nequaquam numens confe&acur , fed per fuas cercas fpecies di- 
ftribucaficenunci3C,ucappareat>nondedifGrecisjfeddeconcinuisqua-' 
cicacibus agi, de lineis &: iuperflciebuS. 

Tercio liadtenus & laceri Figurae, &laceriflella;cognominis,cui- 
que fua cerca erac defcripcio ; in hac Algebraica Analyfi , illud maximd 
mirum eft , ( quamvis Geomeeram praecipue abfterreac) > quod non u- 
na via praeihri poceft , quod imperatur. Quanquam id non omni le- 
ge folutum eft, fed, uc fupradicicaepcum, socfunt numerifacientesim- 
peracum , quoc func in figura fubcenfae feu Diagonij , loflgicudine difFe- 
rences,uc in quirtquanguloduo, infeptangulo cres > unus prolacere, 
reliqui pro fubcenfis angulo.Icaq; quicquid enunciatur tandem de prp- 
porcionefiguraepropria, id commune eft omnium ejiis linearum pro- 
porciortibus ad diamecrum» 

Quarto, pofico, quod una fbla proportio faciat ifflperatum; illarn 
nmennondoceorabfolvercfedfakemvenarieminus. Cumenim 
fpecies linearum causi fcienciae verferttur in genere InefFabilium (id eft 
non numerabilium , feu numeros refpuentium ) eoque nulla unquam 
mulcicudiaeconfummecurracio , quin femper aliquidinincercore- 

cj lin = 



i 

i% De Figurarum Harmon. 

iinquatur:haecc6ncra racio,uclbcofecundo'di£t,um,praecer numeros 
non affumic alia praefidia , fed diametrum variefemper dividic in mul- 
tas Myriadas Myriadumj uc exa&ior fiac'racio;acfic nunquam fit exact- 
iflima,- & brevicer: Hoc rtcin eft fcire rem ipfam, fed falcem aliquid pro- 
ximemajusvelminus > poceftque femperpofterioraliquiscomputa- 
tor approximare magis ; pervenireadpunclumiplum, nulliunquam 
dacur. Talia nimirurn func omnia , quaelatenc infolapoflibilitace ma- 
teriae quancicafcivas;rteque formacionerti habenc fcibilem, qua in actum 
quandoq;fcibilicatis hurriartae conftituancur, 

Quinco , utinfpededefepiangulo,figurisquehujusgeneriscon- 
fequencibus agamus , cum per eas ordine fuo Cefe confequences, pro- 
poitionaiJcasconcinHaexcendacurcUmipfonumerolaterLim : ergo fi 
maximeinnotefceretuItima,ucinfeptangulo,proportionalinmfep- 
tima jnon camen per eam haberi pofTent intermediae. Nam inter du- 
as, qus non habent proportiortem irt ter fe, quam duo numeri propor- 
tionalitatiscoritirtuaca;,uccubicai , furfolidae, &c:ricqueuntGeome- 
triceconflituicontirtueproportionales intermedia: quotcunque, ftd 
folum unavel tres vel feptem vel quindecim &c«duae ver6 vel quatuor 
quinq;, fex, o£lo, rtovem, &c. conftitui tuncnonpofluncin plano,-cum 
hic de planis figuris agamus. 

Jam vero inter femidiatrietrum i & fepcimamproportionalem 
i vij proporcionis fepcangulans, func mediae propor cion ales fex , & eft 
i adi^nonucnumerus, ad numerum proportionis continua; £que~ 
longae ,• non eft fcilicetproportiofemidiametri adlatus feptanguli fe- 
ciindum duos numeros , hoc eft , non EfFabilis eft, Nam freffet EfFabi- 
lis , caderet in fpecies prius explicatas, claflium priorum, & fepterri an- 
guli non efTent feptem, fed tres vel quatuor, quod contradittionem in - 
volvic. Ex angulis enim primarum figurarum eradacerum proporcio. 
Oporceret igitur uno a&u omrtes fex medias proportionales conftkiii, 
inter fcilicet i & i vtf. Viciffim fi daretur i vj quantitate; tunc iriter i. 
&/-y/quinquemediaecaderent. Quodfitunci ad ii^eflet utcubicu;» 
numerus, ad cubicum,tunc pnm6 conftitui poflent uno a&U i ij StyiitJ 
dcinde mter ifyif-i iiif* i i>j- tribus a&ibus tres mediae proportiOnales» 
Sin autem i v. darecur quancicace , rurfum omnes quacuor incermedias 
uno adlu confticui deberenc ; quod fieri non poffec, nifi in propor ciorte 
EfFabili, uc prius. Caecera fecundum haec fubincelligantur. 

Concludimusigicur, AnalyfesiftasCoflicas, alienasefTeapraefen; 

ti concemplatione ; nee ullum conftituere gradum fcientias , curti ijs 

comparabilem, qUos axplicavimUS in fuperioribus. 

U*t «e Illud autem obicer monendi funcMetaphyfici, occafione hujus ccf- 

WafpheniS fae;confiderenc , fi quid hinc cranfiumere poflint ad explicacionern illi^ 

tur ^omiui us Axiomacis, cum NonEntisnultadicunturefeconditiones , nullteproprie-. 

•offe cen utes. Nam hic qUidem verfamur nos in Entibus fciertcialibus; & pro- 

m^unvw* riunciamus re&e , quod latus Septanguli fit ex Noh Entikus ; puca f cien- 

Mathema . tialibus ; Cum enim fic impoflibilis ejus formalis defcripcio ; rteque i« 

«um pemif- gj cur fciri poceft a rneace humana , cum fcienciae poflibilicatern praece- 

aEft y3 ^ac d*fcriptionis poflibilitas : necjue fekur a Mence Omni f&a aclu fim- 

plici 




Alb. t)ur«a 
defmitio 
lat. Sepcan» 
guti. 



DEMONSTR ATIONE. LlB. fj 39 

plici a?terno : quia fua Natura ex infcibilibus eft. Et tamen hujus non (SJJjjEJ 
Encis fcientialis funt aliquaepropriecaces fcientiales; tanquam Encia quamim- 
conditionalia. SI enim ESSET Septangulum defcriptum ln circulo;Ia» p jjjf bi "* 
terum ejus proportio tales haberet afFecliones Sufficiat monuifle. conrradi- 

«ftionem ia 
volvunt: &DeifcientiamadcaIiaimpolTibiIiafcnonexcendeTe , prxlercira cum hxformales rerum Geometti- 
carum rationes nihil lintaliud , quam ipfaEflentiaDeijquia quicquidin Deo eftab xterno , id una indivi- 
dua eftcflentiadivina.-sflecigitittteiplumquodammodoalium ,(cire, quam eft ; fiqua? fiint incommunicabi. 
iia , tciret ut communicabilia.E t quxhxc adulatio,proptcr iniperitos hbrum non kcturos, defraudare caueros. 

Sunt & aliajpropoficiorles falfae Geometrarum,de laceribus hujuf- 
modi flgurarum,fed quas vel ipfa fbllertior Mechanicarefucec; cum ca- 
menMechanicescausaobcrudancurjuvencuci : uccumSepcangulila- 
tus AC ab Alberco Durero ponicur arquale fe- 
milaceri Trigonico A B ejufdem circuli» Hoc 
Ver6 nimium breve efle , ecfi vel lpfa Mechani- 
ca docec: camen ne cui imponac experimenca- 
ciomanuarianimiumrudis ; isveihacfolara- 
ciocinationefalfum ante manuumaccommo- 
d jcionem deprehendere poteric. Trigonicum 
larusexnumero angulorum probacur efletf- 
fabile pocencia: quare ficeciam ejus dimidium» 
HepcagonilacusnoneftEfFabilepocencia, eo 
ipib , quia Hepcagonus eft « & quia fepcem neque fex func, neque quin- 
que,nequecria. Numeri enim Primigignuntfpecies ; acfpeciesfunc 
incommenfurabiles inter fe , nec una eft alia. 

DeCarohMariani Cremonenfis& Francifci FlufTatis Candallae Aliaxujv 
paralogifmis circa Heptagonum Vide Chr. Clavium GeomecriasPra- 
cliea: hb. VIII. prop. 30, & m commentarijs in Euclidis lib„ I V.Pr, j6. 

Excitavic ha;c palseftra eciam IlluftriflimumD.Alarchionemde 
MalaSpina>Legacumannoj6j4. Ser»*'Ducis Parmenfis ad aulam Cae- 
faream ; quidiagrammaceingenioflffimoomnesomniumdefcripcio- 
nes fuperavit;exiflimans , fubcenfam cribusdecimis quarcis circuli,ae- 
qualem efle quinque quarcis femidiametri , & fic effabilem longicudi- 
ne : demonftracionis apparacus cancae fuic follerciae,uc vel ipfum Eucli- 
dem lacerec, aflumcum aliquid fuiffe indemonftracum. 

Pro lacere Hendecagoni circurnfercur calis defcripcio : In circulo Vn | eea]> - 
ab eodem puncFc A, ducacur lacus Tecragoni AC, ad unam partem cir 
cumferentiae,Trigonicum AD,ad contrariam, 
Hexagonicum AB, AF ad utramque : &duo- 
rum illorum Hexagonicorum angulus F A B 
fubtendacur alio Trigonico latere BF, quod fe* 
cabic prius Trigonicum AD inG;ducacure- 
ciam a fine Tetragonici C diamecer CE per I 
cencrum, & a fine alcero diametri E, per feclio 
nem TrigonicorumG, ducacurre&a EG,fe- 
cans Tetragonicum ACinH:IineaGHinter 
has duas fettiones , dicitur efle latus Undecan- 
guli. Sft verd nimis longa , vel Mechanica docerjte» Ac fojUcw Geo^ 

metrg 



gulu«. 




40 De Figur arum Har mom. 



mecrafpecicmlinMBConfiderat,quaeneceflari6 cornmunicac aliquid 
«xTrigonico &Tecragonicolacenbus, quancumvis remoco gradu. Ac- 
qui numerus 1 1 , Primus exiftens, nullo modo ad has figuras ducic , cum 
iicPrimus, nihilcum3-&cum4.comunehabens. Securus igitureft 
Geomecra,falfam efledefcripcionem, & poceftf acile fuperfedere labo- 
i e compucahdi. 

Manec igicur per omnes objettiones, per omnes omnium fruftra- 
neos conatus , lacerafigurarum hujuimodi fuapce Nacura efle ignoca & 
infcibilia. Uc nihil mirum fic , ld quod in Archecypo Mundi non po- 
cuicinveniri, neque eciam expreflum efle in contormauone ipfius 
Mundiparcium. 

XLVL Pfopofitio. 

'C E&io circuli arcus cujufcunque in a^qualia tria, 

^ quinque , fepcem > &c &inquacunqaeracione, quaenoniicante- 
demonftracarum concinuedupla, noneftdepoffibilicace Geomecrica 
t ali , quae fcienciam generec» 

Seclio arcus in duo , $ quatuor , (f 0B0 , l§ y c;continul ■fnlicet dup/a , Ge. 
emetricajane eft , fuit% haiienus adhibittu. In tria contingit fecari •& iotum 
Circulumper Trigdnum i $ Semicircu/um, vtin Hexagono if$ quartampar- 
iem ,vtihDodecagono ,• ffquinmm> vt in Pentekttdecagono ; gf arcum yj/ 
Craduum , vt in Oclogonoi %§ arcum ivg graduum,vi in Decagono. ln 
quinque verb contingit fecarifimiliter tjf totum circulum ,per Pehtagohum;^ 
Jemicircu/um ,vtin Decagono % tertiam citcu/i partem , vt in Pentek&deca- 

fonoi S§ arcnm ijo graduum , vt in Dodecagono. Idem verum efl dtj> 
orum arcuum femifiibus , quad?antibusqu&j> » & c&teris partibus proportio- 
nis continue fubdupU. (lAthocnonfit pwopter Trifeclionis & §£u}nifec~lionis 
ingeniumj, jfedper accidem, ff propter alias figkrarum proprietates ,"de qui- 
hus haifenus. 

%At ,ftomifcuamjtfifeBionem\ aM feMionem in aiii quacun%rationepro- 
pofita j qu<e nonfit continue dupla ,impoffibilem efie , patet ex comparatione bi- 
Jeftionis pojjibt/is. In eamedium ad drcum , $ quem iUe menfurat, , ahgtclum 
^ifecandum , efl linea reBa, fubtenfa arcui , qu<s in duo tequa/iafeearipotefi Ge*> 
tmetrice : cum ttqualitatem harumpartium fequatur aqnalitas partium drcut 
eujuscunfyjiveparvi Jive magkiy rejpecfutotiusxirtu/kex quopnte g? hoc ejl, 
auodtn Trianguio ab aqualitate laterum licet argumentari adaqudiitatem an- 
guhrum oppofitoruni^„ Hoc verb medium nos tn cateris feEbionibus deferit. 
T^.me*firecTa,arcui/ubtehJa , /ecaripoteftinparterqmotiibet , id£Geometri~ 




tet a proportiohe lateriim quacun^ (prater unam Aqualitatis ) argumentari ad 
eandempronortHohemoppoJitorumangulorum. Tfamji (ubtenfaatcuf > verbi 
tausa, in tria dqitalia,fecetun/iqu<efecant , Derpendiculares injitbtenjamfue- 
rirt, media pars arcus errt minor lafera fibus i fin ex centroarcusfi^rint egrept 
jedrketimedia$arsaTcn$*Tit mmor Utevdihus-^ lgiturintef4*fiantiam in- 

finitam 



Demonstratione Lib.L 41 

fimiam £5? centrum cttculi, punciu efi,ex quo edublx dux'feblrices,$ ftihtenfam 
d arcum e)us in tria xqualiafecdtent. Id Verb punciumfimper tantb remotius 
t(l ab arcu circidi , quanto mihor arcus citculi trijecandus efi,proportione tamett 
non contfanti. Cum igr atcus circuliminuipofint in infinitum, difiantia etiarn 
huutspunciiexcurret in infihitum;Ihfinitiverb,feuvarietatisinfinitx nulla ejl 
ftienivL*. Et hxc diffictdtas tenet TtifeSiionem, qu<e adhucfimpliciorefi & x* 
a •■ litati propior. Mtdtb major oritur difficultas infequentibusfeciiontbus alicu- 
%# frct^verbic.iusdjn f , 7, o, n zfc.partes xquates. Tuncn. nepunciiqui- 
th n identipis ^mpiius efi poffibilis,ex qno educix reclx, quxfubtenfam fecant irt 
pattes xquates imperatas , exdem e? arcum in xquales (ecent. 

6)u;cquid verb prxfidiurum ad promifcuam (eJi ionem pofiumus afferre , 
dedtt^lumex namero , quifiilionem denominat , tdneccfieeji efie qener de^ t 
t$ commune cuiuscunque arcusfubtenfis , tam magniquimuitum ajuafub- 
tensa differt , quam parvi , quiparunU>> <LAtquiVagamrelinqtiere pr'- 
t>ortione;n patiiumsfiiibttnft, adpafiesarcus fui ; idvero honefl determinare 
fcientifice. Atque hocprxcipue dicltAn efio deTrifetlione Vel qmni(eciionej& c: 
^B-n-oiana Analytica , de qtia inprxcedehti Propofitione egimus copiosb. Etfi S e &'°«>» 
viroomnia ibi diiid-s , hakht etiamhic locuwu> i quxdamtamehttlic ditm', ^lhJto- 
funt huius loci magispropria^, , fiuntque ittufiriora ^ admitabitiora in jrHto^ us byig/a- 
ne arcuurnj>, quaminficiionetotiuscircutt, t ]Sfam r utomittnmiltacommu- t 
nixj qubd pftncipiumpetatut, imperato eo , VJtfhciamus , quodqaomodofhcien* 
d'tm (it , attxrebatur : qubd affeclioties quantitatis continux nonfitehtifice pro- 
dantttr per auantiUtes difctet.tsfiu Numeros ; qubdquictinque numerus elicitut 
nyotateres , determinantepartemarcusimpetatanu,, i&e nonpcffit qukqmni 
docete_> quam qubciiUuifitvelmafusVelminusdebito .' eoqueficutfe habrt 
materiarudis iS ' indigefkladformaium qvid i ficut quantitzts indetetminata.» 
$ indefinita adfipurams \ fic etiamfihabeat, Analytica i(fa ad determinatio- 
nes Gsom&tric-is : iUudimprimu exceUens & ' nobiteefi inhacCofid (emimecha- 
■ ' foaeyier verb gf abjeiium in Ceomettid fiientificd ': qubd citm itnaqux * 
aue fabtenfaminor diamctro , duobus circuti arcubus inxqua libus accen(eatut) 
auorumalter minor (cmicirculo , alter major; eoquepartis aiiquotx de minore.» 
minorfit fubtenfas , partis xque quotx de majori, major : (LAnatytica iffa ^Byr- 
piana non tantum de duabus hifie inxqualihus , fed etiam depluribus alijs cit* 
culi fuhtenfis, eenerale quid prxcipit , quodutile fit adillas omnes humeris pro* 
xime exprimendas. Verbi causd, inttifectione lex hxcefl: Si datus (it arcts 
( (it 4$ praduum ) ejusque fubtehfiu, ; tf> is arcus fitin Ires paftes fecand**s * 
quamlibet lOgraduums i hocefi , inveniendafit (ubtenfa hujmpartU Jeuejus 
proportio adfubtenfiam totius ,graduum 4 g : tunc jubeot fhcere vf fuVtenfam to- 
tius , ad quxfitam fubtenfiampartis , (ic hanc adfecundatru , £jf fecu ndam ai 
tertiamproportionalem-2 :jamjubeortriplicare(ubtenfampattis , g sbeaati* 
fcrretertiamproportionakm-j: quodreiinquitut , iddicitut valerefubrevfartu 
totius. Hoc efl , De fuhtehsd data, pars tertia multipticetut cubice , %ft fra 1 w » 
numerus&cius addatur ad toturru>: auHiifictertiaparseftpdufr mincrfub- 
tehsdquxfitd.fiamfirur(umhxcipfa, cabicemuhlpl-cata , adtotam adl-t* 
tur; (icaucix tertia pars propius advetum venit ; £5 hocconttnuhufq, in >. ifi» 
nitunu. Hoc quidem procefiu venitutpanlatimpropefttbtenfamCtaduitf? /5. 



42 De Figurarum Harmon: 

<lAtfimajprt nconflituas numerumcubicemultiplicandumj> , e? omnincten. 
tum ftre, quantum circinus indicat deberi tertiepartt de rejiduo circu/i } pofl ab- 
latos Gr. 48 >fc: Gr. 312 , cujustertiaefl 104 : titnc etiam fubtenfam arcus /04, 
£$ complementi 2 j 6. hoc modo perficies . 'N^eque hoc iantum ifedfi etiam ad 
48,$ ad$ 12. adjeceris circulitm integrum $6o. invcnies ctiam pro fummarum 
iffarum 408 ,6 7 2. trienttbus fciiicet i}6 ,Z$ z 2 4 .fitbtenfam aiiam , per idem 
Nomen Cofficttrru>. Et in ^ensre, quot reftnnt unitatet in numero fici ionis ,bi- 
nario ablato , toties licet addere circuium intecrum > vel arcum fecandurru> 
propofitum , IV eodern nomine coffico novorum arcuumfitltenft indagenlur. Ex 
quo appar&t ingem difcrimen nominum horum cfficorum,ij ' fiientificorum gra- 
duum, quos infitperioribus expiicaVi. 

t$Jln Vsrb nonpofftt aliqua nobiiiorars inveniri, qitdftiiones arcuurn om~ 
mmodrt perpciantur ■? "Refpond.se ,fiomnes flubtenfk arcuum dividcndorum (ub 
commwiimtioneconfiderentur , & ' fi ' iilatanlumhabemus prxfidia^ , qiis. jit-it 
omnibtts qu<e(itis fubtenfis communitu> : njtfimt , ill-arum in proportiorie quifi- 
td, continus proportionales quotcunque : tuncnobilius aliqmdhaud quifqusni 
comminifcetur ,. acl tim que ■ dgit , qukunquehic annititur ; g? ophofilumi/t 
adjecio ffatuit , conffus, Ex commumbus enim , nihil cuiqUe prtprium con- 
fludeiur. 

Sin autem de diffcrentif fpecificis Iinearurru> , qu<e dividendis arcubns 
fubtenduntur , fermonem infiituimus : Jam mututur ftntus qu.efionis , & pro 
feBione arcus omnivarid, fubflituitur feiiio totius circuli , perfiguram Rer/iia- 
renijs , qu<epropofit<e fitbtenfejuamjpecifcam proprietntsm conciliac : dequi- 
busfiguris Reguiaribus nos jamfitprdtgimus , o infequentibus amplius a<?e-. 
mus ; quippe qui hac ipsd in qu<tflione medium quctrebamus , quofigurarum il~ 
larum aliquas defcribere pofiemus. (fum itaque tale medium naturd dcbeat 
efiepriusre ipsd , per hocmediumeffickndd j principiumutiquepeteremus ,fi 
Medio noflro expediendopr<tfldiumdfiguris Reguiaribus peteremus. 

IJerum hic adverfarius aliquis objecerit mihi : qubd Pappus Jlexandri- 

Pappi & nus libro quarto Mathematicarum colleflionum , Iropofit. XXXI. Tri- 

ones ^arcu" partitztm angulifieclionem tradatper Hyperbolam s £5? Tropcfk , XXXfi^, Da- 

um omni- tdqudcunqueratione angulumfecartj , Per Quadraticew & Heiicens : Et 

** Citvius GeometrU PracJic<e iib. XIII. propofit. 2/, pr<t(kit idem per Con- 

choidea Nicomedis, 

lierum illorum authorum inventa nuflam flnbiiiunt poffibilitntem Om- ' 
nivarintfeBionis Geom&tric<efiientific<e , HJt hoc appareat. > primum Pappi 
machinationes circa trifiBionem expiicabo : deinde differentiatn inter iilas £? 
defiriptiones fcientificas , in luce locabo. 
Pappi trife- Primum ipfe Pappus in pmambulo ante propofitionem 3 1. dividit probie- 

loanguL mafiU . fqa. l g,generaliorifignificatuvocabuli > Geomeomarica , appiRac,cum 
nobis , Geom&tricum ifpeciafem fenfum habeat, ) in Pianas , Solidas, 65* 
Linearid-*: fhteiurqucs , TrifeBionemanguli , perPIana ( qu<e mihifunt 
Jpecia/i fenfu Geom&tricas , fcientifca , graduum explicatorunu) } expediri 
nonpoficj, edife de caufa eoarguit antiquas Geom&tras ineonfulti conatus , qui 
bicfruftra defudaverint. 

Ipfe igiturtrifeclionemfitam expeditper Soiid(U> 3 omnivariam verbfiBi^ 
onenu* ,per iineasfiguratas. 



Demonstratione Lib.L 4.5 

TrifecJionis modus efl tnlis. Propofito angulo trifecando , demifid ex punBo cru- 
rtsuniusperpendiculariincrusalterum , qu<x longitudinem crurum inteUi- 
gatur detefminare , ($ ^ eicrurialteribreviorifhcio , perpendiculo^ , duBispar- 
aUelis , illi expunclo primo , huic expropbflto angulo ,fic vt concurrentes recium 
tf ipfefiiciant angulum ■' jamperpuneJum , in quod demifiaperpendicularis , fh- 
tit iranfire fuperficiem C on i ,figur<efblid<e ; deinde fic applkatum Conumincli- 
nat> , feu annuere fhcit , quoadufifc is cum eddemfiidfitperficie ,feciionem Hyper- 
holen diffam in plano defignet, duBarumparaUelarum, ut Afymptoton , propri- 
ttm : tuncex puntioiUo , inquodefldenrifiaperpendicularis ,'intervaUo , quoct 
flt duplum crufis primi , defcribit inplano arcum, fecantemficiionu Contcx /i- 
neam ; gf conncxo centro arcus cum hac communifetlione , rettam eiparaUeLm 
ex angulo propofito ducit ; eog ; fhclo , demonflfat , abfetTnm efie ab angulopar- 
iem tertiam^. 

Solidum quidem hoc pacio problemafhcit Pappus , ufu Coni ,figur<efolid<gi 
&At qaatenus inter datds Afymptotos ( duclas perpendicuiares ) angulumre-* 
ilum fhcientes , per punii %m intraiUds datum ,feciio Conica , d:th Hyperbolasj 
etiam (ine Cono , delineari pn plano potefl: problema idem videtur etidm inter Li- 
tiearia reflrendunu. Gignituf enim tnlis linea motu Geometrito , ($ mufntio- 
ne continud intervaUorum , hoc eft, repr&fintntur per purici a qu:tvis , tndeter- 
minato numero ; idque non minus , quam §htadralrix 0$ Helix , quibus Itnatf 
Propofit »_?/. tf Ternariam $$ Omnivariam jeEiioKemperfiatt, Sichabet Pdp- 
pimachtnatio. 

f^iifd ieitur dicemus ? Nonne inler daias Afymptotos ,per pundum da* 
ium , unafolafcribitur Hyperbola ,flve idfiac annutu Cohi , five punfiorum^ 
infinitoramcoritintiaiiohe_s ? TSfonne una folafeciio circulicum Hyperbola ex 
itna plagd? 'ISLonne Una fola £? certzt inclinatio efl linex, punBa HyperboI<e con- 
necientis , adfigur<e diametrum-D? 

Eqiudem fhteor , h<ec omnia necefiaria $ cefti, efle_» ,flquidem Hyperbolti 
kmflt defcripta-c, Erat ehim etiam prius in analytica Byrgij trifetiione , zer- 
ti<t conflituta. partisfubtenfa. certzi *_? necefiaria longitudo feuproportio , adfiil- 
ienfam ioti arcui. At quia non de hocquxrimus , quidfit , rejamfhfia ,fed quo- 
modb , iftfit qUidque , res nondumfhEki , (itfhcienda demunu> : ideb rithUh plus 
habemus ex ProUematibus Solidis tf Lineafibus veterum, qucdadqudfitam li- 
nearumfcieniiamfhciat, ; quampriusex doElrina Analyticd modernorum. Efl 
(ane unafola HyperboU Iinea,inier Afymptotos pofitas, perpuriclumpropofitumi 
in earum plano duciilis. ^AteanondumduEid , Conumjubeor tahtifper incli- 
narefuperpunEio appiicaiionis , donecexifkit itla , duHzitfeflt : velfine (forio ;Ii- 
ne.u , qu<e Hyperbolam delineant per continuatapunfh , jubeor tantiffier muta- 
ro j donec fiatis prolongatafit Hyperbolds : %_? quxpariesinterfhEiapuncia ca*. 
duni ihtermedi<e , easjubeor imaginarifhc~ids :jubeor utfinque , id qucdeflpcte- 
flate diviflohis infihitx , aEiitfeu motu uno trahflfe ; i/t hoc tranfiiu eiiam id at- 
iingatur , quodlatei iniUdinfinitntepoJ:efkitivd , flrie pefficJ<efcienti<eIucC-?i 
aualem haheht problemdta d veteribus Plana coghominatoj. 

Hujufmodipofiulatis crebrb utuntuf Francijcus "Viekt Gallus,(_f Geometfst 
Beigici hodierni , ih folutionibus eorumproblemaiunij, , quctfuaptenaturd non 
nnt folubilio-» , nifi inartificialiter , per numeros , aut per motus Geometricctf, 
infinitete auddam mutationym gubernandos. 



44 Dfi FiguraRum Harmon: 

ftLamubiomniafHerintinpromptH , quxfhcereputnbuntur ad certificandarrLs 

menttm : tcnebimusdcterminationemejus , quodre\quxfitaveimajusfitve/ 

minus proxime ,femperquepropiux: vtprimetiamde trifeclione Jnalyticadi- 

.-■ xeramm. 

ftWanoa Verum efie de hocprob/ematt t/o/ido Trifeilionu , quoddico , vc/ipfa(blidi 

cft ttanfi- W admonet. 'J^am nififo/idorum proportio fueritdatn taiis , qualis eft inter 

tju feigati- duos numeros cubicos : menfitrare foiidumpropofitUm alio folido noto non poteri- 

mus , admehtem infbrmandam : quia dux intermedia proportionales exacie in 

p/ano conflituinoh pefiunt : in cubis etfipofiunt incfie , atdplanis ad Cubos i/lot 

quojcunq^formandos , non datur tranfitusfine ipfis duabus medijs , velutiponte 

Du medi ^^ ' Etduasmediasproporiionales invenire ,docent aiij permotumGeo- 

as ptopot- metricum , imperantes quod efi imprxfkibile , quoad certitudinem ac/us Geome- 

«onales fci iriciadmquati: docet & ipfe Pappus, per fetliones Conicas, beneficio duaruwpro- 

n- portiona/iumexpediendas,cum$ Qonus fitfo/idumquid. Itx femper princi- 



vemte lra 



«VUIIV 1114— £ I ■ J , 

P»ifibik. pium petitur, (fpomjacet in adversa ripd. 

XLVIL Propofitio, 

t; Igurae numero laterum lmpari , maiorl quam ^j 

*• (excepco Pencekaidecagono ) cum fubcenfis aliquoc parnum, co- 
taeq; ades Clafles,omnes eodcm cenfu func, quo Hepcagohus & cscerae 
iigur«> numero Iacerum Primo. 

'Njimfihiemerus /aterum ejl impar , hon ex Primis unus : is aut eft duo- 
rum Primorum imparium mihimus multiplex , aut a/icujus Primi quadra t us : 
aut efl Primi Unius , e? quadrati Primi alterim mu/tiplex , aui 'inkltipiiciunu, 
quadrdtorumvefeorfim ve/juhBim multiplex. 

^uodfiefieni hkfigurx defcripii/es $ ihfcriptilet > & fcibiles J tuncaut 

propriam haberent dehtonfirationem es ahguiis , aut impropriam ex compara- 

iionefigurarum , quthus communicdnt. ^At prbpriam non habent i quia non 

jfunt numero laterum Prirno , ex quoformaretur demonfiratio : impropriam non 

babentjiequeprimst, verbi causdfUneivigintarigHlum,quiafigur*. ijs comnsu-. 

nicahtes ve/amba. velalteruira , vthicHeptxgonw (pofi Trigonum S$ Pentn- 

gonumex quibus Pentektdecagonus) nuUampropriamhabent , perXLV ' prx- 

mifiamineque fecundit, v. c. Nonangu/um,quia hondatUrfeclio arcusaliquoti, 

puta e Trientis,in totidem parfes aquales , quot dccepit circulus iriteger , per 

jCLVlprntmifiam : neque tertuc, heque quarta, quia priores tjs communicantet 

tndemonfirabiles funt. 

Nonangali d c Enncagono,cujus numerus p,eft quadrarus pr irm* imparis incer 

ItSu»* 11 P r * moS J &• tcirhari j, ccrcacum eft haclenus incer Geomecras , plenfque 

annicencibus -, utetiamhujUsfigUraelacusdemOnftrarehr , omnesca- 

men fruftra fuerunc, nec unquam hoe problema fuiftehc aggrefli.li dif- 

' crimenfcibilium&infcibiliuttiaccendiftenc. 

CaMpanas Qampanus Nohahgu/um demonfirare vo/mtper Trifetlioncm angu/i, 

**' kl° na *" 1 uam P att *it infcibi/em efie ; ihpramifia XLVI. Etfiverb via Pappi & Cfavif 

™ necefiarib irificatur , pofitofe. mbtu Geometrico : *L quid hocadp/anasfiguras , 

Je quibus mshicagimtts j eumfolidu opnsfit adfitciendas trifieBtonis adminiflras 

linem 




Demonstratione* Lib. L 4? 

lineat , Hyptrbolam , Quadratricem , Hehca , Conchoidea? Ipfi quidem Cam- 
panus trije^iionem tentaw* nov animadvert/t, fcfiimere tertiam a nguli partem 
velutijamcertam , qu/eeratdemumqu<trendaj.. Extatlocusin meo exemp/..- 
ri adfinem Operis Euc/ideifht. tZ6. pertinens adfiriem lihri IP^. 

Jordanus^Brurius No/anusinfexangtt/i A B CD EF oppofitatatera BC, 
EF, continuatau*rinfo ducitperpendiculares GH t 
jK,circu/um in A.D contingentes ;ducla igiturfh- 
cli paraUe/ogrammi diagonio 1H, circu/umpu- 
tabat fecarific , irt inter AD PuncTa contaciuum d> 
fiilionesM. N. exiflnnt Norix partes circu/i AN, 
DM. lAtquidemonflratur ex diagrammattji i 
qrtbdcum femidiagonij iUius LH,quadratumfit ef- 
fhbile , fci/. 7 decimti (extee de quadrato didmetri , 
( fl enim ABH 80. ergb ^BHfemifiis de AB,T)e/ AL: 
(j 1 ejus potentia igitur , quadrans depottriiia ALj 

Jgitur AH poientia ,dodrans de potentia AL: Sed poieitia LH dquai pcten- 
tias LA, AH )firius igitur graduum 40 , hocefl dimidiafubtenfa duarum Nma- 
rum circuli > futufus fuerit Effabilis potentia , JcitieeJt fa dix de iribrn vicefimis 
efhvis , quadrati dtametfi ': Demiffa enimperpendiculari AO eX AinLH , e rii 
Jicut LHpoteritia > 7 fidecimx , ad HApoteriiiam , ^fidicimas : (ic LApoten- 
tia, 4 fedecimdt , ad AO potentiam , /2 jeptimas de unafedecima , id e(i tres vi- 
cefimas ocTzvas. Jtn hxc nonangularis arigutifubtenf* efizt Hobilmr. aemu/bus 
prxmifis , {$ communicam ijs : cum tamerifit numero taterum irMa.fi ffcdicd 
numere aliquo , Primi j quadrato , nihil Communicam cUmretrafonotf 
^Tri^ono , per bifedionem arcuum ,quari*mfigurarum pro^rius efl h.c nJodi* 
tatisgradm. 

XLVIH. Corollarium* 

C "Equituf igitur, Notionis, Scientias,Determinatio- 

^ ms,Defcripcionisj & D-monftracioms mecasincra primosfigura- 
rum Ordtnes confiftefe : uc fincClaflesfigurafumfcibiliumnonplu- 
f es qua-n quacUof .cres>prOprias demonftraciOfies habencium, in quib* 
capicafuntfamiliarurrt } in prima, Tecragonus,poftdiamecrurncircu- 
li, cujuscharadernumerusS ; in (ecuhda,Trigonus, cujus chaf ac\er j» 
in tercia , Pencagonus * chara£cer< 5 : Una vef o impropriarum demon- 
ftnuionum,cujUs numef Us eft mttlciplexduOfUm j &5;Icilicec I5:pnm4 
cnim ejusclafllsfigura eft Pencekajdecagofius. 

• 

XLIX- Propojitio. 

r* Vmautembirediorquapropriautittirclaffis pri- 

^ 1 ma),communisfietam(ecund<equam teftiajclaifi.pacec, alio 
jure degere claflem prirtiarn , alio duas reliquas : ica ut prima familiari- 
tatem habeat ad utramque reliquarum ; at illa; figuracionibus eon tra ie 

f i diftia» 



JordaniBtu 
ni Nonii»^ 
pulura. 



4-6 De FldURARUM HaRMONT. 

diftinguancur, adeo,ucearum, quaepropriasdemonftracioneshabenr* 
quodammodo duo cancum finc Genera, 

'N(am Tetragonus (f Oclogonusfkitimfequafitotas Trigonic<zficl&appli" 
cantiquiapars circu/ifixta & duodecimajunctg,faciunt quartam,pars duode- 1 
cima gf vicsfima quarta,compo(it<£,faeiunt partem Ofb-vam- Et Tetragonu-fi 
Pentztgonica ficix quadamten' accommodatiquiaquinln circulipars, additn i)i- 
xe(imx,confiituit partem quartam,Caufa efi, quia Numeri 7;. $ 5-. di-vidi pofiunt 
m numeros proportionis continue duplx: Nam partes ipfius & (unt I. 2.partes ip- 
Jiusj fiint i.^fTalis verb communionon eflinter ctafcs, Ternariam & Quina- 
riam. 'i\am et(i fixtapars circuli, additatricejimx, conflituit qnintaimat tri- 
c?fi?na eft clafiis bentekxdecagonicx , qux non habet propriam demonfir ationem. 
Eodem modo drcima circuli, additzlquindecimx (ecce admixtionem clafiis quar- 
t x) faciunt fi x Um. Propter hanc duaiitatem Generum,numeri charatlerifiici 
funt, in primo tz, infecundo 20, velejm dimidium 10. Hxcigitur infia tibrJII 
reprenda & ' adfiribendafunt addiflintlionem generum cantus> 

L> ComparatioFiguraruni 

feu divifionum circuli* 
p Rimas tenet diameterjeft enim eff abilis longittidi^ 

■*■ ne.Secundum eft lacusHexagonicum,a2quale femidiamecro,& fie 
EfFabilelongicudirte.TertiolocoftancTecragonus&Trigonus,quiala» 
tera habenc EfFabilia fola pocencia. Quarcum cenenc ordinem lacera 
Dodeeagoni , Decagoni , eorumq; fbciafteilarum lacera; func n. ex m- 
efFabilib 9 potecia,& Compoficis primae fpeciei, func fc.Binomines & A- 
pocomae , Dodecagoni qdem,Primae, Decagoni vero, Quarcae.Quinco 
loco fucceduc laceraPencagoni & ftellae ej 9 ,fic & laceraOctogoni & ftel- 
lae ejus,func n.ex quarca compoficorum fpecie, Mizort & Elaffon di£tar. 
Ne quaverobonanoCairtDecangulo pr«ejudicecQuinquangulo: 
auc ne fpecies eadem lacensOclagularis, aequec fuam figuram Q uinqua- 
gulovelDecangulo,novaquinquangulo accedic vircus irt orcil lpfo; 
quod per hanc Seclam,Denario corhunicancem,regnac undiq; propOr- 
tioDivina: quaeimmediateineftipfislateribus Quinquangulari ejufq; 
ftellae ; ac Decangulari cum fua fteila non compecicrtifi mediance late- 
re Sexanguli ; Octangulari planenon compecic. 

Praeterhaslacerumpropriecaces,aliusinfup cenfuseftnobilicatisi 
quod figurae diftinguuncur ex apcicudine & perfet~tione areae, q fepic fi- 
gura*Hic poft diamecrum(cujus area nulla,& quae fola circuli arearii,uc 
Pcolerrjaeus monec,in duo aequalia fecac,non minus q circurnfereciam) 
principem locum obcinec Tetragonus & Dodecagon 9 , q, aream habee 
EfFabilem, &Tecragonusquidem eximiapraerogaciva;quiaeademilli 
eft area, quae& lacdris qUadracum, q.ppe areae fpecies eft quadraca/ lcaq; 
fepic dimidium de quadraco diamecri: Dodecagon' vero ftatpoftprin- 
cipia , fepierts dodrantem de quadraco diarnecri, Proximo locO fucce- 
dunc Trigonus , Sexangulum & O&Ogonus , quibuseftareaexfpecie 
Mes6n,Petagoni &Decagoni areaenulla dum habecnominartociortum. - 

FINI S Librih 

Joann 



IO:KEPPLERI 47 

Harmonices Mundi 

LIBER II. 
De Congruentia Figurarum Har- 

monicarum. 



m^mMMmmmmmmmmm 



Prooemium. 

^C^^if* Sfentiam uWularum Fifmrarum Regulari- 

^j 7/~*i3K umMentalemfeu j/Ofcgkyhacfcenusexplicavi ; iequitur 
"^ 1_/ ^ earumjunclaru.T) Proprietas,& veluci FfFeccusintraGe- 
5^.'*--t'^l!S5 omecriam , quieft.Congrucnciavei. [.nfbciabilicas. Non 
^* 1 * *^-a* funcenlm ejuidemIacitudims,Demonftrobihcas&Con- 
gruencia , cum illa fmgularum fic , &cum lpsaduphcacioneconnnua.. 
lacerum umusfigura: unnfinicum excurracj ifta cercis coarcaca Iegibus, 
quibu^piures figura: in unam fociecarem, vocantur , ob angulorum in- 
cremencafeipiamprxpediens, cico definar. Ec quamvisdele&usfic 
graduum fcienciajdemonftrationisque , &plurimumdifFerantnobili- 
tate, lllxquasnosexplicavimus, abijsquasdimiiimus finenomine: 
non ramenne cum hacquidemdernonftrationisnobilitate > Congru- 
enriapjanepari pailuambulaciadeoqueunumalterius caufanon eft , 
fed urrumquc ex eadem coramuni caufa ( quse eft angulorum figurs 
apcicudo ) , quodque cameniuis legibus , dependec. Quantopere ve- 
ro needFiria iit nobis hsc quoque ipeculacionis pars , ex ipfo cotius o- 
Peris infhtuto videre eft. Cum enim originem Harmonices , eiufque 
FfF^closmtotoMundoprtfftantiifimos , explicandosfumpfenmus ; 
quomododc congruentiafigurarum , quaefunt proportionum Har- 
monicarumfcaturigines , verbanullafaciamus? cumidemfonetLaci- 
nis Congruere &Congruentia; quod Graxis CLgLlQTietV 8C OLQpLQVlcL £ 
cumhicfigurarumefFe&usincraGeomecriam.incraque Architectoniv 
ces partem illam , quae circa Archecypos verfacur , fic quaedam veluc 
imago & praeludium EfFe&uum excra Geomecriam , extraque mencis 
conceptus, in ipfis rebus nacuralibus & cceleftibus? cum propnecas haec 
congrueti£e,quaein ftru£tufam& corporationem aliquam exiccahs fic, 
uc vel ipfa Mentem fpeculacricem invitec ad aliqoid etiam foris facien- 
dum , creandum , corporandum i utque Iatens inde ab aecerno in fuper- 
benedi&a roence divina , per Idearum ordines , canquam bonum fum- 
njumjfuicornmunicacivumjConcinedinluaabftrac^ionenonpocueric 

quin 



48 De Figurarum Harmon: 

quin in Creationis opus prorumperec , Deumque Creacof em efEcerec 

corporum fub ijiHem figUris conclufbrum. De hac igitur figurarum 

Congruenciapaucis agam, cum demonftraciones difficiles nequaquam 

firiCj, necaliopene apparatu , quam ipsafignrarum pidura 

indigeanc. 



K.I 



De Figurarum Regularium 

*Congruentia. 

% DEFINIT I O. 

Y^ Ongruericiaaliaplankieieft , aliain folido. In Plano Congru- 
^* enciaeft , cumangulifigurarumpluriumfingulificadpuncliui-fl 
unum concurrunt , uc nullus relinquacur hiacus. 

:%. D I F I N I T I O. 

XJ[^Ecperfe£tadicicur, cumfigufaecujufque concurrehtisanguiiom- 
■"nes eadem ipecie concurrunc, ucicaomnes concurfus incerfefi> 
miles finc, & concurfuum ordo ininfinicum cbncinuaripoffic. 

III. DEFINITI O. 

;t3 Erfe&iffima, cumeciamfigursBconcurrcncesinpIanoiuncejuG. 
■*• dem fpeciei. 

IV. DEFINITIO. 

1" Mperfe£ta,cummajorquidemfiguraundiquefimilibus concurfi- 
* bus fepicur , neque camen dacur concinuacio in infinicum, auc dacur, 

«juidem, fed non fine admixcione diverfarum concurfus fpecierum. 

Imperfecladeceriorisgradusjcummajorfiguranon omnibus angulii 

fimilifpecie«oncurrereapca eft. 

V. D E F I N I t I O. 

C 01idaeongraehciaeft,&figurafolida>cumanguIifingulipIuri^ 

'*-* um planarumfigurarum, angulum confticuunciolidum, aptacifq; 

figur is regular ibus vel femiregularibus , nullus reftachiacus incer Iacers 

figurarum , obviancia fibi in oppofita fblids figurae parte , d^ui noa 

ciaudipofficfigura ipecieiuhiusex adhibicis , velfalcem Regularibus. 

2\£ofc? , qubdfit alia congruentia , nonflanarumfigurarum adfiguram* 




duttt 



CoNGRUENTiA LlB* tt. 49 

iudt , Cithus tf Rhomhus Dodecahedrkus. J\£**» 0H0 anguli Cuhi cmcurruni a&\ 
unumpuntlum, tf unum undiq^ locum explent. 'Rhomhus verb hah&t duo ge~ 
nera angulcrum,trilineares ohtujbs btlo-, i$ quadrilineares dcutdsfex> Jgitur 
«htufi quatuor , congruUnt ad locum explendum , acuti verbfex : qualefiruunt 
adificium Apes , cellis contiguis , njt unam circumflent a fimdo tres adverfis fun- A P BirGc - 
dis , a laterihusfex ; £5? pofient etiam anterius tresali*. circumfiare adfigurarru in ceilu' 3 
thjolvendam, nififi/e* oportuifia efiepatrntss. Debac verbfolidarumfigura^ 9*g a $^ 
ritmcongruentia noshic nonagimw. , r Rho.abi- 

VI- D E F I N I T I 6. 

PErfc&iffima fol ida Congruentia,folidaq; figura eft, curn etiam Pla* 
nacongruentiafunteJLiidernfiguraomnia. 

VIL DEFiNITid 

HiEcveleftregulariscota, cumPIanafunc regularia, habecq; orh» 
nes angulos in eadem (ph;£i-ica fuperficie , & inter fe fimiles. 

vni. DEitNiti /o. 

\T Eleftfemiregblaris , cumPlanafuhciemireguIafia ( vide libr. I. 
def. III.) habetque ahgulos folidos numero Iinearum diflin&ds & 
diffimiles; non canien pluruim , quam duorum generum ;nec inpluri- 
busqduabusfphafncisfuperficieb%unccencrodefcripcis J ordihacos:& 
fingulorunigenerunHngulostotnumero,quothabetunaPvegulariu. 

'ftlpn ohfht ,. Congrtientiam ham fotidam , perfiBiffimam dici: namquk 
planis efits insfi imperfcclio, fotidationi non deh&tadfirihi,fed eiaccidit. DicituV 
tamen aqstivoce perfedjjfima, h&c fimu eguiaris \ 

IX. D E F I N I T I 0- 

PErfe&a inferioris gradus eft , cluts Plana regular ia^ & anguli omne$ 
in eadem fuperficic fph£erica,& incer fe fimiles func:fed Plana came 
diverfarurri fpecierurh, fingularumquidemcOtnumero,quotfunt in 
una perfettiffimarum figurarum, fc non mihus quam 4 , quoc ad mi> 
nimum Planitiebusfolidafigura terminatur. 

X. D E F I N I T I 0. 

IMperfeda congruentia feu figura eft , ctirh cjeteris mahencibnsi ma* 
jorfiguranonf-piusquamfemelaucbisinvenitur. .. „ 

Fit enimfigura illicparti quamtoti,hic plan&quam fotiait (imihor ;cum 
tmnisfitida adminimum 4.Juperficiehus terminetur. %Jt in typis ex <erefequen) 
tihus adliteras A. B. uhi major figura efi Heptagonus. Clafies ifi<e du&.cum ipjo- ^ B f jj 6 
rum majorisfigurx laterum numero excurrunt in infinititm ; initio ticio a Tri- /j-.ieq. 
cono utrinfyquod inclafie A,efl ex perptlifiimis reguUrihus congruent iu ;trans- 
ituverbfhclopertetragonum;{!*)tuncinclafieB,inc<dimus iterum in unam£~ 
fecliffimamregularem censruentiamxcettrxomnes imperfecfafiunt. 

~ g Xl.De. 



*o De Figurarum Harmon: 

XI. D E F I N I T I O. 

SEmifolida eft , quae non fuftinec omnes definicionis quincae "parcicu- 
iasjuccumapcacisfigurisplanis, congruecia nonplanein fcipfamre- 
dic,fedrelinquichiacus}decaeCerocueansprsfcnpcaDef,VI.& VII. 

XII. D E F I N I T I O. 

t' IguraPlansscongrUajfunc, qua;veIfblidamfigurameoncludunr , 
•*- velplaniciemfinehiacu explenc, exiftencesipfsefigura; Regulares 
velfemiregulares» 

XIII. DEHNITIO, 

T Ncongruaedicancur illxfigurzeplanaiReguIarescircuIoqueinfcri- 
* pzx (fiquidem func infcripcilesjjqua; neque folidam figuram iphaj- 
rico inlcripcilem fecum^pfe, autcumalijs fua;velalcenusclaffis,ef- 
formanc , nifiimperfeclamcancum.nequeplanumfternuncvelipfa; 
incer fe fingula?, Vel cum Scellis fuse claffis, vel cum figurii & fleilis claf- 
fis alcerius circumcirca. 

IJbinota esic/udifeptangu/umli talia , nonobjkinte , qucdbinaparaUela 
pptangu/a ve/Jeptemquadratis , vel quatuordecimtriangulis adjuta regulnri- 
„ bus, folidum omninb claudunt,- quia tnntum bina fiptangu/a coticurrunt , fitfyfi- 
■"'. gura difiifirmis £$ p/anxfimi/is, nequaquam verb glohifermis ,fl>h<xroides . Vide 
in figura ex arefi/. fj.fiq./iteras A. B. Sic etiam excluditur Gfuindecangu- 
lum,nonobfiante, qubd a/iquihus angulis cumfiguris cognatis locum inplano 
sxp/a > quia hoc nonfhcit circumcirca ommbus angu/is. 

XIV. P R O P S I T I O. 

A Ngulorum planoru nori pauciores quam cerni in plano congruuc. 
* ■*" Nam circa quodlihet concurfus puntium efifumma quatuor Reclorum 
<angulorum:at nu/liusfigur* angulus xquat fummatn duorum ReBorum,igitur 
duo quanticun^anguli , funt adhucminora quatuor reBis: duo igiturnonex- 
p/ent planitiem , per Def. I. 

XV. PROPOSITIO, 

A Ngulorum planorum non pauciores,quam cerni, ad fblidum angu* 
*-Mum formandum congruunc vel affurgunc. 

^Bini enim non latenhus tantum,fedtotis planitiebus congrueret , nihi/% de 
cofpore fo/ido compleBerenturrquod efi contra defi angu/ifo/idi ap. Euclidenu, 

XVI» P R O P O S I T I O. 

A Nulorum > in plano congruenciumj fumma femper eft^redlorum» 
^■gnunquammajor: congruenciuminfblidoeftminorhacfurha. 

Inp/ano n.nonp/ures 4 reBis unum punBum circumjhnt:ergb cum<equatur 
fumma 4 reBorum , tunc hiatus nu/lus re/inquitur, £$ perdcf. I.congruenti* 
tunc efi inplano.Siplanumfiernut angu/i,adfoliditatem non afiurgut.Et vicif 
fim,J$ angu/iaptati inp/ano rdinquut hiatum,quandofc. funtminores 4 reBu t 

tunc 



CoNGRUENTiA LlB> II; S* 

tuxic adduElis duobus lateribus ciria hiatut» , g? exclttjohiatk, necejfeeji , afiur- 
gere angulum g? fiolidari. In figura H tyfianeiFol.feqtt. /J >funtpiclitr& 
Pentngoni mplanitiemjtrati &hiantes. 

XVII. P RO P O S I T I O. 

C 1 Igurairnparilacera,cuJHsap'taWftlrIiiceribus, figuraeduajrumfpe-. 

■*■ cierum, non poreft aequali forma omnibus angulis concurrere vel 
in planc vel in folido. 

f^amfit in uno ipfius angulorttm, iJt ejufdem fyecieifigur* utrin^fient t 
-qusdin cxteris atiguiis ncnfit. Hujusreicausa videfiguram C , typi xneijeq. 

XVIII. PROPOSITiO* 




« 



Wb 



PLanum Idcum perfe£tiflime exptent, Plartaejufdemrigurae tantum 
Tria, Trigoni feni, Tetragoni quaterni, Hexagoni terni . 
ftlawper XXXI 1 I primihujus , Trigoni angulus eji z tertix Unius rei~H ,Jex 
ergb axg:Ji fenum Trigonorum, funt I z tertiie, idefi-,4 iniegri. Vide D. /)» 

Sic Tetragoni angulus ejl unus reiius , quatuor ergb quaternorum Tetrd- 
eonorum anguli ,ficiunt quatuorreilos.VtdeE. SicHexagoni-anguius efi £?» 
otio fexttt uniusreciii tres ergbtrium fi^urarum , fihciunt -24 Jextas , id 
eli, 4 refios, vide F. <L<4t Pentagoni a ngulus efi minor He&agonico,- tres ergb K 
fitnt minor&s 4 recifsitres ergb biant. Idem ej } majorTetragonico: quatuov ergb 
Pentagonicifunt majores 4 reclis,ergb non capiuntur in uno hco flano,per XVI 
hujus. Hac decauJavideH,cumquartoPentagonopunciisJignalo. SicHep- H, 
taaoni , 6? omnium majorumfigurarum , angulus major efi Hexagonico ; tres 
ergb HeptMgonkifuperant 4 reStos. Vide I, ubi duortsm Heptngonorumpartes in T 9 
piaitb tegunt locum eundems, 



^on^ruuntt 

miregularis. %)idehanccongruentiaminfchematef^.ex<ti'e,LiteraG* ff t 

HuceiiamreJbrfiellasexDodecagonoJexangulas , exfeciisfenisradijs: 
apud literam K\ Venit enim in locum exfeBiradij , cavus anguhts , reBo K+ 
aqualis. Igitur tres Tetragonici & ' tres Uliumfieliarum radij , implent io- 
tunu>. f^am Hexagonus dividitur in takmfkllam gf Jex dimidios Tetra* 
$pno3. 

XIX. PKOPOStTtO 

EXplanisduarumfigurarum impletur loctts planus Jexies ; bis ex 
quinque, femel ex quacuor , cer extribus angulia. 

Sena enim plana coire nonpofiunt{6t eorum unius angulus (it major Trigo* 
filco:quia primi Trigonici quantitas eji dm iertia uniusre&iiiUefchoc fexies 
/kmgtfijhcit iz tertias>Jeu 4 re^of^Vm igr horum 6 majori exifiente,iM (c^fitfi- 

g & •gur&fit*' 



52 De FigurArum Harmon: 

$Iurilater<t,fuperaniuf 4 recli: £? tuncplanitiesnonjiernititr, per XVl hunts. 
r » ^^nd'verbpIariatunccoaerit,JiquatuorTrigonicisjungaturunus;iitquam 
*f> duos Trigonicos , talts verb ejl Hexagonictts ; fbrma qualis literd L. 

z ' IJelJitribus trigonicis duo teiragonici jungantur ; quia<equant tres a/ios 

M. N. trigonicos. Forma-qua/is in M } vel qua/is in N , fc. continue uniformis ; ve/de- 
& nitp, qua/is in O, difformis continuationis. 

GjAtJiTrigonicbsduos, Tetragonicos tres (umpferis , ijjam quatuorretlos 
Jitperabknt : multb magisjimajoresduoaccerfamur-anguliad duos trigonicos. 
3. ^tfiterna verb duorum fpecierum cotunt , fi Trigomcis bints Jungantur bi- 

P. R. ni Hexagonici. Forma qualis in P, vd quaiis in R. 

(JA/iter utcunq^copulaveris quaterna '.femper veiplus effcies, velminm 
qudm qtiatuor reliosi ed^ locump/an um nonjivrnes. 

TeYnbs igitftr fiiungamus , caventes , ne (irii plures quamdux [pecies ;pri- 

mum honpoterunt ejfe dt/o Trigpnici,nec duo Tetragonici , non (uperarent enim 

duos rebioj, tj) refmquer&tur pro iertio > quod nullusunus & Jolus impl&t. 

-i %)ko verb inter iernbs Trigonico pofito , congrtixwt duo Dodecagonici : cjl- 

que continuatio pojfibilis ; nec admifcentur alij concurfts, Forma hujusp/ani- 

g t ciei videatur /tterd S, 

Hucreferfleliam Dodecangu/am \ex eo fundamento , qubd ejus angu/us 
cavus xquat TrigoniCupt : itaq^ dividuus ejl Dodecagonus in ftellam ?J \z Tri- 
gonos ; Ergb quinque Trigonici Z$ duo Radij duarum flellarum coeunt :forma\j> 
T, continuabitis ,ft>ecietur litera T. 

f, Etuno Tetragonico inter iernos afumpto,congruunt dito Ociogonici, eftfy 

V. continkabilis £5* hdcfbrma: videatur literaV. 

Huc referjietlam Qciogonicdm, ex eo fundamento , qucdejus angulus ca- 

<vus aquat Tetrdgonicum: ita^ dividuus ejl Oclogonus inJleUam £5? oclo t rian- 

gula Tetraqonica ', quorum duo efficiunt Tetragohunu,. Etjic Tetragonici 

X. tressf duarumjlel/arumradij duo , tmp/ent lo cum :fbrma mixtk , iit /itera X: 

T. 'velaliter etiam mixta, iJt litera T. 

6. DimiJJisjam in ternis coaptandk , Trigomco $ Tetragonico ,Ji ad Pente- 

gonicum veniamus ,eorumpofuntJttmi duo , quiafuperaritjuntii z . refiss : £$ 

congruit in /ocumreliquum Decagonicus umts:coronatur enim Decagonus Pen- 

Z, tagonii decems : Jcd non continuatur pme htecfbrmas. Vide Schema/iterdZ 

interiiii. 

.Hucergb refferfle/lam Pentagonicam ,cumjunt Pentngonici tres , e? uni- 
usjlelhe radius ; quia cavusjle//^ angu/us capit etiam unum angit/um pentage- 
nicum^non minits, quam Pentagonicorum triumhiatus, captt radiumJleU<x..Vi- 
£ m deeddem/iteraZexierius. . 

^gamquam nejic quidem coritinuatiojitccedit in infinitum ; eji enim mfb- 
ciahile hujusjeli* regnum,qu<x. paiecis /uorumadfiitis,jfatimfe munitjiccefbr- 
mas has duas etiam ahter, /itera Aa. , 

Quhdfi cojttinuare omninb velis , mmftra qukdam ftnt adjcijcenda , dua 
Deeagoni interje comniiffi, extritis in tttrot^ biriis Lateribus ;JTt%JeriesJIruc~itt~ 
r<e quinqmngula etiarriiri infnit^ contmuatione fjtcvt in prima d> angujiif- 
Jimd quinquangklarifriejint Decagbni qitinque < 3 nullum Moriflrum intermer 
diutTLs: Infecundd /dxto r ri,JeriesJineares^Decangu/orum mediant Jingulx co- 
■pula exhirik Decagoriis interje vstntkijjit i In iertidjingulorum angu/orum 

kc& 
Hie irtfetainur figuwe «x 



^M. 



CONGRUENTIA LlB. IL 5? 

[oca occuparitJinguU copuUex binis Decagonis inter ft •commiffis ', quasmediat 
Decagonus Unus : Ih qitarta (kirit rrirfitm integiri Decagoni in angulis , medi- 
aritfyhinos dngu/osbini Decagoni , difbojiti xqualibus iniervallis'. In quinta 
fforit /iellx cumjingulis extremis radijs ihfihgu/is arigulis , imp/ent verb /ineas 
Inni Decagoni integri , ^ in medid ', bin<e commifurk Decaqonorumj, Etjic 
confiquenter, unaqu<tlib&t fbrma quinqftanguld fbrt novi a/iquid. StruBura ejl 
/ahricfiffi/na i$ artificiofiffima , vifenda adeandem literam Aa. At. 

Huc etiam rcfbrfleliam Decangulam , in citjtis caVum ahgulum congruit 
angu/ns teniztgonii^ viciffim rMifmhi Trideciies,cum binis Pehtagonicis con- 
gruunt c? imp/ent iocumfb/idunt^. H<tcfb'rma recipii indqua/es Pentngonos : 
& /tcdfit continuabilis , recipit tnmen in mediitm vacuos Decagonos hiulcos. _, 
Fcrma efi vifenda /itera Bb, ^ . „ 

Pen tzigonm ttnus ih terhoritm plariorum copk/am afiumi honpoiefi,nam ej 3 
angu/its habx fex quihtas uniusreili,per XXXliJLib', $'• ^rgb ahgulis duobus 
reliquis re/inquerentur 1 4 quintce ,'cui/ibet 7 quint&iqualem riulliifigura habet. 
ffecfuwipoffunt Hexagoni duo: nam refiduum efl aiam Hexagohi an^ulus & 
fit fbrma fuperihs re/ata , cum nos hic quaramus (IruBuras ex duabusfpeciebus, 
nonex uritM fpeciei fguris. Per Jequentespluri/aterasjigurds , qmruman- 
gu/usmajnr ejl Hexagohico , fubtratlis duobus ahgulis a ^reilis , re/inquitur 
pro re/iquo minus , quxm hdbsi Hexagohicus ': uno Verb /ubtrdifo , minus relin- 
(juiturpro dnobus re/iquis, quam habentduo Hexagonici. <lAtquidi> ifsfigtiris» 
q v.€ pauciores ©. minores habentangu/os , quitm Hexagbnus ,jam antea trani~ > 
aclummbis ejl, qu<e ^ quutefepojfint, quando teVritJiernunt plariitiem. 

xx. p r 6 p o s i f 1 d. 

C 1 X planis angulis triurri fpecierum, locusplanus cohgrue imple* 
*~ J curquacer. 

Hic non tolerantur ires p/uresve trigohichfiiciunt enim iresangu/i Tri- 

gonici duos reS/os ; relinqniturminw , quam fhcil Jumma minimorum ipojl il/os , 

Tetra^mkifc. tf Pentugohici. Ob id nequecluobus Trigonicis fbctandi duo Te- 

■traqonici, aut majores, quia non relinquerdurJatisff)jcijprodngulofigur<e ter- 

tixfpeciei. 

Ergb JiTri^ohiciJint duo , £5? Tetragpnicus unus i (bciabitur iUis Dodeca* x ' 
gonicusi non tzmen eontinuaiur Forma: vide /tteris Cc.Dd.Ee , tresfbrmas,om- Cc> ^ * 
nes adprimum eafum pertinentes. 

Huc eJtiamfiella Dodecagohicd re-fhratur , njtfupra. ISfjtm quatuor Trigo~ 
nki , unusTetragonicu$S unus Jle/l&radiusimpiebuntlocitrrLs. Eccefbrmas 
Ff.Gg.Hh. FECg.Hh, 

Trigonicis duofxusfi Pentagonicus itnusjungatur ,refidttum erit incongru- 
mn, }Z decimm. quinttt, nulluienimdngu/ushabet i&decimas quintas. Si# 
unus addatur Hexagonictts irigbhicis duobus } refiduus etiam Hexagonicus 
erit , £? 'fbrmaerit unaex Juperioribus. 'JSLoh poterunt igitur porrb eftebi- 

niTrigoni. ...,•. \ 

Ergbjifit Trigonicm unusfeitres TetrAgohinonaddentur^rimittm enim 
epnflatur : nec Jpacif Jatis angu/o ierti<efpecieirelihquitur. 

oAddantur uhi Trig&nico duo Tetragonici ; in refiduum adquaiuor rcEbos •»« 

g i congru- 

«efolijs/j./vf,. 



$6 De Figurarum Harmon: 

■7 ' KL 

♦ con.gr ust Hexagonicusiforma dup/ex, Literu Ii continuabi/is ,Kk non contbitt* 

dbilisfine mixturd. Efi% hic cafus fecundus. 

Trigoriicus unus cum Pentngenicis duobus nonjungitur , rcfku. enim hiatus 

14 quindecimdrum unius refii ,a/ienus a Regu/arihus ftpuris:neccum Pentngo- 

mco uno; rurfurri enimrejkint 32 quindecima, cum nulla regularisfigura habeat 

^Squindecimas: nec cum Hex agonicd uno ifaciunt enim z.reclos, ciimnullusfo- 

/us an^ulusfat Untus; dimidium vero hujusfit quantifas Tetfagonici , deqtto 

jam eft aEbwm:nec cumHeptagonico vcl Qtiogonico , ve/ Enneagonico ftngulis; 

rejlnrent cnim proangu/o tertitz fpecieifigurarum , vel 40 %) ne&vicefimx , vel 

•llfext&, te/ 1 6 nonA, qua/es nulla Regto/aris figurahab&t \ 

Ergb Trigonicus unus cum Decagonico uno cbmpofitus , reliri&uit hiatumjt 

2 6 qitindecimas > quantus efi Pentekcedecagonicus. ' Hic efi qitidem congruen- 

tias , fed inchoatztfafreniji. 'N\am Pentek&decagbmts efi impari/atera ;quare 

perXVH. mifcentur diverfz concurfuumfpecies -, in ejufdem figur<e angulis. 

Decagonus quidem pari numero laterum, prxcingipofiei alternis Trigono {$ 

•Pentekdcdecagono , fedfktiim'4uotaies Pentek&decagoni irijetrattub in&urrunt, 

' Jequsimpediuht. 

TJ/terius Tngonicus cum Hendecagonico non potefifungi , reUnquuniur 

■enims.6 Trefittricefirrite, qualem angulum nullafigura Regularis habst. 

' Denifi, Trigonicus cum Dodecagoriico re/inquithiatumDodecagomcunf» 

de qua fbrma jam efl dicJum> 

y . Si Trigonicus majoribusjungeretur ,, minor fieret hiatus , curride minorh 

busjam fit dclwm^. Etficiranfaclum eficumTrigonico;interiresf^ecies dd* 

' mittendo. 

Tetragonici anguliplures uno ,ab/ati d jfrecJif ,norirelinquunt fatis 3a^ 

;€tjpro duarumjpecierum duobus angu/is , quippe quijuntli majbresfierentduo- 

fmreElis. 

j, Tetragonicus unus ,junclus urit Pentagonico , relmquit hiaiumpfo Icofi- 

gdnic»: Sociatur igitur Icofigonus omnibus angu/is,congruit^/egitime : at nort 

contiriuatitf hic ordo verfus exteriofd. Efiergb corigrueritiaimperfe&fU. Eit 

i/ figurdm Sitefd L.l.'Hic teftiuseficafiis. 

4- . Tetragonicus Hexagonico junBus, hiatum reVtriquit pro 'Dodecagomc9% 

Mm Eccefiguram literd Mm: Hic quartus f$ u/timus efi cafits. 

Huc reprfiellam Dodecdgonicam , qudm implent duodecim Trigonv.-vt fic 

quatuor hic angu/i concurrant ad impiendamfoliditatim,duo Trigomci, Tetra^ 

Nn gonieus, Hexagonicus, $ radiusfiiUx.. Eccefiguram Uterd Nn. 

Tetragonicus Heptdgoriito ddditus ^relinquit hidtum 11 fiptimas,qualer» 

' mgulum nulla habetfigura Regularis. Additus Oclogonico , relinquit hUtut» 

OHogonicunu : de quafbrmafupra e Trarisatfum igituf eficum Tetfagonico. 

PenMgonicus cum Hexdgonico ,reliriq~uithiatum 22 quindecimas : cum 

Heptngonico,48 tricefimasqu~intas:Cum Oclogonico,ij decimas,ctlmnuBiuf re« 

gu/arufigura taritus fit aftgu/us% £jf jdm hidtus incipit efie minor • angulo O» 

ilogonico, quiefi ifdecim*. tyltqui fiosjam iltds abfilvimus , quxfunt mim* 

tum angu/orum. TransaBum igitur efl cumPentngonico. 

HeXdgOnicus triplex implet /octimplanum , ergo noripbteflmifceri cum 

duobusje majoribus. EtfictrarKActum efi cum mifiione tTiHmfiguraruvru,. 

XXI. Fj% 



.;: 



CoNGRUENTlA LlB, ff. 57 

XXI. PROPOSITIO. 

QUacuor vel plurium fpecierum figurse planas , non congruunt afl- 
gulisllngulisadimplendum locum folidum. 

zMinimi enim anguli quatuor funt hi, Trigomcus, Tetragoniats, Penta- 
gonicus , Hexagonicus, <zAt horum primus £jf ultimus aquant duos reblos , fe- 
cundus eftrebius , Tertius verbfuperat reBumuna parte quinta unius rebVu 
Sunt igiturjuncii majores quatuor rebiis: quateper XVI, non congruunt, Mul* 
tb magis igitur fuperabuntur quatuor rebli a majoribus angulis. 

XXII. AXIOMA, 

f** UmduoplaninonfuntmajoresterciOj nonformantcuffiiiloart- 
^ 4 gulum folidum» 

XXIII. PROPOSlTIO 

V\ Uo anguli plani,flgiirce imparilacenejcum uno fpeciei alcerius co* 
*~* euncei, non formanc regulare aliqUod folidum. 

f^amper XVIII ,angul: Jolidifiant difformes, Contra defdVin X t 

XXIV. PROPOSITIO. 

TTRes anguli plani , triurn diftin£tarum fpeci* figurarum , unius irfl- 
•*■ parilaceraijcbeunces, non abfolvuncfiguramfblidam perfe&am. 

%urjum enimper XVII, Jo/idifiknt diverfifbrmes , quod e fl contra de- 
finitiones t 

XXV. PROPOSITI6 

^Ongruenci^FigurarumpIanarumadfoIidamfigUramformanckm^ 
^perfedtiflima; Sc reguhrcs . func quinque» 

Efijcholionadultimam ultimi Euc/idis. 'bfamper XV ' huius , incipi- 
musaternU akgulis , £5? psrXVI, definimus infenisTrigonicis,inqUaternis 
Tetragonicis , £? in ternis Hexagonicis , quiaper XVIL hi xquani 4 recios. 

Tres igitur Trigoni,fingulis angulis congruentes , minus quam 4 , ideft i ^ , . 
duosangulos p/anos reciosejficiunt ; Coaptatis igitur tribustrigonis , hiatus im~ fi g fcqufc 
pl&tur quarto Trigono. Hinc Tetrahedron > ve/Pyramk. tis - 

gUatuor Trigoni ,fingulis angulis congruentes , efficiunt 8 tertias, quod Oo.» tf u. 
minus ejt quam 1 z tertU ,feu 4 rebli ifitqUejunblis trigonorum laterib tt Iyra. *' {o1 ie< -' 
mii, bafi quadrilatera hiantacui ex adverfo a/ia U/is Pwamis fimi/i hiatu con^ 
gruit } adfiguramundiq,claudendam.HincOciaedron. 

QuinfyTrigoniffingulis angu/is congtuentes , efficiunt toteriias, quod 
tflminusqukm 12 tertiafit^apmis denis (J denis /ateribus ad angulumcom- 
munem, Pyramis bafi quincflatera, cujus angu/i adbafin, Vt & ipfifiant quin- 
queplanij , oportet binis in ea bafiplants , alos ternos angu/osplanos^ fic decen\ p p . & pas 
iUisalios quindecim^ congruere , totidemqtte porrigi ahrerfums : Gumfumma 4-fo£fe<i. 
tngintap/anorunu , efldecem Trigonorum^ ; ex quibusinmedioZona velco- 

lumn» 



fp."«chi« 
«uiu. 4, 



Q^q & hie 
jaum. i. 



Rr. &hie 
tum. j. 



figurxMS» 

'Iknae. 



« 



► 



$8 Dfi FlGURARUM HaRWLON: 

luntna fit ,hians infta vtfupra,figura quinquangu/ari i in quam congruit alfa 
Pyramis pentahedrlia iftfigura claudatur uhdiife. Hihc Icojaedron. 

Sic efl transaiium cum Trigonii meris. 

Tres Tetragonici anguli ,Jurit tyes reiii ,minus quiim quatuor reiii planh 
con^ruunt ergb adfirmandum angu/um folidum , hiant% coagmentati tetrago- 
ni ftribus reclis planis angu/is , t$ viciffimextant tresangulitrium iliorunu> 
planorum : tres igitur alij Tetragoni,finguiis angulis in unumfo/idum congru- 
entes , aptifunt £9 congrui , quifuis extantibm illos hiatus expleant,Juis% hia- 
tibus illos extantes recipiant. Hinc Hexaedron ve/ Cubus. 

GfuttuorTetragonici xquant quatuor reElbs , quareper XVlnonfb/idum 
quidfirmant. Sie efi transaiium cum letragonismeris. 

Tr&Pentagonici anguiijuht IS quint£ unius planireiii ,minus quam 20 
quintajeu quatuor ' reiii. congruuntigitur aditnum folidum fvrmandum; qiiodfi 
Pentagonus unus in bafidngatur hoc paBo quin^ alijs,figurajurjum hiat / , an* 
gulis p/anis pentagonicis , habet^ extantes quin^ angulos p/anos pentagonicos-,. 
A/ia igitur ex adverjdfigura edfiruenSa, huiusfimiHs; £=f quini aiterutritts a n* 
gu/ip/ani extnntes congruent in quinos reliqux hiatus, £$ viciffim. Hincnafii- 
tur Dodecahedron. Tranfafium (icefi cum Pentztgonis meris , £jf 'fimui r cumf- 
guris omnibus uniusjolius ffeciei coaptandis%quia tresHexagoniciiey XVI.non 
afurgunt adjo/idandunis. 

Hsc func illa corpora quinque > qua? figuras mu ndanas appellare 

Junt foliti Pythagorti ($ Piato , tf 
Euc/idis comme'rMt(h"Proc/us:qu<£ 
quomodo fkerint app/icat<ecorpori- 
iwmuridanis,inpr&tiwbuto itb- 7. 
dixi , incertumefie_3. {fommunh 
quidemperjuafioefi ,dut7aeX Ari^ 
ftotelcj»Phi/ofophos illos adquincj ; 

fimplicia Corpora Mundi refpexip 
ficundum quinariunu, numerumj> 
harumfigurar'um,Jcilicet ad qua- 
tuor Eiementa , Ignem, Aerem,A- 
quam , Terram , tf adficdicTdmj, 
Quiniztm Efientiam ,feu Materi- 
am cce/efiem ; comparatufigura- 
rum proprietatibus , cumfimp/ici- 
etm illorum corporum affeBhnib 9 *. 
T^am in Cubo reiiitudo Juper bafi 
quadratafkihiiitatu quandamait- 
umbrationHhabet, qiae eademprO' 
prietasefi (f MaterU terrejiris j 
gravitntismomentis ima petentist 
cum etiam totus Terrng/obus vul- 
po credatur in medio Mundiquief. 
Viciffim Ochhedri iongruus eftfitusafteclui, fiisaduobmoppofitii 
Mguiis velut in tornofufpendatur , ihttr quos mediopracise loceefi laiensqua- 




tertj» 



**»*i* 




,. ... ... I: 



CONGRUENTIA LlB. II. 59 

■jkrilaterunLs dividens corpusfigur<e in duo aqualia, ficut globum a duohus polrs 
fufbenfitm dividit maximus circuius : h<eceft qu<edam imago mobiiitntis , uti aer £0 „ . en 



eft eiementorum mobiliffimum & celeriteie & Varietatepiagayunu>. Sym'_ oluni 

ln TetrahedropattcitasplahorumfignaYe vid&tur ficcitztem ignis , citrru> \ lQ ^\^ 
definitio fit ficcorum , fuis contineriierminii ; inlcofaedrovkiffim multitudo i_-'mbo.. 
*Lanorumfio.narevideturhumidiU'teihaqu.e,cumde'finiaturhumid'm,", aiie- * Icoil ' 

l J & n ,^' , . J , , dron A- 

»4 contineri lermints ; ejt qutppe paucms,propYiorum , multitudo . adfcitorum qus ty__ 
Z$ alienorum indicinnL*. Et aliter etiam, Trigbnus planus, eft Tetrahedripro- N» 
prius , qttia totn Tetraedricafigura eft trigo%us(3Jidtfs : idem Verb Trigonus, eft 
lcofae-dri non proprius,fedmuiuatiiius,q'tia Icofaedrifoliditas , Pentzr^ontfimi- 
lis efi , non Tvigoni. Rurfium in Tetraedri acumine ab una bafifurgenie . vis 
Ignis penetrativa t$ diviforia viddtur adumbrata eficj , in Icofaedriobtufo £jf 
quinquelineari angulo , vis impleioriahumorun-u ,hoc eft vis bumeffimdi '; inj* 
Tetraedri parvitate sf macileritta , hafura ignis; in Icofaedri mole globfirmi > 
naturaaque, «f quxdam velut figura gutt<e : in TeiYaedro plurimumeft fitper- 
fi.ciei , minimiim corporis ,i» leofaedro moles corporea muitb major quam fuper- 
ficies : qitemad.-nodum in Ignefbrma pr<eceUii , ih Aqua materieLs* 

Dodccaedron verb relinquitur corpori aelefli , habens eundemplanorum^ v vj , 
riumerfcn , qxem Zodiacus cccieftis fignt-rum ;demonftratur%rcIiqUarzhhfigrt-< e^or 

' tT* ._.— _. _. _. *_ _f »__s. _. _J >.-.,. _i _■/_■-_ i-~__ _./••. ~ .-. . /«_—_. ■_■_ j_ _. _L JS. "_.__. 1 _ -■._ ! t \V'h_> 



rarum c.tpaciffima: quemad.mod.um & eceiuin canit ornrittu,. 

H<ec Analogia etfiplaalibilis eft ; hon quidem Jriftoieli ( quicitm creattnn 
efie Mrindam negaret , vim infiguris quantitaiivis J^refs&J^aiem sgnofcere; 



■. oe- 

h iyiE-b.T- 




tum ob quarundam proprietztum difirepantiam in eademanalogra ; fed etiam-i 
cb maiorem convenientiam Dodecaedrt £5? Iccfiedri cttm Igne : denique quid de_s 
Elementorum nitmero £? quiete Teiiuris \difputatio multb maforeft,quam deha- 
rumfiiurarum numero. 

Ghr.dfihic fiuhfliteruHl Pythagorei , noh reprehendo in hacparte Ramumi 
fion Arftoreiem,qucd hane analogiam difputatiorirbus convitljam rejeceritht. Ai 
evo ante annos n)iginti qu.ituor . lohge aliter h<ec quinque corpora in fhbrica 
mundi indaeavi ; dixique inpr.-eambuio itbri I. mihi videri ccnfenianeum ,'ean- 
demdoiirinam etiamVeterumfuifie , fedeccuitzitammorefecl<e. Qumemiri 
haheat Athohomia Copernicana,fieuveteris Arifhrchi Samij Pythagorici, drfio- 
fitionemMundimobiiisUiemji ; zrtfintineofex Orbes Jeu curricuiiL» , ctrcd 
corptts fblis incentroimmobiie circumduBa^ , magniscj, £f interfe inxquali- 
bus intervaliis diremptz, , Saiurniextimi, deindelovis , dein Mariis , indc^ 
TeUuris cum LunOs , tum IJeneris , denique MercuriJ intimi . cumquefigura-. 
iumharum quinque^* , propria ff> efientialts fit infcriptio in Sph<ericam fuper- 
ficienuicuni^angulis , tlf circumfcriptio circa fyhriricariLzfitpcrficierrLs cttrfbb 
centris planorum ; adeoque cuiiibetfigur<e certumfit intervaUmn interCuos hi- 
nos orles : nihilplaujibilius videripotuit, qrtamfex illsrum c<*leftium orbhfn^ 



U 



h;tir~ 



60 Dh Figurarum Harmon: 

RefpiccaJ intervdUa quinque,ex quinquefiguris efie dejitmpta aCreatorCj ;hocordint* i, 
y. cap .m. vt cubm mente concipiatur inter Orbes Satutni tf Jovis, Titraedron inter Jo^- 
vis $ Martis, Dodecaedren inter Martis £jf Terrx, Icofaedron inttr TcUuris & 
'Ueneris, Oitaedron inter "Veneris £j? Mercurij. 

H*c diflrib Htio numeris explorariputefl , neceffitzitem infkrt , corporurrL» 
numerum non conquirit anxie ,flcdinventum otckpat, ; deniqueficeflinflruiia, 
irt ab hii dnnis vigihtiduobm non tntitum nullum invenerit oppugnatorem , Jed 
etiam ipfios Rami incohfiderati Magiflri ff Eucliieomafligis dfcipulospertra- 
xerit ; hodiequelnm muftos peVtrahat , ftjam diidum fecundam edttionem 
flagiteverint Mdthematici. Sed de hac re pturihusag ere ,nonefl hujus Jecundi 
libri ; inveniet leclor infra iibro qriintopiura \ aliqua etiam in Epitomes Jfiro- 
nomi<eItbro IV.ubidrtmharumquirit^folidaVumJigiirarum geriUinm explica- 
turmetnphyfice: nam iUe per anguldtttfhef; norivere tirtmefl^fe&ofiasconjequif 
tur i ift naturapqfliritis quid. 

Yxvi P ropo s i t i 6. 

X Ddipoflimt congruentijs perfe&ifllmis regularibus , dua^etiare a- 

**-liae congruentia?, ftellarum duodecim planarum Peritagonicarum: 

&duaj{emifolids, ftellarum O&angulae , & Deeangutee. 

c .. r ClauduntcnimperitHgonicx folidasfiguras aculeatasimdi^: quarumund 

hb.v .cxpl fit duodecim angulorumquihqueiinearium yaliera viginti ringulorum iri/ine- 

Twn typis arium : iUatrinisangu/is infiflit; 'htecquinlsfimui; iUapulchrius Juper ahguium 

»ri&£ ' erigitur; hxctecliits fedet ; 'tncumberisin quinos. In hU etfi ' fbrihfecm noh 

apparet regu/dre plarium, fidejm loco Triangulum eequicrtiriim PenUgonicum; 

quina istmen hujmmodijcmper in unum idemq, p/anum competcntia ; occitltum 

fitb fo/idiiate quinquangulurru H ve/uti corfiiiim circumfkint ; Jhciunt^cumeo 

dic%mfleUamp'entagonicarii,fisiGit'mdhico Idiomdlc ypidem Trutt*. , Theo- 

phraflo Pardcelfofigriumfariiiatis.. ;}dedcorporisqu6dammcdoeddemefl ; qu* 

JuiPlahi; r j\jbm "Vt irihoc ,fi. infleUa quinquahgula ,binbrum femper irian- 

gulorum laterain unam reblam competunt , qitt partejui interidrefit bafisurit 

exterioritriangulo , latm verb intimo quinquangulo ific infoiido, femperqui- 

norumfo/idorum arigu/orum Triangu/afingula eequicrura ; competunt in itnam 

planitieriUi, quorkm 'quin%'triangu/orum JeufleUiZ ihtiwa meduUa & cor,quin- 

quangu/um,fiibdfis ihunajupfrjfahiisarigui^^ 

quin% folidorums. Eflaiitemtknts, cognatiofigurarum harum , unim cum Do- 
decaedro , alterim cum 'lcofaedro : i/t videaniur hx , prxferiimDodecaedroKJ » 
trsmca quodammodo $ miitila ificum iUis aculeatucompdrcntur. 

OSfenguite verb & Decdngu/dfteUte , laterib 9 'Juorumradiorum,qu<eJem- 
fer in primo c/ quarto,duobm irdnsitis , congruuhi ih unam recTdm, bin<e femper 




ri fzecefle efl, qui c/aitdi noh petefl. Ergbf Xhfmifo/ida irihtum efl coh#ruentia ¥ 
Perfecliffima dicuntur congruentt*,iU*fiiid*,hdfimiJoiid<e i quia rpfis comi 
petit Vl,definitiohujm lib- quoadjoliditdtemiplanitiebm verb ipfis competit de- 
finitiofiguraperfecl<e; qhkefi libro I.fecunda,funi fc. fecundario perfeitx* Nee 
dbfurde dicimm,femtfoitdam pefpiiijfimam , quia innuimm incheari aliquid ; 
eui mn JXvel Xfed cui yWef.competeretfiperficipofiet, X X Vlfc 



GONOROENTIA LlB. tt 61 

XXVII. PROPOStTIO. 

COngruuntetiam adfolidandasfiguras,ferbiregulares figuf^ici* 
licet Rhombi plani,peff e&iffime,idque cahtum bis> 

%w« dmdecimptanisRhombis ; cerix pHportibnis DiagohidrUm ,fit 

Rhombusfo/idus ,figuraceliulx Apiarix , quantumadlaterafex, g? fundum-a 

triangularemfo/idums : ■fihcehimRhombicongraentesfic, irtobtufibbtufist 

acutiacutis app/icentkr*, treshaheritobtufahguloshiatus , triattiam pariaa- 

cut-erum txtantiafupra, tetidemque infra. Qorigruunt igiturtrium utrin- ^" & " 

que Rhomborum , dbtufis conjunilorumternxtmineritix; in hiatus , recipiuntvL n |r lalD r 

fuis hiatibus illorumeminehtias'. _ , . _j 

■* ^, _,, '- v, • _. v ■>. De hat te= 

Sictrtgihta Khombi piant , proporhonis Diagohofum attertus ; fhciunt mmfuprfc 

Rhombum folidum "Triacontaedri- *°' * 9 ' "* 

«_ - ■ • > j • • d / Dcf V. 

<■«»!_ . gwim entm _T ^///?z/ Kbom', 

hf angu/is acutis conjuncii, ad ef- 

figiandos dws fclidos ex opfofitis Xx &h - 

ptagtsjkintes; ciim hient apud obtu Egura m» 

y« conjuncios>quiriorum _f quino- J 01 * 

]r„;„ Rhomborum obtufis a/i/s , im- 

p/enthiatus : denique in utriusque 

&e/utitefix medio , Zona e-x-decem 

Rhonibicis compbftta xiitumit , cbhjungehs %tra'mq ; tefhm. 

T^onefeverb p/urespcrfbcias Rhomberum congruentias ; jftc probaiur. 

Sunt enim duo anguli plani Rhombiciacuti , ~duo obtufi ; quorum femper acutus 

unus _? unus obiufus fkciunt duos recios : necptures iribus obfufis congruunt , 

nefuperent quatuorrecios* fffhtodfiergb tresfo/itm acutosconjunxeris ,fitifc 

tn Cubo , Hexahedron Rhombicum ,cum duobusfo/itm fotidis acutis ,/ongiffim^ 

diflantibus ; cxterifo/idi in medio torporis non tnritum •difhint : nonfervantuf 

ipitur leges definitionis VIII , qux non admittit duos fo/os angu/os ineadeni 

fahxra. Prxterea ex fex fo/idis obtufis quilibet claud.it ur a duobus obtufispla- 

nis _? itno acuto ; qux irregularitasrurfum efl contra definitiones. Ergb non 

tres tnntumptani acuti coiredebent. At aequefex avuti,toiidemfci/icet Rhom- 

lorum, coeunt. Si enimfin^uti habent quaritiuttm z ttrtias unius Recti , ob- 

tufihabebttnt duplam quarititztiem , fcilic&t 4 tertias: &Jic tnm ires obtufi ' » 

quhm fex acutifbrmabitnt 4 ReBos , riecvel illiTJe/hifbrmabunt angu/um fo- 

lidurn-DjfedflerneritcontinUamplaniiiem^VtinfiguraG^ Sin autem dcuti ■ ■ 

minores fumaniur , obiufi maiores truni, _f iresfuperabunt quaiuor recios. Er- 

gb dux tantumfunt perfbciiffimtz Rhombicxcongruentix : Una , ih quaquatuor 

a cuit anguli Rhombici coearit in fff/idum ; a/tera ; iri qua quinque : quibus ta- 

tnen affociatur Cubus , t&nqUamRhomborum omnium principium, quiaplanum 

ipfius efl faterum xqua/ium quatuor, vt Rhbmbicdrumj. 

XXVIIt. PfcOPOSITIfJ* 




Erfe-tacinfolidocohgruentijegradus inferioriSjfpecies fum trede- 
eim; ex quibus credecim oriuncur ArchimedeaCbrporai 

h _ Qum 



XI.II.Aa. 



Oo,; 



f. Ci&us 
fmiu. 



H. Rh.Cu& 

e&aedrows 



£2 De FiguraruM Marmon: 

y'^_ .... , 

(Jui/nehimmifieanturinhQcgradufigurAd^ 
mifiebuniurautdudrkmauitrium^ecierumfigur^ ^Uodfi\duarum > tunc 
intereasvetJuhtTrigoniveihonJunt. 

Igrex Trigohis £•? Teiragohisfiuntjolidatriafquibusquidem deflX.com* 
peMt. f>[am iUa rejicitfirmas hafce tres,in quibusfolidum angulum ciaudunt t 
cumuho Tetragonico plano arigttlo,Um duo } quamtres plani Trigoniciyaut cum 
duobusTeiragoriicis , unusTrigonicus ; quia inpYtmoxaJu unus folus Tetrago- 
nus efijfitiftdimidiumQcTsiedriiS ahgulifbiidifunt diVerfifirmesxinficurido duo 
foli Tetragohiyin iertio duofiti Trigoht: qu&v X ,funt imperfifia. congruentia. 
c R\eJHlnt ergb modi ki , in qtiibus angitlum filidum claudunt 1 tani, Primum » 
quatuor Trigonici tf unus Teiragonicus. Suntenimminores 4 refiis. C on - 
gruuntigitur fix Tetragoni £J* Triginta duo (idefi \zo $$ iz.)TrigonhS$ fit fi- 
gura Triacohtaocrohedrica,quod appelio Cubumfimum. Hic in fchemate fequen^ 
tififiusefi Numero iz» 

■Qitpz%enim Irigoniciplahi $ uhus Tetragonicus fuperant quatuor re- 

tios , cum debeant ad joiidums 
ctaudendum efie minores quatucr 
refiis 3 per XVL Sic eiiam quatu * 
vr Trigonici £5? duo Tetragomct, 
Tres verb Trigonic i £3* di&o Tetra- 
gonicijhciunt quatucr refios. 

Securidbduo Trigonici tf dua 

Tetragonici minus habeni qttatuor 

refiu i Hic igitur congruunt ofio 

Trigoni & fex Tetragoni adfir- 

mandum unum Tefiareskxdecae- 

'dron , quod cubo&aedtoh af>pello. 

Pifiumefi hic num:oc~bvo.Du6 ve- 

rbTtigonicicumiribus Tetragoni- 

'cisfupierkni 4. refios. 

■ ^ Tertibtmus Tri^onicus tf tres 

Tetragohiciminus habent 4.refits 

Hicergbcongruuntofio Triangu- 

la ef ofiodecim{ideft\i & 6)qua-~ 

drangulas j adunum Tcofthexae- 

dron , quodappelldfefium Rhombt* 

Cubofiaedricum: vei Rhombicub*- 

tfstedron. Pifius eft hic numero fyj 

Jhhtsigrtribui/unt Tetragof 

nijuxtaTrigonos : Jequiturvt fc/' 

Pentagpnicos i/sficrfimafibciemiis. 

^uihfyplani Trigonicijuxta unum PenUgonicumnonftint , quiane% 

juxtzi minoremeO)Tetragonicum,fiarepoterant. ^uatitor ergb Trigonici, cum 

uno Pentagonico , mihus efficiunt 4 retfis , i$ congruunt ofiogintst (idefl ~ 20.& 

iV.Bodeca tyfrigoniycum duodecim Pentngonts j ad Jbrmandam Ennenecontnkadyhe^ 

tdron fima droh ,quodappetlo Dodecaedronfithumi Pirigiturhic numero 13. Et inhocordi- 

HifimorHmtUofaedronpofaepteHiumiquodefiquafiTetraedrenfim 

Trei 




IIT.RhesU 

l»ici Cubcto 
iftaedroi» 




CoNGRUENTlA LlB* ff. «>5 

Tresplanos Trigonicosfi itni Pehiagohico afovdveris ,fii qitodjuprh, vt 




V.Tcofid^ 



Pyramis,partes Icofdfdti:nec dngrt/if/idifunt kic ejiisdemjpeciei,qiiia 'itniis am- ? * 
hitut , i/t ih Icojiedto , quihque Trigonicis\ Et transaBum efi cum unico Pen- 
tngohicb. 

<LAt ires Trigonici cum duohtis Penthgonicis p/us efficiitni h reiiis. Traris- y j. j 
dilum igitur efl cam irihusTrigoriicis infocietatemPenthgonicorum adfcifiendis. de c ahe- 

Duo Trigonici citm duobus Pentrigohicis mihus efficiunt 4 Reiiis. xfjongru- ^cm. 
unt igititr vigihti Trigoni Qf dkodecim Pentagoni in urium Tria'contz'k&dyhe- 
dron, quodappetto lcofidodecahedroh. Pihgitur hic Nitmeto 9 . Citm uho Pentti- 
gonico duOs Trigonico-sjam rejicimus , TransaBitmigr efl cum duobus Trigonis. 

linus Trigohicus cum ttihus Pentngonicis plus qitam 4 retlos ejficit , cum 
daohus verb per XXIII. hihi/iegu/are , qitih Penthg^ohus eflfigura irupari/ate- 
taJ. Sicfy irarisaciAm eft cum Penthgohis ih fociethie TfigonuVum. 

Trigohici qitatubt cum uno Hexagohico , £*f dtto ium duobus Hexdgbhick 
imvletpiamtiemiattrsscumduohitsfunimajotes4retlisjCumunoHexao6hico- 
duosfiiosHexagonoiihfiguramrecipiuntirejeci^igrtrihusTrigohicis,dtidfuni 
<s.qiiales itni Hexagohico , quare rejecii pei XXII. ^R^efHit irt itnus Trigohicus 
cum duohus Hexagohicii copuletuf: Itittfe cohgruitnt quaiitor Trigoni cum qlta- . , - 
tuor Hexagohis in uhitm Oifaedrch , ifuodappetto Triiricum Tetraedroh; Pin- & vou *f?l 
pittit Nitmtfo zfbl.jequehti. „ eum. 

Trigoniciquatuor cum uno Hepiagohico ~i$ mdjorihus , fufserahi 4 reffos i 
nutta igiturporrb menHoJhcieridaeflquat&orTrigonicorum:nutta ttiam triumy 
oh cauftsfiepe attegatas : duo verb aimfigrtrarum Hexagmo majoftm binispla- 
riU, fuperant^ 4 reiios : riittta igitut neq, duorumporrb eflfacienda mehtio ; cum 
bin is pla nisfi^tir*. majoyis > nec duotuth cum ithb pla nopgitr& majoris \ , qfiia ifli 
faperantur ab hpc , qubd rejeiium ejl ax\ XXII. ^Refklt ixaminaridus hic ca- 
fm y cumitnm Trigoniius duohus planis f$urk ma]orisHexagohacopitlatur:at- 
qui cum ditohus Heptztgonicis rejiviturfer XXlII. vi £5 c i*?n omhium impatila- 
ierarum duobus ) citm duobus vcrb Qctd%priicis,fit corpus, in qiio cohgruuni ocib ^. • • ,, 
TrigohiW fex OHogoni ihtthiim Tefarak<edecahcdroru>, qitod appettoCubum uuncus. 
Truncum.Ejus figuramhabesjighahtm Numii.fbl.ferf. Cum duobus Decagoni- 
cis ;fit corpus, in quo congruuni viginti Trigoni & 12 Dccagohi,in iinum Trid- 
contirkdidyhedroh , qitod Appetto Tr -uhcum Dodecaedron. ? Idfignatumefliriter VITT. boi 
figitrisfequerites Num.j.Cumdmbsts Dodecagoriicis impldur pJahities , riecfit aecaedroh 
filidus angulus , multbq,mihus cnm majoribus. Eiiransdciumejl ih univer- 
fum cum Trieonis : in dualitzite fyuidem fpecierum. 

Citm ergb inter hinds p/anoritmjpecies non ampUusfitnt TrigonUminimtt 
pirrb figura erii TetragonuL ^Atqui Tetragonici tres , ctim uno majoris p/a- 
ni angulofuperant 4 reclos : \dud verb Tetragonici citm iiho mdjoris,hon ioleran- 
tur, oh definiiionem IX, quia mdjotis Jpecieifigurte istntum dux reciperentur in 
JolidumfUnus igr Tetrd^onictis cum duohus Penthgonicis rejiciturper XXIII: 
citm duobus Hexagonicis coii , £?* congruuntjex Tetragoni cum oclo Hexdgonis - . .-> 
in unttm Tefardk&deidedroh ; quod Appetto Truncum OEkiedron , Pingittirnu- - dr ® u a 
fnkio S fequehtii fiheMdiis.VhiisTeiragohicus cumduobusHeptdgohicisdii/s-, cum. 



«a- 



K. t; 



run- 





£4 Dfi Fiourarum Harmon: 

qfte imparilaterarumrejkitur , ptr XXIII»cumduobwOc~i6gonicis , p/anutA 
kcum imp/et: cum majoribm eiiamjuperat 4 rectos; nec afiurgit adjo/idum an- 
gulum firmandums. Ita traiwatiumefi cum Tetragono , cum duxfo/a. deberii 
tfic p/anorumfpecies. 

Duo Pentngonici cumunoHexdgtihiCo dut quocuri/fc d/io unicorejetlitiur» 
quid inchoant, per XXIII, quodfitprd etiamdeTrigonico & Tetrdgonico cum 
%'mis Pentagonicis ufurpavimm. Injuper cum UKoDecagonicop/ariiiiemJter* 
nunt , nec cum illo aul majoribus afurgunt in foliditatehu>. 

. IJnus ergb FenWgonicus cum duobus Hexagonicis minusfhcit 4 retlis; & 
«umlcofi- eongrumt dmdecim Pentagonicum^viginti Hexagonis in urittmTriacontak*- 
'Q* *' •dybedrori , -quodappel/o Truncum 

Icofihedron. Formam habesJignaJ* 
tam numevo '4 . Necptura expe- 
ihndadPcktngoho. !l\[dmunus 
Pentngokus cumduobusHeptzigom' 
cisjamfuperat 4.rettos. 

Hexagonitmcum dtiobus dlijs 
imp/dt p/anitiem , cum majoribm 
fuperat 4 reclos. Itaq^hicfinti efi 
mixtorumex duabusjpeciebus. 

Qupdjitriumfpecierum P/an* 
eoncurrere pofurit adknum angu- 
IumJolid~umj> : Primumdnguliduo 
ptdni,unus Teffagont, alter Pentt* 
gonifuperant i retl os imajores his,, 
mukbmagis : irei verb Trigom^. 
vum trium, aquant zrehlos : ne~ 
yueunt igr tres Trigoniciadmittii 
hejummaomniu (uperot 4 reBos. 
Duo verb Trigonici cum uno Te- 
tragonico (f uno Pentxgonico vel 
pro eo Hexagonico , aut quocunqoe 
majori,rejiciuntur,per pr.XXlH» 
quia Tfigonus hnpari/ateraffgur* 
cingideberet Tetragonotf Pentsf- 
gono , ve/pro eo Hexagono £JV» 
#cr.RhoaA *V»m igitur Trigohtcm eum duohm Tetragonicis (f Uno Pentagonico, «/• 1 

Scofidode- ntu efficiunt 4 reBis , £j congruunt zo Trigonichm je Tetragonisfs iz Penta- 
^*■"• a • gonis,in unum Hexacontadyhedroh , quodappe/lo Rhombico(idodecaedron,feu (e- 
ftum BJhombum Icofidodecaedricum. Pingiturnum. 71.fi/» aritecedentis 

i Vnus Trigonicus , duo Tetragonici , cum Uno Hexagonico,aquant reifoj 
quatuor i cum uno majori ,/uperant ,• hecadfolidum dfurgknt. Mittamm igi\ 
tmr duos Tetragonicos. 

Vnus Trigoriicusjunm Tetragonicus,(fduo Pehtagonicijuperahi 4 reUoy, 
mukotfe magujibini majores p/ani angutt admifcerentur. Definurit igitur mifZ 
teri angu/ip/ani quatemi adfirmandum unumfolidum ; dejinit ergb (tf Trigou 
^m ingredi mixturam trip/icim^. t{gmm*u Trigonim* unm TetragonL 

sussi 




cca- 
ctiron tiu- 
cum. 



CONGRUENTIA LlB. II. 6$ 

,,.,,...... ., , • ■ . ;.. 

c«r cJ* unus pentagonicuSyaut quicun% alius hujus loco, 'rejiciutiturper XXIV, 
auiatrigonusefiimparilaterafigura^. 

Citm igiturporrbfitit iresjolum anguli plani-.nuUa ititerfiguras toleratuf 
imparilatcra , per eanaem XXIX. 

Tetragonicusigitur,cumHexagonico £=f OBdgonicominimis ,minusfii- x ' 1- ^ ub " 
cittnt 4 reclisi $ Congruurit 'iz TetragOni.S Hexagoni, ^ 6 OBogohi, in unum uuncum. 
Icofihexaedron ,quod appeUo truhcum QtboBstedrohs : non qubd fruncatione 
najcipojfit ifid quiafimileefi iruhcdto Cubdffaedrb. Pirigiturhum. 6. 

Tetra\onicus cum Hexagonico y becagohico , minus 4 reBisefficiunt : 
i§ congruunt 30 Tet'ragohiy2.oH.eXagoni^ \z DeCagoni,inutium HeXacontA- XIII. Uo- 
dyhedron , quod appcUoirunCum lcofidcdecaedrotis, fimi/ide caufa inproxi- *" docl " 
mum.Pingitur'num.7. ...,-... -,. , 

Sipro becdtynicofuccedat injocietatem Dodecagonicus; implentur 4 retli, 
necfitfolidumificetiamfiproHexagonicofuccedatOBogonicus , U ' aliquis , 
OBogonico mdior ,fit tertius ijitperahiur 4 retli: nec mimi* ,fi abfit Teiragoni- 
ctts , fjfjociehtur tres diftinBarumfigurarumpdrilaterarum 'majores, Igitut 
fiat omnis Jrchimedeorumjumilikihtrarium, 1 j.quoderat 'demonfirdndumj. 

XXIX. CONSECfARIUMi 

Flgurae cohgruae func in uhiverfurri duodecim , b&o Radicales (eii 
Primae> & quacuor au&ae feu Scellae. , 

i. Trigonus 'f. Dodecagbriiis 

1. Tecragonus. 8- Icofigonus 

3, Pencagonus 9. ScellaPentagonica, 

4. JHexdgoniis io, ^Sfeila O&ogonica 
5^. Ocidgohus 11. Steila Decagoniea 
6. Decagonus 'tz- Seella Dodecagohica. 

Gradus corighienciae diftin£ti {urit.Iri primo func Trigohus & Te* 
traoonusyquia congruunttam infolido, quam inplano , tamfing/tlarumjpecie* 
rum interfe , qudm junBarum, & cum alijs. , .. , . „ _ 

Secuhhgradu Confifiuni Pentng6nW'citmfleUafua. T^jtm congruunt & 
Jingularumjpecierxm inter (e , in folido: z§ tradunt mutuas operas inplano : fed 
potior efi Pbntdfonus , quia congruit Btiamcumalijs nonnuUistaminplano , 
q-tam injdlido. . „ ' 

Tertius eft Hexagoni i quitifigurk hujusjpecieicongruunt inplano , cunts» 
alijs 'verbtamin folidp quaminpianb. 

Qjuartum gradumienentOBogonus gf ' Decagohu. icumfteUis fitis^ Nam 
Radica les iUa,cum alijs nonnuUis Cbngruunt infolido,(leU<x. verb cumfigurisfin- 
gularumfytcierum quadamtenus : ihplano 'Verb omnes quatuor congruunt cum 
ahjs, megis tameh varie magis^perpB^ OBvgonicaJet~fa\ 

6)uintus gradus habei Dcdecdgotiiim cumftellafua ; quia infolido quidem 
m in : me ,at'm plano multifariam coHgruunt cum aiijs ; 'in fdlido igiturfola mag- 
nttudine impediuntur. Causa plahitiei prxpiretidaeft hdc feBs.gr adtti quarto^ 

%Jltimusgr*dus eft Icofigoni, quia is non tiifiinplano,necnificHni alys, £j? 
cumtUisipfijquofrimperfeBecongruiti 



66 De Figurarum Harmon: 



hfpdfifd/am confideremus Planititm , Ordofigurarum crit ifle. i. Hex- 
agonus. z.Tetragonus. j.Trigonus. 4,Dodecagonus. f.Ste/laejus. 6.0- 
clogonus. ?. Stellaejus, t, Pehtagonus. p. SteUaejus. lo.Decagonus. n. Stel- 
laejus. 12. Ico/igonus. 

Omnes aliae figurae func in eortgrUa^proximus camen congruenri» 
efl Pentekxdecagonus , quia incipit congruere cum alijs inp/ano ; at exc/uditur 
perXXlII.quominuszttlcofigonus, cingiundit^tsquaiiterpojfit. Fofl illttm 
eftfigura 16 laterum ^fimties , qux plane non congruunt cttm regularibus a- 
lijsi impediente magnitudine angulorum, At Heptagonus gsfimiles longe alias 
rationejitnt incongruxfigurx, quia nec toti anguli , nec partes angulorum a/i- 
auol& , proprittfigurarum , cum a/ifs reguiaribus congruunt. 

Ita in tribusperje demonfirabtlium c/ajjibus definit congruentia, in OcJo* 
%pno, DodecagonOy lcofigono , in quart ojfi&rio 'ne incepit qttidem, tixc libro W* 
in de/eclu Afj>ec3uumfuum ufitm habenU 

XXX. G O N SECTARIUM. 

'Lj' X his genuirtum difcrimen apparec incer dernonftracionem &: 
*r congruenciam figurarum causa lacicudirtis. 

fj^am i. Demonflrationis propria gradus ultra Oclogonum , Decagonum 

Dodecagonum , infiguras dup/orum laterum in infinitum excurrunt : Congra- 

sntia in OBogono , Icofigono , Dodecagono (ubfiflti. i. Peniagonus vttmftelld 

fua, causa demonftrationis $Jcien : ti<e, efi ignohiliorDodecagono : causacongrw- 

enti<ein(olido,eftmu/tonobi/ior, $. Oclogonus ibifiqtlitttr Pentngonum ,hic 

sntec edit. 4 . tiekk&decagonus ibi eratpotiore loco, qudm Itofigpnus: & tzmeh 

i-Ha eftfiguraincongrua ,h<ec congrm quadamtenus. f. lAt in Pentek&deca- 

gonoputchraefi reiutrius^ convenientia , analooiam ferVans eandem: quia in~ 

ter demonflrationes nulla illi obvenitprbpria,(eaaccidehta¥ia faltem ; inter vf* 

fi eongruentias nuSa cenjummata ,fedaliquafaltem inchoata , nec totttm 

figur»m tccupam. Hac infra /ibro III, in ortu & ttjujemi- 

tonij Jitnt mtanda^. 



£INI8 IIBBLI IL 



$9g«j m HK« H J. n«vo k Aipliabeti & Nuihrii foliarum i0U9 •. «jui* a» *•• 
pltBfif itfm im prsffio pis fw feftwn. 



$om 



IO. KEPLERI 
Harmonices Mundi 

LlBERllL 
DE ORTU PROPORTIO- 

NUM HARMONICARUM, DEQJiE 

Natura & differentijs rerum 

ad Gantum pertinen- 

tium. 



Proclvs DiadocMvs 
Lib: I.Convinl. ElemcntotumEudidis 

Cum fhHofipbia multas fit comflexafacultates , mu&as& MathetnaticA; 
de \na tjuidem hujusfarte HarmmicediSa , defy Nmntrit 
( HarmorttarumprincipifS creditu~)hM 
/criiit. 

Ad Theologiam prajparacMencisconacus. Nam eaquas 

fton Initiatis circa reritatem reru diviriarum videntur cffe captu difficilia & fublimio- 
ra, illa Mathcmaticis Rationibusdemonfttantur eflefida mariifefta & iine contro* 
▼erfia, perquafdam Imagines. NamProprieratumfupeieflemialium evidentiam d» 
ftenduntinNumeris: & qua: fintlntelledtUaJiumFormarum Poteftates,inRatiocinati~ 
vis clarum efHciunt. Ita^ Plato multa mirabiliadeNatura Deorum nos per 

jpecies rerum Math ematicarum cdocet; ScPythagorica Philolbphia , his ceu velis ob- 
tiubit inftitutioncm de rebus divinis. Hujus enim generis eft univerfus ille $E R M O 
S A C E R, & Philolaus in Bacchis , & tota Pythagorx ratio docendi de Deo. 

Rurlum ad Moralem philofophiam nos perficit , implantans noftris'moribus 
Ordinem, decentiam & converfationem Harmonicam j tradit etiara , qusefigura:, 
qua:Cantilenx>quiMotusvHtutem deceanr: qua do<ftrina etiam Athenxus cxcoli Se 
perfici vult eos, quivirtutibus Moialibusab adolefcentia daturi funtoperam. Quia 
ctiamproportionesNumerorum.virtutibus familiares, explanat , alias 
quidem arithmeticas, alias Gcometricas, alias Harmonicas; 
oftendit & Vitiorum. Exceflus Defcctus^ , quibus 
omnibus dirigimur ad mediocritatem Mo- 
lum, Si decentiam. 



2 LIBER III. 

DE ORTV PROPORTIO- 

NVM HARMONICARVM, DEQVE 

Natura & differentijs rerum 

ad Cantum pertmen- 



cium. 




A&enus Naturam rentm fecuti, pri- 

, mum de Figuris Plams Regularibus diximus; 
1 deinde ad earum Congruencias cranfivimus. 

Infequencibus derogandueric nonnihilMe- 
chodo Nacuralj; uccognicio mencis humana:, 
1 quajnonrard viadiverfa ucicur, canco magis ad- 
'juvecur. Hoc enim nacurareirequirebac,uc 
jam cercioloco explicaremus propcrciones ia 
abftra£to illas, quse incer circulum &parcem alaterequolibet re- 
fciffam conftituuntur; & quae alia; rerum fpecies oriantur ex com- 
pofitione & divifione taliumproporcionum:cumquarcoloco tranf- 
iremus ad opera mundana, quse vel Deus ipfe Creator ad hujusmodj 
proportiones accemperavic, veiNatura fublunarisadprsefcripcum 
proportionum talium, inAngulisradiorum fideralium quotidie ex- 
ercet: ultimo verdfubjungeremus Muficam humanam, oftendences> 
quomodo Mens humana, judicium audicus informans, inftinftu na- 
turaliCreacoremimicecur,deleftu &approbacione proporcionum 
invocibusearundem,quaeDeoplacueruncin attemperacione mo- 
tuum cceleftium. Quia vero difflcile eft , Proportionum Harmo- 
nicarum difterencias , Genera, Modofq; abftrahere mence a vocibus 
&fonisMuficalibus> cumnonalianobisfuppecancvocabula, rebus 
explicandis neceflaria, quamMufica:ideoconjungendus nobis erit 
inhoclibrolocustertius cum quinto & ultimo, dicendumq; non 
tancumde Proporcionibus Harmonicis abftra&is , fedeciam prsoc- 
cupandum hoc humanum creat;onis imicamencum in cancu ; Crea- 
tionis vero ccelorum opus , proper fublimicacem & incredibilicacem 
difFerendum inlocum ulcimum ,ordine illo, qui in ciculo libriprae- 
fcripcus eft. Ec haec dc ordine dicendorura- 

Jamut contraria inter fe oppofita magis elucefcant > lubet 
cfphlfofo" difputationem de cantu humano aufpicarj acommemorationeeo- 
phiadevi^ rum, quae veteresfuperortu confonantiarum funt commentj. 

Nimirum ficuc eft comparatum in rebus omnibus humanis > ut 
quae Natura nobis funt tributa; lnijsufuscognitionem caufarum 
antevercac.-ficeciam circaCantum generihumanoufuvenir, utindc 
ab ortufuo, modulis & intervallis vocumfine fpeculacione aut cog- 
nicionecaufarumucerecurijfdern,quibus ucimur hodie vulgo , in 

ducan- 



nttmcroru. 



Harmonicis Lib. III. 3 

decancacione Melodiarum, non cancum in Templis & choris Mufi- 
corum, fedpaflim fine exercicacione arcis,eciam incompicis & agris. 
ApparechaecanciquicasCancus exlibroprimo Genefeos. Mag- 
nam enim oporcuic effe deledtacionem ex Cancu vocis humanae(cum 
vero deleclacionemdico - y intervalladicoHarmonica&Concinna ) 
qusejamoclavum ab Adanio Iubalem permovit , uc Cancus homi- 
num brucis inftntmentis imicari difceret, docerecque. Nifi fallor, Iu- 
balhicApollo cft, levi mucacione licerarum, qui fracrem Iabelem 
pecuari«auchbrem,fiftulaq;agreftigaudenrem(PanaDeum a Grae- 
cis credicumj Cycharae repercas claro cinnicu fuperavic, maceriam 
chordarumaTubal-caino fracreiquiriobis exnominis allufione Vul- 
canuseftb, mucuacus, 

Vccunq; camen anciquaficCancushumaniforma/exinterval- 
lisconfbnis velconcinniscorripofitar caufae ramen incervallorum la- 
tuerunchorriines,- adeo uc ance Pychagoramne quaererencur qui- 
dem ; & qucefitas per duo millia annorum , primus ego , nifi fallor, e- 
xadtiflime proferam. 

PririiusquidemfercurPychagoraS , cumapudofficinam ferra- 
riarri cranftrec, fonbfq,- malleoriim harmonice concemperacos anim- 
adverciflec , deprehendifTedifferenciarri fonorum efleex magnicu- 
dinemalleorum, ucmagnigravesfonosederent,parviacutos. Cum 
aucem intermagnicudinesfpectetur prOprieproporcio:menfusmal- 
leos,proporcionesfacile animadVercit, quibus harmonica vocum 
intervalla eonfticuerencur, &quibus diflona; quibus Concinna, & 
quibus Inconcinna* Scacirri enini a rrialleis ad chordarum tranf- 
ividongicudiries; ubi aures exadtiusindicanc, quaeparces chordae 
cum cocacorifoneric , qii*eab illa diffonent. 

Prbporcionibus cercis repercis , uc <m o Tl, fupererac , uc eciam 

caufae,feuTO t^loTh indagarencur, curhaeproporciones concinna, 
fuavia, confonaq; incervalla vocum definirenc , aliae proporciones 
diffona , abhorrencia ab auribus, mfueca. Ec icum fuic per annos 
bismilleinhanc fencenciam, caufas pecendas a propriecacibus ipfa- 
rumproporcionum,ucillas concinencurfubrermims quancicacis dif- 
crecae,fcilicecNumerorum. VideruncenimPychagorej , perfedcas 
confticui harmonias , fi chordae aeque cenfae proporcionem habeanc 
incer felongicudinisduplam, & ficriplam, &fi quadruplam, incer 
numeros 1.2.&1.3.&1.4. Qu<e proporciones dicuncur in Arichme- 
tica, Mulciplices. Rurfum pauld imperfectiores effe confonancias 
chordarum, quae faciuncproporcionem fefquialceram, Hemiholi- 
am,- & I efquiterciam, Epicricomfc. incer numeros 2. 3* & 3. 4« quae dua; 
proporciones conjunclae, faciunt proporcionem duplam , incer nu- 
meros 2. 4. vel 1.2. minor vero, incer ^. 4. ablaca a majori 2. 3. relin- 
quebac fefquio&avam > incor 8, 9. Ec cantum deprehenderunc effe in- 

A z tervallum 



4 De Proportionibus 

tervallumToni, ufitaciflimum in omni cantu. Acqui numerus 8. efi; 

2 . \. cubus de 2. & numerus 9. eftquadracum de 3. Iam lgicur hi eranc in 

4. <5. 9. promptunumeri ),z- 3.4. 8-9. Cumautem eadem umtas fic & qua- 

•* ls,lS ' z7 *dracumfuum J &cubus,Binariusverd quadratum fuum haberet 4. 

& cubum 8- Ternarioeciampra:ter quadracump, adjunxerunccubu 

fuum 27. quod exiftimarenc , ad cubos ufq; progrediendum efle , 

propcerea, quddWiundus cocus & vocalia omnia,non fuperflciebus 

conftarencinanibus,fedfolidis corporibus. Deniq;exhoc mitio 

tanta coaluit opinio Numerorum horum, propcerea quod eflenc Pri- 

mi,eorumq;quadraci & cubi ; uc Pythagorei totam Philofophiam 

exijscenfuenntconcinnandam. Nam uaicas repra;fcntabat ipfis 

Ideam & Mentem & Formam, quia ut unitas individua eft, eademq; 

manet & quadratemulciplicaca&cubice,-ficidea?quoq,- indivifibi- 

les & univerfales ciknt & femper Idem. Itaq; unitatem fecerunc 

fymbolum Natura: Identitatis, Numeros vero cseteros , fymbola 

Natura? Alcericacis. Bmarius igicur altericatem fignabat & Materi- 

am, quia divifionem ille admitcit, ut & ifta; & ut iile quadrate* multi- 

plicacus fic 4. cubice 8- qui func numeri diftin£ti a 2 ; ficmateria infta- 

bilis & multiformis efte poceft. Alicer>Bmariuseciamanimamfigna- 

bac,quod cum Mens immobilisfic, auc mocuuniformi fc circulari 

gaudeat: Anima concra rnulciplices mocusacorpore excipiac, adq» 

mocusre£tiIineos>quifuntinfextuplici differencia > magis familiari- 

> terfehabeac. Deniq,Ternariusnotabacimscorpus,compoficurn 

exforma&Maceria, iicuc3.compofkuseft ex».&i. &quiacorpo- 

ra mundana tothabenc dimenfiones, quocTernarius unicaces. 

Anlma Py- Neq; tantum Symbola erant Numeri,crium principiorum > f ed 

eftNumer, jam ipfa Anima componebatur ipfis ex hifce numeris, eorumq;pro- 

&Harmo. portiOnibusomnibus> &fubdivifionibus proporcionumin fefquial- 

^* 8, teras, fefquitertias &fefquio£tavas:ut Anima, vinculumMentis& 

Corporis, eflet in fua eflencia nihil nifi Harmonia,exq; harmonijs 

compofica. Ad hoc dogma duxic illos procul dubio, confideratio ifta, 

quod Anima humana dele£tetur tantopere vocibus,qux aiiquas pro# 

portiones harmonicas magnitudine fuaformant & continenc 

Excurfus de Tetrady Pytha- 

/ gorico, 

Ex principiis pauio antea expofitis videtiir eru- 

endus efleilleTetracTys, fonsperennisAnima:humanae,perquem 
Pythagorei jurabant; meaopinionefic, quod inter criumcuborum 
1.$. &27.binos> verbicaufa inter i.& g.duomedij proportidnalcs 
fenc 2. &4 1 Icaq>numeriquatuor 1. 2. 4.8- quorum fumma)/, ve! 
i.j>p.27. quorumfumma^o. faciunt illum Tetra&yn. Dyos au- 
tem proportionales habentbini cubici>ficucbiniplani unum propor- 
£ionalcna>ucnotum exgeQjoaetriciSa Vt! 



Harmonicis Lib. 111. 



Velfueric Tetraclys ifte i. i, 3. 4. 1, illudprincipiumNume-» 
rorum, 2.Numeroru &Parium primus;j. compoficorum & Impa* 
riumprimus;ducto jam 1. inj. fic redtangulum 3. uteximpari: dudto 
veros-infeipfum, flcquadratum 4. utexpari, cujusetiamin fadtura 
longicudinern & latitudinem decec effe pares , ficut in illius redtan- 
gulo ina^quales. Summa igicur ex 1. 2. 3;. 4. eft 10. & anima huma- 
nafolecadjo-numerare. £cficucfunc4.Numeri, cocidemfc quoc 
eranc in quarco umcacas." fic eciam per eos, quacuor fpecies harmoni- 
arum exiftunc incer 1. z. Diapafon, uc & inccr 2. 4. &incer 1. 4. Dif- 
diapafon, quajfuncprouna; incer 1. j. Diapafon Epidiapence,qua 
habebancpromaximafyftemacisHarmonia> eftq;hic fecunda; certia 
incer z. 3-. Diapence;& quarcaincerg-. 4, Diaceffaron. Nec pluresag- 
nofcebancipfi Harmonias. 

Hazcexmeamence. Ac de eodem Tecradty paulo alicer loa- 
chimus Cameranus, nec paulo redhus; nifi ipfum fefellic mulciplex 
letlio vecerum auchorum : qui, in Graecis commencarijs ad aurea Py- 
thagorx Canruna> fic fcribic. Primum iliijingulariter Denarium Nu» 
meri vocabulo dejignarunt. Quofenfii Plato in Phxdone dixit ; quhd Nume- 
tijemijfis univsrfusfit impar. Defcribantur enim duo numerprum ordines 
ab vnitate addsnarmm altsrnis ; erit vnus ordo Imparium alter Parium , in> 
huncmodum I. j. f. 7. $. (Suminazf.impar ,quadratus quinarij + 
2. 4. 6. $. 10. quot Jc erantimpares.)) 

Vehmlffa vniiate , vtifmcjpw, & Denario vt (inguiaritcr dicio Nu~ 
mero ,fic 2. 4. 6. 8. 

3. f. 7- 9. ( Summaz^. par.) > 

Hocillud anigma; Imparia effe Paria. Singuli enim ex $. f, 7. 0* 
funt impares , at omnesfuntpari numero quaiuor ( Et Summa 14. par.) 

Igitur Denarhss peculariter Numerrn a Pythagoreis dicius-i habsthoc 
pvoprium,quodcoiligiturexvnitate, cjusa;contlnuumukipiicibus vjq; ad 
quaternarium. Fit enim Triangulum numeraie izquifater-um , cujus bajis , 
efi Quater narius ; vertex, vnitas. Ex eo Pythagorici numerum omnem ap- . 
peliaverunt Tetraiiyn. Duplicatis enimprim<e TelraByis lateribus ,fit ai. 
tera TetraBys Pythagorica y Nameri 36. ceiebratifjima fif vndiqua^ vtilif- 
0ma penes ipfos , Trigonus fc. numericus , tujm bajis eji OBonarius. Ita% in 
muitis demonflrationibus vjifimt mtmero 36. maxime in Harmonicis. Nam 
infigurarumhujus Numerjdijpojitionibus invemunturhinumerj 12. 9. $. tf. ,, 
quibusnumeris omnes Harmonicas Conjonantias (ecundum proporticnes In- 
tervallorum comprehenfaseffe demonjirarunt. EJl enim Numerus 36 '. qua- 1 
dratus, ejus^ latus &, Efi Trigonicus > cujus latus 8, efi Qblongus ReBangu- j 
lus, cujus longitudo 9, gf altera ejus /ongitudo 12. ( Novem enim quater, £jf 1 
duodecimter faciunt vtrin^ 36.) Deyity conjeclis his 6,8. 9.12. in vnam l 
fiimmam , exijlit Numerus 3f . Harmonia dicius a Pythagoricis : cuj vnitas t 
additarurjum abfolvit Numerum 36. Ampiius humerorumquiex anteceden- « 
tibusordine naturali funt collecl i ( idejiex trigonicis 1. 3. 6. 10. if. 21. 28. ) l 

3.6.primUi{f3foluiintr&lZ2S)$^MArat<y,habet%latw6.piW 

A $ (compi* 



1 •» 
» t 

1 1 r 



1 r 
x 1 r 

» 1 1 r 

1 i 1 1 r 
1 1 1 1 1 r 

1 1 1 1 1 1 r' 

«iiuii 



1 
> 
t 
1 
1 
1 

111 

t 1 
11 
1 1 
it 
11 
11 
1 1 
1 
1 



1 1) 

1 1 

1 i 

1 1 

1 1 

1 t 



B J J 



I 1 

I 1 

a 1 

t i 

i l 

s I 

i i 

i i 

X I 



1 



I 1 



6 De Proportionibus 

(compofitumfii/icatexomnibusfuispartibusaUquotis^. 2. ef 1.) Idemetiam 

conficitur multipiicationeduorUmprimorumquadratorum 4. & 9. Idem co/- 

ligiturtf comporiitur ex duobus primis cubis 8. Z$ 27. cumvnitatc cubica. 

Propter vjumtammultiplicemhujus Specu/atiorits , TetraBysifiad Pytha- 

goreis conjideraiione fif admiratiorie dignafuii habita inter primas; itaa^ 

tranffumfiruni ittam ad Phyjica , maxime^ad contemplationem Anim<e; mc 

minusadEihica j dl admifcuerunt Theo/ogicaa/iqua* Nam vt Epiphanius 

z 7 ex Irenxocontra p^alentinianos ofiendit,juramentum feceruntTetraByn: 

! intettigebant autemper itta quatuor, Fundum , Si/entium , Mentem , Verita* 

~Jl tem. Etfiin Carminibus aureis ,juramentiformula nen eft TetraBys ipfa , 

fed ille quiper TetraByn exhibuit Animxperennitatem EffentU . Anima - 

lem quidemTetraByn P/utarchus phyfice exp/icavit; vtfit Senfus, Opinio , 

Scientia ; Mens; addidit^ verfitm 

» 1 Foncem , Nacurae quo curgec vena perennis. 

1 Mundanam verb TetraByn licet accuratius in hunc modum intuerU 

■ * l qubd abvnitate,perTerriariamrationsmproduBd,vnitate adimplendum in- 

tervattum irimedium affumpta , Quaternaryfa, circum ve/uti/ineisreBts 

fipta,fictandem TetraBys ifta Denarium efficiat.: cum ipftfit hocpaBo tertv- 

us Trigonorum ingenefi: (Nampoflvnitatem, primus trigonusefl j. cujus ba- 

1 fis2.ficundus6 . cujus bajis j. quorumexteriores ternas lineas fiduxeris per 

1 © 1 tiunBa itticduo,hictria,Trigoriumadumbrantia,retinquitur inmedio nihit; 

Tertius vero Trigonus 10. bafi^filocopunBorum quaternorumjineasfingu- 

las acceperit , exterius circumeuntes : relinquetur in medio punBumunum, 

quodadnuttamfigurantiumliriearumpertinet , fidinteriusjpacium 3 ve/utt 

cor autnucleum,adumbrat. ) HacdecaufaPythagorejDecadem 

Omnicapam Macrem, quasi fepiac omnia circum , 

Cederenefciam &Ihdorrticam caftamq; vocarunc 
vt ait Proclus. Attfc ipfa decem vnitatum confummatioy fc. denariusex hd& 
TetraBy cotteBus , coniinere £$ ' abJo/vcre,Jeu con/ummare exomationemto- 
tiusvniverfiitraditusefia, Pyihagoreis , quos $ Ptato fiquitur. Nam 1. 
vniverfitasfaBa eficorporea £$ finfilis , 2. continet omniaqu& funtinipf* , 
indiffb/ubiliter,per vincu/um Ana/ogi&fiu commenfus. 3. Tota efi , quippeex 
totis Eiementis. 4, Rotundumejus corpusefi. f. Ipja efi qu& in (cipfa pa- 
titur,Z$ afiipja , paffiones omnes<. 6. Movetur in circu/um. 7. Animatum e- 
juscorpusefi. g. Temporis effeBrix efiper revotutiones afirorum. 9. Habet 
facra certafideraiin Deorum numerum re/ata ,■ qutt Annum magnum, vt 
perfeBum,conficiunt. io.Vndiqua^pcrfeBa cfivniverfitafrerumfhabens in. 
fe ' animaliaomnia,quatuorfbrmis affimitata ( afiracceloj avefderj,pifcesa- 
qu<e 3 quadrupedes terra.) Hoc paclo ab vnitate , (i)t Pythagorej > 

Munadis ex ancr o ) progrejfio efivfy ad Quatuor, (vt itti 

donec veniacur ad ipfam 

Tetmdadivmam) fic%denariumparit , matremomnium vti dixi- 
mus. Efiautemvnitatisprogrejfushujusmodi. IJnus enimefi Mundus. 
Binariusfignat, primam ineo comprehenjam mu/tip/icitatem. Ternarius , 
vincu/um 55? Nodum, coaptationi rerum neceffarium : Nam vt dua fo/<e res 
eoeant in unum ,fiorfim a Tertio x mn efi pojfibile. Quater 



1 1 1 1 



HARMONICES LlB.lll. Jf> 

Ouaternarius, efi numerus Elementorum dejnitor & recenjttor t 
Mundus enim ejl corpus ■ jolidum ; Jolida vcro duo , duabus Jemper medie- 
tatibus indigent >vt in continua pro.portione congruant : Horum verb ( Jc. j. 
2- ?.(f 4- ) fumma efldenarius , de quo hallenus, Hic enim ornatus ejtvni- 
verjitatis, bxcdos, qua dotavit iilamjaclor ejus. Ha&enus Cainerarius 
exveteribus:quibuspleraq;confenciencia inculcatHermesTrifme- Hermem 
giftus ( quifquis illc fuic ) filio fuo Tacio : cujus hsec verba , Vnitasje- J/^™^ 1 
cundum rationem Denarium compleBitur., rurfumt^ Denarius vnitatem. philofophia 
Deindeconcupifcibilem Animaefacultacemcomponicexi2. vlcori- 
bus , feu vicijs Echicis , ad numerum fignorum Zodiaci , cuj Corpus 
& hanc ad corp9 vergencem Animae pocenciam fubjicic: Racionalem 
vercfaculcatem Anima^ex Denario &ipfe componic Vircucum E- 
thicarum. Sic quod Pychagora^j celebranc Tetractyn foncem Ani- 
marum, &Camerarius pIuresaitfuiireTetra£lyas,nonillamfolum, 
qua: a quater narij bafi furgic ad fumniam j o. fed etiam aliam praxipu- 
am,qua:abOgdoadis bali ad verticem ufq; colhgit fummams6: i- 
dem & Tatius hic ex docTrina patris Hermctis innuit , dum tempus 
aitfuijTejCumipfeadbucelfetin Ogdoade, Octonano : Filium vero 
Paterad Pimandrum remittit , de Oc~tonario canentem ;in quo fane 
occurritOdlonariushabituum Anima?Ethicorum,fepcem quidem 
refpondencium planecis iepcem , uc apparec , initio a Luna faclo; oc- 
ttavi vero divinioris & quiecioris, ad fpharra: puto fixarum ideam. 
Omnia etiam geruntur per Harmonias ; plurimainculcacioiTi/?^', 
plurima Mentis , Veritatisq, mentio ;propon itur & Antrum , Fundus., 
Penecrale, Crater Animarum, &cascera multa: uc dubium nullum 
efte poflic,qum auc PychagorasHermetifet,aucHermes Pythagorifec 
Accedit enim & hoc, quod Hermes Theologia quandam tradit, cul- 
tumq;divininuminis;fepeMofis, fa^pe Evangeliftas Ioannis in fuo 
fenfu paraphraftes, prxfertim de Regeneratione ;ca:remoniafq; dif- n> J ' 
cipulocertasinculcat;cumidem de Pythagorans affirment autho- 
res 5 partem eorumTheologia: varijfq;ca;remonijs & fuperftitionibp 
deditam fuifle ; &Prochis Pythagoricus Theologiam in Numero- 
rum contemplatione collocet. 

Hax per digrefllonem : redeamu3 nuncadPythagoricamHar- 
monicarum proportionum demonfti ^tionem. 

Huicenimphilofophandjforma; perNumeros, tantoperefu- 
erunt dediti Pythagorarj »• ut jamneaurium quidemjudicioftarent, ErrorPy- 
quarum tamenindicijsadPhilofophiamhancinitioperventumerat: tha g°"oru 

fedquidConcinnumeflet,quidinconcinnum;quidConfonum,quidromHanno 
diflbnum, exfolisfuisNumeris definirent , vimfacienr.es inftincmi aiarum. 
naturali auditus. S tetitq; ty rannis ifta Harmonica ufq; ad Ptolemae- 
um ; qui primus ante annos mille quingentos , fenfum auditus con- 
traPbilofophiam Pychagoricam afleruic, recepicq; incer concinna, 
nontantumfupradictasproportiones, & fefquiodtavamproTono, 
fed admifit etiam fefquinonam pro Tono minorj, & fefquiquindeci- 

mam 



8 De Proportionibus 

mamprofemiconio; neccancum fuperparciculares aliasaddidicab 
auribusprobacas,ucfefquiquartam fefquiquintam; fedeciam exfu- 
- perparciencibus adfcivic aliquas ; uc incer y. j. & incer j. 8. & 
alias. 

Hoc paclo Pcolemjeus fpeculacioneni Pychagorieam de orcu 

EnorPto- proporcionum harmonicarum uc impingencem emendavic quidem, 

lcmsj drea ac non omnino uc falfam , fuftulic : quiq;aurium judicium fua; dig~ 

Namerum mcat j r efticuic verbis & dogmace ; idem camcn rurfum deferuu , in- 

rum&Con- haerens & ipfe concemplacioninumerorumabftra&orumi Caufa 

«ianorum. enim numerifingularumq;proporcionum harmonicarum , ne fic 

ijdem eft adaequaca fuo efFedtuj ; fed in definiendis Confonancijs defi- 

cir,inConcinnisalijsexcedic: NegacPcolemaeuseciamnum, Tercias 

Sexcafq;,minorem & majorem (quaeconcinencurhisproporcionibus 

4. 5-. & 5-. <5. & 3. 5. & j. 8- ) efte confbnas, quod affirmanc om* 

neshodierni Muficibene aurici; recipic viciflim proporciones 6. 7. 

&7- 8' aliasq; incer Concinna Mufica incervalla, ficucCancu 

procedence ab VT in F A, ftacuacur aliqua vox media incer RE & MI, 

inproporcione,qua7. mediuseftincer 6. & 8- quas nocacionis cau- 

faficRI, & jam cani poflic V T. RI. FA. ficuc cani poceft,VT. 

RE. MI. FA. quodeftab omnium hominum auribus& ufu ca- 

nendiabhorretiffimunr, utcunq;chordaeficaccemperari poffincj cn> 

pe quje, cum fint inanimae, iudiciumfuum non incerponunc,fed aia- 

num inepci fpeculacoris,nuIlacenus repugnances, fequuncur. 

Pra:cerea, fimaxime arquales effent iacicudirte, & illa caufa,cx 

Errot ejuf- Numeris abftra&is pecica , & hic effe&usjConfbnanciEe : poffccq; non 

dem innoa abfurde videri archecypalis caufa, ceftans de eo, 'quodPacer re- 

wufa.' Ut mm > Mens aecer na,Numeros illos concemplaca,Ideam inde defump*- 

fericvocumincervallorumq,, quae, ucAnimis humanis placerent, 

conformacioneAnimorumprocurandumipfifuerictnondumcamen 

res adeo effet liquida , cur hi numeri ). 2. j. 4. £. 6. &c. ad incervalla 

Muficaconcurrancac^./z.ij- &fimiles non concurrantmechuius 

rei caufam ex feipfis exhiberenc niimeri uc numeri, Nam caufa illa 

deTernario principiorum,&familia quadracorum & cuborum inde 

dedufta, caufaeftnulla; cum quinariusabillaexulec, qui fibiincer 

Muficorum incervallorum Orcum kis civicacis eripi nOn pacicur. 

SednedhocfacisfacicfpeculacoriiquodfciCjNumeros I. 2. 3-ef- 
fe fymbola Principiorum * quibus res Nacurales Conftanc. Incerval- 
lum enim, res eft non nacuralis , fed Geomecrica; nifi igitur hi nu- 
meri aliud aliquidnumerenc, quodmagis cognacum fic incervallis, 
nullamfidemphilofophusadhiberepoEerichuicCaufae, fedeam, ut 
non caufam, fufpe£cam habebit. 

His igicur de caufis ego ab annis vigincj inhoc elaborandum 
mihi cenfui, uc hanc Machemaciccs Phyficefq; parcem illuftriorem 
redderem, invencis caufis calibus, quae ex una parcei& judicio auri- 

um 



Harmonicis Lib. 111. 9 

umfatisfacerenc,in confticuendo Confonanciarum, caecerorumque 
ConcinnorumNumero;neculcraid quod aures ferunc excurrerenc? 
exalceraver6parceclarum& apercum difcrimen ftacuerent ince* 
Numeros, quiformancincervalla Mufica,interq,alienosabhocne- 
gocio : quae deniq; reipectu camArchecypi , quamMentis, quaear- 
checypo utituradconformandasillires,cognacionemcum incerval- 
lis haberent, eoq; verifimilicudine clariffima nicerencur. Cum enimr 
intervallorum Confonorum c£rmini, finc quancicaces concinuae;cau- 
fos quoq; qu« illa fegreganc a Diflbnis,oporcet ex familia peci conti- 
nuarum quanticacum, non ex Numeris abftra£tis,urquanticace dif- 
creca : & cumMensfic,quae Animoshumanosficeonformavic, uc 
hoc incervallo dele&arencur (quaeeftgenuina definitiocofoni &dif- 
foni ) difFerentias quoq> unius ab alcero , &c caufas , quibus hsc incer- 
valla fiunt harmonica, mentalem & incelle&ualem eflentiam habc 
re oportet: nimirumhanc , quod termini confonorum intervallo- 
rum proprieftibilesumt;diflbnorum , autimpropriefcibiles^auc in» 
(cibiles. Nam fifcibiles illi;inMentem igicurvenire, &ad confor- 
mandum archecypumadfcifci poflunc.• fin aucem infcibiles (eofen- 
fu , quilibro primo explicacus eft. ) manferunc igicurforis excra 
MentemOpificisazterni,nec ullatenus ad Archecypuconcurrerunt. 
Sedde his jamplura, ubi do£trinamhancipfam per fuacapita tradi- 
derimus: quam incipiamus cum Deo.de Cantu quidem ubiq; fermo- 
nem habentes,id eft de intervallis harmonicis non abftracYis,fed cum 
fono concretis ; mentis veroeruditis auribus ubiq; abftra&aa foni9 
intervalla fubaudiemus ; u tpoce , qua; non tantum in fonis inq; Can- 
tuhumano,iedetiam in alrjs rebus fono carentibuSj fuam pariunc 
graciam : uc quarto & quinto libris audiemus. 

C^PITJ LlEKlllV 

CaputL Ortus Corifrtantiarumex caufis fiiisproprtji* 

Capu t II. Defeptem ChordnfeCHomhus HarmohiciS, totidempforishis confi" 

nantiarum Minorum. 
CaputlH. Demedietatihus Harmohicis ; £? Trinitateconfonantite. 
Caputl V". Ortus i$ denominatiointervaUorum ufiialiumfeu cancinnorutfts 
Caput V. SeEhio z£ Denominatio Conjbhaniiarum J> fua intervaUa ufualia-, 
Caput VI. De Cantus Generihus, Duro & Molli. 
Caput VII. Proportio omnium 0B0 jonorum vfualium vnius diapafbh,, 
Caput. VIII. AhfciffioSemitonmu-^QrdoMinimoruinterval: inDiapafo. 
Caput IX» De Diaorammale,Linei5,Notis,Literifcfcfdnorum indicihus s de 

Syflemate, Clavibus i£ Scala Mufica. 
Caput X. De Tetrachordis e? Syllahis , Ut , t e ,mi, fa , fol, fcu 
Caput X I. De Compofitione Syflematum majerum. 
CapUt XII. De Conjonantijs adulterinis , ex compofitione ortis. 
Gap, ATII. De Cantu concinno fimphci. Cap. XlV. DeModisJeu Tonis. 
Caput XV. Quimodi,cjuihusfrviant Affeaihus. 
Caput XVI» DeCantupgurato feuper Harmoniamj>. 

fi CAPVT b 



io De Proportionibus 

CAPUT I. 

Decauiis confonantiarum. 

Definitio. 

(^JVmveteresufi finchis yocibus , MovaQwov Av\i- 
(pcavoVj 0'jULo(pmov, Aict(pa)vov ) '£viu.<p6dvov,Ao-v'iu.(pMov> 

NobisDiffonumidemfonabic,quodA<7U^(£&i/oi/,Confonumidern 
quod2t> fJL(pddVOV j cujus funcdifferencix, Idencicum - , quod pro 
O fA0(pb) VU) ufurpabimus;&: non Idencicum , quod pro AlcitpCt) j/6). 
Ec Idencici eruncdua: fpecies, vnifonum , &c Idencicum ex oppofico. 

Definitio, 

In Geometria differunt vocabulaPars Sc Par- 

tes, Pars enimdicieur.,cuju& eft Tocum fecundum cercam proporcio- 
nemMulciplexjpucaduplum, triplum, quadruplum; Partesvero, 
quandononfolum &unicuTotum, fedaliqua Tocorum multitudo 
fueric illarum Mulciplex. UcjUnafepcimajdicicurPars, quia cocus 
circulus,eft fepcuplum hujus parcis:ac cres fepcimae dicuntur nort Pars 
fed Parces , , quia fumma trium circulorum , eft fepcuplum hujus 
arcus . 

Hic vero nos hac diftin£Hone non ucemur i fed Parcem dice- 
muscamunamquamalceramdi&arum porcionum, hoceft, omnis 
porciolongicudine effabilis, dicecur nobis Pars ; cum hac camen re- 
ftri&ione, fic fueric non majorfemicirculo. 

Refiduumveroilluddicecur, quod ablata portione effabilia 
Toto, remanet, nonminus exiftensfemicirculo. 

Valde neceffaria efi diflinflio Rejidui a Parte, quiapotejl ejfe Pars 
eonjona , ejuffc Rejiduunt dijfonum , vt videbimus. 

Definitio. 

Chorda hicfumitur non pro fubtenfa arcui circuli , ut in Geo- 
mecria, fed pro omnilongicudine, quaeapcaeft adfonum edendum; 
&quia fonusper mocumelicicurnn abftra&o chorda incelligenda 
eftde longicudine mocus cujufcunq;, velde quacunq; alia longicudi* 
ne, eciammence concepca. 

Axio- 



Harmonicis Lib. llti II 
Axioma L 

Diameter circuli,&: latera figurarum Radicalium 

lib. I. explicacarum , qua: propriam habenc demonftracionem, de» 
cerminancparcemcirculij confortancem cum coco circulo. 

Quomodo Circulttstendipoffit , vt /onitum edat , {f quomodo afpgen- 
dus cavo corport , vt refinantia exifiat , velab vnofigno , vt totusfinet , vel 
aduobus, vt partes i id longum hicerit explicare i fictamen exordiendum 
fuit,quia nontantumdecantuagitur, quiefi harmonia cumjonis concreta,Jed\ 
etiamfubintclligidebet intervallum abfiracium afonis. Quodcantumat~ 
linet ,fufficit chordam in *reb~lum extenfamfic dividipojfe , *vt dividitur t ciijn 
efl in circulumcontorta , a latercfigurainfcriptilis. 

Gorollarium. 

Confbnancijeinfinkaefunc, quia figurae demonftrabiles infini- 
t9J. Nondum autem efi tempus dicendi de concordantiarum deleBu , qui 
fefenon profert valde porrb. Pythagorci hic innumeris fiiis , vtcaujis, qu<z~ 
fiverunt metasmagnitudinis intervallorum confonorum,quas filus humanus 
auditus illis figit ,qui non ejl infinit&potenti*. EJi igitur iUa coarciatio nu~ 
mericoncordantiarumHatmonicisintervallis abfiraflis tantum accident*-* 
tiOi non verb caujalist Ipfi etiam hodierni Mufici metas Pythagoricas egrcdi- 
untur i vt de Harmoniis ccelefiibusjam ' taceam. 

AxiOMA 11. 

Quo gradu lateris demonftratio diftat a primoj 

iodemgradu Scparcis circuli,perlacus refciffae,confonanciacum co- 
to circulo, recedic ab unifoni confonancia perfe&ifllma: feu quas fbrs 
eftfigura;, cujuseft lacus, incer figuras casceras; eademfors eftcori-? 
fonanciae illiusjincer ca;ceras. 

Hoc axioma inferius vfurpabitur ad de/eilum concordantiarum bti* 
tendum^ caufajuavitatis. 



AxioMA 



llL 



LateraFigUrarum RegulariumStellarumqj in~ 

demonftrabilia, decerminanc parcem circuli,diflonancem a coco cir- 
culoj ficeciamlacusfigurae demonftrabilequidem,fedrionper fe, 
necdemonftracionepropria. Velpro defeftudemonftracionispro* 
pria*,accerfeex Lib.II. defe&um congruencis: ucroq;modoexch> 
dicur Quia4ccangulum, 

B 2 Hoe 



12 De Proportionibus 

Hoc axiomaabfolvet integritatem caufe concordantiarum , quamego 
fubfiituo, repudiatis Pythagoreorum nnmeris abfiratlis. 



Corollarium. 




iDifTonanc 


igiturhaeparces 




i. 


2. 


J. 


- 


- 


- - 


- 


i- 


2. 


- 


4- 


- 


- « 


- 


i. 


2. 


z- 


4- 


5- 


- -. 


- 


i. 


2. 


3- 


4- 


J» 


6. - 


- 


i. 


- 


3- 


- 


f. 


„ - 




i. 


2. 


- 


4« 


- 


- 7- 


- 


i. 


2. 


3* 


4. 


f- 


6.7. 


8 


i. 


- 


- 


- 


f- 


- 7- 


- 


i. 


2. 


5- 


4. 


5- 


6- 7- 


8- 



dToco 



- ~ - 7 

- - - 9 

- - - U 

' - - J? 

-« - - )4 

- - - 15- 

- - - 17 

- - - iS 
9. - - J9 Etficininfi- 

nitum. 

Axioma IV. 

Figurse, quas cognatas habent demonftratio- 

nes lacerum, pariunt eciam cognacas Harmonias. 

Perhoc axioma probabitut origo Z$ cauja Proportionum Harmomca- 
vum exjuperfiuo. 

AxiOMA V. 

Chordae vel arcus circuli, tenfionis xqualis<«ha- 

bencesincerfe,caufa longicudinis, eandem proporrionem , qua; 
eft incer Parcem vel Refiduum circuli &Tocum circulum ; Confo- 
nanciam eciam vel diffonanciam habcnt eandem , licec mter aJios 
terminos vel fonos illa concineacur. 

In abfiraBofic intelligatur , qubdcirculus cum parte fua, confiituat 
proportiones certas Harmonicas\ qu&in quibuscunc^ inveniantur terminis 
alijs,feu fonis ,feu motibus mutis Jfemperfint Harmonict, 

Additur autem hoc Axioma ideb , quia non omnes Proportiones Harmo- 
nicte immediate ex ipfb circulo oriuntur , prima fiatim ejus jeBioneper figu- 
ram Regularem ,Jeaaccedunt aliqux ex fe prioribus propagata , vfyad cer~ 
tam Metam : vt inpropofitionibus videbimus. 

%Jjus Axiomatisefi inPropof: VII. VHI. 



A 



1. 



XIOMA VI. 

Cum du*e Chordas fonos ediderint Identicos, uox 



HarmonicisLib.111. if 

tercia , confbnans earum uni,confonabit &alteri, dhTonans ver6 
ab una, difTonabic &ab altera, qualibuscunq, diverfis eciam con- 
ionancijs vel diffonantijs. 

Nottt in (iib)eBoponiJJ>eciemJdentiJoni,in Pntdicato Genus Confonjivt 
h&cduo intelligamus iPrimo , Non fequi ,Du&confonant qualitercuny,, ergb 
c5? tertia confonatutri^ , veldiffonat, ab vtrac^. Hocenim ejljaljumde Ge~ 
nere , verumverb de Jpecie Identijonorum * deinde,nechoc fequitur, Sitertia 
conjonat vni Identifonorum aliqua certa conjonantia , confonabit £5? a/tefi 
eJdem Jbecie con/onantice ; hoc enim nonfemper verum ejfet , quod declarabo 
exemplo, licet ex anticipatc. Sint du<z voces,Jacientes diapafo G Z$ gjit tertia 
&,i/!a facit cum G diapente; crgo etiam cum g conjonot,,at non per Diapente, 
Jed per diateffaron . 

'VjUs autemprxcipuus hujus axiomatis ejl Prop, IV. 

AxiOMA Vll. 

Cum dux Chordse vel Voces ediderint fonos 

Identicos , vox tertia exiflens cum illarum una Idencifona, etiam 
cumillarum alceraldencice confonabic. 

Quod in prioriaxiomategenera/iter non potuit affirmari, idjam inj£e- 
fie verum ejl de Identifonantia. 
VJuseflinProp. III. 

Dehisigitur Axiomatibus, pnefertimde quin- 

q,-prioribus,fpeculacioeftfublimis, Platonica, Fideiq; Chriftianae moniamm" 
analoga,adMetaphyficam,adq;docl:rinamde Animafpe&ans. Geo- Metaphyfi- 
metriaenim , cujus parcem hiic fpe&ancem libri duoprioresfunc "' 
complexi,Deo coxterna , inq; Mente divina relucens,exemplaDeo 
fuppeditavit, utin hujus libri praeambulo dictum , exornandi Mun- 
di,utisfieretOptimus & Pulcherinms , deniq; Creatoris fimilimus. 
Dei vero Creatoris imagtnes funt, quotquot Spiritus, Animae, Men- 
ces, fuis finguhe corporibus funt praefect» , ut illa gubernarent, mo- 
verent, augerent,confervarent,adeoq; & propagarenc. 

Cum igitur typum quendamCreationis fint complexs fuis mu- 
nijs:legeseciamcumCreacoreeafdemqbfervancoperis,exgeome- 
triadefumpcas: gaudencq,proporcionibus ijfdem , quibus Deus efl 
ufus , ubicunq,illas invenennc , five nuda fpeculacione, five incerpo- 
ficis fenfibus , in rebus fcnfui fubjectis ,• five eciam fine difcurfu Men- 
tis , per occukum & concreacum inftinclum: five Deus ipfe propor- 
tiones hafce in corporibus & mocibus exprefferic invar iabilicer; five 
quadarn Geomecrica neceffitace maceria; in infinitum dividua? , 'mb- 
tuumq; per materia? quantitatem , inter infinicas proportiones noa 
harmonicas,occurrerintetiamharmonica;ifta;ilustemporibus,&fic 
noninESSEfedinFIERIconfiftanc. NectancumgaudencMentes, 

B 3 dei 



14 De Proportionibus 

Dei imagines, proporcionibus ijs t fed ucuntur eciam ijfdem pro Je- 
, gibus ad peragenda fua munia proporcionefq , eafdem in moci- 
busfuorumcorporum, qualicec, exprimendas. Exempla lucu- 
lcncaduo proferenc libri fequenccs, unum ipfius dei Creacoris, 
quiproporcionibusharmOnicisdifperricus eft mocus ccelorum. al- 
terum Anima.illius,quam Nacuramfublunaremdicerefolemus.ci- 
encis MeCeoraad pra.fcfipcurriproporcionum.qua. oceurruiicin Ra- 
diacionibus Aftrorum. T^ercium igiciir & hujuslibri proprium exem- 
plurtieftoAnima_humanae, adeoq; & pecudum quadamtenus. Illac 
enirripercepcisproporcionibus Vocum harmonicis gaudenc, non 
harmoniciscriftancunaquibus Anima. affeclibus illa. (Harmortica;) 
Confbnanciae iridigecancur, has (non harmonica. ) DhTonanci-e. Quod 
Ji accefTericeciamaIceraproporcioharmonica,vocum fonorumq;16- 
gorum & breviurn, caufa cempOris . cunc illas corpora fua falcacioni- 
bus, linguaspronunciacionibus ad eafdemlegesmovcnc: hucopifi- 
ces Malleorum idtus, huc niilicesgreflum accomodanc > vivunc om- 
Iiia.durancibus Harmonijs, corpefcuncijfdem difcurbatis. 

Ha_c& fimilia, Confilij finc,Inftin£_usve, hoceft Mericisopus: 
aii eciam Nacurae Elcmencorum, Maceri_eq; neceflicacerlac, uc tem- 
. peries fenfibus commoda nulla poffit effe ,nifi qua; conftct propor- 
tionibusfigurarumharmonicis; id varie difpucatum fuic a philofb- 
phis : qu_erentibus omnibus , unde exiftac illa fuavitas , quae -auribusr 
allabicurcxproporcione vocum, qua fuavicacc Cortfonaricias defi- 
nimus» Qui ad Maceriam & Mocum Elemencofum inclinanc , e- 
xemplumafterunthoc, perfe quidem fane quam mirabile, quod 
Expetimes- Chorda pulfaca chordarh aliam non pulfatam fecUfn in foriitumtra- 
tum mirabi hic, ficenfa fueric fibi confone , diffone cenfam imriiocam reliriqitit._: 
4iT c Hoccum nonpofliculliUsMentis minifterio fieri, quia fonus , hoC 
caufacus . Mencem aut intelledlum non habec;fequicur ut id conceiri* 
pef atione motuum fieri dicamUs» Sortus eriim Chord_e, habec 
acumen vel gravitatem , a celeritate vel tarditace vibraciortis,qtia to- 
ta chord_elongicudo libera vibratur > nec inlurit li_efOrtorum difte- 
renciae primd&immediaceinipfalongitudine vel bfevicate/fedfe- 
cundari6,quiafciliceccumlongicudinediminUcacardicasvibracion_s 
diminuicur, celericas augecur. Inde eft , qucd manence eAdem 
chorda. longicudine libera, cenfio ipfa fonum acuic, quia minus 
laxam chordamrelinquens, diminuic etiam fpacium, perquodilla 
f eciproco mocU vibraripofTic. 

Cum igicur duarum chordarum fuericeadem teftfio , fic ut uni:; 
fbriurii reddere poffint , turic fonus unius , id eft fpecies immaceriaca 
corporis chordae, Conftitucas in vibratione , dclapla a fuachorda,fc» 
rit chordam alteraiti _ ficuc fi quis boacum edat verfus Chelyn,aut ali- 
udcavum, eoboacupercUcicidcavUm; facicq;refbn_irechordasejus 
omnes : feric au cem illa vibraciortis fpecies chordam akeram eodern 
rhychmo celericacis, quomovecur&haec, quiaaeque tenfa; utita 
finguli i&us (in quos vibracio divifa eflc iacclligicur } in iingulas per- 

cuffis 



Harmonicis Lib. III. 15 

euffae alcerius chorda; cefliunculas perperuo incidanc ; ica ficuc om- 
niummaximemoveacur illa chorda,qua; ad unifonum eft tenfacum 
prima: movecur vero&illa chorda, quaeduplae eftauc fubduplas 
celericacis , quia duo vibracionis iclus in una chordae cefliuncula ab- 
folvuncur , & fic femper ictus a priori cer cius quifq; , congruic in unip 
cefiiuncula: excremum ; movecur denfq; & illa chorda non nihihquae 
eft fefquialteraecelericacis, quia cresicriunculae fiunc in duabus hujus 
cefliunculis: fed jam incipiunc invicem obviare crebrius llli ictus & 
hx cefliuncula?,feq;mucudimpedire;dumduoillius ictus afinecefli- 
unculehnjusaberranc, unusfolusincidiccongrue: quooccurfumo* 
cus chordarum caecerarum fifticur,nonfecus ac fi quis digicum vibra- 
tx admoviffec. Haec mihividecur caufa mirabilis hujus experi- 
menci : qui me foelicior efl indagine mencis , ei palmam dabo. 

Quidigicur ? ficelericaschorda; unius valec ad mocum chorde Qualis cau 
alcerius proporcionacae,quae , quoadvifum, manec incadta: an non fa voiupta. 
eaedem celericaces duarum chordarnm incer fe, valebuncad cicillaci- cenribus 1 ?" ' 
onem audicus fiiavem ,prOpcerea, qucd ts quodammodo uniformi- 
cer ab ucraq; chorda movecur , duoq; ldtus a duobus fonis feu vibraci- 
onibus in ldem momencum compecunc? Nequaquam ver6, inqm 
ego, icafacile cranfigicurcumhacre;mirorq; Porphyrio commenca- 
corifuper Harmonica Pcolemaei, calequidcircahujusreicaufamfa- 
tis facere pocuiffe; cum profundiflimae indaginis philofophusfic. Ni- 
fiquod venfimile,dirriculcaceperquirenda:caufe cohibicum fuifle, 
quo minus quancum vellec, penecrarec;faciufq;pucavifre,aliquidpro- 
dere, quam penicus cacere, quod curpe Philofopho efle dictitant. 
Nam quae quaefo proporcio cicilkcionis audicus, rei corporeae, ad in- 
credibilem illam volupcacem,quam ex harmonicis Confonancijs in- 
rus in animopeniciflimepercipimus. Nonne fiqua volupcas efl 
ex cicillacione , de ea volupcace primas cenecmembrum, quod cicilla- 
tionemfuftinec? Sicenim definiendusmihivifuseftfentusomnis,in Quidfe*. 
Diopcricis, quodea demum ficabfolucafenlio,volupcacemauc do- ^ 
lorem pariens, cum fpeciesMembriferifionideftinaci, ucid eft affe- 
c~cumabexcernare, venic incrorfum ad fen&^communiscribunal, 
commeacu fpiricuum. Iam vero in audicione confonancium vocum 
velfonorum,quqqua^foparcesvolupcacisin auribushaerenc? Non- 
nedolemusincerdumabauribus , dum inhiamus huic audicioni, & 
manumopponimusclangoribusnimijs, nihilocamenminus pergi- 
musadpercipiendasconfbnancias,& cor nobis fubfulcac? Adde quod 
hazc racio a mocu deducta, pociflima eft in vnifono:fuavicas vero non 
praecipuainvnifono , fed malijs Confonancijs, earumq;compofici- 
one. Mulca poflenc afTerri ad deftruendam hanc allacam racionem Jj a "^[ va 
fuavicacisexConfonancijs;quae micco in praefens curiofius confcribe- mon iarum" 
re : Ulud unicum inculco, quod jam fupra cadcum a me, poflic efle lo- « Mentis 
co omnium, quod Opera Mocufq; corporum, aemuliproporcionum n ep r e ° te n! ia 
harmonicarum , ab Animae, Mencifq;parcibusftenc,ijs caufam af- dam. 
fignances , cur Confonancia? delectenc Nec abhorrec auchoricas 

vecerum 



16 De Proportionibus 

Veterum; qui Animam nunc Motum ,'nunc Harmoniam definien- 
ces s noncamabfurdelocucifunc,quam inepceexcepci : cuminre- 
busdimcilibus, Myftici plerumq,- fenfuslaceanc,fub verborum cor- 
tices reconditi. Timxi quidem Locrenfis philofophia , quomodo 
copoficafic animaex proporcionib$>Harmonicis,de qua inpra;ambu- 
lo, refucacaeft ab Ariftotele in eo fenfu,uc fonant verba: non aulim 
tamen affirmare , nihil in ijs pagellis latere,nifi quod fonant verba : 
imo negaturum puto neminem, quin is author hoc ad minimum ce- 
neat, quodhicaftruo , Mentem effe , Animumq,- humanum , cujus 
feu judicio feu inftinc~tu,fenfus auditus^proporciones fuaves, hoc eft 
confonas , ab infuavibus & diffonis difcernac : quippe qui hoc dili- 
genterexpendit, Propoiciones efse Rationis Entia, racionefola* 
non fenfu , per ceptibilia , & proporciones ceu formam, a re propor- 
cionata, ceumateria, diftinguere, Mencis opuseffe. 

CumautemduasFigurarum Regularium proprietates expli- 

tum^emo- caverimus, Demonftrabilicatemfcientificam Lateruminfmguiis, & 

ftratione Congrucnciam inter fe totarum jun&arum , non ejufdem plane lati- 

fcienufica. cucnrils ut ramq; : de Demonftratione quidem Axiomata noftra fo- 

nanc pociflimum,quiaiia£cmagisfamiliaris,eftproporcionibus njo- 

cuum, ex quibus eciam foni exiftunc. 

NamCongruencia ineft figuris uccot^funt;motus ver6(qbus 
accidunc proporciones harmonicae) figuras , aquaderivancur, la- 
cerain re£tum excendunc ( cumpleriq,ornnesucrecT:ilinei confide*. 
rencur) & fic figuram fuam,uc ferpences Macrem,perimunc & deftru- 
unc Figura in quancum congrua , circulum incegrum diftinguic in 
parces:proportionesharmonic#circulurn diftin&uminreciumex- 
cendunc, diftin&ionisafigurafa&a^a&umdelenc. Sic confonantiae 
cum figuris demonftrabilibusin infinicum excurrunc; Figuraecon- 
grua;Numero duodenario finiuncur, Deniq; diftin&ionem circuli 
quadibet figura facit unicam ; atpartes in circulo confticutse duas 
femper faciunt cum Toto Confonantias. 
Et conem- Etfi veropotiorinhoc tertiolibro, ratioerit demonftracionis 

encia. f cientificas laterum, quam Congruentise figurarum totarum: hajc ca- 
men propcer magnam cognacionem in loco non eric negligenda. 
Primumenim Lacina fignificacio vocis,Congruencia, fiomnia excu- 
tiasjidemlonac, quodGrjecavoxHarmonia, de qtiibushoclibro a- 
gemus : nifi quod ufus voces has erebusfubje&is parumper diftin- 
xic" deindeCongruenciafigurarum conciliacmocibus, (de quibus 
hoc8fc quincolibroj aliquam Congruenciam. Tercio ecfinoncam ad 
figuram cocamrefpicimus,quam adunumejuslacus;quamq; idpar- 
cem refcindic , ea Confbna eft : ac fim ul & hoc verum , qudd non cam 
id confideremus, quancapars circuli fic incercepra, quam, cujufmo- 
di figura id fic fadcum , demonftrabili & congrua, aneonrraria: 
Namfigura quaelibec,exanguIisfuis,exquibushbro IL Congruen- 
tiamforciebacur,adepcaeft & demonftracionem , libro I. Non eft 
igicur ab Harmonijs auferendus refpedtus Congruencia; figurarum. 

PROPO- 



..... 



HarmonicisLib.UI. 17 
* Propositio I. 

Dimidii cum Toto Confonantiapoft unifonum, 

fbla eft ia primo gradu fimplex , perfe&a & Idencica , fcilicecex Op- 
pofico. 

Namquod figuratumefi , idex diverfir efi compofitum , non igitur vel 
fimpiex velldenticum; Figuraenim habetaream, & 'partes ficundum eam, $ 
angulosfitu dijferentet. Quodverb figuratum non ejl , quodfiiiice* area la- 
titudine cara , tf ' Jecundum eam tf partibus , g? angulis , exifiens una mera li- 
nea recTz ^eaa^ <equalis Menfur<epropofit<e .' td ob h<ecipja tftfimplex efi , gf ident 
cum Menjitra , hoc efl identicum. Illiusmodi verbjunt Figur<t Reguiares,cir- 
culo inJcript<e;hujuJmodi Diameter circuli. i,Figurarum enimomnialatera de- 
fleciuHt aqualiter <i centro; Diametcrper ipfum centrum ducitur. £. Menfor,cir- 
lum ab vnopunclo cum latere figur<e dividens , vbiperrexerit hoc ficiendo ali- 
quoties ,fic tandem cttm altero lateris termino redit ad punffumprimum ; Dia- 
meter verbper centrum ipjitm tranfiens,primafiatim repetitione redit adinitiafe 
funBum. 3. Figur<e reliqu<etff longituainem habent lateru, & 'Juperficiem area , 
quam circumdanti diameter nuilam planipartem circumdans includem ve, re- 
petitionibus iteratis , infiipjam fecundavice tota coincidit. 4, Figur<e c<ete- 
r<e circulum dividentes ,faciunt partes multas : Diameterfitcit partes minims 
omnium numero,fc. tantumduas: nec enimpartituratotum , pauciores duabus 
Jhcereomninbpotuit, f. Cum%Diameter fit illa menfura, adquam Latera fi- 
gurarum compar andafitnt , Notionis & demonfiratioriis caufa ; Latera quidem 
figurarum reliquarum operofius defiribuntur , imperficliori^ demonfirationk 
gradu in aclumfcienti<e perducuntur : at diameter circuiifimplicijfima lege de~ 
fcribitur,duEluper ccntrum,ab vno circuiipuncio adoppofitum&quatfy ipfa feip- 
fam , fuiq^ ipfius Menfura efl. $. Figurarum etiam Latcra in divifione vna cir- 
culi,feu in abficiionePartis ,fhciunt portiones inxquales , £*f Partem minorem 
Refiduo: diameter Partem abfe&am relinquit aquaiemRefiduo. H<ecverb pro- 
portio <equalifatis puraefi tffimplex tf perfeUa ; quia partes, quxfunt interje 
*quales, ill<e caufa Menjurationis Idemjunt. 7. Dcni^ figurx c<eter<e circum- 
ferentiam quidem circulidividunt inpartes aquales aliquammultas, at> aream 
circuli in partesinaquales , quia relinquitur in medio vna,fc. area figur<e,major 
quolibet fegmentorum:diameter non circumferentiam tantumfedfimuletiam a- 
ream in duo dividit cequaiid. 

Sedper Axioma II. Laterisfeu tintx , qu<e circulumdividit conforianter, 
ingenium tranfit in conjonantiam ipfam. Ergb Partis , quam de circulo refcin- 
ditdiameter, idefi femicirculicum toto arctifo Confonaritid,efl Jimpfex perfe- 
ih £5f identica » Etper Axioma V. etiam omnes aiid longitudines, qu<efunt in- 
terfi-vt Totus circuius adfiti dimidium , faciunt eandem , idcfl Identicamperp- 
clam ztffimpiicem confonantidm. Et iri Numeris {nofi platie quidem abfiracHi 
fi? numerantibus , fidlongitudinibusnumeratis ) Proportio dupla, inier fi. /» 
*. Vt gf intereorum <zque mnltiplices ,gignit Confonaniidm Idetiticam. 

Notahic , quemadmodumdiameter peromnes fimplicitates $ perfeftio* 
ties fitas, non tamen tamfimplex efi, %JtpunBum;fid mttnst linea , dw/bus circu» 

C tipun* 



18 De Proportionibus 

li punBis tcrminatn, circulumjecam in locis oppofitis,$ partes duas confiitttensi 
£3 quemadmodumifict partes, licet inter fi fint <equales,fingul<e tamenjuo tot» 
Junt minores ificeiiam Conjonantia identica , non eji tamen vnijonus , & vocunt 
licet identice Confonantium alteraUmenminor efl , a/teramajor > illa fci/icet 
acutn,h<ec gravis,illiex oppofito veluti refpondens:vnde Confonantia hacex Op- 
pofito Jdentica dicitur. 

Habes igitur caujamgenuinam ex diametro circuli,curfonm chorda toiitu 
cumfono Chordctdimidia, quamvis inter fe diverfifint , ab audittitamen rejpe- 
c~lu concordantiarum caterarum qUodammodb pro eodem habeaiur. 

Frufird a/ij caujam hujus Identifonantict petunt ex numero vocum oifo, 
cum Identifonantiafit naturd prior divifione intervaHi hujus in Concinna fip^ 
tem, quibus Joniocio defignantur. 

Nondumaute?» tempusefl, huic confonantu Nomen dandi y vti neq c<eie- 
ris: dijfercndumenimhoceji in CaputV. 

Nota tamen tf hoc,quodideniice conjonentetiamd/ta Partes,quanoncon- 
fiituunturper diametrum :fed non inprimogradu } nec vt perfiguras, fidzrtper 
propagationem, de quafiquentesjuntpropofitiones. 

Propositio 1L 

Siduarumcirculiparciumminor ad maioremilc 

habueric,vc ruajor fehabec adcocum circulum, proporcione aliaquam 
dupla concinUe: cunc majore confbnance cum circulo cocoj minor pars 
k coco diifohabic. 

Nam poji duplam efi tripla:tripla verb continua, confiituit loco tertio pat' 
tem totius circuli Nonam , Quintup/a Vicefimam qttintam \ Sextupla imp/icat 
Nonam, Decup/a vicefimam quintam, quia 6 fixies funt 36. qiwdeji quater no- 
vem ,$ 10, decies Junt 100 . quod efi quater 2f. Etfic ettam de cateris. Aiqui 
Nona,ii 2fU,Z$fim'UesdiJfonant atoto,perAxioma IIL Vide libro pHm« 
prop : X LV 1 1- 

pROPOSiTlO 11L 

Chordanriproportione continue dupla, confo- 

nanc mcer fe omnes idencice, diflanciorescamenigradurembciori. 

Habent enim interfemutub tres proxima/ut totuscircutus ifl dimidium, 
S$ quarupars fe habeniinter fimutub. At cumtbto circulo tamdimidia,qudm 
quartapars conjonant,per Ax: L Cumdimidio verh confonat, $ quarta, per 
Ax:V. Quareomnes tresproximainterficonfonant. Identicaverbeficon? 
fonantia etiam partis. quarta cum toto circulo,quid Totus (£ dimidium ejus con- 
finant identice ,per Prop : I. Sic etiam pars quarta cum dimidia,per eandemz 
quareper Ax : VII. etiamQuarta t>ars cum Toto circulo identice confonafci 
$$perAx: V. quodlibetquadruplumcumfimplo: 

Jamverb quaratioeji prima ficunda ^tertia proportionalium, eadem 

erit 



Harmonicis Lib. III. 19 

erit a ficunde tertk & quartct ; £f pc continue trium inter ft proximarum. 
Qmncs igitur proporttonales in dupla continua proportione , confonant inter fc 
identice. 

Notsigitur in talibus.diftrimenConJbnantice ingenere, ($ Identifbnan- 
tidt inJj>ecie.ConJbnantPartesQuarta,Ol~hva, Sedecima tfftmiles etiamgpterAr 
xiomal.i^ ftguras,TetragonumyQtiogonum^c: identice verb conjonant » 
propter accedentem propagationem hujusftcia figurarumex biftciione circulu 

Namji abftt hac propagatione fuiffet ; non fuiffent identicA earum 
confonantix. Ciim enim figura omnes faciant vel multas partes cir- 

culi,fixquales ; velin<gquales ,fitantum binas; cum aream comprehendant ; nee 
circuliareamin<equaliadividant;necearum lateraper centrum ducantur; nec 
inftipja recidant ; nec ctquentur diametro : Confonantix etiam ex figuris Tetra- 
gonicxftcia orta,dilataffent fequodommodoinauditu, & diflendiffent animum 
varietete $ diverfitaie vocummanifefia ; vtfaciunt confbnanti<e , qu<efunt * 
figuris c<tteris,numero non pariterpari laterum conftantibus\ perprop.I. 

Non omnis tamen vis adempta eft huicftgurarumfecl<e,variandi confbnan* 
tiaSy {$ defleBendiillas apuritate Identifinantia ( (icut ipfe dfimplicitate Dia» 
tnetri recefferunt) . Primum enimetfi Partiscirculi afigura refiiffk Confo- 
nantia convertitur inmeram Identifonantiam (propter diciam propagationem 
partiumcirculi, a prima omnium bifeclione ) ; tamcn gradus Ident.fbnanti* 
fiunt remotiores yfimper enim minor cumproximafi majore confbnans ex oppofi- 
to identice , fitacutior , multiplicatis . oppofitionum vicibus ; itacfe femper 
dugentur vocum intervalla. Secundb,in Parte quidemmanet Identifbnantia(vt 
infeciione per diametrum): at in Refiduo nequaquamfet enim Refiduum hocftm- 
per infiguru pofterioribus feipfb deterius , quantum ad Naturam Harmoni- 
cam. Sed de Refiduis talibus fequuntur Propofitiones peculiares. 

Et viciffiim,non fola TetragonicafecTa,ldenticasgignitconfonantias;feA 
etiamfeii<e ceter<e, in quantum participant bifeclione, intaniumetiam ldenti- 
casfaciunt conjbnantias ; fimper enim Parscirculi refiiffa a /aterefigura pofie' 
rhris, cum Parte d Prioris latererefeiffd confonatidentice ; Vt docent propofiti- 
«nes reliquie, Itaconfiftt Analogia omnibus fiiis membris* 
%)fushu)us Prop : efi infequentj . 

PrOPOSITIO IV. 

Chordaquasconfonatcum alterutra Multipfici- 

Um proporcionisduplxcontinuatjconfbnat&cum reliqua:Scfiabuna 
diffbnaci ctiam ab altera diffbnat. 

Namper Pr. Ill.foni continue dup/arumfunt inter fe identici. Qupd ve- 
rb Idcntiearam chordarum vniconfbnat; £jf a/teri confbnat,: & c&tera, ptf 
Jix: VI. 

Hujus propofitionis caufd pofitumfuit Axioma VL tffervit h<ecpropofiti$ 
jam Partibus & Refiduis circu/orum examinandis. Caveant fiioli d contra- 
iiione Propofitionum Z$ Axiomatum : nulla n. Tautologia eft,omnia neceffaria: 
invo/vu fe ' ,quifquis rem brev&s tranfigere vo/uerit. 

Q 2 PRQ> 



bb De Proportionibus 
Propositio V. 

EtfilateraStellarunTdemonftrabilia cxtera, pro- 

pcer demonftrabilkacermeode jure conforias TociparcesinCirculo de- 
cerminancquo jure idfaciuncrigUrs lllarum radicales, UC eft ih Axio- 
ceprimo: excipiuncur camen illa, qua»parcem circuliabfecanc con- 
ftancem numero(parcium quasfecicflgura radicalis ) proprio alicujus 
figuraeindemonftrabilis;quando Parcis&Tociusnumerifuerinc incer 
fe Primi. 

Primahujus propofitionis pars efi axioma ; quodne nimium gencrale fie- 
res,per ficundam propofitionis partem reflringendumfuit. Demonfiratur ati-- 
temfic* Efio nam% circulMaivifiis afigura demonftrabili , verbi caufia ab Ico- 
Jigono: Efiojamftella Icoffgonica, cujus latusfitbt-endat, novem vicefimasab Ico- 
figonofkEfosfic vt 9. if) zo.fintinterfie PrimiJCumergb Pars abfecJafitdecircu/o: 
i/la minor fane erit quam Totum: at poterit effe mdjor ,quam totiM dimidium 
velquartu ve/oEfavaiidtfe eb vfy dividendo, quodd a/iqua totiM parscontinue 
fubdupla ,fuerit minor dimidio hujus ,de quaagimus, Partis : /ut quia in exem- 
p/onoflro Totum efl 20. pars ,de quaagimus, q. (iimatur iotiM dimidium 10. ite- 
rumcfe dimidium hujus / . £3? tertio zfoUnva Totius. H/tc-jam eft minor quam 
dimidiumipfius 9. Habet ergbfe pars nofirag. adocTavam totius circuli zf, vi 
circulM divifusfigura indemonfirabi/iad aliquam fu& divifionu partem', fc 
vt 18. ad fi quintfe autem oBodecimas , Axiomatis III Corollarium pronuncia- 
vit diffonare a toto iS . Quareper Axioma V, nofird divifiontspars 9. diffona- 
bit ahOZfava circuli {divifionis noftr&pxirtibM 2 f): diffonabit ergo per Prop. 
IV. pars nofira 9. etiam a toto circulo 20. qudmvis ejia. ifubtenfafit demonfirabi- 
lis ifedremotifiimo gradu, etiam^fie/ia ejus ex incongruis eft. 

PrOPOSITIO VL 

Refidua circulorum vel chordarum , poft ab- 

fciflas Parces confonas Toci ; fi funcparcis fuse confonancis concinue du- 
pla , confonanc & cum parce abfcifla , 6c cum coco circulo vel chorda. 

Cum abfciffaper Prop.I. cum totoperProp.lV. 



»• 



Propositio VI 1. 



Si tale Refiduum habuerit eandem proportionem 

ad circuli vel chordae dimidium vel quartam parcem , quam Tocus cir- 
culushabec adaliamaliquam Parremfui confonam? confonabicetiarri 
cum Toto circulo s fi uc ad portionem diflonam , diflbnabit, 

CirculM enimtotM,ejufifc dimidium, & ' pars Quartzi ,funtinproporti- 

one continue dup/a : quare (per Pr. IV) qu&refiduaParti ta/icirculi confinant^ 

gonfinant & ' totis^ quxab i/ld, diffonant , etiam ab hoc diffonabunt . At con- 

fonant Parti ta/i Refiaua illa, qu&proportionem eandem habuerini ad illam,qtia 

Tstus 



Harmonicis Lib. 11L 21 

Totus ad quamcun/fc partem confina/n : diffionantq^ a Parte ta U , qu& proporti- 
onem ad illam habuerinf, qttam circulus ad quhn?tun% partem diffionam : ida. 
per Axioma V„ 

Ergotalh Refidua confinant^ Toti circulo ; contraria diffionanta 
toto circulo. , 

Htec prop: efipropter fiquentem P. VIII. 

iaoi pROPOSITlO Vlll. 



>l\1U\ 



. 



Adabfcissamvero Partemfi proportionemcan- 

demhabuericRefiduumjquamTotus circulus ad Parcem quamcunq; 
confonam; confonaceciam cumabfeiffa> ficucprioripropofinone cum 
Toco confonabac : fin eam > quam Tocus ad aliquam diffonam Partem; 
difibnabic & ab abfciffaparce & a Toco. 

Primummembrumnititm 'dxiomate V. r ae& 'pofierioris memhripartim- 
la vna , quod Kejiduum dijfbnet dParte ahfiifja. ghod verb. tale Rejidttum 
diJfonetetiamaToto,ficprohatilr. . ■ • .<■■■■ 

Capit enimidyindiiktproportionclocumtotius circuli perfigura indemon- 
firabilem divifi : quare etfi Refiduum tale , efiminus toto circulo , cujus efiRe- 
fiduum } at, majus tnmen efifimicirculo , eX definitione Rejidui , ^nod (i mafus 
eft femicirculo fto : quartz igitur circuli fuipars,qitippe dimidia.femicirculi,mi- 
nor efi Refiduihujus dimidio. Quarevt Refiduum adcirculi Jiii quartum.i fic 
erit aliquis circulus divifius afigura indembnfirabili , ad aliquamjuam partem 
divifionis illius . At dijfionat totus talis circulus a talijuaparteper Ax: III. Dif 
finabit iqitur S diBum Refiduum , a circuli Jtti quarto , pcr Ax: V. Diffiona- 
bit igitur etiama totofio circulo, per Prop: VIL 

Corollar i um ad has pr opofitiones. 

Sunt ergo 

Diflona Refidua. 



ConfonaePartes. 
I,--_ 

I. - - 

I, 

I. 2.-- 

I. 

I* 3- 

1. 3. 

*."$ 

1. 3. s- — 

* •_". 

M 

Et cajcera 



C cmfonaRefidua. 
I. -" " 

2. - - 

?•------- 

3. 4. ----- - 

s-- — - - - 



..__., 



Diflbns Partes. 



7. 

•7. $r - 

7. II. 



Refpe£t_Totius 



7---"- 

7-9.- -■ 

7. 11. 

9. 11. 13. 15".- 

11. 13- 17. 10. 
13. 17- IP- 23- 



-4. 

" $• 
-IO. 
-12. 
-16. 

-_o. 

-24. 



CAPVT 









22 De PROPORTIONIBUSH 

CAPUT H. -* 

Dq fe&ione Harmonica 
Chordas. 

Hac5fcenus Originem docuimus Harmonicarum 

proporcionum, eamq,duplicem,unam immediacam afigurisdemon- 
ftrabilibus,ijfdemq;&congruisj alceram mediance proportione du- 
pla , qua nicicur coriTonanciarum idencicas. Cum aucem infinicae finc 
liarmonicae proporciones,ejeq,quoad noftra cognicionem adhuc rudes 
impolicae inconfpicuae & innominacae , & coacervacaefeudifje&aepo- 
tius , uc aliqua rudium lapidum lignorumq; copia; fequitur uc pro- 
grediamur adeas poliendas, ad nomina ipfis indenda ,deniq; ad pul- 
cherrimumasdificiumSyftemacisHarmonici, feu fcalae Muficae exijs 
excruendum." cujus confticucio non eft arbicraria, uc quis cogicare pof- 
fic, non invencum humanum cale quod mucari eciam poflic, fed Racio- 
nabiliffima , Nacuralifsima^, adeo,ucDeus ipfe Creacor iHamexpref- 
(eric in concemperacione mocuum coeleftium. Coagmencancur 
aucem Proporciones Harmonicae in unum Syftema,per fecliones chor- 
dasharmonicas; quse quoc fintnumero> idhoccapice perquirendum 
cric. 



D 



EFINITIO, 



° s 

•sr 



Cum tota chorda fecatur in partes tales,quas & inter 

f ? ssfe, &cumcoca fingulae confonenc : feclio Harmonica nobis dicetur* 
H c? ^MediumverofedionishujusjMufice^ideftcdnfonej proporcionacse, 
f \ /ieft parcium duarum aequalium una; velfi inaequales ,earum Major: ex- 
J Med: | crema proporcionis confonae func , Pars reliqua vcl minor , & Chor- 

Extrema <*3 COCa, , 

Objervet Ceomeira Analogiam proportionis divindt ,Jeu(ecundum Ex- 
trema$ Medium : in qua Tota habet eandemproportionem ad partem Majo- 
rem ,quam$ Majorbabet adMinorenLs. Qitodeniminhac feblione Geometri- 
ca eft Proportio eademiid in nojirajefiione Mujica eji Qualitas eadem, qu<e Con- 
Jbnantia , Concordantia , Congruentia, Harmoniadicitur. Cave tamenjub- 
Jumpjeris Confonantiam^ecie eandem y Jicut illic Proportio efi unictu. 

Veteres huhus JeBionistionmeminerunt hoc finfu , quiaverasConJonan- 
tiarum caujas nefcivermt : de ipjorum verbjetlione chordx , agemus infirius. 



i Proposxtio IX. 

Se&io chordas iri parces duas sequales , eft Harmonica. 



T{as» 



H ARMO N I C I S L I B. 111. 25 



T^amquiapartes&qualesfinumedunt eundeminuna afrqua tenfione, M ° fiea ^ 
per Axioma II. ToU -verb ejljingularum dupla ; confinat igi- _ __ . __ t ftra ufitau, 
tur identke cum earum unaqua%,per Prop. I. Tresigiturconfi- y.3g-y5L-- ^"'X*" 
r depnitioncw \ ChordaficTn ejl harmonice. _•__! qutntibus 

— •■$■— _ cau(a cap- 

z tus faeilio- 



nantidt > quareper ( 



iis. 



P 



ROPOSIT IO 



X. 



Se£tio C hordx in duas partes, proportionis dupbe 

cft Harmonica. 

Partes cnim hujusproportionis confonant identice,per Prop.I. Etquia 

pars mdjor efi dupla minoris , tota igiturefitripla minoris. EJf , ^ 

igitur adminorem , "Vt circulus ad partem trigonico latere re- H~_}T(. 
fecfanLs , _f confinam } per Corollarium ultimum capitis prioris : S 

quare^ ' ipJaTotupartiminoriconfinaeJi ,per Ax.P.Confonat, _ . 

igitur _f ejus dupU ,fi. Refiduo, per Propofi IJ^. Tres igitur per ~_IXT5l 
hancfirfionem confinantU conjiituuntur, Ergb. — — ~\~~i~ 

PROPOSITioXl. 

Sectio Chordas in duas partes > proportioni s in- 

icer fe triplae, eft Harmonica. 

JSlamquiapartes.i.£$ $.funt adinvicem tttpars Circuli Confonaadto- 
tum ,confinabunt £$ ipfiinter fe,per Ax. V. Etquiai. _? ?. fa- 
ciunt 4- pars i. cum toto 4. confonabit per Axioma I. _? per L _- A^, 
Pro: III. fl -' 

Deni% quia Rejiduum 3. confonat, cum parte 1. conjona- — 3i — 

bitetiam cumejus quadruplo 4. fic: cumtota cborda> Qupre _f* — !*• 

bktresfimt confinantU. ~~ ~" V""+" 



PrOPOSITIO Xll. 

partes proportionis inter 



Sedio chordae in duas 

fc quadruplce, eft Harmonica. 

Nam quia partesfunt in quadruplaprop: confinani igr inter — <_-■$•- 
Jeidentice,per Prop. Ill.ii quia /. _? 4.fkciunt /. ergopars 1. cum B _____ 
totzt s .confonat ,per Axioma /._? Oorollarium diclum.Quaretotn, £ 

/. confinat,etiam cumpartisi. quadrupia 4, perPr.I^, Tres — ~ 

igiturfiuntconfinantia. Ergo&c. — '—§ — * 

PKOP. 



*i 



. , . 




24 De Proportionibus 
Propositio Xlll. 

Se&iochorelannduas partes proportionis intci* 

Ce quincuplae , eft Harmonica. 

. Namquia pars efi i. rejiduum f.habent igr.proportionem, quamcircuius 
totus adpartemconfonantem,per Ax. I.£f Corollarium diBum. 
^uare & ipfe interje confbn<eJunt , per Ax. V. Et quiapars I. 
cum Rejiduo f.facitS. totum : igitur(per Ax.I. tf Corollarium) 
pars i.conjbnat cum toto 6. Et quia, Rejiduum /. eftadquar- 
tampartemdetotoCirculo6, (Jcilicetad ij.hujus divijionis ) 
ut Circulus totus 10. ad partem confonam $.per Coroliarium : 
quare fif Rejiduum f. cum toto 6. conjonabit , per Prop. VII. 
Velquod eodem redit , quia Rejiduumf, eji ad tctius Circuli 6. 
duplum 12. utpars conjbna ad totum ,per Corollarium : quart zf 

hoc Rejiduum f • confbnabit cum 12 . duplo totius, per Ax V. Ergo etiam cum 

Jimpio,Jc. cum ipja tota 6. confonabit , per Frop: IV. Itatres fiunt confonan- 

tia. Ergb&c. 

PropositioXIV. 

Se£tiochordaeinduaspartes , proportionis intef 
fc fefquialcerae, eft Harmonica. 

Namquiapars2, cum Rejiduo 3, confiituit proportionem (ejquialteram , 

Q habet igiturfi Pars ad Rejiduum, ut aliquod confonttm Rejiduum 

§ a z.Je habet ad circulum 3 . per Corollarium ; quare tf pars htec a. 

' _, cumJuoReJidud3.con(bnabit , per Ax.V. Etquia pars 2. tfum 

!K-«;"5r; rejtduo^.facittotumf.parsverbi.ejufyrefiduumq.cumfuo 

— — ■ toto f. conjbnat per Corollarium : confonabit igitur etiam 

~""V""- " " tota f . cum conjona Partis 1, dupla 2.qux hoc loco nojlra Pars eji, 
" velcumconJoniReJidui4.dimidio 1. Per Prop: IV. Idem Jequituf etiam 
Jimpliciter ex Propojitionis V. parte primdaxiomaticd; quia Jubtenfa duabus 
quintis demonjlrabilis eji,quare tf Conjbna. Deni% quia partis 2 . Rcjiduum 
3. efi adtotius f.partemquartam , ut totus circulus 12. ad partem confbnam 
f.per Corollarium : confbnabit igitur & Rejiduum nojirumj, cum toto f.Pef 
Prop.VII t Tresigitur conjonantiaexijiunt. Ergo. 

PropositioXV. 

SectiQchordann partes duas,proportionisinter 

{cjfuper-biparciencis cercias >feu 5. ad 3. eft Harmonica. 

Nam quia proportiopartis 3. adReJiduumf.eJi eadem, qm alicujus Rejt- 
dtti^. confbniad totam f ,per Corollarium : quare per Axioma Vetiamnojira 
pars 3. cumnojlrorejiduo f. confonabit. Et quiapars3. cum refiduo f . facit to- 
tam g.quareg Coroliarium,pars 3. confbnakt cum tota 8. Deni% quia Rejiduum 

f.ad 




Harmonicis Lib, 111. 25 

f.mdtotius S.partem dimidiam 4,Jehabet ut tbtus eirculusf. ad 
Rejidimm 4 . confonumi vel adtotius S.Partem quartam z.vtto- 
tuscirculusf. adpartemconjonam z.perCorollarium: confinabit 
iaitur Rejiduum nojlrum etiam cum Toto S. per Prop: Vll. 
Tres igitur i$ hicfiunt confinantU > Ergo. 

Propositio XVI. 

Sichordaieceturinduaspartes Effabiles, intcr- 

q,-illas&cocam,hoceftincer cres cerminos rueric ditTonancia una; o- 
porcec& akeram diflonanciam incer illosefle. 

Nam caufa diffonantia erit , quod veltota velpars haheat numerumpor- 
tionum iflius divifionis,pr:jpriumfigurxindemonflrabdis. Atqui talis Nume- 
rusne^maiorialicuiNumero. ) quiproprhisfitfgurxdemtn(irabilis i confinejo- 
ciatur , ne^viliminorifeipfo, per Akidnm 11 1. g? V. & Prop: V. e? VI L 
Terminus igitur iile, qui conJiaL numero tp.li Portionum , diffonat, a duobus ter- 
minisreliquis ,Jeciionis iilius ; i^ficduxfunt diffonantU fimul. 

Huic propofkioni in geomecna fimile eft hoc , quod fire&afece- 
turinparias EfFabiles, fueritq; earum una incommenfurabilis alicui 
Tercia: ( non Tociex ucraq; compoucaj uc hic): alceram quoq; eidem 
Terciae incommenfurabilem oporcec efle. 

Auc, fi recraiececur m parces incer fe incommenfurabiles •* utra- 
q; eric Toci incommenfurabilis. 

PrOPOSITIO XVll. 

Si chorda fectetur in duas partes longitudjnfc 

EfFabiles, fuerincq; incer.illas & cocam, hoc eft, incercrescerminos, 
confonancia: di\xs pporcsc &c cerciam efle confonanciam. 

Si enim dux confinantia funt , cumfint proportionum non plures quam 
tres: nonpoterunt igitur effe dutt diffonantix : Jinondu<e. dijfonantU , ergb neg 
vna,per XV 1. converfum: Ergoomnes tresproportioneserunt confinantes. 

Sicin Geometria, fi recta fececur in parces incer fe commenfu- 
rabiles>totautriq;partium erit commenfurabilis. 

PropositioXVHI. 

Sectio chordae in partes duas longitudinc E f- 

fabiles, inquavel Toca velParcium alcera numerurn porcionum ac- 
quiric, prophum figurse indemonftrabilis, (quando quidem Numeri 5c 
Tonus & Partium incer fe Primifuerinc ) non eft Harmonica. 

Demonfiratur njt X VL Fiunt enim ex tribus trium terminorum fri~ 
fortioaibus ad minus dux diffonx , contra Definitionem fr&miffam* 



1- i 



7- 



26 De Proportionibus 

Bic funt tria exempla , in primo major pars, eft fepcem odlavje , 
inukimo Minor eft unaNona; inmedio,Totumcapicparcesfeptem> 
omniadifsona. 












=£-7. 



Loca fic El notaca , Hotis 

uficata; Muficse nequeUnt 

exprimi» 









Proposxtio XIX. 

Poft Octogonicam nulla datur fe&io chordx Har- 

monica. 

Sequentes enimftftiones autfiunt perfiguras tndemonflrahiles } earum^ 
ftcllas i & tunc partes/icet, inter/e confinare pofimti tamendifionant a totOjper 
Ax -III. Autperfiguras demonftrahiles demohftratione impropria, irtperPen- 
tekxdecagonum; difionanttfe propria partes JeBionis atoto , per CoroHariumad 
Ax.lll. Autper demonftrahiles demonftratione propria: qu<z poft Peniagonum 0* 
mnes funt parilaterne , vide lihrum I. Ergo partes tnlium JeBionum pro- 
prias yoportet conftituere numero portionum feBimis impari ; ft enim parinw 
mero fumerentur,Pars efiet non hujus JeBionU fedprioris propria-.njt divija chor- 
dain io.fiportionum4.vel6fimpferis,perindeeft,acfidivijachordainf.Jume« 
fes portionum 1. vel j.Cumergb Parsfit numero impari; Tota numeYopari: ipfii 
quidem Parspoterit confinare Totifi nonfit major quinario (per Pr. V.) at unA 
conjonantia nonfitfficit adfiBionem harmonicam, vt patct ex definitione: tune 
*verb difionumerit Refiduum : totaenim ponitur portionum plurium quam S t 
f$ Kefidui definitio eft ,iJtfit majus dimidio,fi: ma)mquaM4. Minimum ergb 
Refiduum in diviftone oBonaria, ejl f. in numerofiorihm eft majus quam /. 
ln omnihus ergb fiBionihm Chord&pofiOBonariam,Refiduafitntimparinu~ 
merOy majori quam f . At qui Numeri impares, majores quam f . proprifjuntfi- 
gurarum indemonftrahilium , per XLr '$ ' XLrll lihriprimi. Ergbpep 
Prop: XVIII hujui, Refidua heeccaufantur fiBiones non bdrmonicM. 

Oorollaria. 

1. Scctiones unius chordxHarmdnicas funtnumero 

feptem > non plures. 

II. Propagatio numerorum , quifbnt chara&eres feflioftuiii • fic 
hocpa&o. frucioponitur Fraftioaisforrnft Totiim, uriitasfcilicetfu- 

prapro 



Harmonicis Lib. 111. 27 



pra pro numeracore, &unicasinfra pro denomi- 
nacore : deinde ucerqmumerus feorfim ponicur 
fupra, &fummaucriufq;ucrinq; infra; ucexuna 
qualibec frattione duo oriancur rami , eoufq,- 
dum ex fumma fiac numerus index figurjeinde- 
monftrabilis. 




CAp. n. 



■7* 7 



I I 



9 



Canfkfepte 
jiarij hujuc 
fucceflWe 
invcnta. 



1 Idem. 



i r 



i 5 



norataca 



Has fe&iones chordaj feptem pri- 

mum audicu indice inveni, cocidem nempe, quoc i_ f> 

func Harmonias non majores unaDiapafon: po- 

ftea caufas & fe&ionum fmgularum , & univerfa- 

rum Numeri,non fine labore ex penitiflimis Geo- 

mecriae foncibus erui. Legac curiofus leclor , 

qua: de his fe£tionibp ance annps Z2. fcripfi m My- 

fterio Cofmographico, CapiteXII. &perpendac, 

quomodofuerim illploco hallucinacus fuper cau- 

fisfe&ionum & Harmoniarum ; perperam nifus, 

earum numerum & raciones deducere exnumero quinq; corporum 

Regularium folidorum: cum verum fichoc pocius, cam quinq;figuras 

fohdas , quam Harmonias Muficas & chorda; fe&iones , communem 

habere originem ex figurisRegularibusplanis, Ec Pcolemau quidem j 

Muficacumexpoficione Porphyrij.quorum loco allegaco mencionem Ptoiemao 

feci, hadtenus manufcripta nactus fum 3 ex liberalicace Jo: Georgij Heer- & P°rpty. 

vvardi Canceilarij Bavarici ; cx quOrum libro cercio parcem pociorenv 

in Appendicem ad libros IV. & V. hujus operis cranftuli: caufas vero 

Harmoniarumgenuinas in ijs non invenbadeoq; nefe&ionumquidern. 

harum , Numeriq; earum feptenarij , ulla ficmencio. 

Ecfiverdmacurefacisanimadverci, caufasafiguris planis pecen- 
das;uccujusreifeminajaminallegacocapiceXII. Myfterijfparfa vidcs.* 
atcamen diu admodum me corferunc , priusquam omnibus animi mei 
fcrupulis facisfierec. Primumenim Figuraedemonftrabiles a non de- 
monftrabilibus eranc feparanda:;poftea caufa invenienda, cur cum fe- 
cT:ioneshaeefsentexfiguris,fedtionesquidem intra feptenarium con- 
fifterencfigurae ininfiniturjn excurrerenc, Tertio difcrimen inter 
Pentekaedecagonum & demonftrabiles caeteras eratftatuendum ,• quia 
vidi , figuram illam exclufam efse ab Harmoniarum procreacio- 
ne , tefte audicu. Ethabebanc fingula capicafiias cautiones concifiores,- 
quarumunaquaelibecmediu tenuic occupatum. Exemplofit pro- 
pof. V; quam ultimo omnium , cum jam defcriberem opus, vidi adden- 
dam,quod haftenus ignoraveram.Nifi enim & illa intcr principia efset, 
©t,fiverbicaufa,feptemvicefimaeproptereaefsentapt£ead ftatuendam 
harmoniam, quiafunt per tres vicefimasfcum quibusfemicirculumfa- 
ciunt)demonftrabiles,cunc&feptemdecimse,&quinq;feptimae,e6q; 
& dua; , &una , fepcimae, harmonias facere convincerentur, quodora- 
nibusmodisrepudiant& aures,& Axiomata noftra. 

Igiturvelfoloalle^acblibrimeiMyfterij cofmographici ceftimo* 
nio, fatis eft municus audicus ' , concra Sophiftarum obcrectationes, 

D z fidem 



28 De P&oportionibus 

,. f fidemauribus derogare aufiiros eirca divifiones adeominucas,&diji:T- 

cero tcfti- dicaicionem concordanciarumfubcllifTimam.• quippe cumvideaclecfor 

monio con m e fidem aurium illo cemporc fecucumefle , in confticuendo fe&ionu 

scnaiius. CP " numero, cum adhuc dc cailfis laborarem; nec idem hic fecifle, quod fe- 

cere Veceres ; qui aurium judicioprogrcffialiquacenus , mox concem- 

pcisduGibus,rehquumicineris, Racionem erroneam fecuci> perfece- 

runc;auribusviquafipercradT:is,&plane obfurdefcerejuflis. Ex abun- 

danciveroinfracap. VIII, hujuslibri operamdedi, uc cuilibec effec in 

&■&. pfomptu faculcasfuopce Marce confulendi audicum fuper his alijfq; 

chorda?divifionibus ; earumq; ceftimoniunipcnficulandi,- uc Cercus fit» 

ea>de quorUm caufis laboramus, fenfuum cxpeYiencia cercifllma nici , 

necfponte mea (cujus criminis Pythagorei inparce reifunt)eflc cjon- 

ficla, proq,- veris obtrufa, 

CAPUT IIL 

De medietatibus Harmdhicis, 

&C Triiiitate concordantium 



fon 



orum. 



Vanaeft definitio propoitionis Harmonica*, quod 

fit illa , ubi tribus Nnmeris ordine naturali locatis , binorum vicinorum 

• \._ , Exceffusfuntinprdporcione Excrcmorum: vcinnumeris 

3" 2l — ' %' ^* &• maximus 6. eftduplus minimij. & fic etiam dif- 

^~X~^" ferencia z. incer binos vicinos majores 4. 6. efJt dupla diffe- 

2F v^* renciaei. interbinosvicindsminorcs 4.?. 

. Inferam camenmodum inveniendinumeros concincnces talcrh 

ftitueudi° n proporcionem, Muficam ab auchoribus diclam : quiaerebro ex Har- 

quamcum- moniea dodtrina cranflumicur in Echicam & Policieam. Moaus eft ca- 

^emMufici us ' ^ ro p ^^ duobus numcris interfi Primis,quieontinent proportionem^ Ex* 

cx fcntentia tremorum ( e tribus mufic? contemperandis exjententia veterum) i$ differen^ 

vcterum. tiarum vtriuj^ a Medio ; Multiplica vtrumft injeipjitm Z$ ambos in/e mtiiitb : 

Jhclprum trium duos minores adde pro Minimo inveniendorum , duos. majore» 

adde pro Maximo , Mediumduptica pro Medio Mu/ico veterum' P^erbi cauja» 

fint inveniendi tres numeri inproportione Muficayeterum tali, hrt Exiremi ha*- 

beant interje proportionemeam, qUx. ejl inter j. tf $. Ter 3- fi* nt 9' ^ er / rfefy 

jf.Quinquiesf.(unt2f.Junt igiturfhctiy. if.Zf. Adde 9. f$ if.fiunt 24» 

Adde if. £$ zfyjiunt 40. dupiica if.fiuntp. Sunt igr hitres qu&fiti 24. jo.4.9. 

quorum differentitt (Extremorum a medio)6. 10. Nam vt j, *df.fici4-*& 

4o.fic etiam 6. adio. fn minimis interje Primis iz t if.zo. . ■ 

Haec quidem verc eftharmbnica prqpdrtioetiam mihUquianon 

tantumpropofitaproportio incerj.c. cftharmdniea,perPrdp: VIIL 

Iknchui CoFdlLfedeciaminvencus Medius numCrus ic.confonasfacicpropor-» 

k u J utmo<ii -cionescumExcrcmisi2.&: 20. per idem Coroll: Achocnonfempee 

fit. Quotieseniminterduosnumeros hoc pa£io propofitos, mediura 

Arichmecicum cum excrerais diflbnanfccs proporciotiej decerminac, 

wcies 



Harmonicis Lib. III. 29 

coties proveniunt ctiam ex hacoperatibne cres numeri in proporcionc 
revera non Harmonica , quamvisduo irticio propofici proportionem • " 

folicarij concineancharmoincam.Sicfic jn i.G. ini.g.in j.4. in 4./. in j.<j. 
m z.$. in?.8- in5- 8- Verbicaufaincer2.5\hoceft4.io.mediccas Arich- 
mecicaeft7.nonharmonica,quia7neq;cum4.neq;cum 10. confonat, 
per Pr. V. Operare ergo fecundurri Regulam > prodibunt numeri 
j4.20.3y. cUmexcefllbus<5 1/. ubi 20. fecundii veceres dicendaCffcc me- 
diecasharmomca,quiauci4. ad J5.(ideft2. ad^Oica^ad 15. Acquiau- 
resomnind repudiant 2o.35.(quippe4.7.) & 14, 2o.(quippe7- 10.) 

In fectionibus igitur harmonicis cap II. cocidem fe orFerunt medi- 
etaces,quocfuncfe6tioncs,unaminus: & Mediecas inillis quidem fe- 
ctionibusfumitur ftrichorifignificacu,qucd ficchordze harmonice feclac 
ininasqualia,Pars major^feu nrtmerus illamexprimens. Sic 2. eftMediu 
harmoflicum incer 1. 3. ficj. incer 1. 4. irtterq,^/. fic^. incer /./. fic /. 
irtcer /. 6. lnrerq; /.8- 

Pracer has vero func eciam alia;Medietates,folutae haclege fectio 
r ; s tociuschordxirtparresduas, comprehenfaetamengenerali rtoftra 
definidone : & fecantesnon chordamunam, ucprioricapitc, fedpro» 
portionem chordarum,inminoresproporciones confonas. 
: imum orriries proporciones majoresdu- 
irefolvuncurinfuaprincipia ; ablacione 
yrooorcionis dupla?, uc 1. 24. conftac ex 
cy iacuor duplis( lc. ex fedecupla) & fefquial- 
rera • QOare Medieraces Harrrionicse hoc 
0'" : iem nomine mcer 1. & 24.incercedunc 
iftcC t. 4. g?i6. fuperius collocata fedecupj& 
Vel lftae 12.5. j. 2. Vna dupla fuperius collb- 
cata, tribusinferius: nam variefieripoceft. 

Deinde Proportio dupla refblyitur in 
has confonas .?; 4. &2. i-yelin^.^. 6C4.5.& 
/i6.velin4./.&/.g. velin/;.<*<&3. /.De- 
niq,- fefquialceras. 3. refolvicurin^./. &/.<?. 
fiej./. in3.4.& 4./. 




Sic/. 8un/. 6. &J.4. 



sarrttsi: — * tt — -n 



~*-2-fl 






+3 



..— $__* u .__$ ~:zs - 

A.—8 ,]it _$_> ' . 

4 —^iol^U *?&*%, 



Tresigr if_piopornor&s£. 4-&4./. &/.£.funcexconfbnis 
ffiinimar, hocefhmmediacae.feu medio Harnioriico carerices,c*cera- 
rumfcilicetElemenca confona. 

Ex his aucem fequicur, unius dupia? duasefse pofse mediecates, »>«• M e _ 
inter fe quoq/confonas jidq,fexies. Nam quia duplahabet triaEle- Haimo *- 
mencaminimaconfonaifexieseorumordo poceft variari. Nam 3. 4* "* 
vel eftprimo loco achordaminori,velmedio, vel ukimo ; & in uno 
quoq.cafu, reliquorum Elemencorum auc majus 4. /. eft verfus chor- 
dam aiinorem, autminus/.tf. 

Singuli cafus func exprimendi ftngulis Numerorum Quadrigis, 
ucintabellafequicur, D j Ordo 



30 De Proportionibus 



CAP.IU. 



Ordo Proporcio- 

aum Confonarum mini- 
rnarum in una dupla. 



£* 

o 

c 

w 4. 

H-3. 

3 * 

JS-.. 

R> — 



6 

4 

4^ 

f 



54 ? 

>-** ■ — _. 






4 



4 



« g 

c 

— *t 

4 §, 

c 

±1 
f f 



5 S 1 

— e 

4^ 

— 3 

6" r ' 



L 

6 



4_ 



Fafciculus binarum 

Medietacem Hacmonica- 
iiunincec chordas Propor- 

cioms dupU. 



2 



J-4 



^- z*5£ 



Exjhis verofcx bigismedie- 

tancum harmoaicarum , una ibla, in nii- 
rnecis /o. n. \.$. io. pacitur definitioncra 
vececum. Namu.eftmcdium fillorum 
fcnfu ) Muficum inter ip. &i/.nc ir.eft 
medium Muficum intec l z. & 20. Excef- 
fus enim tunc *; 3. 5.VC rero cxcremi uni- 
us tcigaeio ad/5. fiei. ad;. Etutexctemi 
alcenustrig*n.adio.ficj.ad^> . 



4. 5- 6. 8- 



S* 6. 8- )0. 




~~sS~~-~J 



10. 12. 15. 20 



ISf 



19 
/X 

«f 

^.10 



~ « 12^5,20.24. 



)5. 20. 24. 30. 



-5 — A- to 
3^4. 

~l~t~ZZZ'J s 



-^jo 



Cum ergo Chordas proportionis duplx conio- 

* ^cIncor-^Pt idencice;incer iUas vero rion poffincefle una vice plures quam duae 

dantiarum.mediecaces , cprifonances & incer ie & cum duplis ipfis: hinc orca eft fa- 

mofa illa Muficor U m obfervacio , qui trinis vocibus omnes harmonias 

abfolvi mirancur. Nam quoccunq; voccs praeterea 

accumulentur ,, fingula; in trium unam redeunt per 

duphe proporcionis confonantiam identicam. 

Quamvisenimexiftatunaconfonantia ex omni- 
busiftis chordarum magnitudinibus 3-4.5.6.8'/o-/2. 



zTizzt-: 



£PS 



8. 



; = A. «• 



¥.+—*-- 



^ 10-. 16. 20,24. atquicquid eft poft 3. 4. 5. chordarum, o- 

^SSZZ 10 * mne id in uham harum redicper identifonum : ut 6. 



14 " in3.&8- in4. &/o. inj-.fic 12. in6, &3:fic irf.inS. 
& 4: fic 20. in /o, d* 5: fic24, in 12. 6. & 3. 

Caufamhujusreifruftrapetuntaliunde, alij ex trina dimenfione 
quantitacis perfeda?,feucorporis; utquod patet inlongum, latum& 
profundum:alijexnumeriternarij perfe£tione.*alijab ipfaadoranda 
Trinicace, in Divinicace. 

Fruftra,inquam, omnes:Nam neq,- (olidaquantitas-hoc nego-. 
gotifiingredicur, cumorcumharmonicarumproportionum cx figuris 
planisdocuerimus, & longiftime diverfa fic, caiul fcienciae,folida quan- 
Hcas,aplana, quippc illaduabusmedijsproporcionaiibusucitur,quas 

iciri 



Harmonicis Lib. I II. 51 

fciri promifcueeftimpoflibile: neq;numeriulla vis efle poceft , quacc- 
nusucnumeransconfideratur ,• neq;eriamorigo hujus Trinicatis im- 
mediaceeftabeflenciadivina,percau(ationemexemplarem ; cumap- 
paruericftipra,componicaufamreiexprincipijsexplicacis,qujenequa- 
quam intendunt nunierum aliquem vocum per fe ,• fed qua? voces ipfas 
interfefingulasfinguIiscoapranciaharmonice,&ficquafialiudagencia 
peraccidensefficiuncaliquidfimiledivinis , propter eundem numc- 
runv quod idem etiam in plurimis rebus alijs frequenter concingic. 

Brevicer, Numerus hic cernarius non eft efficiens caufa Harmoniai 
rum , fed erFeclus ipfius , feu eftedhe harmonix comes ,• Non informac 
harmoniaSjfedeftformxrefplendgfcencia; Non eft materia vocum 
harmonicarum,fed eft foboies procreaca ex maceriali neceflitate: Non 

eft finis ovWiKCt, fed eftextremicas operis ; deniq; nihil eft dereipfa 
H.armonica,fed eft Ensracionisfecundarium, & mentis concepcus, fe- 
Cund^incencionis. Nihilo magisemmeftquauendum , cur vocesfo- 
lum cerrta; confonent harmonice, qua rca & omnes aliae per duplae pro- 
pornonisconfonanciam redeant quodammodo inidem: quamcurfex 
tantumbigtfincinquahbecO&ava, fena; confonanciarum criplicium 
-formse. Vcenim Senarius iftenoneftaiex diebus crearionis;ficneq;il- 
le Ternarius eft propterTrinicacem perfonarum in Deicate.Sed cum fie 
Tern3rms communis reb 9 divinis & mundanis j ubicunq; is occurric;fu* 
perveniensmens humana,caufaru ignara, confpiracione hancmiracur. 

CAPUT IV. 

Dportuconcinnoruminter- 

vallorum quae Confonis minorafunc 
Cumfenfus teftetur, Exchordis asqualiterteiifis > 

illarum fonicus effe graviores , quae func lortgiores , illarum acuciores * Qa;a GraJ 
quaebreviores: hincVoces ifbe )un&x Acutxm Grave , differencise ve? 
func Harmonices propria?. Nam fingula?q.dem feorfim ajiarum fingula- ^jfnf™" 
rumfuncfcientiarum : in quibus copulancurcum oppoficisaIijs;Acu- QnidPro- 
tum curri Obcufo, in Geomecria; Giave cum Levi> irt Phyfica. Ec alicer, o"f a u ™/ 
AcutuminMechanicisfonacfLibcilc&penetransiGraveinfenfUalibus tumj •- 
fumitUrde odoribiis, qui, utgravia pondef a> ob quandam magnitudi- 
netn, funtimnus tolerabiles.lAcjuncte Acutnm^ GWw,interq,feop- 
pofica», non nifide vocibUs accipiurtcur. Retinenc camert aliqddepri- 
ftirtofignificatu.NamucinGeOmecriaAcuturrt eft minus Obtuib, fis 
eciam in Harmonice, vox acuca fortac parvam,eoq; pertecrancem & al- 
tam, idiocifmo Teutonico,& voli cancem quafi in fublimi.pp quandam 
levicatem. Etut inPhyficaGraviahabenc magnumpondus, Leviapar- 
vum: fic eciam hicGravis vox fonac magnam: ucq; Gravia ln libra fun- 
dum &inferiora pecunc, levia inalcum exfiliunc; ficeciam inHarmo- 
nice ^ vox gravi3 prbpcer magnicudinemrepucacur proponderofa, 
eqq; inferiorifeu profunda (bafi?.) » vox acuca> ucidicfiam , pro aica. 

Nam 



32 De Proportionibus 



« 



Namquod in TeftudineHypate,ideftSumma, edebacgravem fonum, 
ideftcantuobejusfitumininftrumencojvcadhuchodiejnon ob aliqua. 
Vocis fimilicudincm cum levibus & fupervolicancibus. Sicus aucem 
cjus in inftrumenco racionem habecmechanicam> ex eoquodNece, id 
eft Ulcima&Infimajquiafonacacuciflime, fuic pulfanda creberrime; 
cum parvis conveniac mocus velox: & vero dcorfum pulfamus expedi- 
tiusobconformacionempoilici3,quamfurfum. Acccdit inccr cau* 
fas,expcrienciaguccurishumani. Nam &viri communicer procerio- 
rcsfceminis ,adulci pueris s graviorcm eciam vocem emittunc, quafi 
profuridius pecicam; & linguli homines, ipfbfenfu cadl:usdocence,gra- 
viorem vocem profundius eliciunt, altiorem fuperius; <& qui gravifli- 
mecantant,corpusexcendunc,ucquamprofundifiimevoxexeac. Ten- 
duntquidemcollum etiam qui acute canunt,fednon ut longum col- 
lum faciant,fedutretVius conftringant fupremos circulosgutturis. 

Hisigiturde caufisnatus eftinHarmonicisconceptus Alci&Pro- 
fundi , pro quo crebro ufurpamus Acutum & Grave. Cum lgitur Al- 
tum&Profundum fintaiiasvocabulaloci, confuetudofermonis, haec 
fua principa fecuta , vocibus etiam id accommodat , quod locorum eft 

SShiter proprium,fcilicet Intervalla, Grxc&JicLSiffJLalcL. Nam loca ^WgctVCLl 

Taitum. diftare dicuntur. Deniq,difciplinaHarmonicahancvocem etiamin 

pi&uras feu Diagrammacatua(dequibus inferius) cranftulicquaeal- 

tis & profundis lineis conftanc , quo pa&o refticutus eft illi lenfus Ge- 

ometricus. 

Qua; igitur ha&enus diccbantur Proportiones chordarum , in po- 
fterum fere dicentur Intervalla vocum , quas emittunt chordae longicu- 
dinis ina:qualis. Nam voces idem fonantes, quibus refpondent chor- 
daeex aequalicer cenfisaeque longa: , Intervallumnon faciunt, cum fint 
altitudinis ejufdem. 

Etfi libro V. abftinendum eritab hoc fcnfu vocis Intervallum i 
propterea quod ibicrebroufurepetenda eritvox ifta infenfu aftrono- 
mico, de linea re&a inter Corpus Planeta; & Solem , item , de eo fpacio 
quodinter diverfos orbesintereft. 

Porrdficutpraecedenti capite proportiones bifariam confidera- 
Cjujd lupe- bancur,fc.vel fmgulaeper fe ipfas, velinvicem comcaratae caufa ordij 

nns quid in . . j L » r . ■ r - = ■ r 

fer.usintex- nis, qui extendebacur acompohca: ahcujus proportionis terminoieu 
Tailaru. chorda minoriad majorem vel Iongioremj& viciflim : ficnunc ecia In- 
tervalla velfingulaper fe, velinvicem comparata,confidcrantur caufa 
lociharmonici; ut incontinuaordinatione aliquotintervallorum, (fic 
utbinafemper contigua,habeanteundem terminum communem,qui 
fic unius major terminus , alterius vergentis ad graviores voces minor) 
femperilludincervallum dicatur inferius,quodeft inter voces gravio- 
res, illudfuperius,quodeftinter acutiores. 

Qjiae lat«r- Etin Geometria quidem proportiones agnofcuntur aequales, li« 

Taiiassqua- cec fint inxquales terminiunius, cerminis akerius, &exceflus termi- 

^ 8, norumunius.inazqualisexcefluicerminorum alterius: Utfifinttres 

chordas in proporaonenumerorum 4. <$. p;eademcenfeturproportia 

4. $. 




H ARMONICIsLlB.lll. 55 

4. 6. qax 6. 9. non obftanre quod cum ipfi cermini , tum etiam exccfsus 
2. & j. inarquales fiint. 

In Harmonice fimiliter omnia intervallavocum a chordis , qu» 
mntejufdemproportionis,venienciu, &cenfenturaequalia & 
fcribuntureciam riocanurriericaeaderri '; quirieciarri linearum 
incervallis xqualibus pinguncur iri diagrammace:ficuc penicus 
oblivifcamur ejiis iriasqUalicacis , quaseftiricerexcefsusdiver- 
iarum ehordarum. 

Sequicur igicur, uc proporcibnis rriinoris, Incervalla mi- 
nora dicarrius , majoris Majora , firie refpectu magriicudinis auc parvica- 
cis refpbndencium Ucrinq, cermirtorUm. 

His igicur definicionum loco prasmifsisjnunc porro difpiciendum 
eft de differencijs mcervaliorum. Ha&enus quiderri proporciones o- QH itJ ij «« 
nines,quasconfonase(se demonftravimus,unaaeqiiaiicacis excepca,pro fonaquki 
cocidemlricervallisiciciemconfonisfuricliabendae ; proporciohes vero diflbna? 
quas diffonasdiximiis, pro incervallis icidem difTonis. Cum vero incer 0uidr 
difsonaincervallamagnaficdifferencia: fic ucnon cancii confonaaNa- vifia con- 
curadocearicuri&illiusiriftinctuab audicu probericur ,• fed eciam alia clnn . 3 >q«i4 
mirioraIncervaiiaabeOdemfenfuftabiliancur,-qu«licec difsona finc, ciufaNo-' 
apcacarnenfunc,perquasCancuscraducacur;Harmonice Naciiram fe- mims? 
cuca,nomeriijsimponicCoricirinorum, eaqi diftiriguic ab Inconcinnis, 
quae riuliias cancus ordinaci cra&urn ingrediuricUr ; Grxcc dicuncur 

Qupd riacurae irigenium in difcrimineConcinriorum & Inconcin- 
rioriimcumviderenc Veceres: quaerendumigicurexiftimarunc, quod- 
nam efsec corrirnune orrinibus Cbnciririis & Corifbriis minimum Ele- 
mencum, ex quo fecundum aliquem numerurri furnpco > quodlibec ex 
Confonis & Coriciririis coriiponerecur. Neccfse eriirii videbacur 

exifterealiquod cale minimumlrttervallum , ucfirripiex ; & orcuprius 
ipfis Conforiaricijs > quae videbancur compoficas ex calimiriimo , ucpoce 
cum cfsenc incervalla aliaalijs rriajbra. , 

Acqui res longe alicer habec, quod mulcis exerriplis dOceri poceft. 
Narri fi fpecierurri orririiuni tndividua, quae magnicudirie difFerunr , ex 
uno corrimuni MiriirriO conftanc ; eric igicur una aliqua minimaquan- 
cicas humanaefpeciei,exciijufmodipufionUmcerco aliquo numero,ve- 
lucex elemencis, quilibec homo componacur, procerusexmulris,pu- 
milus ex paucis. Non minus emm in harmonicis qualicas ifta,Confb- 
rianciaj informac chordarum proporcionem , feu vocum incervallum » 
quam forma hominis moiem illam maceria: informac , quae hominis 
cuceambicur. EccuroblicifuncGeomecriae,inquaplurimafuncex- 
erripla orrinis generis quancicacum incommenfurabilium > quarum 
definicio eft,nulla penicus communi menf ura , quae fic ex eodem generc 
quanncacum,canquamaliquo compoficiortis Elemenco quancicaciscer- 
cse,communicare? 

Sic igicur cenendum eftjncervalla confbna(praccerquam quorum 'nwrTalia 
unumcft alceryMulciplex) efse, ucprbporciones illasipfaSjincorrienfu- i^.Xcom 

E rabiiia i menfurabi- 

lia. 



54 De Proportionibus 






Cap iv. a*abilia, fic quidem , ut quamvis eorum differenciae numeris expriman- 
tur,quodinfimplicibusnumeriseftfignumcommenfuracionis,ha:ca- 
men differenciaj, quippe non fimplices numeri, fed fra&iones , non finc 
differencium pars velpartesaliquocas, fecundum aliquem numerum. 
Verbi caufa duae proporciones i. z. & /.4. fimtinterfe , ucnumerus |. 
ad numerum 2. funtergo commenfurabiics , nam 1. 4. eft dupla ipfius 
1. 2. Hocinfola feriecontinueduplarum locum habec. Nam in fcric 
triplarum, &ca?cerarum Mulciplicium , nondanturdujeproporcione* 
confona:,uci.9 eftquidemcriplaipfiusi. 3. at fola /. 3. eft mcer confo- 
nas » /. 9. vero eftincer difTonas , per Ax: III. Idemvidereeftetiam ia 
non multiplicibus , ut infefquialcera z 3 confona, darur fane ejus mul- 
tiplex&ficcommenfurabilisj Nam4. 9.eftad.2.3.uc Numerus 1, ad /. 
at 4. 9. non eft inter confonas. Econtra fint alias dua; confonae, quam ex 
ferie concinue duplarum , ut /. 4. & 2. 3. ha: dua? proportiones non func 
inter fe commenfurabiles , hoc eft , non ut numerus ad numerum ; Ex- 
cefsus enim 3. 8. ipfius 1.4. fuper 2. 5. non metitur neq; 1. 4. neq;2. 3* 

Confonaigiturlntervalla , Nacurapriora funt minoribusinter- 
Vallis , quseconcinna appellamus : necillacomponuncurexiftiscan- 
quamexElemencis , aucexminori aliqua quancicacc : fedconcrahax 
cxillis, tanquamexcaufisoriuntur. 

Vbinotandaeft vox ambigua compofirionis ; quse incerdum or- 
tumdenocacreinacuralem,incerdumverd divifionem rei quanticaci- 
vam , qua? non orcus eft , feddeftrudliopotius; utcumcirculumdici- 
musconftareextribustrientibus , dividentes priuscirculummenceirt 
tria , auc cum humanum corpus dicimus eise compoficum ex membris * 
- non quod fuerinc membra ante cor pus , & corpus exillis collecujm & 
eonftrudtum , utdomus ex lapidibus &Iignis;fedquiaCorpuscaufsa\ 
molisinhajcmembra, quae fingula feorfimcorpusorgaiaicumamplius 
non funt, eft dividuum. 

Priori fignificacu negandum eft,intervalia cohfona vel ex alijs cori* 
- fonis vel ex concinnis compohi ; pofteriori fignificatu fane conftant , 6c 
ficquaficomponuntur, (quodipfiinfuperioribusufurpaveramus) in* 
tervallaconfonamajoraexminoribus confonis , Confona mihimaex 
concinnis &c quia in haec velut elementa difsolvuncur s ac hon con- 
ftanc diverfa incer fe ex unius communis minima;fpecieiihtervailisa> 
liquam mulcis, necincaiiadifsolvipofsunc 

Quanivis eciam habeanc incervalla confona caufas cognatas » 
non omnia camen eahdem, fed quodlibccfuam peculiarem caufsatn 
habet, diftindtam a caufiscscerarum, ucinfuperioribusexplicacum. 
Confonancia ehim ipfis incervallis compecit, nonutquantafuneficn* 
pliciter , neq; fimpliciter ut f unt Relationes ; fed ut qualitativae (hoc iffe 
quodammodo figuratas) funt relationes. Icaq; commune lpfarum mini- 
jnum incervallum conftituere velle,res eft impercinen«;cum minimuii* 
& maximum hon in qualitativis fed in nudis quancitatib*,earumq; pro- 
portiombus eonfiderehtur.Confona vero,uc confona,dividere,eft fpe- 
ciem abolere confoni, & pro ea yel alias confoni fpecies , vcl concinn* 
difiona , vel eciampianelnconCianainEerVaUa confticucrc* Non ha- 

becigi- 



Harmonicis Lib. III. 55 

becigicmr Incervallum caufas auc Elemencaconfonanciaefuaea parcibus A _ - v 
veluci principijs ; ficuc quantitates commenfurabiles accrefcunc mul- * 
tiplicacione communis meiiiurx, __cumhacmenfura fubuno & eode 
genere confiftunt ; fed _concrario,qua_ veteresproprihcipijshabuere 
confonanciarum (Tonosputa_-iemitonia&diefes)eaexConfonan- 
tijs uc prineipijsfuisgenuinisoriuncur. 

Ecfi enim Conlbna haee conftanc ex illisConcinnis non Confonis, Speeiem 
(fi non ex uno aliquo communi.falcem expluribus incer fe diverfimo- f^*^^ 
de compoficis ) id tamehnonreferendumeft adipfam Intervalli Con- ri ex ;nume- 
fonantiam. Si enini Concinna conciliarenc intervallo majori,exfe rocoucin - 
compofito,fuam confonantiam,femper hocfieretinquacunq;concin- p°r t mm. 
norumultiplicationej & canco melior eflec confonancia, quanto plura 
inincervalfo concinna;Id verofalfum eft, nam ucihfra audiemus, duo 
toni compofiti confonantiam faciunt_tres compofiti diiTbhans interval- 
lum confticuUnt. i 

Qupd au tettl confonUm inConcinna diffona folui poteft,ut feque- 
tur; idilli confono per fe cpnfideratojplane eft accidentarium:fkq; tan- 
tummodo, quacenusintetfe cpmpairantur plura confona , quodlibec 
ex fuis ortum prihcipijs. 

Concinna igitUf ihtefvalla defihiuncuf effe, Ofhhqs confonorurn P efinit !f. 

ii- i • rf 1 • _-. ,) Intervain 

duploihcervallominofum, dirrerenciar: necaliaCOhemha fecipitha- Concinni. 
turalisfacultasaudicUSj,quamqu£eexhac fubcra_tione oriuncut : utica 
confona incervalla habeanc orcum ex GeOmetria & figuris demonftra- 
bilibus.-Concinnaveroexipfisconfonisjfincq; eoncinna ih ordihe ad 
confona, quemodmodumin Geometria Apocoma; (lincasineffabiles) 
funcad effabiles pocenciajquia etiam illa* definiuhcurmbcra&ione linea. 
Effabilisab Effabili linea. 

Porf o comparatiohisfeu abftra-tionis Methodus aliaeft genefalis ortusCon- 
feu afithmetica,alia fpecialis, HarmOnices propria. Afichmecicequide cinnorum 
eliguncur Confona minora duplo, quorurn unum hoh fic alcerius pars cx confoais 
talis,qUamdefignaverit aliqua Mediecas harmonica cap; fuperioris. 

Ihcerfunc ergo t . . . . 

In nons, ex ahticipat. . 



Inttr confo> 
naifta. 

T & 4 



2 



Concin ; _^.____ *_ — . ._ . .-- ■ ,V _ 

»&*. x-*f6— *te z *? Sl0 - 'fe_fc_ l *_. i6^[~ _ ■- 

...__- ~-4._8a~- -*S-$i©-- -*_$__.$ * <--_ j3 *x-^- 



2 

3 

± 

5 



& 



& 



& 



o — - 
3? 



■ ^.-4 -*._.- 6 -*~ i-3__fc,____- 

5 16 „ . . _- 



-I 



6 

_1 
6 

i 



■".- _)^14_$2C~<;~ 

;_t^:z^:f©z:__8^ 

Harmonica comparacio Confbnorum incerval- 

* ' To lorum refpicic orcum eorum, & quam quodlibec ex 

2 4 orcufuo forciaturalcicudinem. Namperomnespro- 

* 2 5 porcionum comparandarum cerminos majores unus 

, . ____ & idem circulus Tqcus repracfencacur,eiqj an aloga 

2 5 chorda mcegrai communisomnibusfe_tionibusHar- 

£ 2 monicis. 



56 De Proportionibus 

monicis. Igicuromnibusnumerismajorum cerminorumexfeclioni- 
bus^- Harmonicis, fcilicec 2. 3. 4. 5. 6 • 5. $. qua:rendus eft communis 
minimus dividuus /2o;5cchordacocaeftdiftinguenda incocidempar- 
fes aequales , uc fbnus cocius chordae confticuatur pro communi cermi- 
no majore omnium comfonorum per fectiones fadtorurn , & accomo- 
dandicermini minores, uc inter fe comparati conftituanc incervalla 
concinna, qusehoc capice inveftigancur : prodeuric autem eadem , qu« 
priusarichniecice. 

Ecce in Nocis exanticipaco. 



i 

z 
l_ 
S 

«S «5 

CU 

O* 2 
«4 



§5e*±s: 



6 o Et P arti 

um pi» 
tortio 






tfo. 72. TS* So^o^^iooaio» 



iXC. 



7 2 



7 f 1 



g 4 
1 f 



1 cJ 



§-^ eft 



55 4 



80 i 



9 O 1 



IO 

£ 



1 f 



66 



7Z 5 



-—158 



75 



80 



90 



£6 



100 



120 



»t~T J IO Hic igr eft orcus incervallorum Con- 

100J S cmhorum diffonorum., quibus paulopott 

6 j fuadabimusnomina. p 

pe genefi Sequitur > uc eciam derocu cerciorum incervallorum dicam , qu» 

SS. licetconcinnaexquincenonfmc, concinnO camen cancunnforvnm , 

tw, auc Cohciririorurri vicem fuftinent. Illa verd ex concinnorum ( limi- 

licer ucconcinna ex confonorum) fubcra£tionibus feu comparancr- 

nibus oriuntur. Nam incer concin- m 

nafeufecunda Sunctemaintcf 
incervalla. vallaifta. 

8 9 8° 
— & — •■■•-»•£*■*■ 
o 10 8 1 

«* » e > I 2 <? Q*od componfc 

o i tf 1 ? C *•• & P aul ° * d ' 

y * w 3 * modum eft min? 

9 j £ 24 *ua_-a_»v.t* 

His 



H ARMONICIS L I B. 1 1 1. 57 

"His addipoceft duplicacum incervallum jy. 16. Cc.2£$. 256, q,d 
paulominuscxcedicincervallum8-5>- quam 15. 16. incervallum izg. 13$. 
£c priora«quidem cria oriuncur ex fubcractione mucua Concinnorum 
diverforum: hocvero exaddiyone duorum qoncinnorumsqualium,, 
fedminus uficacc. 

Acq; hincemicac 

Corollarium arithmeticum 

pulchrum admodum in numeris & cypo 
fequenci. 

3. 1 $• 35. 6j. 

r~ 4. 1 1 »« 11 3 6 - 11 «♦. " 1 

1. 2; 3. 4- 5- 6- 7- 8- P- 10. 

4 ^ ,1 1 *! • 1 ! i»; ,1 i *!; _J 

8. 24. 43. 80. 

Omnisic.numcriinfradecem quadracumcum re&angulobino- 
rum numerorumillumproximecircumftantium confticuit incervallu 
vel confonum vel concinnum vel Terrinm,excepco fepcenarij quadra * 
to 49. & rectangulis ejus duobus 35-. & 6j. Sedhicexulac concinnum 
p. /o. 5cconfona pleraqj, praeter j.4. Eft igicurforcuicum, refpe&u or« 
dinis Numerorum &c facluras hujus cypj. 

Fruftracaufas hincpetecanchmecicus,fruftra feptenarij fuperfti- 
tioneoccupabirurPychagoricus, ranquamnumerinumerancis: alcius? 
res eft repecenda ex Geomccria , &. Numeris numeracis & figuracis, fc- 
exipfisfiguris indemonftrabilibus , quarum eftprima fepcangulum. 
Namquo minusulcra dccem cypus concinuari poffic , fequence Con- 
cinninacura,nonjamfepcenariusampliusimpedic, fedalij numerifi- 
gurarumindemonftrabriiumc-. &ii.quirec~rangulum efficiunc 99. q,d 
cum quadraco Denarij 100. confticuic incervallum penicus abhorrens 
anacuraCancus. Ufq; adeo mulcum incereft incer Axiomaca doxa- 
ftica& epiftemonica. 

Ordo concinnorum in perfe&io- 

ne, 8Cappellationes. 

Diximusha&cnusde Origine & ordine Inceriallorum, qusefbflc 
minora cofcfbnis: dicendum rtunc etiam de eorundem difFercnci)s> 
deq; appellationibus,quas nonplane eafdem cum vcceribus recinerc 
poifumus , cum & in rebus ipfis & in caufis earum , nobis ab illis difce- 
dendumfueric. 

Confentaneumigicureftfupradicti8,prefercimAxiomaciII.ucho- 
rum incerVallorum ad concinni nacuram percinencium,quodlibecrc- 
cineacnacuram illorum confonortim, a quibus confticuicur. Cum igicur 
exconfonisduploincervallominoribus^perfeftiflimafincifta^^.&B.^* 

£ 3 propcer 



'.-.- . ■ . .• 



CAP; IV. 

Tonus Ma- 
jor quid ? 



"^S 



Semicoai- 
um. 



3* 



Tonus rai- 
nor. 



58 De Proportionibus 

propcerfigufarumNobilicacema quibus origin<5 

ducunt:etiafrifoboles earum comunis inccr con- 
-f cinna, fc. 8- 9- ca^ceris encpraeferenda. Hoc igr 

incervallum comuni cum veceribus nomine TO- 
NVM dicamus, &propcerhanc praecellenciam,Tonum perfe&um, 
propcervero magnicudinempfoporcionis, Tonum Majorem. 

Vicifllm llcompares perfeclum 2. j. majus cum majori imperfe- 
&o 3. 5-fupenus, velfiperfectorumminusj.4. cumimperfcctorum mi- 
nori 5. 6. inferius, naicecurexhocconnubio incervailum concinnum 
lmperfeclius 9. 10. quod eft minus quam 8 9- quod incervallum cum in 

veceri Mufica ante Pcolemceum fei-e non efleE 



X*X ■ — TZZ ' tnimadverfum , quippeTheorici omnia per to- 

— — — -^5-^ -^^"^ los plenos prius definicos demonftrabanc; ei nos 

Toni minoris velparvi nomen dabimus,uc fic haec 
imperfeclionis nqca. Vbiuno verbo monicusfic le&or, nonnullos 
alij cuidam incervalIoidnominisdedifle;nefiforcein illorum le&io- 
nemincidcric, ofcicancia perturbetur. 

Sm aucem perfeclum majus^.^. cum imperfedtO minori^. 8« 

fuperiius, vel fi perfeclum minus ^. 4. cum imperfe&o majori4. 5. - 

infenus afTociafti; Cortcinnumexcomparacione ortumfc.j/. i6.ruf- 

fiam trahit aliquidimperfecf ionis ex origine hacfua, diceturq,femito- 

, ( . nium,vocabuloeo- 

mm : w : w x x~" •— lr~ 
1=. :~5 z±± ±m. aqdfc; 



^rfe±$: 



idem , quod habec 
ipfu hoc interval- 
lum in uficaca hodi- 



Picfis, 5; 



erna mufica,quiapauldmajuseftfemifle Tonimajoris. Hoc aliqui To- 
nurn Minorem dicticarunr, aquibusle&orfibi caveat, neperturbetur. 
Hasc igitur tnaorta a perfeftis , comparatis vel incer fe vel 
cum imperfeclis , hoc obtiiiuerint,ut concinaperfe&fempereflent. 
Concraficomparaftiincerfe imperfecT:a,ex Pencagono vel Deca- 
gono orta,vel fuperius j. 5-. cum j.g. vel inferius 4. j. cum $.6.> interval- 
lum hinc orcum , fcil.24. *$• tanCae eft imperfe- 



^3".$fe$ ?~t— ~ &ionis,utpeneinterconcinnaefledefinac, Hoc 
Zl— £gA._£-&-- intervallum appeflabimus Diefin , voce veterii 



appellabimi 
quafi dicas , remiffioncm chordae. Neclaboro, ut 
fub hac voce eandem cum vetenb p quancicacem intervalli proponam; 
quodicerummonuifleflifflciac. Imperfe&ioniscaufajfunccres; origoi 
parvicas (cum non sequec parcem coni perfedti cerciam)& quia eft eciam 
incer Tercia connumeracumfuperius,'incerillafc quae concinnandis 
gener ibus cancus inferviunc: oricur enim eciam ex conominori &femi* 
tonio comparacis. Nam hoc incervallum non perfe,necfemper con- 

cinnumeft; nonfolecenim voxhumanacancuuna&eademcty&)yw 
per hoc incervallum craducerc, uc per incervalla caecera; fed negligit & 
tranflilitillud,nifi cancumin variacione canc p ,condimencicaufa:cunc' 
ficexcraordinarieconcinnum,fedficucquafi novumgenus cancusin- 
cipac;&arciseftlaborifq, nonmodici, voce humana fine organo ld 
aflequi. Icaq; hoc incervallum tancum difcriminac genera concinno- 
rum 1 eoq; pacto ijs infervic. Ccepi- 



OieCsrna. 

jorftu 
au. 



. HarmonicisLib.111. 59 

Coepinausdiceredelncervaliiscertijs/primumcnimexiis^^.^^. 
(eudiefis,idemfuitetiamcoricinnorurti tflcimum. Sequuncur nunc e- **' 
tiamreliquorumappellaciones. Nam/28-i3j. q>d y a w T t~ 
oricurex/5. /6.ec8-9- poceft apellaridiefismajor — ~2J? -— -*-^-^- 

& irregularis; quod uc fupra di&um paulo ad mo- H - ^; - .JI '. 

dum (fc quancicace 20.25. 2048 ,) eftminusincervalloconcmnolemico- 
nij&vixabillodignofcicur. Eftq;hocnomineincerconcinna,qLjiadie- 
feos Iqgicimze vicemmftuiec; pr«fercim in rnucacione cancus. Eft enim 
gcnefis cjus non cam nacuralis , quamufu neceflaria,ucundiquaq;finc 
in prompcu femiconia & diefes , propcer varia condimenca cancus. 
'Qua-de causa, cum a Tono majorirefcindatur femic: legicimum, hoc 
xeltance intef vallo , poflumusilludeciamappellare Grasca voceLim- 
mafeu Refiduum. 

Deniq; intcr Concinna 8-^ 4 & 9. io.arttercedensdiiTerentiago.8/, G 
poteftanobisdiciComma,lacinefegmentumfeucortcifio : Vccerese- 
nimDicfinmamin4.parcesconcidebant, it*deq;Comma;:aillasappeI* 
labant , cxiftimantes hoc cfse commune Elemcncumconfonorumo- 
mnium:hoc vero intervallum eft parte quarta dc noftra dieil paulo ma- 
jus,minuspartetertia. Nam.24. .25. eft.7.2.75, vel96. 100. Ergoparster- 
tia eflec 74. 75.pars quarca 96 . 97- eirc: eft verd 80. 8/- incer ucrurnq;. 
NospropiorinUmeropoflemus illuddefirtire O&avampartem conimar 
joris,fc.8- 9- Quodcciamficpatec. Hic dividicur Tonusmajor^.9. in 
dicfin72.75.femit.*75.8o. &comma8o.8/-commavero g. 72. 24. 

fuicmodoparscircicercerciadiefeosiigiturcommacacir- ■ 

cicer4« acquiparahcur dimidio Toni; o£to,coci Tono, 7< ' i<- z$' 
proximequidem,nonomnimode. Hoc igicur incerval- gc- 15. 
luminter concinna illa plarte non cft , quaj deinceps " 
canunturjobparvitacemaudicuvixpercepcibilemine- 9- gi. 
dum humano cancu per fe feorfim, biftis deinceps vocibus exprefiilerii»' 
Acnon ideodefinicefleconcinnUmuc n. /_• &fimilta. 1 ' quiacompara- 
museciamilla, quaj locis & cempore funcdifllca. Duplex verofemico- Sea ^^ 
nium ideo ftacuendum eft , quia in divifionc Tonorlim deinceps ordi- p ~ 
nacorum,bina aliquando femitonialocancurdeinceps;ijfq; inunum 
conflacis incerdumpro cono ucuncur , quivarietatemafFe-tant: & in* 
folericiam , adcxprimendosgravesartimorummocus. 

NotaquodirtcerfemitortiUmi^. 16. & Dicfin .4,25. eft 125- i-g-re-Coaiaiaigi 
te4z 4 43.feucommadupIex. Cuifiaddider1sCommago.81fic625.64g. .p'«- 
fcre27- z$- feu comma cnpiex. Idem vero go. gi. ablacum a dicfi 2405. np ~ 
relinquic 243.250. quodeftquamproximej^.j^.IdemcommaablatumaDiefisdimi»' 
Iemitonioj5, 16. relinquicLimmaPlaconicum245, 256. quod eft f er c Li ^ ut ^, k 
19. 20. additumveroad 15.16. facic 25.27. quodeftincer 12. ij. eftjj.j^. tonrcum. * 
SicduoTonimajoresg. 9.faciunc^dditi64. gj.quoincervalloablacd-, Scmit.au- 
p 4. confticuicPlato Limmafuum. Hocvero243. 256. uc limmace ab- Apotonie 
laco a Tono majori, reftabac Platoni 2048. *ig7- quod ille ApocomCn. ?i-tooj* 
appellavic , eftq; maj us commace go. gi. uno quam Limma noftrum 
/2g. 15/. &fuperacfemiconiumic-jtf.parumadmodum. 

Ha:cquamvisfintitiuficacaiaterYalla ;fictcameninfra lib: V.ali- 
guorummencio. CAP. V,' 






40 De Proportionibus 

CAPVT V. 

DeConfbnorum intervAllorum 

fe&ionenaturali inCortcinna* &hinCor- 

cis eorum appellaciOnibus. 

Quacefsent Intervalia Concinna* id ell auribus 

humanis in craductione cancus obfervabilia , & voce canentis imicabi- 
lia,diaumeilcapicepraxedenti. Nuncfirigularicura difpiciendurn 
eftnobis, inquxConcinna quodlibec ex Confonis >• iiaturi Duce dif- 
folvacur. 

Refumpcis igicur numeris ijfdem , perquos omnes feclion« har- 
monicae naturales , chorda? unius > in unum confpe&ura collocacsc fue- 
runc: apparebic nobis> inter- 




vallurn inter mimerpS 7$. & ^irfcS""' 

joo> irtterpoficis 80. & $0.ab- "~— \ 2*3 

ijfle iri bax tria concinna > in fe- ~~~~ — " 

mitonium75. S°-veI I5".j6. Tonum majoremSo. 90. hoceft 8i9. & to- 

numminorem 90. ioo.haceft9, ia* 

Idem etiam eft fadcum cum incervallo incer numeros 72. £c $6* 

incercedencibusijfdem 80.90. Nam 72.80. _ . ________ 

eft^.io. Tonus minor:&8o. 90. uc fupra> 3i_j_7r_r -9— — —P 

. eft Tonus major, deriiq; 90. gtf. eft /5-. 16. Z. y~ 8 c $,? ^ ?«_. Z-fJ-tj. 

Semkonium. Ucrinq; vero incer excre- — ) — ; — — * ~* 

mos> tam7$' 100. quam 7Z.p<! . incervallum_f.4> deprehendiciir.Qua-. 
re cumNacuranosdocuericcoaptarehosriumeroSj obfectioncm cir- 
culi per figuras demonftrabiles : Nacura igitur duo incervalla fefqui- 
tercia , cerci ficus incer duos cerminos proporcionis duplar, aftu ipfb fe- 
£tionum,divifit in tria intervalla perfectaConcinna, Tonum majorero, 
conu minorem,& femitoniuiAtqui crium incervallorurri conciguorum, 
oporcecefle locosfeuvocesfeu chordas quaciior. Hiricigicurincerval- 
lumfefquicercium,dicica:picC^arca,u^baudi>Ouarcavoxaprimafcu 

ttocdftroa fuperiore feu inferiore. Eadem de caufa Graeci appellanc hoc incer- 
vallum A<ct Titrtra. %(Oi , quodlaciriis eciam licceris exprimimus, ufica- 
co modo fcribenres Diaceffarori. 

Sequicur igicur, uc quia incervallumfefquialcerum fupcraddic to- 

Qm-ta (eu num unum perfedhim ( quippe difFerentia inter 2. $. & 3. 4. fuic 8. P.) 
apente. ex ^^ ipfo,dicatur QuincaifeujGraecae pronunciacioriis imicacione,Dia* 
pence, non obftance quod aftu ipfo in cocidem concinna divifanonfunt 
per fectionesnoftrasharmonicas, incervalla fefquialtera: eaade caufa 
numerusunus, ad hanc divifionem plenariam neceuarius>adnuc nobis 
defic:quemdefe&um Deus ipfe creator eciamin planecarum motibus 
expreffic , uc hbroquinco audiemus, 

Porro quia fic eciam cam 5. $. quam 3. j. fuperaddunc fefquialter* 

z. 3. u- 



Harmonicis Lib. III. 41 

2. 3. unum ex jam dittis elemencis>illud quidem femiconium 15. 16. hoc 
veroconumminorem9.70.;exhoc appellancur Sexcae, lllud quidem 
major , hoc minor. 

Diapence Diaceffaron Dia hex 



CAP.V. 

Scxtae, ma- 
jor ti mi. 



nor. 



jggg^frp 



Z&90-; 



37^ 



z — 4-i 



>-6o 



£$*£■. 



..,>,*, 



$-80 



_$>^96*.g 



I 



-5 



ls ^*sg 



$>-$ 



So^ 



^H 



J_^ M _. * 



-*¥ 



Viciffim quia cam 4. 5. quam 5. 6. demunc de fefquicercia unum ex 
jam didtis Elemencisj illudquidemfemiconium /5. 16. hoc verd conum 
minorem 9. j o. uc oftenfum eit capice prajcedenci,reftanc igicur ijs bina 
folummodo ex elemencis concinnisjilh quidem Toni,major & minor; 
huic Tonus major& femiconium. Exhoc quidam Incervalla 

ha?cappellanc voceGra:caDiconos,majorem&minoremvel femidi- 
tonum i cumq;duoinr.ervallacres requirahc cerminosfeu voces, ideo 
dicuntur, Terciae major &minor. Et horum lncervallorum per fe- 
rfhones chorda;naturale$confticucorum caecera quidem adtu ficdivifa 
func, ac tupremum & imum aciu divifum eft nondum. 
4 5 S 6 

:6-z& 

.#90-$.° -$._ -b-^ _~ .^_r_S90^ 1M 



6 



r— 6: 



3$-§ uo -U— —4> — --- $ 



:$:$uo 



Etcum harmonica^. 5- &4- 5- fincex Pencagono, cujus lacusinef- 
fabile, fed & 5. <?. & $• 6. mifceantaliquidde nacuraPencagoni; hinc fit 
utbigaucraq-.fitimperfetlioriscOnfonantiaE; quaequo minoreft, hoc 
mollior &blandiorauribusaccidic;Minorver6eftins\ 6. &5.g. quia 
tocum circulum , velfigura perfecftiori (f Hexagona> cujus lacus eftef- 
fabile longicudine ) velinparces proporcionis concinue dupla; (qua: 
idencicaeft)fc.intf.&8. dividunc: Erg6 : 5.8-&5- 6. habencurprofexca 
&cerciamo!li: 5. 5. vero& 4. 5-profexca & cercia dura five afpera; & 
fic eciam appellancur. 

Mollis Dura 



Qaid terti» 
major &mi 
nor. 



GaliliusDi 
tonivoceu» 
titur adfig- 
nificandum 
aliud quip- 
piamex ve- 
tetriinaMu-. 
iica, cjuod 
differt a ter- 
tia, aiajore 
confonante 
VideC.Xir. 

Origovocu 
Tertia, vel 
fexta dura, 

&Moiiis, 



*fe$i.___ :„$:. 



♦qp 



Denrq; quiaproportionisduplanncervallum ,, uc iupradic5tum,ex oftava feu 
f-fquialcero &ex fefquicercio conftac,quorum illudQumcadicicur,hoc Diapaion- 
Quarca ; qua; camen bina in fui medio habentunum communem ter- 
minum,quiuniusulcima eft, alcerius prima,verfus plagam eandem 
in hunc modum; 

F * Prima 



42 De Proportionibus 

cap.v. Prima. Secunda. Tercia. Quarca. Quinca. 6. 7. g. 

Prima. Secunda Tercia. Quarca. 

Sequicur igicur> ucuhim&pofteriorisinnumerationc, ficnumero 

Quid oda- °^ ava - At & inde hocincervallum Oftavaenomen obtinuic. Graci ad 

n»Un Dia " ic *enticam confonantiam refpicientes, appellant AtOLWctCCdv, ut & 

Latinisliceris Diapafon fcribitur; quaficonfumptis omnibus divedum 

fonantibus,voxcanentisocT:avo(biioinfeipfamredeat:indeq;novum 
initium , novaferies Concinnorum oriacur, priori per omniafimilis.* 

VideProp. I. Diapente. Diateflaron Syftemadiapafon 



pafen, 



95 



~±$ 



±* 






Fruftrahicphilofophanturde Numero,curfc.octava voxconfiu 
mat omnes,inq;idem fedeatrvereenimreipondendumeftperpetitio- 
rlem principij , quiafc. rtaturafiac, uc incervallum proportionis dilpljc, 
quodper Cap.I. eftldencifonum, dividacur m intervalla cortcinnafep* 
cem, qua? determinancur fonis o&o ; uc hoc capite probacum eft. Ip(i 
QjjjidSyfte, pucarttfieri hocjquod Numerus g.ficprimusCubus &primaTeflera Ac 
quidfe£tionichorda?cumfbhdisf Eccur non eciamvoxvicefimafep^ 
cima (fecundusis cubus eft,)redit eodem £ 

Hinc adeo eciam Syftemacis rtomert proprie & primo convenie 
- incervallo propopcionis dupla?,divifoper fua fepcem Concinna , & fuiS 
ofto vocibus feu chordis defcripto, inq; inftrumencis expreflb : dc quo 
infra Cap IX. 
Disdia P af6. In ijs intervallis qua* o&avam feu Diapafon fupef artt, in multipli* 

cibus qilidem Ottavae , duplex Octava , Graece AiV ^tct 7ra<TtoV , dici 
folec, Triplex Trisdiapafon,& fic confequencer: In casccris verc expri- 
micur Diapafop,ejUsVc nmlciplex, & addicur exceflusi hoc pa£to,Quin- 
tafuprao&avam, aut, O&avafupraQwncam, Diapafonepidiapence,vel 
AtcL7tiVT£ W< focL%ct<rtoV. Interdum & numero pergimus, ap- 
peliantesNonam,DeCimami Duodecimam, &c. 

Hajcigicurie£hoincervallorum confbnorum tri coneinna, na~ 
turaliseft,quancicafq; haec,& nUmerus elemencorum concirtnorum ■, 
ternariononmajor nonfblaauriumaffuefa&ionenititur; fedaudicus 
hoc habec exinftinctunacurali : necpoflunc .praecer ifta, velaliainter- 
VaUa,velalionumeroproconcinnisfumi } inquse dividacur quodlibec 
exeonfonis. Namfivellesexemph gracia Diefin adjungere , pri- 
mum illaefteciamdiffonorumCondnnorumfbboles; deihde fi ma* 
ximeillamcancumideovellesadjungere, quiaeftConfonorum fbbo- 
les; acfblani non pofles : traherecn. fecum Limmafeu Semiconiurri 
• minus,qnodcancumadiflbnisoricur. Acconfencancumeftjaudicum 

llludafoboleconfonorum diftinguere, ijfq;admiffis incer canendum, 
incerq; fecunda incervaila, hoc ccu fpurium repudiare. 
QiJareeciamDiefisincer prineipaliaOitavsincer 
vallanon erit, 

CAPVTVL 



HarmonicisLib.HL 45 
CAPVT VI. 

De cantus gqneribus , Duro &: 

Molli. 
De figurarum generibus di&um eftlib. primo, 

Prop. XLIX. quascumeciamchordajfecttonesipfasimicencur, per A- 
xiomall. hujus. fequicur igicur, ucquia fe_tio propOrcionis concinue 
dupl„ J &fe<-tio Trigonicai ejufq,- concinueduplae>iunt exfiguris lateru 
efFabiliumfalcem primis, TrianguIo& Quadrangulo : Seclio vero Pen- 
tagonicafidacere inefFabili; llla. igicur fe_tiones per Ax; IV. efficiantu- 
num geUus cantus, iftagenusalcerumycuiquidemnonpropcerfiguram 
Tecragonam,fed folumpropteridencicam biledrionis conlonanciam , 
ad mifcecur eciam bifec.10. 

Hinc ergb nafcuntur duo fe_tionum Genera^unum quidem habec 

In hoc genere ex 
fexbigisMedieta- 
cuCap : cercij ad- 
mittunturh„. 

h 4- S- 6. 

vei12.16.20. 24. 



fectiones has 

_e_tio- Corauni de- Inter- 

nes. nominatore. valla. 

I 



I 2 



1 



8 
2 
3" 



4 
S 



6 



1 5 



IT7 



Genus molle. 
4 5* I 5 

___.*- 



**«_ 



1 s 



2 O 



J I 



* 4j 



— — •$• . 1* 

12 15 1(5 1$ 2° 2 4 

MedictatesinNotis. 

c — -12* j r ,2 iS — ~4._ T Ji 

_._£-?*- %?$">&:=> 

kio_YA_ 511= SJL-T 

_f_ ;4 ___A_-t_, — $ s * 



*___ 



4- 5"- * $• 

vl 12. 1/. /8- 24- 



Ec. 12. )5 20. 24. 



nes. nominat: 
I 



Alterum genus compleftitur fec-iones has* 

Se&io- Com:De- Inter- 

Geniis durum. 
5 6 | 4 5 

—~ *~9 "JO 1 "" Ti 

_____*$& 

... 8_-g- — -•£_ . 

30. i(5.4O.45.4S- 6 0. 
Hicinfunt bigxmedieta- 
tumex Cap, III. ifta; 






Medietaces inNocis. 

<<t ? _^: 



5. 6. 8. 10. 
vl io. 36. 48. 60. 



. _ ,c t 5c $Z 



V 
~_o' 



ii|+o i 10 i"» j^mj-au" 

$Z'4/s__Ai:.r4: vi 30. ?_. 4/. 60. 

—60 -$-/0.60 $.'oJ-C> __.$.- 



IO. 12. I/.20. 



& 15*. 20. 24- ?o. 

VcljO.4O.4S.6-O.. 



_ 



4 
_ 



? °1. 



_ <* 



valla. 

_____ 

-_. 
I O 



4 



S 



i 
4 5-1 



4 S 



©" 



8* 



4, 
Ha.c 



44 DE PROPORTIONIBUS 

* » * i,T Ha?cfunc illa vulgo celebfaca duo Cancus eenera, & prior quide di* 

J5AP.YI. • ii- •• • •- . . P i - a ' • 

cicur cancus mollis., quta mveniuncur m eo ordinaca ab ima voce, mccr- 

valla, Tercia & Sexca, mollcs;pofteriorver6cancusdurus, ab ejufdem 

denominacionis incervallis eodem loco fyftemacis oftava: ordinacis, 

quorum nominum racio difta eft , capice V; prarccdence. 

Quenladmodumenim rllic^. 6. locoimo, non culic 3. 5-. fic jam 

hic4- /. nonferc/. g. quianacuracancus concinnirequirichoc,uccer- 

ciacum fexcafaciac perfe&am quarcam feudiacefsaron. 

Hincigicur apparec nacuralis fepes ucriufq; gcnens, Nam cum iii 
cantu molh (ic lmo loco /. 6. in durO 4. /; & difFercncia ucriufq; fcilicet 
diefis 24. 2$. non fic ex concinnis Ordinarijs , per capuc IV. ergonort 
porerimceademcancnsnacuralisferrefimul ftareimoloco 4. 5. &/. 6. 
ied afsumpca 4. 5. cercia majore , debet iilavice exulare ab imo loco / . 6. 
auc hac reeepka excrudicur iila, ubi 4. /. trahic fecumj. /. & 5,, 6. crahit 
fecum/. 8- fexcamminorem. 

Rurfum auccro hoc difcrimenucriufq;genefis harrhoniar , Deus 
ipfe in mdcibus p!anecarum expreffic , uc hb. V. audiemus. 

De Vecerum ciibus illis Generibus,quorum hasc Nomina , Dia- 
tonicum, Chromacicum, Enharmonium,hic confulCo fuperfedeo dide- 
re, neconfundarh ledforem. Poffis camen Diaconicum incerprecari, 
Cancum durum , Chromacicum , Cancum mollem , auc Diaconicos 
quidem fingulos,'chromacicum ver6,mixtum tex duro & molli. En- 
harmonium vero nihilhabecrefpondens incancu nacurali; in ufuali 
vero Mufica refpondenc illi quadancenus ,vibrationes Vocis humanae, 
cremor Organorum>Mordencia; m fidibus pandura;>& fimilia. 

VidequaedehisGeheribusinfradifpucamusinAppcndicc id cc- 
•xtumPcolemasi. 

CAPUtVll 

De plenaria fe&ione unius O&avas 

in utrocjj genere cantus > 6t de ordine natu- 

rali Concinnorumomnium. 

IgiturhadenusNaturaipfaoftenditHncantu rhol- 

li,terciumab infra concinnum,cfse Tortum minorem 9. /o. quircum, 
Tonum majorem8- 9- quincum , frmiconium )/. jg. in cancu verodu- 
ro , tertiumab inffai/. 16. quarcum g. 9. quincum 9. 10. 

Aeftancin utroq;genereCantus adhuctertiac binae,fingula;mino- 
res&fingula:majores, qu&nec dum func divifas a&u , per fe&iones 
chorda? naturales,in elemencaminima corteinna. 

Primum videamus , in qua: Conc inna poffint illa dividi , deinde 
quo ordine coilocanda fint fingula. 

Sacisauremhacuradocec, fipoffimus illadividere ineadem clc- 
m«nca, ex quibus ha£enus.yidimus conflare , nacuramonflrante , Dia- 

cefTa- 



Harmonicis LiB.llL 45 

cefsaron confonancias,- non debere nos uci alijs,quarum exemplanacu- _ 
ranon monftrac. Docecigicur Arichmecica,4 /.conftareexS. 9. 

&S>. 10. ficf.6. ex89.&/5.ji6. Eneadem coricinrta;quae&hac~cenus. 

Quod nifi ordinaveris imo loco Terciae cujusq,- inferioris, Tonum 
majorem,-nonpocericefsechordaunainucroq;gencre cancus. Sie- 
riim iri cancu molli noh poceris imbloco ponere cohum rriajorem , o- 
porcet lgkur ucibi colloces femicortiuhi 15. 16. quia haec duo fola in- 
funcin incervdllo /. 6. indiviib. Induroconcraefleccotlocandus imo 
loco Tonusmmorj quiaiUudconlbnumindivifum, fcilicecTerciama- 
jbr, non habecfemiconium, quod ancea ih molli ponendum fuifsec imo 
loco; icafierencdUa^Chordai, quarumlongiorcummaxirhacOnfticue- 
recfemiconium,pro cancumolli, alceraconummainrem ± produro. 

Accedic fecundo qUod nacurae confCncaneiim videcur,uc, ubicun- 
4; Iiberamfecliiortis ele&ionem habemus, majora incervalla verganc ad 
Ibnos graves , quia eciam ipfigrave; acucisfuncminores; 

Eadem prima racione e vincemus eci^m, fuperiorerii cerciam,indi- 
vifam ha&enus, fic effe dividendam, uc conus major llc loco fummo,ne 
fepcima chorda gemina fiac Eft enim in cancu molli fuperius 4. 5. in 
durof. 6. nacuralimechodoihfuperioribus cradica. Si ergoTonurri 
rjerfecium(aicerurnfciiicdcelemencUmTerci*)ordinaremus loco in- 
reriorihuiusTercia^fuperidris ,• cune iricerVallurii idem a diverfae alcu 
tudiriis vocibus cdnfurgeris, pehingerec eciarnad diverfas alcicudinis 
voces , cjUas pro una facerec duas. Haeracirihes demonftracivae & 
planeneceflariae-, fufficiunc concra auchoricaces Pcdlemaei, Zarlini,Ga- 
lilasi, qui imo loco octavae habenc corium ririnorem. 

Igicur chordae oclo explicanciir his nUmeris ad eundem corhmu- 
rierrt minimurridertdriiiria/drerh reda&is. 

SyftemaO&avas 

In caricu molli. 



Voces 
feu Loca 



In Nocis; 



Longicudo 
chordaru- 



Superior. 



QuarcaS 



VI II. 

VII. 

VI. 

V. 

IV. 

III- 

II. 

I. 



m 



II 

I ] 



li 

II 

Pl 

i i 



■ 






1 u 

ij 



7 2- 
Si- 
9 0. 

10$. 
12 

I 2 8. 
144» 



va 




? 6 0- 


2 4 


4 os ■ 


2 7 


4?o- 


? 


4 8 6- 


3; 2 


Mo. 




• 606, 




6 40. 




720. 





Media naturalices 
divifa. 



$ 

4 




» * 



IacantB 



46 De Proportionibus 



cMvtt? 



In cantu duro. 



Voces 
feuLoca 



In Nocis. 



Longkudo 
chordaru. 



•Superior 



Quarcar. 



**Vide eti- 
am hunc ty 
pum,qui«b 
demredit. 



r- Ot-. 
o c-o I 



•o 



5-o - 



.+•■< 



<l 



4* 

p 

<+• 

• o 



<> .-*; 

• p 

►"^» 

O >_ 

o r 



»-« e\ •— t 
o 



i-. v O ,_. 



■VIII. 
VII. 

vi. 

V. 

IV. 

III. 

II. 

I. 



o 

1 1 

I I 

f» 

I I 
1 



I i I 

14, 

I J 

n 



i*i 



i 
( i 

o 



1 1 

<M 

I ! 



! 1 



4 
4 
4 

6 

7 



6 
o S 

8 o- 
4 o- 

7 *■ 
4 o- 

2 0- 



2 

4 



Media natu- 
ralr divifa. 



? <5. 

4 o- 
4 5- 
4 8. 



Ima. 



l 3S- 
144- 
160. 



Expreflas vides in numeris minimis , non cancu omniumocStolo'" 
gicudinum proporciones, fed eciam quacuor fupremarum, & quacuor 
imarum, numeris minonbus ; inprimis verorrium fupremarum & cri- 
um imarum , de quarum medijs earumque numeris mihi cum aucho- 
ribus hoc in capice concroverfia incercedic 3 Narh VII. in utroq; Gene- 
re cancus eft^o^. Ec II. utnnq,- 646. 

Memineris autem,chordas uniufcujufq;Generis tancum princi- 
pales o&ohas in hoc capite poni : de accelTorijs, quarum linam Cancus 
durus adfcifcidoco pene fupremas, iniequente difpiciemus: hic enim 
id agimus , vc videamus , quomodo penefuprema; & pehimasconfticu- 
enda; finc, uc in ucroq; Genere poiTint efle eaedem. 

Etquia inconjun&ioneharumutriufq;cancus prineipalium oelo 
chordarum,ficutdLia:earumgeminenturinInftrumentisMuficis:fiunc 
ergd in communi fyftemace, cfiordar principalesunius 0£tava;,decem > 
agnofcuncur camen (& ficecia appellantur ) LocAhOn plufquam oclo. 
Vide originemvocabuli Cap.TV» ** 

CAPVT.V1H. 

De numero &c ordine minimo- 

rumintervallorum unius Diapafon. 
Intervalla imum &c fummtim, ut &: quartum,natu- 

rahoc, illanacura;imicacione>fa&afuncTonimajores: a quibusrur- 
fum imicacione nacuras,quaj tonum minoremfecac in femiconium& 
diefin,abfcinduntur itidemfemitonia i$- 16. proptermajorem^varieca- 
tern, in cancus flexibus feu anfra&ibus prsecipue; idq;fuperioriparce 
ihtervalli: reftant igiturinparte inferiore Limmata, feudiefesmajores 
;^8. 13-5-. quod diefin 24. 25. uno commace fuperac. Prae- 



HarmonicisLib.U1. 



47 



Prxcipuaveroefthujusabfcifllonisnecefllcas infupremo incer- 
Vallo,quod capice praeccdenci conum majorem fecimus^quia cancus &■ - 
rusTemiconioinfummo, velconomajorepromifcue& pro re natauri- 
cur, crebrius camenillo &pene iolerlicer, eo quod ficuc feptima o: di- 
nariafaciccumquarca EpicriconfeuDiaceflaron5.4.:(fc.40. cum j4 
capicisluperioris) : ficeciam haec Vll.extraordinaria, diapence perfe- 
ctumfeu.2. 3. cumIILfacereamet,quiaIII.eftpropriagenerisduri,fc. 
576. ut argutior hocpadto cantusfiac. Ecvero 2. %. de $76. eft 584 q,d 
cum VIILfcilicec cum j6o.facit 16. 15. 



CapehocExemplum in Noris ex 
ancicipato. 



£tfi haud contenderim fi qiiis affirmaverit, hujus 
melod ix proprietatem fic redtius exprimi. 



i ^EEgggfe^ pMj 



1 
t 

l 
I 



Sed de hac re infra ex profeflb, 

Icaq; fiunt in una odWa in univerlum chorda: credecim,his nume- 
risleuterminisminimis :quibusinterpofuiintervalla omnia minima 
feciindum nacuralem ordinem in pleno & Iperfedto Syftemace or* 

ganico. 

Longitudines IntervalUcon- innotisvjitatk* 
chordarum. cinnaVel quajt. 
Supra. 108O 

Semicohium. 

1152 

Limma. 

121$ 

Semitonium. 

I 2 9 $ 

Dicfis*. 

t 3 S d ' 

Semiconium. 

i 4 4 6 

«Semicomum . 

* S 3 * 

Limma. 

1 6 z 

Semiconium. 

DiefiSi 

i $ 6 

Semiconium. 

i P 2 6 

Semiconium. 

J048 

Limma, 
Infra* * T 1 € o 



m » 



i 
8* 



■<* 
I 

I 

f 

1 

t 



1» 






I 



+ 



Vides 



CAP.viir. 



nu 



48 De P&oportionibus 

Videsduobuslocis concurrere binafemiconia infra diefin , quod 
fbpradicebamusfUturum. Acq; id arripiunc arcifices in organis , & 
Organifta- duobusfemicOnijsprO cono Vcuncur , quocies infolenciorem aliquam 
l " mucacionem infticuunc. Ecfiexarcisinfhcuco concemperanc omnia 
incervalla,ficucriullum fincerumrelinquacur , fcducintervalla, quae 
debebancefleperfecla , minimo perfedtioms damno, fublevenc & le- 
nianc ca?cerOmimperfecT:ionem;qua racionefic, uc coniomnes organi- 
cisfincsequales,'limmaeciam£equalelemiconio, ade6q;duofemico- 
nia facianc illis conum,perfet~tabifec"tiorte; quod uc canco facihus fucce- 
dac i nediefisquidemperfe&iOnemfuamdemonftrativamapudiiios 
recinec. 

Se&io Monochordi expedi- 

tapro chely eiusq, reprobatio per 

Audicusfenfum* 

Hic locus poftulacut quze fupra fub finem capicis f ecundi promin* i 
praeftemmimirumuccummeisinvenciscomparem feclionem Mono- 
chordi Teftudinariam , aVinceritio Galilaeo,nifallor>exAnftoxeno 
prolacam ; & fuper ea quoq;aures incerrogem ; fic camen , uc Racio e- 
loquatur , quod rpfasdi&uras efse confencaneum fueric. 

Cumenim Diapafbnconftecexconcinnisincervallisfeptem;un- 
de nomen habet OCTAV.& , uc di&um capice priori : inter qua? inter- 
vailafunc quinq; torti,duofemitonia; & conorum quilibec bifecari poC- 
fic in parces femiconio proximas , uc ica fianc incervalla duodecim hoc 
cap. - definica;liceris G.G^. A. b.fyc. c%. d. d^ e.f.fe.g: hinc occafione capca 
Mufiei inftrumencarij duodecim Sc ipfi incervaila in uno Diapafon fta- 
tuerunc ; id vero via minime laboriofa, &d omnino facili & expedica , 
uc mechanica pleraq; par eft efle ; quae talis eft. Tocam colli ceftudi- 
narij longicudinem,incerduOquidemEphippiafeumagadia , quibus 
incumbens ehorda , liberam coca longicudine incercepca vibracionem 
obcinec, dividuncin parces asquales i8- &primama Vercicillisligacu- 
ram feu Ta£r,umficponunc,ucfupraficpars i. infra.17. Deindehasrefi- 
duasi7. delecisdivifionispuncT:is,<lenovoinalias/8. dividunt , &fe- 
cundaligaturaabfecancunamucprius, idq; repeturic duodecies : cum 
duodecima abfectiooe dicuncrelinqui cancam Farcem Chord», uc fit in 
ter illam & Totam Confonantia diapafon. Sir, ergo longitudo chor- 
dx 100000. Si)$. partes fiunt /00000. quid /7. ? prodic 94444. Rurfiim 
fii8- valent 94444 quid /7? prodit 89198- Ecfi/8- valenc 89198- quid *7? 
prodit $4242. &c Hoc pacibo prodeuntnumeri duodecim pro toti- 
aem intervallis , quibus ad latus pofiti funt Numeri , quancos poftulat 
vera ratio haclenus demonftraca,,in quanticate chordae totius. 

Haecratiofi cxa&a efset ; tuncfane pr^oportio repetita duode- 
cies azqualis efsec proporcioni duplae incer j. z. quod fciunc boni Arith- 
meticifalfumefseicumi.^. & iTViig.finc incornmenfurabiies. Hacc 

tamen 





Ratio Gat- 
lilsi. 


Vcra ratio 
haftenus de 

monftrata 


G. 


IOOOOO. 


100000« 2 

937S0- I 


Q. 


P4444- 


J. 


$919$- , 


$$$$9- 1 


b. 


84242- 


$3gw| 


£ 


39S62. 


Soobo- s 


k 


7y242- 


. 75" 000. 2, 


c<>. 


70967- 


71 iii- 1 


d. 


6702S- 


dq. 


63361. 


02JOO. P* 


e. 


S97$S- 


booob. 


f: 


S646?- 


S62S0. 


r* 


S33*$' 


siifjjn 


g- 


S036Z- 


5-0000.' 



HarmonicisLib.111 49 

tamen mechanicafed-io chorda» facisfacit _._ .,„. 
.... ...;,. .1 ■ CAP.viu. 

audicui utcunq,- ; propcerea quod numen 

finguliadjveros juxca poficos appropin- 

quanc, &quia chordaj chelyum cenfiles 

funt , & diverfi quodammodo foni, acuci- 

oresinpririeipio,cumeftearummotusad- 

huc magnus,recens dimiflarum a digico > 

graviores &: f emifliores , cum lacicudo 

vibracionis cohcrahitur iri anguftu , chor- 

da in f e redeunce. Quin eciam in ta£tu le- 

niori velfOrciori difFerentia eft,inq;latio- 

rivelredu&iori, prOfcieritiaMufici. At 

fiauditus judicium curri Rationis follerti 

mdagine examines i ftatifn apparebit dif- 

Fenfus .• quod fic probo. Agnofcunt fa- 

ne aures harmoniam inter iopbob- & 

S0363 * .utaffirrnat Mechanicus: agnof- 

cuntearide etiaincer iooobb- & ^oboo* 

utegoaffifrrio. Queeritur utrummhil di- 

Yerfiratisariimadvertantaures, 8-utrumharmoniahaicobtirieattan- 

tamlatitudinerni Refpondeo exmeisfeclionibusharmonicis Cap.* 

II. quod rion. Nam quoniodo nihil difcernunc inter duas Confonan- 

tias, chordarum ioooob. -roooo- &ch6rdarurri iboooo. S0363- 

eodem modo neq, difcerrient ineer duas Confonantias > chordarum 

iooooo-^oboo.&chordarum ioObbb. 4-9637- quiaa;qualishic8_: 

illic eft difFefencia binarum conforiantiarum. 

Atfinon juxtacofam iooooo- pulfecur pars ha?c veliila,fedpartes 

ipfohinc yoj^inde 49657. juxtafeirivicem pulfentur: tuncomnino 

neceffe eft, jiartem breviorem emiccere fonum aeuciorem,parcem lon- 

gioremgraviorem: & ha?c difFerentia Fonorum facile deprehenditur 

abauribus, iriexamirieunifonarumpaftium. Pateterg6,'qu6dau- 

resnon aliadecaufajudicericeandemefle cortforiantiam fnterf 05*6^ 

iboooo. &inter 406^7. iooooo-> quam quaterius $6363. & 

49637. aequajes eflevideritur; id eft, quatenus riihil ferifibile difFerunc 

nechaec nec illa a 50000. Ergo fi refpondearit aiires fecundum Raci- 

onis iriterrogata ; dicent , exadtam Harmoniam inter ibboob- & 

yoboo- hoc eft incer _. & i. incerefle. Qijare falfum eft, exa&am efle 

Confonanciamincer iboObO. &S6363- 

Idem judicium eft de Harrrioriia iriref ioobbo. 6762$- riam 

ctfi primonondifcernunceamaiiresa 66667. juftalongitudinePartis 

vere confonaritis : at refiduum illius 3297 S- non e ^ dimidium ipfius 

6 76 2 sv Aliterergo conforiabitduplu illius 6S9S0- aliteripfao^b^^- 

curri mter fe collaca* haschordsdiverfumforiumfaciant. Quodigitur 

inHarmonianondifcerriuncillosaUres, ficide6,quia medium nume- 

rumprobant,fifenfusrationeacUatUr,fcilicet 66667. ucejuscomple- 

mentumfic 33333. dimidiumfc: illius exa£le. 

Scabilico jamfenfus acumine indijudicatione Harmoniaj t. ad 3. 

G itemqi 



tinesi 



Chordsc. 



< 
< 



Notae. 

Litcrarum 
occcfsicas, 



%7 De Proportionibus 

itcmq; i. ac! 3. fequicur ucfimiliter etiam de 2. & 3. cum c. judicemus > 
deq;i. &s.cum4.Namfi59,78$" confonaretcum 1 00000. acq;ficeciam 
refiduum 40.21$. cerce hocnon eft bes de illo ;cum camen Befsis Con- 
fonanciaperfe&ajuftificata jamfit , fc, 60000. cum 40000. Hoc pa« 
fto cranfTercur audkus, firacione acuecur , ab una fedtione ad aliam,m- 
cipiensabunifono,cujus agnitio & dijudicatioeft facilima, ufq;dum 
omnes pcrvadac , probansparces, quas meinumeri fignanc, repudi- 
ans Mechanicasprimiordinis. 

Videargutiffimam aliamhujusgeneris Contemperationem apud 
Vineentium Galilaeum,non ignor antiademonftraciv^fonorum quan- 
cicacis, fed ftudio fingulari fa&am, Acq; Ego quidem ufum ejus Mecha- 
nicum agnofco,ucorganiseadempene Iibercace incenfionis, quae eft 
in humana voce, poffimusuci/ad fpeculacioncrn ver6,imo ad Nacuraoi 
cancus dignof cendam perniciofam exiftimo : quqq; hoc efficiac , uc Or- 
ganum •ingenuicacemhumanicancusverenunquam afTequacur» 

CAPVT IX. 

De Diagrammate., hoc eft chor- 

{Jarum feu vocum denotatione mo- 

derna,per lineas & literas Alphabeti & 
Notass deq; Syftemate. 

Nonmielitefeseil^fed feqttoregoratidnes neeef- 

farias. Muficinoftraiajtatispinguntchordas, aliterin diagrammacib* 
Teftudinarijs , alicer in cantorijs. Illic enim fingula; lineje diagramma- 
tis , fingulas thordas nocanc , quarum quEelibecpro diverfis ra&ibus, 
diverfosprsftanc£bnicus,fipulfencur:in Cancorijs cypis, non linea; 
tancum fingulasfingulasvocesfeuchordas,fedipfaecia incervalla dua- 
rum linearum fignificanc unam chordam incer mediam. 

Hocpadto 4. linea: cranfverfae cum cribus incervallis , denocanc,?. 
chordas , & 5. lineae cum 4. ihcervallis, chordas novem. Deinde expri- 
muncvoces canori Syftemacis vel Nocis peculiaribus, fuo quamlibec 
loco diagrammacis ;qua;Nocaefimulcemporis menfuraminnuuncvel 
liceris alphabeci primis fepcem , veldeniq, fex fyllabis, vt, re,mi,fa,(ol t 
la, velut hodie Belgaj, (epcem iftis, Bo,ce } di } ga } lo,ma, ni. 

Nam quiacantus genera duo funt,durum & molle, quorum ab u- 
nacommunivoce ima inceptorum,ha;ceftdifFerentia J quodtertia& 
fexcaindurocancu, funcunadiefiakiores quaminmolli; chordae ita- 
que, tertia& fexca,nonpofTunt manereftabiles inucroq; cancu, fed o- 
porcecillas velgeminasfacerein inftrumencis & organis> ut faclum in 
numeris, rlneCap. VII. velca£luvariare,uccredofaclumoliminlyra 
& fyringibus. Eadem de Diagrammace & voce humana func dicenda» 
Cum emmpro ucriufq;generis odtavisab eademradice furgentibus u- 
numfolumdiagramma fiat, inq;eotantumo&9 loca, otto fonorum 

in 



Harmonicis LlB. 111. ** 

indices; ab ucroq,- vero genere cancus in unam odiavam Coacerventur G Ap JX> 
principaleschordaedecem,percap. VII. omnivariae vero tredecim,pef 
Cap. VIII : fit ut duofoni, DiefivelLimriiatediftanceSi pingantur eo- 
dem diagrammacis loco , feu is lirtea fic , feu incerhneare incervallum : 
quiadieies & limmaca noncanuncur deinceps, uc Tohi & femiconia » 
quadecaufaeciamnoluiillas,cumaliquibus,femiconia minora dicere. 
Hacigicurdecaufaprasfigendae fuere lineis &incervallis, chordarum 
imaginibus, cerceNocx, exquibuscantus durusamolli incernofcere- 
tur , conftaretq; locus femitonij, five ordinarij, feu etiam caEcerorum , 
ex conis majonbus abfciflbrum. Eft & alia neceflitas occulcior , non 
ex diverfitate Generum,fed in quolibet cantu,ex inaequalitate Tonoru 
majoris & mirtoris ; ut ij in diagrammatib 9 fiiic contra fe diftin&i. Nam 
fyllabasl^, Ke, Mi, necefleefteflegenerales & applicabiles cam majo- 
riquam minoriTono; quare uccunq; facisfacianc hae denominatiortes, 
eaneredifcencibus, &Organicis praclicis: ac Theoricis minime facis- 
faciurtc Exhocigicur officio hae liceraejquandoprajfiguncurDiagram- 
macis, Clavesappellarifolenc,qu6dfine ijs, cancorinortpaceacingrek 
iusindiagramma. 

Eiedem vero liceraeeriam adhibencur in of ganis Muficis: infcribun- 
tuf enimmanubri)sple6toruminTenfis,aucEpiftomiorUm ininflatis, 
aqua iiifcfipciorte Manubriailla, privarojiire Claves dicunciir>& ordo 
ipfe, feii Syflema ex Manubrijs Omnibus, Claviaf ium, ba$ (FlabKr, & in- 
ftrutrienci geritis ClaVichordium;qu6dchordae clavibus, hoc eft ma- 
nubrijs forisdepfefllsjplecirifq; iritus exfilieritibiis > pulfencur. 

Qiiirt eciarii func diagrammaca, pf o Orgartiftis fbribi folita, in qui^ Tabnlam: 
busprolineisnigrisifuntferiesS[iteiarum,indicaritium,qU3;riamClaves "» fcu &*- 
tangi debeartt.* ubi licef x func pf o Nocis , quas adhibebant diagrarnma- S tammata * 
tacancoria, inlineas aut lncervallapoficas. 

Circa liceras has , aliquanobis VeniuncobferVandajucunde. Pri- 
niumndn omnes licerae fuis imponuncur lineis & incervallis, fed folurn 
iftaijF. G. G qubcies locus qni earum eftfuperlinea>5.veroctiam 
tunc, cum locumhabec in intervallo. 

Deinde litera C. habec fignum longe diverfum quale fc: hic ad lacus 
pictti : pucofignum hocnacum ex decorfione fcripturae veceris literae Vtlic ^&- 
C. Nam qu ia lacis calamorum mucronibus ucebancur fcripcorcs, Notse num fi 
pleraeq; compendiofa fcripcura fiebanc quadracae ,• nec poterat i)s cala- £f 
mis rotundum C pingi : icaq,- C fccerunc > ex tnbus lineolis, una tenuij 
vice cavicacis, & duabus craflls, vice cornuum, duclo in latitudinem ca- 
lamo fic g . Iam lineola tenuis, properante calamo, ut plurimum fa&a 
fuidongior, & excans ucrinq; ulcra cornua,ficj; # Ucaucem cornua 
terminarencur,lineolasprimaeparallelasduxeruc "ficjj. Ecfictande 

exduabustalibuslin e olisunafaclaeft,primae fimilis &parallela, to- 
tumq; fignum tale £J , quod, ut Notae ipfae in lineis > hiatu claami fic ca- 
vum,fic|={, 

Occurrit tamcn & hoc, an non fignum hoc ex ufu vocis , Scala Mu- 
fica, fueric nacum, cumfigurampraefeferacfcala: ; quafi prfncipium 

<&2 Scalas 



<%i De Proportionibus 

ScaigeMuficaenocavcric, ubiponebatur. An verius,prius ex licera CJ 
■ ' " fcal«,effigiemfa&am,pofteaexhujuseffigiei crebro ufu> fcalam dici 
ceptam , quod proprie diagramma erac ? rTTi 

Cum verolocus non eft litera: C in iinea (quia olim uc plurimum 
Dclitera/: unese eranc cancum quacuor. ) cunc locus eft licera? F. inlinearum una: 
„ quae fcribicurin caeceris vocibus alcioribus genuina fua noca , in BaiTo 

IH femicirculorecurvocum duobus juxcapun&is; quod fignum pucoin- 

~ cer inicia, priufquam decorquerecur, fuiflegrarcumy gamma mirjuf- 

culumj fic uc duo puiifta addica fignificenc Digamma , quk noftrum F. 
eft Graecorum duplex T. Nama.Graecis defluxifle hanc racionem fig- 
nandiibnos Syftemacis per liceras Alphabeci, ; fidemfacic Vincencius 
Gald«us,prolacis Graecarum Cancilenaruni exemplis anciquiflimis. fcc 

in confeflb eft, eciam fimplex Graecumrj inlacinanoftraMufica locu 
invenifle -,ucjam dicecuf. 

Haecigitur F,eft akera fignata clavis: fienancur autem ambae iuxta. 
mvicem, ubicommodilocipro ucraqjoccurrunc. TertiaeftGyquarm 
vocibus alcioribusexprimicur , cum eilocus eft in linea. Signatur 
cxanciquomore eciaminima linea diagrammacis. Nam fcala Mufica 

hodie ihcipic a voce I vt, feu Gnmmut , quae indicac Gphchongum 
graviflimum: tic ica Digamma & Gamma , fincidem quod -F. &(?. 

Deliteta*. Sed&£. inmolliscancus diagrammace pingitur infuper, addif- 

criminandum genus eancus , five in iineam compecac , five in inc-erval- 
lum: fignificacejus praefencia cancum mollem, abfencia dur-um. At 
non hoc cancum,verum eciam in alijs hneis vel incervailis , quae non fuc 
Clavi^. cributa,repericur nihilominus, &abufuquodamrepecitur ii- 
cera b. pro figno femiconij feu .Syllabae FA. 

Uejlitoal, Contraquandoextraordinarie^emitoniumitacuicurloco coni,& 

Syllaba Mi, loco .Syllabae Fa, cunc nocae pnfimittitur licera fy. auc fignum 
abeaderiyatum. Namveteresproculdubioficpingebantj;; acproeo 
nosw vel^ jquodGalilaeus idem iedqridicerevelleexiftimacquod 
olimGraeca vox diafchifma;facis enim evidencer fifluram exprimic, & 
indicac nobis abfcilTiones femiconiorumjde quibus egrmus capice prae- 
eedentiV-III, 

In Manubrijs Teniorum Crganorum non commkdmus hanc 
ambiguicacemcumlicera£. loco fc.non fuo. Nam primoomnes Cla- 
ves feu manubriafonorumillorUm,quicon{ticuuncurabfciflis iemko- 
nijs a cono , & quiaugenc numerum o&onarium Syftemacis o&aVa;; & 
eminencia func, feuexcancia ibpra martubria principaliaplana; &ni- 
gra colore ; deinde cuilibec nigrae Clavi infcribicur licera vicinae Clavis, 
fed caudaca, ad diftinctionem; (excepco ^. locb cujus ^fimplex nigra 
claviponicur)&caudafignificacvocem alciorem, utfife.g.gz>b. ^. c 
c%. d.d v fed interf fe. g g%. c c%. eft Iimma, &incer b ^ cliefis,in- 
ter eafdem fc. liceraSjficuc ecia earum bin* voces in uno folo loco dia- 

gram- 



.- 



- ; a HarmonicisLib.111. 55 

graiiiacisexprimuntur.Acincero/^. eft femiconium;fic utha? duzelitc- . 
ra?i licetea,'dem,non tameadfcribancurlocoeidem,fedfuccedencibus. 
Dieiisveroeftincer^, c. & compecunchsdiverfarlicerannllocumeun- 
dem: qua? diverfitasconeedenda eftmorianciquo, & ufu mollienda. 
Deniq;incer/? £,£<#,# 6, £r, dd^efCunz iemiconia. Icaq;cauciohic 
eft adhibenda,ne peranalogiamaliquam exfcripturaeadem,deinter- 
valli idencicace quicquam prcefumamus. 

Illud eciam prarcipue mirum , & condonandum fimiliccr anci- 
quo mori ; quod in non nullis Clavichordi js & organis ( in quibus con- 
nnuancuro&avar) cum propcer idencicacem confonantue Diapafon 
eardemliterarjuremericorepecancur, non id tamen fit initio fa£loa 
prima^,fedafeeunda£. Hic cnimeftordochara&erum. C, D. E.F. 
G. A. b. c, d, e.fg. a. bb. cc, dd, ce.ff. gg. aa. bbb. ccc. ddd. eee. fff. ggg. 
aaa. tfc. 

Porro quodeftdiagrammaincharta, hoc eft Syftemain organo, Syftem»- 
feries fcilicec chordarum omnium, unum intervallum confbnum divi- 
dencinm: quod,utCap: V. dictum , primo omnium convenit inter- 
vallo diapafbn: ex eo majoribus omnibus,quanca illa quodlibet Inftru- 
mencum comple&icur. 

Ecfiver6noneftuiftitucimei,mulcumimniorari inMufica vete- 
rum,cum fic obfcuritatis plena; nonceniui camenprarcereundanomi- Vetuftl , niv 
na, quibusilli fonitus o£to in uniusoctava; Syftemate indigetarint, - d a ram. 
namdenominacio ifta cognationem habec cum literis , de quibus egi- 
mus hacienus. 

Igicurveteres Ariftotelistempor? ficnumera-runc chordas, Hy- 
pate ,Parhypate, Lichanos, Mefe , Paramefe, Trice , Paranete , Nete. 
Hypates vox erac graviffima, didtaq; fic effe videtur a fitu fuo in inftru- 
mento tenfo,cum ad ludendum app licacur.' eundem enim fitum hodie* 
dum obtinetinChely, Pandura &c Cychara. 

Cumq; affirmec Ariftoceles, mcer Hypacen & Parhypaten interfu- 
ifle dieiln(hoceft Platonicumfemkonium , quiduobustonis majori- 
busablatisa Diateffaron, relinquebat24$. 2 $§* quod appellavit Die- 
fin ) Ergo Hypace eadem erat, quam fignamus litera A. Parhypace, qua 
litera^. fignat. Ergo Lichanos ( adigico indice ficdi&a) eft c. Mefe 
vero eft d : di&aq; eft hoc nomirte, qu6d mter feptem erat media, quo 
temporefepteTolarerantchordarinPfalterio, &proociava pulfabatur 
pnma. Paramefe habet literam d%. vel e: hanc vetuftiores omitce- 
bant , Tri te literam f; dicia fic eft, quod effet cercia in ordine ab acuto, 
ficucnosfexcamdiqimusagraviX Paranecefignacurlicera^. Ec Nete 
quafi quar ulcima cangacur a pledtro deorfum cradto , redit ad literami*. 
Confirmat hanc diftributionem & hoc , quod inter Neten & Mefen 
Diapente interfuifle dicitur. 

TaIeautemSyftemachordarumo£to,non poterat aliter utriq; 
generi cantus infervire, nifivel caciu digiti abbreviarentur Parhypatc 

Gj *,5cPa- 



54- De Proportionibus 

cap.ix. & &paramefe^e. ucfierenc$.e\ vel vercicillis incenderencur in duro 4 
Qui veteri- aucremiccerencur in mollicancu. £c hac occafionenacaeftdiftindtio 
^hth^!" phchongorum in ftabiles & mobiles , ipfaq; appeliacio ^S Gito<;> a re- 
&quimobi miffione chordarum mobilium. 

lcs/ In compoficioneplurium Syftematum Diapafon, racio vecerum 

Proflamba fuic incricaciof ,• illiidcamen obfefVandum; quod afliimpferuhc unam 

nomenos. g ra viorem ipfa Hypace , qua: ab hoc ipfo Proflambanomenos eft ditta. 

Huj us rei veftigium fupereft in Seala Mufica, qUam edifcuht noftripu- 

eri , qU« aflumicinfraliceramlacitiam A. aliquam que. fignificac fonum 

graviorcm,eum enim extra ordinem figttat gracca litera T; fic ettim in- 
cipic fcala, Gammut , Are , &c. 

Hsec de nominibuschordarum veteribusfufriciattetigifle hoc lo- 
co. Nam infra Capite XI. Omnes chorda: quindecim Syftematis com« 
pofitiexplicabuncur vbcibus anciquis ■, fedpofteriorum Muficorum» 

Iarri canderii adrioftrum ^yflema naCurale uttius Octava: acceda- 
mus, eiq; liceras applicemus ex Mufica uficaca. 

Scacuo igitur Syftematis hujus naturalis & demonftracivi vocem 

graviflimam eamefle,quam veteresProflambanomenon, fcala Mufi- 

Syftema na- calis Gttmmut , folec apellare , ei nimirum cnbuendam literam G. Cau- 

turaleac^ £x\\& func, quia voces conftitutte perfe&iQrieshafmohicas,infr3 quide 

wcipere. 0( ^ avam za \ ia determinant incervalla, ciim vbce chbrdae tbtius,qualia 

MuficiordinarieconfticuuriciriterG. & b.fy.c. d.d^. e. 

Dixeric aliqiiis,eaderri incerVallairicelligipoffeiricerZ). &F. Fe- &* 
' A.b. fy. ficeciamincef c. bcd^.e.f.g.g^.a. Necdifriceor egO> Mu- 
ficos organicos , liceras hasufurparegeneralicer - y necdiftiriguere iri ijs 
conos, majbfem &minOrem. Nam quid illos impediac a. G. itt d, 
Transponere cariciim; qui in organis fius, Tohosduos, Ma|brerrig. 9. 
& minorem9. io- coriflacos munumincervallum 4./. poftea pr^Cife 
bifecanc in duos conos ufuales, incer CeCe aeqUales ? Ecfi accuracibr eft iri 

hac concemperacibrie Galilams . Nbs vero fpe&am 9 hic noh ct ftfpflll Wf 
Empiricoru , fed Nacuraeax^ feuctV; quare imicari illos hOn poflii- 
mus. Ecliceramquidem c. qubmirius,abillaiyftema o&avae riaturale 
confiirgac,vel ipfi abjecerint, hoc argumento: Nam inter ipforum^e.a. 
eft Semitonium ; & hoc intervallum eft loco quinto -, qttia a. eft fexta a 
c. AciriSyftemacenacurali,ancefexcam nobisDiefiopuscft. Diefinau- 
temMuficiipfiponttnccancumincer^. f). &inter^e. e. tgicur Velipfis 
ortranicis affericiencibus , vel a D. vel a G Syftema noftrum Cbnfiirgerc 
debec,uc exprirnacuf mefumiyftema hatiirale. 

Acneq>aZ>. Syftema hacttrale incipere pbteft. Eft enim ipfis in 
mbfepoficum,Semiconium ponere incer^.^e. inmeoveronacurali 
Syftemate , eft imo loco Limma, quod minus eft Semiconio. 

Syftema naturale. Tranfpofitio tejefta. TranfpofitioaHatejefta: 






|« ■ > * ■ 1 1 1 > ■ ■■ • ■■ ■ mgm i jfc i' 



CAPUT X. 



Harmonicis LlB.lll. 55 

CAPVT X. 

De Tetrachor dis & ufu fy llaba- 

rum , Vt , re , mi, fa, sol , la. 
Veteribus ufitatumerat, Syftema odtavse diftin- 

gucrcin duo Tecrachorda, idq; diverfimode pro diverfa intentione 
Muilcorum. Velenimconjunctaeranr,Synemena dicTa,uno fonointer 
medioftacuco, qui&cumgraviffimoinfra , & cum acutiffimo fupra 
efHciebac Diateflaron, icaq,excremae efficiebanc incervallu^iiTonum., 
Dihepca, & fupratonus unusfubincelligebacur accedere : quociese- 
nimordopoftulabacpulfareocTavamd, pulfabancpnmam^, quailex 

oppoiico idencicum ibnum edencem , OLvlitp&iVOV. Hoc pacTo non ve- 
reduoTecrachordaeranciedduo quidem diaceiTaron incervalla, unu 
vero Hepcachordum : VeldisjuncTaerancTerrachorda,incervallo u- 
niusTonimajoris,Diezeugmena dicTa,quodrerum Naturafuadet eci- 
am in noftra Syftemacisdivifione,in qua inferius Tetrachordum habec 
G. A. fy c. fuperius^. e. fe. g. ubi incerc„ d. conus major incereft. 
Forcaffisipibeciamiicudiijuncteerancquacuorima- chordaj a quatuor 
(uperioribus , relicTo fc. interftitio majori, inter binas limitaneas. 

Tetrachorda Synemmena. Terrachorda Diezeugmcna. 



9r 



— V^ 



* 



rV* 



* 



?r 



ti=+S2Z: 



m 



Caufa ipfis cogitandi de Jyftemace Tetra chordi , fuic ifta , quod 
▼idebanc in una diateflaron confonancia,efle Tonos duos femis: & nos 
habemusTonurnrnajorem,minorem& femicomum in Diaceflaron 
perfecTo,inConcordanciafcilicecminori(nam4. 5.&5. 5> ne quideni 
pro concordancijs habebancur ) omnia elemencaconcinna,- &fcmico- 
niumquidemvelimoloco,velmedio,vel fummo. Omnisigicur Can- 
tus videbacuripfiscomprehenditribus Tetrachordorum formis. 



3r 



"fc 



x=± 



$: 



>:- 



Ton. Ton. Scm. 



:$zz±: 



* 



>:- 



* 



*=± 



Ton. Sem. Ton. 



icm. Ton. Ton. 



Mihi multiplicantur formae cecrachordorum , propcer diftincTio- Brevi lineo. 
ncm incer Tonos , minorem & major em ; pro cribus enim iex fiunc, & l» fcmitoni 

in uno Diapaio ple 



i.— n.-=- iii.— 



**§ 



*$ 



um ligna- 
tur medio- 

ra?q; gemina:; lcaq; criTonjnu 
habemuseciam Na- n ° r >L°ngi- 

jj r c uieul» iiii. 

curze quoddam luf- j or . 
fragiu addiftingue- 



IV.=. V, 



i | ^ . - ii nu.n.1 au uuiuiiiu^« 

aZTSaII ZIZZJAZXfe$±r^MaTecrachorda,na 

-^^%$*$--- fuperi» eft inferiori 

P" quodam- 



VI. 



CAP.X. 



56 De Proportionibus 

quodammodo fimile in difpofitibne incervallorum elementariumi 

Infra Media Supra. 



Prima forma iri 



Secundaformain 



Tercia forma iri 



c d e f 
G A\c 

b c d dg 

i * h g 

c d d? f 
G A b c 



T. major, minorifemicbn-.^^; 
T. Minor,major, femit: — ^=- 
T. Major, femic* minor "^^ 



Quarta forma in \ c d e Semiton T. major, minor.-^r 



Quintaformairi ^ 



A\c d 
' * ' f S 



T. Minor, .Semito: Major.' 



Sexcaformain 



Semico: T.minor» major."^ 1 ^ 



A b c d 
d dtz f g 

Ec hsc func caricum perfe&i diaceffaron forma; .* de imperfe&is 
Cap. XII. agemus. 

Sin aucem difsimulemus differericiam coni majoris & minoris, uc 
faciunc Organici , tunc. omnino fimilia func Tecrachorda difiundta 
deinceps ifta. 

&cd e fz g 
&cdef g 



G A% c 

■ G A b c 
Haec irria 



& haec fumma.' 



Tranfpofi- 
ito. 



Vtrinq;femiconiumeft loco eodem, vel fummo velmedio, diffe* 
rencia folum illa ,quodunocommacealciuseftfemiconiumiriiriferio- 
ri Tecrachordo, quam in fuperiori; quaj differencia mter caneridum 
non valde fencicur. 

Huic igicur Tecrachordorum fimilicudini eft innixa Tranfpoficio 
cancus de clave in clavem , uficaca Muficis ,• canc& expedicibr , quod or 
ganicidifcrimen Tonorum majoris&minOris, &C3ecera, fuftulerunc. 
Vfusfyiiaba Rurfiim haec Tecrachordorum fimilicudo & criplex variecasj 
inmf7, Re, pepericinMuficarecenciori,fexillasfylIabas vt,re,mi,fa,fq/, /a: qui- 
Mi,fa, Sel, |j US f u blevacur memoria difcencium. Quod fi una fola Ociava cane- 
recur, corripbfita ex diiobas Tetrachbrdis fimilibus, poteramus efle 
concenci quacuorfolis fyllabis, vt^re, mijfhjVt^retmitp, diflimulato 
difcrimine inter Tonos, majorern &miribrerih 

Sed quiafunt cria loci femiconij in Tecrachordo ; ne igicur riiniir 
um generales efTenc has fyllabae, quin potius ut femper denocarecur fe* 
miconium per Mi Fa , vel Fa Mi \ oporcuit duas alias accedere fyllabas » 
ucin his[1#, re,mi,fa,] effetfemitoniumlOcbfupremo,iri hisvero [Re s 
rni ,fa , /S/]femiconium effeclocomedio, - deniq-in his [Mi,fa,Jb/, /a,~\ 
femiconiumeffec imo loco. Acq,hasccaufaeft, cur fexfyUabisufifinc 

inven- 



t.*. 



HARMONICIS LlB.lll. 57 

< 

invencores Mufices , non o&o. Itaq,- videacBelga illc , qui pro fex fep- ^ 
tem fecic, Bo, ce> di,ga> lo, ma, ni, quod ex hoc augmenco lucrum habeac; 
Nam ficenfuic, voces ufurpandas asqualt numero cum chordisunius 
odtava?, unaminus; ucodtava propcer idencicacem reprsefentaretur a 
prima fyllaba Bo ,■ quid quaefo defiderac in hceris a. b, c. d. e.f. g. jam du- 
dum in hunc ufum recepcis? 

Cum igicurhoc modo finc natcefex fyllab£e,propter triplicemTe- ^u"* 
trachordiformam: mde nataeftdodtnna Mucacionum ,per fcalam Mu» 
ficalemmodernam, qucedocTxinafblummodo circafyllabashas,lice- 
ris fuperiusexplicacis apcandas,occupacur , oftenditq; fuperfluas fylla- 
basio/, Az,aequipollereinterdumpnmisitf ,n?, incerdum fuccedenci- 
bus, Af,«2i,ucpofticincerdumexcraordinem& f:ne mucatione,poft 
fil, la, inferrijg, ut re mi fa 



i. 2 . ? , 4. f. 6. 7. 6. £— z—-£j£Z+~& 

Vt, re, mi, fa, fol, la, pi , la, » ^y"v 

Vt,re, mi, vt, re , mi, /3, mi' -"$■-■* — — •- — — -— 

l,£ re nn fa iol ]a fa la 



Eftvero&alia quaedam difsimilis fimilicudo Tetrachordorum, 
fundamentum afllmilacionisdiverfarummodulacionum interfe con- 
cinencium; quas Fugas &: Phancafias folenc appellare» Namfifumas 
Tecrachordaconcigua , nulloq; intervalloa feinviccmdifiun£ta,ficuc 
tonusmajorfuperficadiraplendamodavam fupravel infra: occurrec 
in cercis quibufdam oilavs Syftemacibus utrinq;ieries eadem interval- 

„4_4 ^aa -r-f t l° rum elemencarium , hoc eft Semitoniorum 

tTtlTTtAS Diefium &Liinmacum,- &aflumicur ad alce- 
_ffi^ 9 — 7 ram tonus major , uc pro quarca efflciacur 
quinca, quarca? alteri quodammodo fimilis; 
L^ma" jTonusadjunftus. ^ melodicedua?, altera prior cempore, incer- 
r^ m i to: i T>miao jY^ vallum Diapence fuperius , alcera pofteri- 
siserrlLDium >T3 or rempore, inrervallum DiacefTaron inferi- 
S 1 Semko .•] _ . (§■ us percurrunt , pofterior priorem infequens, 

L. majot J « r A r r ^ * 

& qua hcet, lllius typum, veluc illius semula 




c LLtrnma. 



E. r Sc 



imico. 



tklDiefis j T - millor - 1 ? qusdam, imicans. 

H.4 Semitonium. 15. 

EF Semito :") _ . ,' j= 
" iLimma.J T - ma J° ri J 

CAPVT XL 

De Syftematum compofitione. 

Et(i unius hominis vox plerunqj intra unius o- 

ftavae fyftema vercicur,pluriumtamenMelodiarum concencus docer 
oftavas plures contiguas ordinare. Veteres igiturnumerorum aftecti- 
onibusomniadefinientes, Diapafon epidiapenteNumerisi. .*..?. , fy- 
ftema perfectum definiueruntmobis fiipra fecliones harmonica? fmgu» 
las fingula reddiderunt fy ftemata , quoru erat maximum DifHiapafon- 
epidiapencej numeris i. 5»6.Et_noftrisComponiftis,ucvocant,lime« 

H aullas 



VAP, XI, 



58 



De Proportionibus 



t 



) 



Semitomum 
Lirama. 



saullus eft pofitus , dum Melodias concinences mulciplicanc : quod etii 

____ Creator Deus , in concemperacione mocuum coeleftium 

"~ SXZZIIpraeiviCj Syftematefa&o ex feptem diapafon,& eo ampli- 
— ■ ~ us. Veruncamen quia hic componimus fyftema, uc 
omnes omnino confonantias fpeculemur, pcrfe&as, 
y . -"^imperfefl-as; ad hocopusfufficiuncnobisduo diapafonin 
^ — unum compofica incervallu,quodeciam Pcolemarus perfe- 

i — ■§■ — cfum fyftema appellavit, in hunc, qui fequicur modum. 

Noftra fcala Mufica , quae nihil eft aliud 
quam Syftema Mufices noftrae Maximumj 
compleiticur duo diapafon &unam fextam; 
quam hucapponam, comparatam cumfyfte- 
mace veterum, & appellacionibus chordarfj 
grajcis. 

U 

U Jot— Appellationes chor_ 

fil -fo darum Gixcx experfecVo 

mi re 
g fol re ut — 

f fh ut Paranece Hyperbol^on 

e la mi — ■ — — ~ Trice'Hyperbolxon 

d la fol re Nete Diezeugmenon 

c (ol fh ut Paranete Diezeugm * 

^ fa % m * TriteDiezeugmenon 
a la mi re — Paramefe 



Chordarcum clavibus & 

inteivallis intra Dif- 

diapafon. 

&£——■ — : — ^ 40 

t->£> ^.mirnniurn , 

576 

607f 
Semito nium. , „ 

Dieiis 



ee 
dd? 






Semitonium. 
Senaitonium 

Limma 

Semitonium 

' Lheus 

Semitonium 

iemttonium 

Limt na 
Semitonium 

Limma 
Semitomum 

Diefis 
Semitonium 
Semitofiium 

Limma 
Semuoniuai 
■ D lefis 
j Sero itoniam 
r^ Semitt>nium 
Limma 



dd 

CC£ 

cc 

w 

bb 

g 

h 

f 

e 

h 
d 

c<> 
c 

b 

b 



G 



675 
720 

768 

810 

864 

900 

960 

1024 
iogo 

11/2 
12I3 
1296 
ij/o 

1440 

1620 
17-28 
I8°° 
1920 
2048 
—2160 



ee 

U 

cc 



Ib 

a* 



SyftematePtole- 
raxj. 

Nete Hyberboleeon 



Hic fingula: lines 

Jignificanc ftngu- 

laschordas prin- 

cipales. 



G falre ut 
F fiut — 
E/ami 
Dfolre^ — - 
Cfhut 

Bmi- ■ 

Are 

Y»t- 



Mefe 

Lichanos Mefon 

ParhypateMefon 
-HypateMefon 

Lichanos Hypaton 
-Parhypate Hypaton 

HypateHypaton 
• Proflambanomenos 



Hic non Iineac tantum fed etiam intervalla 
incer lineas fmgula fignificant fingulas chordas feu 
fonos principales , more hodicraorum Diagram- 
matum. 



De csceris par tibus Mufices hodierne, agere non eft inftituti mei ; 
nihilenim pertinetadnaturamlntervallorum, quasficNocarummen- 
fura » variecai ; proporcio Modomm, Pauik & fimUia. 

Corol- 



Harmonicis Lib.111. 
Corollaria Arithmetica & 



59 



CAP.Xl, 



Mechanica. 






j Muhiplicatio longicu-^ 

dinis chordae gggg ex- 

primic chordas un- 

decim. 



Mulciplicacio chor- 1 Multiplicatio chor- 
dxccccf gignic ocloi dasj^gignicfex 



ehordas. 



Sic 



gggg 



ggg 



ccc 



ss 



ddt> 



cc 



g 

f 

d$ 



'?*• 

!?<• 



Sic 



270, 

ijs* 



40S 
*?s[ 



ccccg 



CCCf 



192 
192> 






Sic 



JS4 
192. 



S40- 
J?S- 

67$. 
jlS- 

810. 
i?S- 



94S- 

JIL 

iogo- 



ffr 



CC% 



S76 

192- 



chordas. 



288- 
28S' 



S76. 
288- 



% 



I21S 



JJS_ 

*48S> 
J3S- 

1620- 

17SS- 

1890- 
J3S- 

202S- 

JIL 

B u> F r Zt6 °- 

fcthicdecimafexta parte chord* 

diftantde/ubi minor ronus , & 
/i- ubirnajor. 



<:? 



768- 
192. 

960- 
192- 

IIS2- 

192. 

1J44- 
192 

. 192 



S64- 
288- 



1728- 
192. 

19 20- 



M 

d 

*■ 

Hiceciafexcapar- 
ceipfiush,difranc^ 
&/«. 



HS2- 

288- 
1440. 
^88 

^7 28- 



Hic etiam nona par- 
te non totius chorda:,' 
fedipfiusfj, veldecima 
ipfius A. diftanc A. £. & 



VeldivideC?. iny. 
quodiibecinj, & hoc 
icerumin/.ucfianc.4/. 
Harumi2.fuhc/7e 
n.hntdd, i6func<r^, 
jS-funt^jao. funcrf, 
27- func^,proinde 
24.func/e,3o.fuhc^ 
3Afuncc eJ j6.func^ 
.40.func^. 

H2 



Alia Monochor- 
difedrio. Divide G 
inj.&quodlibecin 
2. 4- 8. ic5. ucfianc 
parces 4$. harum 
i2.func^,i/.^ e) 
i6.dd,)$.cc, 20. bb, 
2 ^g> 2 7.f, 30. 4 j 
3-?.£ 



JR-Urium G divi- 
dein^. harumj.e- 
runc^.f). Deniqy 
§in^.divide,&q,Ii- 
bec in 3. uc fiancp. • 
earum $. danc c ts 
)o. dant ^. vlcimo 
crifeca <r f , & fume 
harum 4. pro^^* 






cap.xii. 



I) 



pitonus. 



6q De Proportionibus 

CAPVTXIJ. 
De Confonanti js adulterinis. 



T 






tx continuatione duorum diapafon refultant con* 

fonanciae iniperfedcE. Nam^in comniiffura ucriufq;, fequuncurdein- 
cepsduo toni majores $. 9. incer/g, &cga' Icaq; inf a. intervallum eff 
64. Si. quod uno commace 80.81. majus eft jufta Tercia Majore 4. /. vel 
r4 i^:^."~ ~ZZ| 54- 8°. Hoccum Galilaeoditonum appellemus; 
— Idem intervallum eft inter^e» ^uia inter?/& 



** 



%tyg ^ a «trinq.* klem eft irtcervallum femkonij. 



s* 



-20 



. — i ^.+c 

quarta 3. 4. 



♦: 



iicincer/T^ ad ditonum abundancem/* 
accedens femiconium, facic incervailurn 6o.8k 



— a— J velso- *7« quod eft commaecc 80. gi. majus una* 
vcl 60. §0. 

Idem judicade<?<?,quiauc e. femitonio inferiof eftipfo/, ficeciam 
tt ipfb h t 

Hscimperfe&aConfonafeu abundartciafifubcrahancur ab inter- 
valloDiapafon , relinquuntimperfecta &unocommatedeficienciare* 
fidua. Nam incer «jf unius o&ava? eritgi. 128- deficiens fexta mollis. 

Idem incer^e «fiab odlava fubcrahas^ g%. 

^cmcer^^uniusocl:ava^,poftfubcracl:ioneni'mperrecl:arquarca5 
fhbzo. 27-aboclava, reftabitdiminucaQinnca^>.4o.ideft8i. 1^0. 

Idem incer 'a «■ ,'fubcracl:o e a abodlava. 

Addico ver6 dicono abundanci/I*. ad Terciam'minorem d~e.$. $. 



%k*fc 



£ 



'i£ct 



procreacur 160. 24^. Quinca, diapence,/lx> abundans 
uno commace. Nam 160. 240. eft 2. 3. & 240. 245. 

| $^<4eft$o. 8i- 

Er quinca abundancey e c ex o&ava? intervaHo ablaca , reftat quar* 

fca ef.2^1. 3^0. deficiens uno commate. 

Tabella imperfe&arum Confo- 

nantiarum fex> 



& 245. 320. deficiens. 
& 160. 243- abundans. 



Pro4. /. eft 64.. 81. abuhdans 

Pro 3. g. eft 60. gi, abundans vel 20. 27* 

Pro 5. 8» eft $i. 12$. deficrens 

Pro 2. j. eft$i. I2 0- deficieos vel 27. 40. 

Neq; camen ideo opus eft femicoriio feu Limmace Platonico 
24?, 156. quod illediverfam ob caufam , quam ego, Limma appellavit. 
Ablatis enim duobus conis majoribus fc : dicono 64. gi. ab incervallo 
j.4. reftabac illi hoc Limma 24^. 256. loco femiconij. Ac mihi non 
opus eft hac fubcradtione , potiiis enim auge tUr mihi 3:, 4. incervallum * 
&fic 20,27, 

CA&XIII. 



Harmonicis Lib. 11L 61 

CAPVT XllL 
Quidfit Cantus naturaliter Con- 

cinnus SCaptus. 
Nihil dicemus de ftridulo illo more canendi , quo 

folencuci Turca; & Vngari pro clafficofuo : brucorum pociusaniman- 
tum voces incondicas , quam humanam Nacuram imicati. 

Videcur omninoprimus auchor haufilfe melodiamhujufmodi in- 
condicam ab inftrumenco min 9 apce conformato,eamq,- confuetudine 
diucurna 3 cumipfi 9 inftrumencifacl:ura,cranimififse adpofteros,cocaq; 
gencem. Interfui Fragae precib 9 , quasLegatiTurcicifacerdoshoris fta- 
tis ingeniculatus,cerramq;froncecrebr6feriens,decancarefolebac:ap- 
paruic facile,ipf iim ex difciplina Canere, exercicacionemq; & prompci- 
tudinemlaborecomparaffe, nihil enim harfitavit; at intervallisufusefr. 
miris, infolitis, concifis,abhorrentibus,uc hemoproprionacurae dudlu 
& exfeipfoulcroiimile quid conftanter unquam medicari poffe vide- 
a cur. Conaboraliqdproximuilli per noftras nocasMuficasexprimere. 




Concinnas igicur & humanarum aUrium judicioaptus cancuseft, 
qui exorfus a certo quodam fono; ab eo per incervalla concinna cendic 
ad fonos confonos &primo llli, & plerumq; eciam inter fe mUcuo ;dif- 
fona curiim pervohcans intervalla , in confonis vero immorans, feu 
menfuratemporis, Syllabarumq;longicudine, feucrebro ad illosred* 
icu, veluci duarumvocumintcrfeconfbnantiamafFe&ans, unicxvo* 
cistraduftioneatoco uno Syftematisadafium. Exempium. 



Victimje . -ufch-li laudcsimmoleucChriltianiAguasredemitovesCiiltp mnoc^nsp.itnrecon- 

ciliavit peccatoref. 

Hicfonusinicialiscftinclavi Ccumqua kl cancn molli concor- 
danc£. c. d.g. FxcurricigicurCancus(primum flexu deorfum fa£tc) ad 
ciavemr.confonam, &cranfilicplancdiflbnumlocum^;fuiu r etaucem 
idem,fiaccigifFecipfum,fedbrevimora; cocavero feries reliqua pocifll- 
mum inlocistJ. d.g. inconac,fceleco odtavaecaleexprimens, r r-^ - ^ — | 
in d, creberrime rediens , poft in b. in fuperius vero^. fe in- * — $Xi 
terdumefFerens,inha;comniaIoca fignancer: nonficin^. — ~ty 

vel mf, loca primo diflbna : candemq; redic ad G. ibiq;finit. 

Circatraditamcancus definicionem mulca veniunc nobis anno- 
tanda. 

I. Parces Cancus , ex quibus vel omnibus vel aliquibus conftac omnis 

Cancus , Euclides nominac has quatuor, Ay ®y Iw, Tovlw, HzrkuWy 

H z nAo- 



6% De Proportionibus 

«apxiii. n^0K&y,qua: quidfinc,vocesipfa;indicant. Ay6>y«enirncfttra- 
du&iovocisapropoficaradiceadlOcumufq; radici confonum, autab 
uno confono, ad aliumvelillivel primse fadici conlonum. Tovy\ eft 
commoratio in loco vel primo velilli confono, vel e tiam priori confo- 
no,licetprimononfit confonus.nAow,i mpl icado,enfpecies qu*da 
vel color dyuyk, ut 7rgrW,lufitatio,To^j & ut Ayuyv a <* 
Tovlw ,fia?rAox« ad m%U<*»\ quia dyuyY) quafi direae tranfit, 
TThOM vagatur in tranfitu eircacty Jaynf > ut canis , cirea viatorem. 

Itaq; dytoynck motus veluti diredlUs, 7TA0JO1 motusvarius: 
T0]/ i vero eft quafi terminus motus > feu quies in loco .Syftematis pcti- 
to: mftttci eftmultiterminiminutiorUmmotuum,&velutiquietes. 
In exemplo noftro, .Syllaba; [demitOves Chrijlus ins Jpefpetua qus- 
damfuntrOM,duabus folis Syllabis exceptis: at Syllabaj [cens rec U 
peccat, ] exprimunt TTStJ^. QuodfiinhaccantUenaiigaturasre- 
fpicias Svllabarum, [laud an patr torj eafq; ut bifonas Confideres, 
cunc inea dycayn mera&puranullaerit, Atfiperpendas,rufticano 
more fa&um ,ut ex fonoqui produftius erat canendus, faftus fit bifo- 
nus aflurgens in fine ; Scfifyllabis hifce fimplicem fonum produdum , 
quieftligatur3eprimus,reftituas;inveniespuram0ty6)yZo' mhis [Pafca- 
li faudes] item, [immolent~\ icem [ Chrifliani ] item [lnnocens patri] 

& brevis in [catores ] 7TA0XY) vero me ra,licec ndn nacuralis> eft in exem* 
ploTurcicb. 

Quemadmodum igiturfe habet fceleton ad corpus apud anatb- 
micos, ficfe habent in uno Syftemate 0£tav£e,foni confbni & inter fe & 
cum radice vel bafi o£tava2,adipfam melodiamfeu cantum. .Sicut e- 
nim caro lmplet finus offiura , eaq; veftit ad decorem; fic has partes re- 

cenfit^implent fceleton o&avas , prsfertim Ctyiayn oC 7TiT\eicL jper"" 
errantesloca diffona, inter confonos fonos interjecla, conformanc& 
quaficorporant Melodiam. 

II. Cum cancus definifcUf fie, Qudd exordiatur a certo quOdam fbnb» 

Yi &$'■■■ " r '- ~" ~ — ' — \ ^l 111 Da ^ ls ^ 1C Syftematis o&ava;; id 

—' 7"3-^"^- •^"5'T -^- jc-^-x — a~a non ^ ern P er de a£tu eft intelligen- 

_*$l3l5[J dum ; cum enim dele&et varietas. 



.. _ _t$X!g4 dum;cum enim deleclet varietas, 

&fervtatemphtifi:fepifsimevelucexabruptoincipitmelodiaaclaviVeI 
locoalio: poteftatetamenfubintelligiturprincipium quodpiam certu 
pofitum,quodextoto Melodiae tra£tu undiq; enitefcit;ucin hoc vetU- 
ftifllmo Germanico, facile intelligicur ,etfi adua^. fiacinicium; fadi- 
cem camen efle G, 

III. Similem habet excepcionerii,qu6d cancus f egularis dieicuf Cum 

fua tovn vel 7TSTliict collimare ad loca confona radici O&aVa;. Nam 

• < •» . 

frequencer hae partes in medio lorigioris melodie, traclu , verfaritur cif ^ 



HaRMONICIS LlB. III. 75 

ealocadiftbna a primaradice > fed idfic variecacis caufa, eftq; perinde, ' 
acfi pnorimelodia:nova melodiamifcerecur , Cujus lndiflbnoillono- 
vumquoddam figerecurinicium, auc novum fignarecur O&ava? fce- 
lecon. Eft veluc excurfus in Oracione feu digreffio 3 icaq; non cotn» 
moramur in talibus , fedcicorevercimurveluc ad principale fcelecon. 

Ec quamdiu circa diflbna verfacur TOVY) d>C7fSTJiictj incelligimus, 
cancum nondum; finin; Nam in ipfo verofine redeundum eft nori 
tancumadconfbna, regularicer quidem, fed eciam ad ipfam propriae 
oitavx radicem. Ab hac arciculacione cancus, & afre&acione confo- 
nanciarum, veceres etia firnpiicem cancum , Harmoniam dixifie viden- 
tur:nonfecus atq, decens&aptusmembrorumrefponfus,quaeformae 
animaeft , harmoma dicerecur , quafi pulchritndo : fuicenim & fas- 
mina^ nomen Harmonia. 

IV. Qu6dAy#y^accinec,earurfumvariaeft ; nori femper enim 
a&uomnialocaincerje&a cranfic,fedfa;pecranffilicaliqua,falcuq; fercur S t0R 
ab una ad confonancem illi ,• eftque cunc fola poceflace ciyodyy) . & fe- 

remera^T/«Ot velTOI/555 qui moseft frequentiflim 9 noftroru Tubici- 
num,camclaflicumaucincencivum equeftre modulancur \* tune enim 
fere nihil nifi fcelecon oftavas auditur,Cogita an hujus generis fuer ic llle 

vecerum No^©-' ajpt&ii 

V. Cum Concinnus cancus conftec fuic Elemencis, quae func inter- ' 
vallaconcinna,primumilra funcdefinienda accuracius, 

Duplicinamq.fenfudicuncurincervalla concinna vel inconcin- rn '«°' n ? in ** 

na. Primumenimincervallafeorfimfingula,refpe£tuorcus fui,con- cia. 
cinnavel inconcinna dicuncur, illa quidem, quai nacura admiccic in di- 
vifionibusincervallorumconfonorum, hxc vero, quasex comparaci- 
onibus Confonanciarum non refulcaric , aliena prorfus ab Harmonice > 
ucexplicatum Cap.IV* Deinde refpe&u ipfius Cantus feu Melodise, 
■difcrimenhoceftinter ipfaetiam Alufica,feu primo fenfuConcinriain- 
terValla, quodqusedarri exij; junftim confiderata, quamvis Natural 
fint concinna,fc : orta ex comparacione &: abftractiohe harmbriiarum, 
ufu camen aMelodijscertorefpe&uproinconcinnis rejiciancur. Illurii 

fenfunlpreefupponunc&refpiciuncfofW St 7TZTleta. jhuncvero pocift 

fimum Ayft)y«,tamadualis, quam defultoria. Hxc igitur incon- 

cinna fiuncrurfum duobus nOminibus: vel enim refpecni Gencris, aut 
fceletiO&avae, qqodeaplaneinillononufurpencur, neq,formenc il- 
lud i auc fi alio difponantur ordine, quam fupra Capice VII. nacura do- 
cuic;ucfiquisvelleccriafemiconiadeuicepsordinare;femiconiumqut- 
dem , primofenfu concinnumeft, ac hicdrdo femiconiorum conciri- 
.nus noneft, hocfecundo fenfu . IcaDiefis Nacura concinna, cft ca- 
men vel in duro Genere cancus, vel in Molli , feorfim inconcinna: Vel 
deniq; non canuncur deinceps,nec licica func falcui VQcisMdodicajjnec 

Ayoiyn convenientia. 

Saat 



64 De Proportionibus 

Suntigicurhocfecundofenfu inconcinna & vccica incervalla,his 
Sap. xiii. uc praecipuis legibus comprehenfa. 

--- I. Diefis ance vel poft femiconium regularicer non 



Z£ 



£_j .*. canicur. 

— *£^^-&^ 

II. Duofemiconialicetdcincepsordinenturinordine 

— ; minimorum incervallorum Capicis VII. non poflunc 

tx tamencribusfonisdeincepscani,feddebenc cum duo- 

_£ bus alijs elemencis in duos conos coalefcere. 



fr 



m. 



¥$- : $ 



k 



-*+%. 



$+& 



T-* 



** 




Duo femiconia intra complexum unius quarcae vel quincae, quse fit 

i ,_ imo loco fceleci^oftavae, 

■ r ordinarienon canuncur. 

— *•-$-*— Nam effkerecur , ut vox 
^*" ordinequarcavel quinca, 

nonconfonarec cum prima , neq;perfe&e neq> imperfe&ej icaq;non 
efTec quarcavel quinca vere> 

. . IV. Quacuor toni deincepsnon canuntur> 

^l ""~~Z"$^±_. ; ni ^ in fuprema Oftavae parce, quando colo- 

ns &variecaciscaufa,mucacurfcelecon;non 
igicurordinarie. 

Sepcima & omnia diflbna fupra occavam , 
fonispoftradicemdeinceps ordinans non ca- 
nuncur ordinarie sriifi praecedens habeac quo- 
dammodo racionein iinis , fequens racionem 

VI. Sexcas , ecfi confanae, rarius admictimus, 
& cancum minores. 

In me traniierunt. 

VII. Tetrachorda duo uniuso£caVae,nOnexiftenteeodemIocofemi- 
tonij in eorumucroq; ,rariuscanuncur; fciliceccolonscaufa , aucSyn- 
copacionum ( de quibus capite XVI. ) neq,- tamen libertas eft mera 
locandi femitonij, reftringitur enimadeum locum quemadmittit Ge- 
nus Cantiis. 



* 



_^J&-_._J — 



£$-*-$-' 



s- 



U-+ 



st+s- 



■♦• 



:$___?: 



VIII. Afflne eft hoc , quod tres Toni deinceps imo loco o&aVeC non 
canuncur; atfuperius admiccuncur legibusjamdi&is. 



y.- 



m 



-%■+- 



. 



$:___?:{:$:::_ 



fcjdfct 



Yk7 Duo femiconiain unum conum nacuralicer non conflancur, licec 

fic parvum in audicu difcri- 



35 



*-*&+■ 



$&S± 



*:_ 



sxs 



±r 



men; uc fi odtava incipiac 
ab£. inter c& d%. fieretn.in- 
tervallum 22/. ^56.ex com- 
poficione quod naturaliter eft inconcinnum, vide Cap, IV. In 



Harmonicis Lib.111. 6$ 

X. Ingenere omneOctavaeSyftemaeft inconcin- ~ — j — -~ $-y ■ Tm 
num, quod non ftatuic & Diateflaron & Diapente £mia$IX!^Li 
infra. - ~~fr [ 

Harum Iegum pler?q; jam nobis fervienc inconftituendo nume- 
ro Tonorum Cap. fequenci. 

VI. Quancumaccinecadilludmembrumdefinicionis, Di/fona cur- DeMenfu- 
fim pervo/itans , in eonfonis immorans : ecfi non eft mfticuci mei in ope- ri$. 
re lfto , de menfuris difpucare : illud tamenirtgeneremoneo, prasci- 
puameffe graciam cancus Harmoniei inmenfuracione. Nam quod 
generaliffimedictumeft)Z)i^«4rar//)» &c idin fpecie ficverum ef- 
ficicur. Primum Lacini habent diftin&ionem interlongam & bre- 
vemSyllabam,quarumhancfaciunc unius,illamduorum Temporum, 
ec fic longicudinis duplae. Quanquam hodie non carmina tantum, i n p ro £. 
fed eciam profa canitur ; in qua penuus negligicur ab hodiernis muficis 
diftinctio longae & bre vis Sy llabae; refpici tur ver 6 unice ad morem pro- 
nunciandi,quamvis is hodie fic corrupcus; habettirq,prolonga Syllaba, 
qua:cunq,cumaccentuacucofolecproferri>probrevi,qua:cumgravi. 
Id rton rtiiruminLatina linguafieri, cum idcm etiam Grasci pofte- 
rioresfecerint : qui quamvis purefcriberent, pronunciationem tamen 
vitiofifiimam furtc amplexi, in qua nulla amplius eft diftinctio accencus 
acuciaSyllaba;longicudine,gravisabrevicace,cumtamenad hoc fig- 
nisabundent, quaeapud Latinos non tam frequentiin ufu habentur, 
Icaq; Graxiabrogaco more pangertdi carmen , ab aliquot jam faeculis f e r r fu S p^i|. 
ceperuntfcribere verfusPohcicos dittos ; in quibus Syllabae numeran- tici. 
turnonmeftfurantur , obcinecq; verfus penultimam,non quas natura 
longaeft , fed quas accentu acuitur in fermone populari. Id igitur imi- 
tancur eciarninLatinanoftriMufici,- adeoucne carminibus quidem^nMetris: 
nifi perraro , nec unquam in tocum parcanc: credo quia dupla & tripla 
perpetuainCantibuseft recepta: cum carmina has inaequalicer mif- 
ceanc,excepco Hexame cro,quod propor cione ajqualicacis in fpon daeo, 
&dup!aperfe&aindatlyloconcencum eft. Brevem igitur fylla- 
bam,aucqu3eeftlocobrevis,quandofponda:us fuccedit jambo, &in 
genere fyllabam cum accencu proferenda, Mufici depucancdiflbnofo- 
no , fi per illum fic cranfeundum , longam confonis , vel quafi. 

Secundo linguaeIonicae,quaeRhychmoucuncur Teuconica, Galli- innodier: 
ca>Hifpanica ,Icalica,faciunc vel ulcimamCarminis acucam vel penulti- aisM""*- 
mam , efferuncq; cocum verfum ficacfialcernis acuca velgravisfylla- 
bq femucuo infequancur , five fic hoc, uc in apco Teuconico verfu , five 
rton fic, uc crebro in Gallicis. Icaq; omnis illorum verfus auc Trocha- 
ico fimilis eft, auc Iambico , ijfq; auc Acacale&is ©cfcopffer #tmmel$ tM& 
Der <2t$tn. tftun btff en wit fcett ^eplgett ©etfL aut cacaleccis.^ejl ftcfc wunt 
txtt aHe SCBelf • <it tft t>er Sftforgenfierne. Igicur Mufici fonis diflbnis fe- 
dem in gravibus velcorrepcisfyllabis flgunc,Confbnis inacucis. 

Tercio,cum vero canc 9 accip ic menfuram non aSyllabis cextus,fed a Intafta, 
Tadtu >• acq> is vel duplamfequitur proportionem vel triplam;primam 
quidem tatctus partem Confonis , pofteriorem, & in tripla breviorem, 
quae fignificacur elevacione manus , diflbnis pociflimura refervanc : 

I cavenc- 



66 De Proportionibus 

caventq;quancumfieripoceft,neprimum caclusfemiflem alia occu- 
petfyllaba,quamquaeeftacute proferenda, nevelonga: bins in ulci- 
mam ta&us partem incrudancur» 

CAPVT XIV. 

De Modis M elodiar um 3 qtias 

Tonos vocant. 
De modisdi&urus primumhodiernos admonea 

Muficos, quos illi Modos appellare folenc , fc: propOrcionem ca&us du- 
plam, criplam & fimiles, ( quaies Modos force fecerunc olim cibijs, 
in comcedijsRomanorUm ) de ijs mihi prsecerquam quod jam eft di- 
tl:um, fermOnem non fore. Modosego dico, quos ipfi cum veceribus 
folenc appellare Tonos, cum quarricur , cujus Toni fitCancus. iunt e- 
nim cerca; Cantus concinni feuqualicaces feu fpecies, duabus fummis 
Generum differencijs, Dur i & Mollis, contra fe dirempci, 

Graeci Tg^TTS? 5£ $« dixere, illud a forma Syftemacis, hoc ab 

EfFe&u Cantus inhomine, quiapleriq;legisiatorumcenfuerunc, Mo* 
<dos cantuum facere ad Mores conformandos, 

De horum igitur Tonorum numero & difcriminibus npn hodie 
tantummagna£funcinterMuficoscontroverfia;,fed & jam olim fue- 
runt: quarum aliquas apud Pcolemjeum, plerafq;apud Vincencium 
Galila^um, videre eft. Mihiverd necexaminare quorumcunq;fencen» 
tias eft propoficum , neq; refucare : icaq; non expe&ec Muficus a me "o^c 
quamaliudinhacquEeftione, quamidunieum, ad quod mea me du- 
cunc prineipia ha&enus explicata. Ecfi enim Toni ab eo dic"h videncur, 
quodModus unus alcero vel alcius vel promndiusmcipiacuniusToni 
(vel Semiconij) incervallo: Tonos cameh Ego non ipfaperfeCan- 
tus alcicudine vel gravicace difcrimino , quod folum obfervafre quof- 
dam Vincencius Galilaais ceftacur; fed numerumeonim adnumerum 
(pecieru unius Diapafo cum Pcolemajo exigo ; dicoq; cotidem efle To- 
nos, quot poflunt effe fceletaSyftematis Oclava^legitima & Concinna, 
GeneribuSjOrdineconcinnorum intervallorum, & ficu Tecrachor- 
dorum, feu eleftione Medietatum binarum Harmonicarum incer fe 
difFerentia. Tres nimirum func res , quas Tonos varianc , interq,fcfe 
diftinguunt : Genus, SequelaConcinnorum, & Articulatiofceleti ex 
Confonantijs minoribus. 

PrimumGeneraduo, Cap. VI. conftituca divifionis Syftematis 
OcTravae, conftituunc nobis duos principes &Natura primos Tonos, 
cum ipfofc: Syftemate unius folius Oclavee ortos. Deinde inutroq;ge- 
nereSyftematis tam duro quam molli,ex compofitione duorum Dia- 
pafoninunum majus &perfe£tum Syftema, quam tradidimus Capite 
XLdancur Syftemata fingularium 0&avarum,difFerentia radicibus feu 
metis,quibus includuncur/uiic aucem illaemecaeLoca Syftemacis natu- 

ralis 



Harmonicis Lib.U1. 



67 



p§§l 

jp6=3={ 



raIisdiverfa,feuhodiernovocabuIoClavesaliaeatq;alia:, quas confe- ckV j^ 
quicurnecefTariodiverfaalcicudo, refpe&u fyftemacis naturalis , quod 
a G mcipic ,• & per illam diverfus eciam ficus femitonij, quod eft vel cer- 
tio vel penimo vel imo loco Octavae. Nam quod actinet altitudinem 
ipfam,abfoluteconfideracam,illaperfenihil mucac fpeciem cancus, 
cum eadem fpecies vel alcepoffic inconari vel humilicer. Neq; aftrin- 
gimur adhoc, ucTonorum reliquorum dimidiam parcem fumamus 
cum Pcolemxo profundtorem Syftemace Gprincipali &Nacurali, 
dimidiam alciorem. PofTumus enim vel omnes alciores, vel omnes 
humiliores fumere,curn idem ucrinq, fequacur Ordo 
Concinnorum,tuncnimirum,fi Syftemaduplicisocta- 
vas nacuralicercompoficum,incipiaca clavi G. Acfi 
parccm humiliorea , parcen? alciores faciamuscum Pto* 
lemaio; Syftema naturale ficeric componendum, uc 
infra Diapence addamus, f upra Diaceflaron , 6c fic Sy- 
ftema conipoficum duplicis Oclavse mcipiec a C. 

Terciodeniq; dacurin Syftemacibus fic confticucis, electio duarii 
Mediecacum Harmonicarum , in ^quas colliment TOM &t 7TZT]eicty 
partes cancus ; feu quodeodem redic, dacurficus Tecrachordi velfum- 
mo vel imo loco Oclavs , vel in medio duarum Terciarum. 

Hujus igicurdiverficaciscaufa, fubjungendum hic anceomniaex 
CapiceXI. concinnacum Rece quadracumexduodecimOrdinibusin- 
tervallorum duodecim minimorum Naturalium : non quidem ideo , 
utcum Ariftroxenofecundumnumerumillorum totidemTonosfaci- 
amus, incipientes unumquemq; uno tali minimo intervallo altius: 
fed ut his minimis in ufuaha concinna contraclis, appareat,ucrum nova 
ahqua fpecies Oclav^e ab unoquolibet minimorum incipere poflic. 

Rete intervallorum in Syftematibus ,pro indagandis To- 
norum diverfisfpeciebus. 

j I. | II. | III, | IV. | V. | VI | VII. \VIII. | IX. j X, | XI. \XIl 1 Ordines 



s 


L 


S 


s 


D 


s\ 


L 


s 


S 


D 


S 


L 


cn 

c 


L 


S 


L 


s 


S 


D ! 


S 


L 


s 


S 


D 


S 


•-i 


S 


L 


S 


L 


S 


s 


D 


S 


L 


S 


S 


D 




D 


S 


L 


S 


L 


s 


S 


D 


s 


L 


S 


S 




S 


D 


S 


L 


S 


L 


S | 


S 


D 


S 


L 


S 




S 


S 


D 


S 


L 


S 


L 


s 


S 


D 


S 


L 




L 


S 


S 


D 


S 


L 


S 


L 


S 


S 


D 


S 




S 


L 


S 


S 


D 


S 


L 


S 


L 


S 


S 


D 




*D 


S 


L 


S 


S 


D 


S 


L 


S 


L 


S 


S 




S 


D 


S 


L 


S 


S 


D 


S 


L 


S 


L 


S 


t-4 


S 


S 


D 


S 


L j S 


S 


. D 


i s 


L 


S 


L 


3 
>-• 


L 


S 


S 


D 


S\L 


S 


S 


\d 


S | L 


S 


p 



2 

o 

r. 
t> 

EOfl 

3 jT^ 

• I. 

3 

5. 
e 

3 



\G\Gz\A | b | \\c \c<> | d .\dz | , .|/| f<> J 

—■3—, I n II .B JL I I ,.. Hl l l—M 

I 2 



Vides 



63 



De Proportionibus 

I 



Vides , cx duodecim difcriminibus akicudinum Octavae nullam 
„ vtv c ^ e ^l 11 * cum a ' cera conveniac in elemencorum ordine. 

Videamus nunc , quoc hinc exiftanc fpecies Syftemacum O&avae 
Ottus 14. {ip r i ma difFerenciaOclavarum,qu3eeft Generis, admifceacur; hoceft, 
oftavse dif- an omnium Ordinum 12. minima 12. mcervalla poflinc concinne con- 
fcreutium tra hi infepcem unius Oclava; ufualia inccrvalla, diftincta locis o&o- 
pcwaum. n j Sj gg quucmodis quilibet. 

Ubi noca quod LS. vel SL. fic noca Toni Majoris , DS, vel «SD. 
Noraconi Minoris,£ nocafemiconij : & procedenc noftrae defcriptio- 
hes a Gravi ad Acucum , feu ab infr a ad fiiper iora . 

Cercum eft igicur, in Oclava G. duas exiftere fpecies pro duplici fi- 
cufemiconijinakerovelcerciolocoabimo. 



Prima Mollis Generis. 
LS. S. DS. Ls. S. SD. LS.Zfc 



£r~ 



<vel SD. S. 



ls.±&± 



.^SE±Str±^ 



Ttl 



Alcera,Duri Generis. ?j 

■vd s. isr--^— 



LS. SD. S. LS. SD. SL. S. 



i^z$±g|Sg 



Ac in G%. uc & in Q, cum duo femironia non componanc unum 
concinnum,necdeincepscanancurgjte. J asA&)fjimumcrgdfemiconiuni 
ftac folum ,• per leges 9. & z- prioris Capicis . Effccergo diftribucio 

Vel calis S.SDSL. S. SD. SL. SL. inconeinnaex legej. 

Vel in Gq. quidem calis S. SD. SL, SS. DS. &c & haec inconcin* 
naexlege9. NullaigicurfpeciesOdava: concinnaexG^ incipic 

In octava >/.pro criplici ficuinferiorisfemiconij poffibili, trifetHi 
modis concrahencur elementa in Tonos: vel enim fic S.DS.LS.S.DS^ 
&c. quod coincidiccum eoquodjameftreje&um;vel ficuthincnaf- 
cacur 



fr 



111. ? — v-*r*"' 



.^^.Jt^il Tercia 

.$v 4 s. DS. LS. SD. S. LS. LS. 



^lSSg 



"frr ft— p Quarca 

—ZZ~rJiSD. S. LS. SD. S. LS.\LS> 



V 






Ss$gjt 



Quinca 
SD. SL. S. SD. SL> SL. S. 



- — ~ — -r — aZ$Z±Z3 In °& iva '. uni c a potcft efle 
p, j. „ | T- y . ,^ - ^ plM^.S! — -j- — _l|Elcmetitorum contra&io, quas 



> 



coincidic cumquintaforma.nee 



dacur alia, fc. DS. LS.S. DS. LS.LSS, quiafcmitoniumnonnificer 
oura ab infra locum habere poteft . • 

1« 



Harmonicis Lib. 111. 69 

Iu Odlava f) quia non licec conflare duofemiconia loco fecundo , 
per legem^.nec deincepsordinare,per 2.diftribuendaigiturfuncin jto- CAP. XIV, 
nos fic, ut fblicarium ftec vel primo , vel fecundo loco. 

Quod fi primo loco,fequecur,uc alcerum folicarium ftec vel quar- 
coloco,quodrejicicurlegetercia,vel fexco,&quacuor coni infenori 
loco o&ava: deinceps lequencur concra legem quarcam. Quare femi- 
toniu m ordinandum eft loco fecundo , uc hinc exiftac fpecies 



VI. X 



VI. ^ 






:$:»*: 



^Siff 



±E\ 



SL. S. 



Sexca 
SD. SL. 



SL. S. SD. 



=Eb:i* 



:s= 



1$.:$: 



m± 



VII. % 



VIII. 



±$:±: 

t 



$=*= 



$=£= 



=$=*=: 



* 



====*i$:±== 



£_* 



£:$:*=? 



In O&ava Cpro duplici ficu 
poflibili femiconij dancur duae 
diftribuciones: prima coincidic 
cu 6-LS. S. DS. LS. LS. S. DS. 
alceraeft numero Sepcima 
LS. SD. S. LS. LS. SD. S. 
De o&avae a forma una didtum. 
eft paulo antea,alceracoincidic 
cum fequenci. VIII. 
S. SD. SL. SL. S. SD. SL. 
InO&ava^. procriplicificu fe- 
miconij inimo Tetrachordo> 
"„', dancur cres fpecies, O&ava 
S. DS. LS. LS. S. DS. LS. 

Nona 
SD. S. LS. LS. SD. S. Z,S» 

Decima 

SD. SL. S. LS. SD. SL. S. 

In O&ava^ nullaconcinnadiftribuciofieripoceft: exularet enini 

primis cr ibus locis femiconiu,quod eft concra legem odavam prioris C. 

In O&ava e. rurfum criplex ficus femiconij pofGbilis in cnbus imis 

locis> cresdacfpecies,quarum 

Vndecima 
S. LS. LS. SD, S. LS- SD^ 



IX. % 



*=*=$ 



=*=$ 



=**=*==::: 



X. r. 



*t$J$±± 



£=£ 



■$-§— 






XI. -?-, 



===*$ 



K + ^ 1 



*=$= 



H 



V- 

XII. z 



53 — -_ 



=S=± 



:$:$*== 



Duodccima 
SL. S. LS» SD. SL. S. 



SD. 



XIII. 



XIII. 



Vel 



Tredecima 
SL. SL. S. SA SL. S. SD. 
efteadem,cum fequentis for- 
ma priori. 

InOclava/femitonium habet 
unicum ficum loco tertio,qua# 

reuna exulicfpecies,fc: eadem credecima biformis ls.ls.s.ds ls s ds. 

w/fo.* Deniq,- 



:*± 



$=*: 



SA*± 



7o De Proportionibus 



CAP. XIV. 



I. * 



m~ 



*$ 



*J 



:£± 



:$M:± 



xiv. ^ 



■m 



^ffi^i 



Deniq,- in Oftava/e duo 
func loca femiconio, vel in 
penultimafede , vel in ulci- 
ma. Quodfi igicur ficordi- 

I nes SL.S . SD.SL. S. SD.SL. 
fpecies eritprima, uc appa- 

i ec ex collacioe:fin aliter,eric 



quarca decima s. ls. st>. sl- s- sd. sl. 

Apparec lgicurcaufa cur in Ordine II. IV. V. VII. IX. fc •" in O- 
ftavis G%. b.h.co-d^. nullapeculiansfpecies mcipiac. 

Apparetfecund6,nulIampofle fieri genuinam tranfpoficionem, 
ucmaneateademfpeciesOaava^nifihas,!. ab/e- in^TI. ap^. in«, fed 
formee reje£ta% III. aba. in/>. IVa^.in c.V. ac^. ind. Vl.a/.in^* f or_ 
masreje&ae . VII. ab e. inf. 

AtftvulgoMuficorum Organicorum obcemperemus, quiCom- 
manegligunc , necincer Tonos, majorem minoremq; difcernunccunc 
omnes quacuordecim noftra; ipecies Octavarum,confticuenc non plu- 
res, quam cres Modos,procriplicificufemiconij (uc quidem & Galila?- 
uscemp 9 fuifleaic,cumnonplures cnbushaberencurTonijDori^Phry- 
gius,Lydius) mulciplicancur veroinpluresperfolamalcicudinem. 

Nam quod cerriam caufam accinec , arciculacionem lcelecon Octa- 
va;, eanobis cum illis adhuc communis eft ,• propcer quam eciam nobis 
pluresquam XIV. Ipecies nafcencur. 

Ecce tres ordines vulgares O&avarum. 
I. Ucfemiconiumficloco imo,quemputo a veteribus dic~tum Phry- 
gium,a?quipollent illis ex noftris lpeciebus hae. 



IlWnOdava^. | S. DS. LS. SD, S. LS. LS. ^EquipolIencia quo- 

VIILInOaavac?. | S. SD. SL. SL. S. SD> SL. ad imum Tecra- 

InOftava d. \S. DS. LS. LS. S. DS. LS. chordum, eftvera. 

XI. In Oaavae. \S. LS. LS. SD. S. LS. SD. Mediocris aequipol 
XlV.InOftava/?. \S. LS. SD. SL. S. SD. SL. le.ntia. 

II. Ut femitonium fit loco penimo , quod videtur inDorio , veceri- 
bus di&o, faclum efle., aequipollent vulgo ex fpeciebus nofiris ha?. 



In Oftava G. I LS. 



I. 



• InO&ava/e. 
VI. In O&avac 

InOclava § SL. 

XII. InOftavae.lsL. 

IV Jn O&ava A. I sd s. 

IX. In Oftava d. \ sd. s 



S. DS. L$. SD. S. LS. 

vel S. DS. LS. iEquipollentia 
SL. S. SD. St. S. SD. Sh. quoad imum fy- 
LS. S. DS. LS. LS. S. DS. ftema diapence eft 
SL. SL- S, SD. vera. 

ve/S. LS.SD. 
sd. sl. s. szjHic aequipollentia 

LS. 

S. 

LS. 

S. 

DS. 



LS. 



w/s. 



LS. 



LS. 



SD. SL 
vels. 
LS. SD. 
vel%. 



sd. minima. 

LS . ./Equipollentia 

LS. mediocriscum fu- 

ls. perioribus. 

ls* Uc 



Harmonicis Lib. llL n 

III. TJcfemiconiumriclococercicutinLydiofuiffecredoj^quipoI? . p Xly . 
lenc vulgd ex fpeciebus noftris hx. ' * 



H-IaOa&vaG.\LS. SD. S. LS. SD. SL. S. 

ve/S. LS. y£qui pollencia in i- 
VII. In Oftava c. \LS. SD. S. LS. LS. SD. S. mo diapence vera. 

vel S. DS. 

V. InOaava/*|SD. SL. S. SD. SL. SL. S. 

vel. S. LS. iEquipoIIencia mi- 
X. InO£tava^.|S£>. SL. S. LS. SD. SL. S. nor. 

•vel S. LS. 

Yirr In Oclava e. \ SL, SL. S. SD. SL. S. SD. ~ . „ . : 
XlLl InOte" f.\LS. LS. S. DS. LS. S. DS. ^«ctotratm 



veiSD. S. 



nima. 



PofTunc ergofecundum vulgi deTono majori Sqminori fencen- 
ciam,plurimaefieri cranfpoficiones Melodiarum de liceris in liceras, 
mediancibus fignis b &^ t 

Reftac uc examinemus quenam ex noftris XI V. fpeciebus 0£hivas 
per arciculacionem elemencorum concinnorum poffinc fieri mulcipli-: 
ces. Nam fpecierum dif- 
crimen quincuplex oricur ^»-.$1^.-^. 
a conciguicace Tonorum; b" 
auc enim cres coni fe in- 
vicem fequunajr deinceps, 



Ttttia minor. 



-$..$.: 



$~f. 



Tks Toni. 



*i$:*-l 

Tertia miaor. 



auc bini cancum. Quod £j£Z%£~ 

ficres, oporcecucvelinme- ~ 

dio o&ava? ftenc non na- 

curalicer, ticrinq,-habences, Scmiton: 
fingulos conos & fingula fef ' 



&m& 



^B±h*± 



Tres Tonj, Sem: Tertia ina. 



±S±± 



femiconia : vef uc ad flce- 2lt 

rum Syftemacis excremum _T_$^:t : 

Verganc, &CUnc necefsa- Semiton: TresToni. Sem} Tertia m, 

rio in illo excremo eft fe- - — 4 



£$::£: 



4 



idH 



xucmo eic le- ~ — y ':' .' ' ■■ 
propcer leges £fc__£:fe$. 
Sinaucem bi- "~®~~~~ ~ "~7i 



Duo Toni. 



miconium , 

8. & -. 

ni cancum Toni fe infe 

quuncur, incercedencibus , , ____. 

femiconijs , cunc femico- §£ $"■$- &; 

nio locus in excremicaci- — -— 

busnon eft; & duse cono 



ifcs 



S.emito: 



>>P5$yj 



DuoToni. Terc- mi. 



mfi 



<= 



^<A>< 



DuoT, 



Semit. 



Tert. ma. 



Tcrtrmi. 

rum bigee velfupra ftanc,velinfra,cerciamollisui excremo concra* 
rio,eaq,- mferius reda, habens femiconiurri fupra,- fuperiuj inverfa, Se- 
miconium irifrahabens,T ' " 

Hoc 

■1 



Harmonicis LlB.lll. 



XIV Hocpactoin noflris XIV. fpeciebus reperiuncur interfperfae a* 
liasX. quacernis primis locis coincidences cum prioribus, auc eciam 
quinis; ubiveroincipiuntdifterre, praemiflaeft particula,W, 

Quod fi jam accefleritnltima caufa , difcriminans Tonos , fcilicec 

TOVYibC 7T£Tlil ct : triplicabitur Numerus, &fient 71. fpecies. Omnc 
enim fceleton Octavaj exomnibus24,habet& cerciam&quarcam con* 
cordancem cum prima , & quintam & fextam. Si ergo hx parccs can- 
tus potiffimum circa quarcam & fexcam occupencur , cunc ftacuunc m- 
fimo loco Diaceffaroni Sincirca cerciam & fexcam , Diaceffaron eft 



>: 



EE 



:$: 



k&: 



.*. 



t^fes 



2C3C 



±s3£=± 



in medio , fin deniq,circa terciam & quincam , DiacefTaron eft loco 
fupremo. 

Haec autem non idco dico , quod neceffaf ia fic cam minuta conci- 
fio , cum fciam, plerumq; mifcef i cernas formas in uno cancu : fed uc ex 
hoc numero poffic judiciumferri de difcriminib9 Tonorum, quae Mo- 
der ni cr adunc i quas par tim calia func , vc mihi videancur illor um cot fta- 
cuipofle, quocfunc omnino canciones , caecera uniusTbni. Atfi ob- 
iervamushax principia, numerus Tonorumuccunq,magnus, finicus 
cameneft. Infumma,Toni realibus diftin&i metis &difcriminibus, 
non refpedu altitudinis vocis in Organo , fed in ipfae tiam humana vo- 
ce , quae prinCipium naturalis Syftematis a quacunq; voce alta vel pro- 
funda facere poteft , funt vel f. cantum, vel 14 , vel 24, vel 72. 

Cum hisprincipijs meis fic ego concilio Tonos o£to vulgares* 
quos Ecclefiafticos dicunt; erantq» vetenbus, Opinionequorundam, 
I. Dorius I. Hypodorius 



iilgBfepip§6lp|g 



jfdamprimuf Hgmo. 



Noe Jecundut. 



Has funt diiae fpecies Cantus mollis,ex fpecie o&avae, qu* eft mihi 
Prima inter XIV; Nec video aliam differentiam , quam in altitudine 
mera , quam primiis habet njajorem , fecundus minorem : nifi velis il- 




T&rcius VulgarisPhrygius Quartus vulgaris Hyppphrygius. 




Tertius Abrabam, 



Quatuor Evangelijl*. 



Nihil 



Harmonicis Lib.HI. 75 



Ninilmanifeftius quamhosduos Generis duri percktere ad no 
ftramfpeciem XI. & fcnbendosex?, _^ _a_ 



CAP. XV. 



eftq; rurfum vixullumdifcrimen ali- 
ud quam * al cicudinis^nifi hxc illis ve- 
lis accomodare fcelecafeorfim. 



:^:$:=4 



:$: 



-> 



i 



i= 



Quincusvulgaris Lydius. 



Sexcus vulgaris Hypolydius . 



j-Triplcxeftsltitud» 

j Toni i abfoluta& 

! matcrialisquoda- 

modo.uunvoce 

humanaetiamq; 

inOiganisliex G 

_ afcedat radix Syfte- 

. matisin^. ubi noa 

— mutatur forma Sy- 

■ itearis : de hac jara 

" nihil. 3. Formahs 

iphusradiciscujus- 

qiToni inSyftema- 

Echifimilicer manifeftiflime fcribendi func ex /funcq/generispohtTcxdu^bus" 

mollis, diftinguuncurq; al- _,_. _____ , _^ du^ afon Ncq,h« 

titudinevel fcelecishifce, ex 
noftraXIIL 



^^^^S^^^^^j^mi 



Quinq; Itbri Mojts 



Sexhydrix pojtttz 




J> A. 



__^ 



_:$ 



hoclocointelhtn- 
o 

cur.imporcatenim 
mutationem Toni 
permutataClavira 
'dicali Syftemans 

Sepcimus vulgaris Mixolydius. Qttavus vulgans Hypomixolydius 3-^«» rormaiis,al- 

ritudoMelodiaue- 

— fpectu fua: radicahs 

— clavis, qua manen- 
_ te nnnet quidem 
_ Tonus ldem, (ed a- 

hud quafi fchcma 
indmt: ut li nonad 
Octavam radicis 
afcendat ; 





mm 



Septemartet Uberales 



Et oBofunt partes. 



Etfi apparecconfihum mvencorum, qucdPnmum& Secundum * fcendat » fcdmfra 

7 / i i ■ -r ■ c r\ <-v o n lextam, quintam 

exrf.fcnberevoluennt, lercium & Quarcum exc.Quincum&Sexcum autquanaieconti- 
exf. Septimum&O&avum ex G. cer- _..^_. neat,velin_»iad_ 

tumcamen eft ex iJ3 qu„ fupra difpuca- Jrrrrr- 
vimus , etiam hos generis Duri cum Pri- — __ 
mo & Sccundo ex eadem clavl G: fcribi 






W*H 



_r_:C: 



cemlefecrebro de- 
_ I nittat, rediens t: 



% 



debcre,quibusexnoftrafpecie II. compecunthjecfceleta. 



-nein nne adradi- 
c.-m. Itaq;fceletai- 
ftj non lic luntin- 
telligenda,quauMe 

Hac igitur applicanone vulgarium o_o Tonorum ad meas fpe- t °cu We" not^ " 
cies 0£h.vae I. XI. XIII. If. egb mulco evidentius difcrimen oftendere _cpi_»spervadat.- 
poflumincer hos Tonos , quam Mufici noftri , quiacomma coinem-[ u * r c!tfiahc i L ' as ' 

- . ^. r -1 • i l r auc " earura dla P»- 

nunc. Qui emm ex G. f cnbuntur, omnes quatuor habent conlonan- fon iafeaorej Hn S 
tiaslegicimas,cerci_, quarc_,quinc„,&fexcaecumprim4. Quiveroex >g* fef e£edemirtcV 
F. & e. confonancijs ucuncur adukerinis, infra quarta majori e a. &/ bb. poflimuscum anri. 
& quincamaiori e bb.&fcc tjuisappejiare pia. 

Qmdigiturcumreliquisdccemfpeciebus, mquies ? cum omneS thenus. 
ufitaciToniredigancuradquatuor£ Nimirum adhocferviunt ,ut fci- 
antMufici,fiSyflemataprincipaIisOcl:avaeex -.defcriptJCitemperemus 
ut natura fuadec; tunc nequaquam ita facile& varie trartfponi pofle 
cantum finc mucacionefinceritatisfua:,ut lpfihabent irtufu. Liberura 
igiturillis efl, vel rejicere omnes refiduas io. , & cum ijs etiam tranfpo- 
ficiones fuas: vel fateri,quod plures Forma; Melodiarurmphires nempe 
Modi vel Toni poffiac exiftere>ijqvdifferentcs ab his poficis , ali) 

r K magis 






74 De Proportionibus 

«AP XIV ^ a gisaIijminus;proutaequipollentiasadmarginemfupra vides aa- 
'notatas. Namfi fuperiorum uniusO£tavae intervallorumrationcm 
habemus nullamj dantur fane tranfpofitioncs aliquot aC.inc.6cab A. 
in^.&alia:» 

Quaerasultimo, quidimpediatillas tranfpofitiones , toties jam a 
mereje£tas? Videnturenimauresillasnonimpcdire,cumin confcflb 
fit,Commatisexccffum inintervallis,quaedifjun£tafunt locis Syftc- 
anacis, ab auribus non dijudicari, Efto enim fyftema quam optime 
tenfum , ad naturae leges ha£tenus explicatas, pulfentur G a. & * §. ro- 
«enturq;omneshomines, quotquot audiunc, utrum intervallorum 
Horumfitmajus, nefcire fedicent,necpriusdifcernent,quamconjun- 
£iafuerintintervallaloco eodemO£tavae;hoc eft, ubi fpacio chordas 
per circinum difpun&o , pars o£cogefima prima chordae interfepia- 
cur,&ficdua?longitudines8o. & gi.pulfataemomentisproximis»incer 
iefucrinccomparaca? ? 

Refpondeo,etfiauditusnondiftinguit ,pulfatistribus folischor- 
disOttavas (duorumintervallorum terminis) atpulfatis omnibus uni- 
usO£tava:chordis, fictandemdiftinguitO£cavamCr.primogenitam& 
naturalem,abO£tavisaliarumclavium. Infuntcnim inomnibusO- 
£cavae fpeciebus, eadem incervalla Concinna fcptem;qua; femel cxpref. 
fa pulfatione chordarum , ftatim hxrent in memoria dc propinquo ,• ut 
£acilepateatauditui,quo locoOftavaenaturalis quilibctTonus incipi- 
at. Hocpa£to Commatisfenfus erit implicitus in diftin£tione 0£tava- 
rum. Quemadmodum enim Auditus Confbnantias ipfas , & Concin- 
naomnia intervalla,probatab cffc£tu,licetnonnumcrctlongicudines 
chordarum, quae caufampraebencconcordantiarum : ficidem auditu* 
adverticeciamaffe£tum commatisgo.gi. ecfiidnonnumcrccadeoq 
nec acluali diicretafenfione capiac fcorfim. 

CAPVT XV. 

Qui Modi vel Toni, quibus l er- 

viaritAffedibus. 
Ha&cnus de principiis , cx quibui Toni conftant; 

& eontra fe diftinguuntur ; jam pauca dieam de effcdu , confcncanea 
quidem meisprincipijs. 

Primum admonendus eft Ie£tor, non hic agi dc difpofitionum a- 
fjimidifferencia.quaeefficiunt, uthomopotiuscanacquam ut oratu 
oneplana&fedaclutatur :neq;deijs,quae hinc cantum,inde fimpli- 
cem orationem confequuntur in audicore. Nam ut alacritas animi 
eft, quae omnem omnino cantum in canente praeccdit,eiq; veluti di£tac 
Melodiam ; fic etiam omne genus Cantionum concinnar um voluptas 
audiencium confequitur. 

Separandaeftnobis haec gencralis difpoficio Animi, fcu potius , 

loco 



Harmonicis. Lib. 1.11. 75 

loco maceria: Fubjicienda illi afFe£tuUm diverfitaci, quam hic quejrimus. c A * **' 

Cum aucemomnes parcesCantUs concinni & nacuralis compa- 
racae finc ad ciendos affe&us , imicatiohe Fonorum , quos edunt anima- 
lia , ad teftiflcanda fua defideria : hinc pacet j variam & multiplicem ef- 
fe hahcdifpucationem-, adeoq; infirtitae fimilerti i quae cum meos lacer- 
tosfuperec,re£liuscranfmiccerecUruniverfa Empiricis, hoceft, Mufi- 
cis pra&ieis.' quippe qui fine praeceptionibus , folo hacurae du&u , admi- 
rabihumMelodiarumfubihde auchores exiftunt : quod ipfis lohge eft 
facilius , qUam uc, quid fic eancus, & in quo confiftac , aUc quomodo fa- 
&uslic, oracionelonga &dife'rta eloqUancur. 

Cumenim,UtOracioprofa,Carmihe,fic vbces & geftus Anima- 
cum CartcU repf acfencencur & Veluci depingancur : cerce uc Poecice , fic 
eciam MuficacancUscornponendifaeulcas , ufu & exercicationefola, fi 
fttenringeniumeciam Nacurafacl:umadhbc,eft addifcenda. 

Quia camen parseft honeftiffimarum Animi recf eationUm, inda- 
gare rerurrt caufas, autabalijsrepercas comminm incueri: adeo quidem 
uc eciam Ariftoceles Problemacum iuorurh parcem non minima con- 
cemplatiortibUsdedericHarmohicis: cohandumeciamhiceftaliquid, 
proferendiq; Fhilolophiaefines, & Methodi legibus adhibitis CbercCn- 
ckilladifpUcacionis mfinitas,adq;geheraira capica reVOcartda ; Ucper 
Fingulariapoftmodumdefimilibusidempbfticefsejudiciurn. 

I. Cancus ipfius , affecTmimq; qui cancits fpecies feqUurttur, prb- 
porcibnaliafunc elemenra , tocidem Fere humerO ucrinq.v Nam eciam 

voces ipfae Paftium CahtUs, tty (dyY) i Tovri i 7r6%tt&,fr\Qxn ,&daftk&\i$ 

alluduhtcercds. Primafimplicicatilervic , ulcima luxufiae;iiiacor- 
pon fimilis eft, haec coloribus ; Tones aequaiitas atcenciohem rtiovec ; 
Peccia,-(eUiuficacioaddeie£tacionein 5c recreaciortem eft cbmparata. 
Haecfuncgeneraiia per omries Modos Muficos. 

II. De Agoge hocpeculiare monec Galilaeus , duas cjus efse difFe- 
rentiaSjUnarh Furfufn , alceram deorfum,quaruilla laeciciae ferviat, haeC 
rnoefticiae & flecUi. Caufaeft rtacuralis : infra enim vox gravismoch 
tardo edicur, fupra vox acuta motu concitato: cum crgo vox defcehdit» 
qureci appropinquat; cum afcendic, in mocU proficic,prOpcerea in cho- 
ralicahcuplerUmq;ihimodefinimus;illrcigicurvoxlartguefcic,hrcvi- 
gec Acquieciaminmoerorelanguetmensomnesq; fun&iones, inhi- 
laritate vivit & a&uofa eft. 

III. Eft eciam ialcus vis riiagna ; qui eft veluci pbtencialis Agoge: 
h lbec enim cerhericacem, mocUm,aUdaciam , eft milicaris , virilrs , im- 
pudens, fi creberfic,praeiercimper diapence, cujusfigUra, Trigonus,a- 
cucis cohftac angulis, tbcumq;circulum cribus lineis abiiimic. Con- 
trafalcUsper fexcam mollemunicus afcertdens, iequence Agoge deof- 
fiim, mignicudinem dolc>ris exprimic, apcus ejulatibus , bb fimilicudi- 
nem vocis: uc in In Me tranjteritnt Orlandi. 

IV. MulcUmeciarhincereft, quahcam alcicudinem in Oftava? fyfte- 
mate ab ima radice cahtUs potifsirha pars bccupet. Narn fi totam Ocla- 
varrt percurrat,aut excedat,animofiiscantuseft; firt DiatefFaron fblum» 
modeflus&jucundus; Diapehtc rhediocritatem habet; Tertiamollis 

K 2 demiF- 



76 De Proportionibus 

gAftX.V. ... 

demiffionem & pufillanimitatcm. Hocquidam tribuunc defccnfuiin* 
fraradicem per diateflaron; hujusque formae conos appellanc plagios, 
feu plagalesfiiorum AuchencorUm. 

V. Inccrgeneraliaelementareferendacftpociflimumetiacelericas 
& tarditas rhy thmi, feu tactus;quarum illa ir x, motui, pugn is,hilar icaci 
apcaeft; haec afFeclionibus, quibus per quiccem fruimur, moeron,amo- 
ri, defiderio, volupcaciex pociundo. 

V I. Adde & modu^ hoc eft Rhy chmum ipfum: alia cnim tripli di£ti, 
alia dupli eft vis ; quam for te multam trahit cx imitatione faltanciu cho* 
rearum: q motuumin ijsalternatavariecas cum omnibus nocafic , ad- 
monet ftatim audiences, eos velut iii rem praefentem adducens. Triplus 
igiturturbulentus6cacl:uofuseft,duplusquictior,pacacior,modeftior* 
Sed de Rhychmis eoruq; fignis, nihilhoc librojquare miffbs cosfaciam 9 , 

DcEahat- VII. Veniendum nunc eft ad illa, quibus proprie Tonos difcrimi- 

monio fcri- nari diximus ; quorum praecipuum eft,diuerficas gcnerum Cancus. Ac- 

ki *ohn- Quzhic&ges difputationum copiofiffima fuccrefcic , quodnam ex cry . 

pieri ani- bus vecerumgeneribus cui fueric afFe&ui tributum ♦ quam nos incactam 

«nosfurore praeceribimus ; cum nec naturalis fit diftributio cantus m genera nu- 

trimagU 11 " mero tria,nec veteres fibi conftenc in haC maceria. Mihi de nacurahbu» 

ftratus tpar- duobus cancus generibus fermo erit , Duri fcilicec 8c Mollis i quae voce» 

1 uodxff*- I 1105 arre, ^ us cieant , ipfae produnc. Nam ut fcemina ad paticndum po- 

minatuhoc riffimum facta eft, mas ad agendu, praefertim ingenerationis negocioi 

&fucatum ficMolle genus paffionibus animifcemineis,Duruadionibusvirilibus 

tMhabere"- accoriiodatunquaru rerum difcrimina exfequ&ibusmagiselucefcenc. 

tnr.authorc VIII. Noh enim Genera cancum cancus,fed eciam Toni in vniuer- 

eninoca- ft> m fitu femiconij difterebanc. Hic femiconij fitus animat afficicq; tam 

tum igno- Genus quam Modum feu Tonum .- aliter tamen de hoc fitu difputandii 

mmia vrbe e a re fpe£tu p-enerum,alicer rcfpc£tu tonorum omnium. Generaenim 

r r diximus orin pnmum omnium ln Octava pnncipali,quae a & mcipit ,m 

quafcmitonij fitus loco penimo format Genus molle,loco ancepen- 

ultimo, genus dur um : illic imo Ioco eft tcrtia mollis , hic dur a. Quae effc 

igitur hujus fitus connexio cum affectionibus ? auc quid commune cer- 

ciae minori cum fceminis> cum paffionibus, cum mollicic* quid icera 

Terciaedurae cum virilicatcduricie, a£tionibus,efricacia? 

Prsmumigicurmemineris>Terciamduram ortam efle cx Penta* 
gono ; pcntagonum vcife&ione fecundum Extrema &Medium,quas 
proportionemformantdiuinam. Inhacveroproportione pulchra in- 
eftGcnerationisidea. Nam flcut pater gignitfilium>filiusalium, quifq» 
fibi fimilem : fic etia in illafe£tione,cum pars major additur toti, conti- 
nuaturproportio,capitq; compofitalocuTotius,&qutpriuserattota, 
locum partis majoris. Quaeracioecfinumerisexprimi nequit,dacur ta- 
menaliqua feries numerorum, quae cotinue pf opius ad verum accedit, 
inquaferie,ipfadifTerentianumerorum a ccrminisgenuinis(quifunc 
nonumerabilesfed ineffabiles)admirabili viciffitudine marcsfceminas 
progignit,membris fexus indicibusdiftinftas.Vt fi pars major fitprimd 
2. minor i. totum j. Hic no eft plane i. ad z t vtz. ad3. differentia enim 
eft vnitas, quo minus rcftajngulumcxcrerriorum i- 3. «quec quadratura 

medijz» 



w . 



HaRMONICIS LlB. 111. 77 

CAt. XT V 

medijz. Tuncaddico.2. ad3.ficnovum cocuf. & addicoj. ad^. tocug. 
Ecc Reclangulum ex i. 3. fceminam creacdeficit enim aquadraco de 2. 
vnicacc;RecTangulum ex 2. 5. marcm ; excedic enim quadracum j. vni- 
tate ; Reclangulum ex 3. 8- fceminam , defieit enim a quadrato de 5. vm- 
cace.Rurfum exc. i3,masoricur,refpe£tuquadracide8- ex8-^i- fcemi- 
na, rcfpe&u quadracide 13. hoc fic in infinicum. 

Haxcumficnacurahujusfe£tionis, quaead quinquanguli demon- 
ftracionem concurric ; cumq; Creacor Deus ad illam conformaveric le- t . ,. t 
gesgeneracionis ; ad genuinam quidem & feipfa fola perfe£tam pro- Q 

poruonem inefFabilium cerminorum, raciones plancarum feminarias , □ 
qua; femen fuumin femecipfis habere juffaefunc fingulae: ad junftas ve- q r-, 
ro binas Numerorum proporciones (quarum vnius deficicns vnicas al- ». 1. j. 
teriusexcedencecompenfecur) conjun&ionemmaris&fceminae: quid^ f 
mirum igicur, fi eciamfoboles quinquanguli Tercia dura feu4. c- & □□□ 
moliis5,6.moveacanimos,Deiimagines,adaffecT:us,generacionisnego- □□□ 
cio comparandos ? Vbirepecendumex capice III. quod quamvisi. 6. ^'-""'ri 
ficexfexangulojRefiduumcamen^. 6.nonconfonecpropcerfexangu- '~_ 

lum,fedpropcerderivacionemexcribuscirculi decimis,per cermino- r-i92H9 
rum duplicationem & dimidiacionem ; itaq; etiam Refiduu hocejusq; □ □ □ □ □ 
Soboles,Tertiaminor,eflexCM_inquangularifigurarumclafTe.Hocigi- □□□□□ 
tur ftabilko, quod fociecas duarum Tertiarum reprsfentet fociecacem □ D □ D □ 
maris&foeminaj: nullo jamnegociocuiq;fexuifuaaffignacur Tercia. }> *' ** 
Major enim ceicia virilis evadec, Minor, fceminea;cumeademficipfo- 
ru m eciam corporum,viriumque tam corporis quam animi proporcio. 
Cumque major ficeximparilacera,fc ex Q£inquangulo,minorveroo- 
riginalicerexparilaceraDecangula;confencaneumefteciamPychago- 
raeplacicisjqui numeros impares maresdixic,parcs,fceminas;(quod 
confirmacur illaexcefluum &defe£tutrm fpeculacione,cum impar fic & 
excedens ) vc illa mafculini fexus habeacur, haec fceminei. 

Accedachisracionibuseciam incervallorum concinnoru concem- 
placio,quorum minimu eft Semiconiu;femper enim Semiconium fiic- 
cedens,invicacvocemadfefuperandfi,obparvicace;efteniminftarjugi 
in clivo mollefcete ; Ec quocies Semiconium verfusfuperiora occurric i 
illaqua;daquafimecacancushabecur,adquamcendac,indeq;veIucijugo 
fuperaco, confe£toque conacu, reverci crebro fblec ad infcriora. Cerce, 
fi canamus RE, MI,non faciacur audicus.. fed cxpe&ac vc & F A addacur. 
Cumigicur cerciadura,qushabetimumlocuminTono 0£tavo,careac 
femiconio,quoddemum accedic ad complendum Diacefsaron.* me- 

rico habccurpro a£tuofa, & conacuumplena, cujus vis yovifjiog, &cuc- 
fm ouTfflog , qusrensfinemiuum,fcilicecDiaccfsaron,cujus femico- 
xiium efteiquafigx^a/fTic, coco conatu quaefita. Attcrciaminorimo 

loco ToniPrimiconfiftenSiCumfemiconium complexafit , a quofu- 
perato foletfieri reverfio ; quafifeipfa concenca,fuaq; nacuraad fupe- 
racionem &c paffionefa£ta: femper fe,veluti gallina,fternithumi,prom-' 
pcam infeffori gallo. Et ecce caufas aiFettuum in Generibusjinq; Tonis 
fyftemacis primarij, ex G furgentis 

5 $ Nuna 



78 DePrdportionibus 

C AP, xv. Nunceundemfemicbrtij ficumconcemplemur eciam refpedtu To* 
norum promifcue Orrirtium : ubi accemperabb oratiOnerrt j uc hadtenus 
eciam, adTonosvuIgates,urieosexmeisprincipijsdiftirixi. Namde 
reliqu is X. fpeciebus Odtavaj, quas addidi comparationis caufa , an To* 
nidicimereantur,Muficbrumeritjudicium. 

Saepe didcum,riacurahcerquidem,ex coricinnis incervallismajora, 
fibi poftulare locum imum dari, uc magna magnis afiociencur. Nam 
&fonigraves, quifuncicidem irtfra, riiagnicudinealiqua, ideft, longis 
chordis decerrtiinancur , acuci brevibus : feu quod idem eft, fortrts gra- 
vis magrio & cardo rtioru edicur , acucus parvO & celeri. NatUralis i- 
gicurferies eft, cum iri Tecrachordo perfedto , primo loco eftTonus 
major, fecuridoMinbr /tertio & fupremo Semitonium. Acqrti cum 
omnia feciindiim naturam habeht,l#cifitmus:La?riergoToriimrit,qui 
Tecracbordum inferius fic diuifum habenc : habertc autem Sepcimus 
&0£tauusj quos mira incOnftarttia nunc, Phrygios , nuttc ■, MixOlydios 
a veteribus appellatos, pucanc: quanquam ego magis inclinc, vt Lydi- 
ospbcius Veceribus didtos credam,-quia ceftancur defuo Lydio,quod 
impleacanimos furore diuino,id eft alacricace & fpiricibus rnilitari*. 
bus; quales funtrioftri,Seprimus& Odtavus. 

Cum igicur everfa eft rario, Vc irrio loco fic Serniconiurri; quod fic iri 
Tercio & Quarco Ecclefiafticis,quiPhrygij veteribus:verfo naturaeor- 
dine, querulum,fradtum, & lamentabile quippiarri fortari confencane- 
um eft.Atcum Semitonium eft locomedio,mediuseftafTedtuscranqJ._ 
licacis, humanicatis, jucundicacis ex collbquijs & riarracionibus : quibus 
apci Primus& Secundus,generis fc rriollis & fcemiriirii,- quOs Dorios o- 
lim didtos putahc. Dorium fane fic defcribit VinceririusGalilams, quod 
ficNaturaftabilis, quiecus, firie violencia, apcus ad gravicatem & fe- 
vericacem ': qubd de dubbUs hifce fecundum riiagis & minus verttm eft. 
Nam femp molliores oportec efleTonbs pari riumero didtos/q,ppe pla- 
galesfuis autheriris, abimpari denomittaris,excaufaqtta;pauloantea 
No.I V. allaca fuit.Itaq; eciam Galilaeiis Plagium Prirrti facit lartguidum 
flebilerrt meticuibfumy mbtum eriim verfus gravia lariguoris, verfus a- 
cuca Vigoris efTe. Etfi rrialim egb & cemperare ifta Epitheta, & caufam 
diftinguere. Nort eft.n. Doridrurri proprietas laiiguor, fietus , & metus 
fedingenereexcUrfuumadgravia &defcerifus crebri irifra radiccm. 
IX. Haclenus de ficu femitonij; nec dum tameri omnibus Tonis fuas 
afsigriavimusproprietates. Sequitur igitur ut etiam de coriforiantijs 
imperfcctis & adulterinis. dicamus , qbus articulancur fceleta oda- 
varum. Ecprimumquidemillarumveluciefsenciaericirifpicierida, 
poftea locatio iri Syftemate: 

Cum lgitur riatUralis & primaeva eft fyfteiriatis Odtavae difpofitio, 
in qua cum ima chorda perfede confonat cen;ia,quarca,quinca & fexca: 
Tonus calis bmriia illa in ariiirio ciec , qua; habertc feciindum riacu- 
ram,mollis quidem paffiories,durusactiories,vel affedtus ijs aptos. Haec 
pr^opriecas copetit PrimO & Odtavo eX G furgentibus: quo nomine nori 
irtjuria Galilaeus affirmaveritOdtavurri curri prinio cdincidere,incellige 
came,fervaca ciiiq; fex* feri gerieris propriecace. Ica duplici riomine Se- 
pcim 9 & Odlav ? caeceris pftaccam ob ficu femitorti|,qeciambb pfedtione 

S coiiu si 



Harmonicis Lib.11L 79 

Econtrario,Quincus&Sexcus,Tercius& quarcus confbnancijs CAp . xy; 
infiaucuncuradulcerinis& auc~tis,ille Diaceflaron,hic Diapence: quae 
res vim illis conciliac mcefticiae & affe&uum ab humana cemperacionc 
difcedencium. 

Namin Quinco & Sexco, DiacefTaron quidem eft ogviov > nacura- 
li ficu femiconij in fummo , non minus quam in Sepcimo & O&avo ; ac 
duomajores conifunc infimo loco, pofteos fcmiconium; cxquibus 
eonflacur Diaceffaron commace abundans. 

Quare magnicudinem eciam ij modi promovenc affeclus , ucDe- 
vocionem,Admiracionem,Amplificacioncm,Dolorem;rurfumSpem, 
Fiduciam , quafi elevacionem mencis fupra forcem praefencem. 

In Terciovero &Quarco, prseceripfius Diaceflaron formam in- 
verfam, accedic eciamhaec confbnanciarum fermencacio, augecq; cri- 
ilkiam&languores animi. 

Quodfilicec analogiamprofequi ulcra conosuficacos,ad fpcciem 
III. cx meisjcancus mollis,ex A defcripcam ; quia illa femiconium qui- 
dem infra , Diaceflaron vero perfe&um habcc : hanc igicur ego jucundas 
trifticiaeaccommodarem : uc cum nobis placcmusin mollicie animi, 
,in Amoribus &Defiderijs,auccum lacrumasgaudium exprimic. 

HascdeConfonancijsracionefuununc racioncloci in fyftemace» 
quidefficianc, videamus. 

Cum igicur TOM 5C 7Tit\^cl circa quarcam & fexcam chordas po" 
ciflimum occupancur,fic uc appareacDiaceflaronloco imo ab ijs ftacuu 
quia hoc eft Tecra chordi incervallum,quodomnescrcs concinnorum 
fpecies eftcomplexum, eoq; praecipuum eftin hac Tonoru animacio- 
ne : cunc haecformacancum ad humilicacem invicac; ex caufa eadem 
t^uam fupra No IV. ufurpavi. Sin occupencur hae parces cancus circa 
terciam &quincam,ftacuentesDiaceffaronfuperius> excicacur eciam 
~&clevarurcancus,pra;fercim fi ad o&avam excurrac : qualis fuifle vi- 

decurNo i a©-' o§0t© J vecerum: Sideniq; circacerciam& fexcam;ue 
Diaceflaron reda&u fic in medium,quod in Primo & Secundo frequcn- 
tius fic,quam in Sepcimo & Octavotmediusetiam promovebicur affe- 
c*tus. Crebro aucem incer fe permifcencur hae fcelecon articulaciones> 
ut in diverfis partibus cancus finc diverfae,pro variecace textus, & inge- 
nioarcificis , cexcumcancu pingentis. 

X. Quodfi verumeft, quodquidam imparis numeri Tonosl. III, 
V. VII. faciunc alciores; paris II. IV. VI. VIII. humiliores, eciam rc- 
fpe&uradicisO&avaexercealcicudorefpondecexcicationi A nimi,pro- 
fundicas demifsioni:cuncfanediftribuere pocerimus quacuor clafsium 
affe&usin clafTes o£lo, fecundum conos cocidem:uchabeacSepcimusi- 
ram,violcnciam,forcicudinem,0£tavus hilaricacem, alacricacem, vo- 
lupcacem acucam: Tercius dolorem acucum , defiderium ; Quartus fle-> 
tum , amorem , Primus feftivicacem , nuptias, comeflationcs;Sccundus 
modeftam hilaritatem , colloquia , narrationes; Quintus Panegyrcs, 
exclamacioncs,fiduciam,fpem; Sexcus dcvocionem,dolorem mag- 
nura, &g. £c 



go De Proportionibus 

itjamtempuseft,utadprincipiumrcverraturoratio. Nam il- 
lud admonendus eft ledtor philofophus,- quodMufici noftri omnes 
promifcue afFedrus in omnibus Tonis exprimunc,id ipfos ica & facere, 
quiaomnispromifcuecancus volupcacem paric audicori, alacricatem 
requiric in auchore ; & pofle facere quia inftrumenca ciendis afFedtibus 
plura func, parcim inicio recerifica, quae paflim per omnes promifcue 
Tonosadhiberipoflimc. Si camenomniaprsefidiaftuduerincadhibej 
rejadidemincencumfacienciaynon facile negligenc Tonorum delc- 
drus, ad afFedtuum hypochefin ldoneos. Verum ij viderincdeeo, quod 
cft illorum praxipermiflum> mihi hadtenus Theorecice proceflifse 
fufficiac 

GAPVT XVI. 

Quid fit Cantus per Harmoni- 

am , feu figuratus. 
Etfl vox,Harmonia, veteribus ufurpaturpro Can-- 

t u > non eft camen iritelligenda fub hoc nomine, Modulatio per plures 
voces , harmonice confonances. Novirium enim invencum efle , ve- 
teribufq; plane incognicum , Concencusplunum vocumin perpetua 
harmoniarum vieifsitudine , id probacione mulca non indiget. Vide- 
aturhacdere Vincentius Galilxus in opere Mufices Italico. Solec 
quidem objici , relegatio cancus per Harmoniam , a Republica Placo- 
nica, quafi jam tuncillefuiflec inufii : ac iricelligiturlocus de Organis » 
de Syringe , VtriculOjTeftudine, cum una vox autperpetuo intonat > 
aut intermiccic , locum cedens appropinquanci diflbna;. In illo more 
nullumerat apud veteres majus artificium> quamapud noftros utri- 
cuiarios . 

HisulTimisf#cuIis,ha?craciocanendi, Figurataideodici caepic 
quia primi authores diagrammaca nori ica fimplicia fecerunt, ut func in 
Choralicancu^fed varijsufifuncfiguris & coloribus,&punctis jquorum 
iignorum aliqua filencium , aliqua fonum imperanc, qua:dam longum, 
alia brevem ; aliqua ad Tonos , aliquaad Modos menfuralesdifcrimi- 
nandos , adF ugas, adRepetitiones, & fimilia, adhibica. 

Nobis igicur Concencus harmonicus fic definiatur,- quod finc duae 
tres, quatuorvelpluresvocesfeu Melodiae Concinnae &apc2e, quales 
CapiteXIII. defcripfimus , omnes ejufdem Generis, ejufdemq; auc 
cognatorum Modorum, fic fimul incedentes; uc concordancias auc 
meras, auc breviffimoConcinnarum diflbnanciarum incerpundtu fer- 
mentatasfaciantmoneas tamen pcrpecuo cenoreidencicas, nec eafde 
deinceps,* fed ipfafuccefsionum alternacione ad deledtacionem varia- 
tas. Quemadmodum enim eft in proporcioiie, Confonancia duarum 
yocumadUnifbnum.-ficeft CancusHarmonicus ad fimplicem unius 

vocis 




Harmonicis Lib.111 gi 

Vocis Melediam ; a quo principio dependent omnia definicionis mem* 
bra, quaedeincepsexphcabo. 

I. Primum igicur hic illud circa pluralicacem Vocum occurric ad- 
nocandum, quod ArcificcsVelmaximeconfencaneum Nacura: confti- 
cuerunc , uc quamvis faspe eoncinant voces berie multae : omncs camen Di f caM £ 
quacuorfblunimodoiiominibusappelleficur , ad numerum perfc&ae Akus. 
harmonicae mediacionis in uno perfe&o fyftcmace diapafon. Difcan- JT*' 
tumenimnominant>vocemacuciffimam, Alcum, quaeilliproxima, 

Tenorem e gravibus fuperiorem , Bafsum infimam. Nam _ ^ 

incerduas Diapafbn fonances Voces, duaefolum incerfunt J€ *•*— — 
medietaces harmonicqfimul confonances cum cxcrcmis '., — $— 
idencifonis , uc capice III. explicatufn. "V" 

Quamquam origo vocabulorum iftorum Italica , videcur ad Sy- 
ftetna cornpoficum magis refpicere, ucineoparcesoppo* 
ficas ceneanc Alcus & Bafsus , non ille quidem alcifsimus 
cxiftens;fed quiahaedua; crebro (lioet non infine) faciunt 
diapafbn 3 iJla quidemfuperior & acutior , ha;c inferior & 
gravfor. Sic Tenori, Vocabuli origo dat Ideam & modu- 
lationem cantus fimplicem , Difcanco nomen dedifse vi- 
decurperpecuavolubilicas&divagacioa plaga,Tenori per ZZ^HBaf* 
diapafon oppofica. Icaque fi comparemus partes CancusCap. XlII- ex 
Euclide allacas,ccli omnes illai funt Vocum omnium ; Tenor tafne po- 

tiffimumin A^&)ywoccupatur>Difcantusin TlAtiiY) , Altus in TofJ) ^ 

Bafsus infaltuper intervallaharmonica,* omnium vero quatuor com* 

munis eft rig7?«ctjinfigniortamenin AltO» 

Ha? proprietates quacuor vocum exipfeterUmNacuradcfumptai 
funt. Nam quia per definicionem traditam, concencus perpetuo 
mutandus eft ex alio in alium ; neceffe fuic id fieri fic > uc incermedia- 
fumuna,comparacioneadcaeceras,inanguftoSyftemacisIpacioobvcr- 
farecur. Nam fi omnibus laxa ex aequo fic liber cas , necefle eft id confe- 
qui , uc inferior crebro fupef ioris oberrec fpacium & viciflim ,* fietque 
infana confufio> & irrita rcddecur diftin<3:io Vocum quatuof . Has vero 
anguftias mediarum potius Una debuit occUpare>( AltusvelTenor) 
quam excremae> Difcancus vel BafluS. 

Nam fi cale quid in excremis fa£tum effet ; omnis inccf VaUof uffl 
variatio in unam folam plagam Verfura fuit , puta vel in acutum vel in 
Grave. Melius igituf erat, Concencum ex aliqua intcrmedia Voccve- 
lut Uno partium ipfius termino, in angufto locofigi feualligari; vaf ia- 
tioncm vero intervallof um , ab ea partim furfum cendere , partim dc« 
orfum. Nondebuicver6mediarumvocum,qUaeeftinferior, coaf* 
ftari ; quia Idea c antus, Tenor i,mediaru m infcrior i,adfcf ipta, dcbct & 
libera effe , & per mediam totius Sy ftemacis quanticatem incedere > ut 
fmtvoces circumftantes, nihilaliud qUam illius colores & ornamen- 
ta feu Emblemata. Inferiora vero intefvalla femper majora func 
fuperioribuscognominibus. VtigiturTenormediumquantitatis lo- 
«umhaberec , oporcuic illum cise inferior em ex naedijs; acq; fic Altuni 

L inan» 



De Proportionibus 

J ^ F XVI inanguftum oportuit fedigi , non Tenorern. Reftant igicur pra 
' Difcanto &Baflbevagationes, fcd cum hoc difcrimine , quod Bafliis 
quigrave fonac, magnoq;motu& longis chordis exprimitur, tardis 
etiam menfuris , & magnis, eoq; harmonicis incervallis vagecur , Dif- 
cancus qui acucum fonat,fupervolitatq;,&brevibuschordis , celeri- 
q; & angufti fpacij motuelicicur ., brevibus eciam , eoq; crebrioribus 
menfuris , minimifq; concinnis intervallis omnia pervagecur. Hxc igi- 
turvocumproprietaseft. Nunc & reliquas definicionispareiculas de- 
clarabo. 
Diflbnan- 1 I- Nam qnod actinet primarium illud & prarcipuum Cantus Melo- 

**" dicicondimentu^Diflbnancia; Primum illasoportecdefumpcasefle no 

exincervallo quocunq;&V#£Ufl£&,fedexi.ncervallisconcinnis. Nam 

quia voces fingulares, ad communem concentum concurrentes, nulla 

admictunciiuervallanificGncinna, incerfonosdeincepsfuccedencesi 

funcveroejufdemgencris&Toni,ucin definicione prarmiflum: facile 

pacec, fiunaaliquaincercales conftituatur harmonia (cum harmonia 

omnis in concinna diflblvatur elemenca)nulia fingularum divagacione 

ab Oclava; fuse radice fieriunquam pofle , utbina; incer fe aliudquam 

concinnumfaciancincervallum;licetidnonfemperficconfonum. Se- 

BisMatist cundo etfi praeftances artifices utuntur interdum diflbnantijs majori- 

Attu&j Bo- bus, fic ut diflbnans vox tono integro diftet ab illa , quEeconfonantiam 

r^deat- raceret ; id tamen non fit aliter nifi ad gravifllmos animi motus ex- 

tccompo- primendos &eliciendos. Ordinariaver6,&cum)ucunditaceconjun- 

nendi, ftaeoqmacuralis quodammodo difTonantia,femiconioconficicur t Hu- 

eftdTdiffb- jusrei caufarnrfum , ut reipondeant ultima primis , repetenda eft ex 

nantijs. peniciffimis Geometriic fundamendis, ex cap: I. Axiomacibus II. & IIL 

vis Pente- ex q • libro primo & contemplatione Quindecanguli. Cum enim fe- 

^deieau^mitoniumcontineaturnumerisj^./tf.&veronontantumSedecangvua 

diffoBan- figurademonftrationem habeac , fed etiam Quindecangula: parum e- 

darum. quidem abfuit , quin 15. \6. nobis definiret proportionem harmoni- 

cam, necminus&derivatsabeai^.g. &js'»4- &J5. 2. &i_r. 52. &J5.64. 

afite omnes »5. 1. illajfc. quas ci eberrime componifta; admiccuc, ad dif- 

fonantiaslegitimasconformandas:necerat nobisexceptio aiia, quam 

haSc , quoddemonftratioPentekxdecagoninoneflet conformata nu- 

meroangulorumfigurceimmediate, vtcaetcra;, eoque non propria, 

fed ex difterentibus figuris, Trigono&Pencagonocranflumpta, & fic 

mucuatitia & remotiflimi gradus-ritem, quodangulusquidem Pente- 

kaedecagoni Congrueret alijs ad implendum locum planum ,at cota figu- 

racum omnibus angulis congruentiam non admiccerec Cum igitur 

/5. 16. &fociae,ratione caufa; conformantis tam prope Confonantias 

accedant > quid mirum illas etiam vfu crebro inter confonantias ad- 

rhifceri. Contra vero Toni 8. 9- & 9- 10. akeris terminis Nonangu- 

lo participant , figura penitus indemonftrabili. Quare non fuaves fed 

omnino horridae funt diflbnantise, per illos , eorumque focias propor- 

tiones(4.9.& 2.9. & /. $. &p. 16- &9.?^-fic9-5- &i$. 5. & 36. 5. & 

9. 20.& 9.40. &c ) admifsse ; multoque horridiores , qua; ex Tritono , 

&mutilo Diapente , fimilibusq; intervalliscoflantiurvdequibusvidc 

Artu- 



Harmonicis LlB. 111. 85 

CAr.XVfe 

Arcufium : oriuncnr enien poft Tonos , Majorem ScMinorem & Semi- 
coniumjfc. ex horum uc t.lemenrorum compoficione non nacurali: 
femper aucemquancumaNacura, cancum afuavicace difceditur. 

Terabca;ceraidiffonantiarumles;es alcerum earum nomen infi- 
nuac, cumSyncopseappellancur: ecfihoc eft commune accidens cam Sjncopatio 
euflbnanciarum,quam imperfectarum confonanciarum, fednuncde 
diifonancijs agimus. Ordinarie enim hoc cenenc , uc ea ucancur ceu fer- 
menco autfale aucaceto inOpfbnijs,fcilicec,ucexillis nonfiuncince- 
gra fercula;fic eciam hic non cocae canriones,nifi magne, emphafeos cau- 
sa, fcacencdiflbnancijs;nec cum ipfb cadtus principio vox unaaliqua 
incipiensincurritincasterasconfonances,ipfadifsona:fedfurcim&ve- 
luti tergiverfata, diilbnantiam admittit ;dum inuno loco fyftemacis, 
quem occupavit fublato tadtu , & fic pofteriori minufq; principali par- 
te taclus incipiens fonum certum, confentientibus reliquis,poft il- 
lasfinitas,ipfadiutius & ultraprincipiumfequentis tadtus moratur,fic 
ut voces ahas omnes,plaerumq;graviores ipfa (ut illafc: parvitate & im- 
becillicace&celericace, quippeacucaexiftens, minusobftrepac)com- 
muni concencu ad principium ca£tus fequetis,Iocum occupenc ab illius 
loco diflbnum, priufquam ipfa illo f uo loco excefferit,indeq ; ill am vel- 
ncilencam expellant,inq;inferioremplerumq; procrudant: qua occa* 
iione etiam concordantijs & claufulis, quajdiifonancias abfumunc, na- Cadeuti*. 
tum efle nomen Cadenciarum, videcur. 

Quin eciamhocobfervanCjUcpugnaDiflbnancium ordinariecom- 
mitcacurnoncam crebrbexintervallopropinquo , &incerfecundas, 
quaminterfepcimas:ucicavoxfuperior,depulfahocpadl:o deillofuo 
loco , per Sem iconium au c Tonum defl uac ad fextam, auc evolec ad O- 
£tavam cum praevertentibusdefignandam. 

Sunc & alicEdiffonancia;creberrima;,minus arcifieiofa:,cum voxgra- piflbnau. 
visconcinuac fonumfuum,manensin unifbno,acvoxacucaab illiusfb- "^ vulsa * 
nigravisdiapafon,excurricceleribusfonicibus,adaliquamperdiapece 
veldiacefsaronilliconfonam,perlocaconcinnaincermediaomniaper- 
volicans, fic uc alcernis confonec diflbnecqj : femper aucem ordineprior 
confonacidiflbnacia & brevis cft,quippc in tranfcenfu,&in fono,qui efi 
ordine pofterior : uc fi Taftus proportionis dupla; , quinq ; Difcanti fo- 
noscum unoBafficopulet,prima,tertia,quinta Difcanciconfonabunc, 
fccunda & quarca diflbnabunt , aut imperfe&ius confonabunt. Ecce. 

IH.Hujusigiturrariorismixrura;,racio I. , 

cft eadem naturalis , quaj illius alterius £-T$+-*-5:$"fc*— 1~ 
frequentiffimae Stperpecua:; dum varia- Hl+lMlXtM+il J^ 

turConfonantia?. Quemadmodum e- — ' — * +-f— - ciaiura! 111 " 

niminfimpliciMelodia,deductiovocis «• »«».c. dif. co. cim. e.diCcoB. 

uniusfingularis, aradicefyftematis, pcr « ^_^«- A 

intervalladiflbna, fed Concinnacamen ^~5i:Xz5::$i:$i:$:Z 
tcndic ad loca harmonicecontempera- -* — T— I — T~+— "+~4-— 
taRadici, inqrijsimoratunficconcen- 

tus melodicus , ab unifono fcre incipiens , per Concordantias minores » 
viUgdimperfeOasdifos,auccciamperdiffonanci« has,cendic ad ma- 

l> 3 jores 



84 DeProportionibus 

CAfcXVl ' -« 

jores & perfedtas confonancias , & plerumq; ( prafercim in fine ) ad 

Idencifonanciam. 

Imperfeftse IV". Rurfiim ficuc in Cancilenis fimplicibus earum lingUarum,quae 

«onfonan- Rhychmoconftanc & longicudincvel brevicace fyliabarum , brevium 

quidemracio habecur non magna,- longas verofyllabas , &fines vcr- 

fuum,adloca primofono confonadirigimus : fic eciam in concencu, 

func confonanciae, minorcs ditlae&imperfedke, quas curfim peivoli- 

Cla*ful«. tamus:func &pfe£tae, ad quas cendimus,qu£e ideo di&ae func Claufiilar. 

Pctfe<ftsen6 V. Ampliusficuc ipfaeConfonanci£efingula;feorfim confideratae,fimc 

cieinceps eonOminegracae, quodnon planeidencicefonanc, fed figuraca^funcq,- 

ocan *. dammodo & diverfifottae , Sclacitudinem aliquamqualicacivam[occiu 

pances in audicu , nacuramcrahencesafigurisplanisregularibus, aqui- 

bus & oriuncur : fic jam Concencus Harmonicus , feu fequela plurium 

Harmoniarum perpecua> fme earum variecace graciam omncm perdic 

Exhacexplicacionedefinicionis,caufa:cradipoffunclegum,qua$ 

apente °&x. obfervanc Componifta: in coapcandis concordancijs. Nam quasri po^ 

«ieinceps. ceft, Quae[ficcaufanaturalis,cur licicum fibi pucenc , Tercias & Scxtas 

nacurales aliquoc ordinaredeinceps; Quarcas&Quincas & O&avas & 

limiles , ex fpeciebus fingulis aliquoc , rlOn admiccanc deinceps? 

Refpondeo, caufam hanc effe , qudd Terciae vel Scxcae fe mucuo 

confequences alcicudine,finc plerUmqv revera diverfae>una major, alce* 

ra minor : & quamvis incerdum duaeTercia: minores proximeconfe 

51 — X£"^"" 9 u ^WfiR^iej#fe" func tameh minimae confonancia: & 

ibjEX ZH imperfe&ae.Cahac enim primus Vt Re A//F^fecundus ijf- 

~" dem Temporis arciculis MtF,* SolLa. quacuor fe mucuo 

______^ confequuncur Terciae; quarum prima Vt Mi, eft major ,• 

§£— — -*^— fecunda Re, Fa, & cercia Mi , «SV, func minores ; quarca 

— - yy- f a La j rur fuftt eft Major. E concrario , Quarcae omncs 

""" ? haberttur vulgo pf o incervallis magnicudinis ejufdem;uc 

& Quincae , & muko maxime O&avae. Icaq; fi hae perfe&ae concor- 

danciae plures ejufdem fpeciei ordinarentur deinceps,alcicudinedirFe- 

rences,Cancusconfonancijs varius non efscc 

SedaliapraecipuaCaufaimpedicQuincasaliqttOC ordine in alcum 

cani>quaenonimpediccani Odtavas: de quo quaercndum fibi pucavic 

Ariftoceles in problemacibUs : Cur modulencur Odtavas , ( verbi caufa , 

MarescumFceminis, ViricumPueris)Quincas & Quarcas non mo- 

duletttttr?Caufa igitur haec eft,Quod cum duaeTertiae faciant confonan- 

tiamDiapente, duaeO&auae, confonanciam DifHiapafon .' concra duae 

Quincae faciu jic Nonam, duae Quarcae Sepcimam , intcrvalla diflbna. 

Vox ergoillic per confbnancias O&auas & Tercias decttrrensaequa- 

lirer,mane£inTonofeumodo> obfervans eandem fpeciem 0£tavar: 

hic fi per aequalia decurrac, modum vel Tonum mutat infignitcr, quod 

eftconcra definicionem. 

VI. Circadele&umconcordanciafurhaliqua eciam funt nocanda » 

primoquodingeneremagna incervalla magnos animi motusexpri- 

mant ; ( vc in illis Orlandicis , Vbi efi Abcl, & Trijlu ejl AnimA mea) par va 

&alca> lseca>humilia&parva > criftia. 

Deinde 



HarmonicisLiB.HL 85 

CAF XVI 

Deinde cum cantus harmonicus plerunque definacin Identifo- 
nanciam; utigitur magrtum,pro hypochefi cexcUs, incervallum in firie 
compleftamun Oportec non Baflum cancum defceridere>fed eciam Dif- 
Cancum , coritrartacuram finiendicatitum,afcertdefc, imitatiohefiftu- 
Jarum & chordarum Pandura;. Atquecuncvelmaximeeriicefcicvisfe- 
miconij, priori capice explieaca ; quod nacuralis 6c ordinarius finis can- 
tionisperafcenfum> amacirtfine fuperarc femitOrtium , in ijs quidem 
Tonis j qui nort habenc feftikoftium pf oxime fupra radicem fuse O» 
ftavae. 

Tef cio qUasftiorte digmirri cerifuic Galilsus> curDiapcnce epi dia- 
pafonjucundiusfonecquamDiapence fimplex> & ficconfequenter, Curmagn* 
fempef una Harnionia fic jucUrtdior alia.J Caufas, quas ipfe actulic, rton intervafia 
eftopefaeexaminare>cumobfcura;6cincerta;firit. Exmeis Ver6 prin-^ ucun l0ra 
cipijs caufa; huj y rei apparenc clariflimse.Nam quia per Axiohia II, capi- 
cisprimi,gradus fcienri&,quibusdifreruncincer felacefa flgurarum, 
cranfplancancur eciam in ipfas propof tiones > figurarum foboles : con- 
fencaneumequidemeft,uceciam illigradus) quibusdiftanc 8c Parcis 
circuli, 5e Refidui demonftfaCio, difcrimirient fuavicacem & Parcis & 
Refidui. Ergo quae Harmoniae exiftunc iriimediace per ipfam fe£tib- 
nem circuli, qua; fc. fbnt;incerTocum & Parcem refciflam, perfettiores 
& jucundiores func ijs , qua: func incer Refiduum & Tocum ,quae de- 
mum derivancur ex prioribus,per admixtibnem Idertcifbrtanciarum ex 
bife&ionevelduplicationeChordarUm.Sici. '£. pfimastefieceftigicur 
jucundior, quam 2. 3. & 1. 6. quatii/. 6. & i> /. quam 4» <-. & 1» 4. quam 
3-. 4. & 2. 5. quarti 5. c. St 5. 8. quam /. $. Prius enirri Pars fic confoha, per 
fe ipfarri , nort propccr Refiduum i pofterius > & fic impef feclius , Refi- 
duum deirionftratuf efle confbnum> fcilicet propter Partem fociafti 
velalienam. 

Rehquas artis Corripoficoria; Regulas, Arcificibiis ipfis reiinqiid 
eomprobandas,aucracionemearumreddertdam. Mihi enimquaehuc 
ufquedifpucavi,abunde fufliciunc, cum ad nacurafn Cancus illuftrari- s copus t0 „ 
darri, primis falcefn & generalibus ejus fundamencis in Nacura frion- tius hujus 
ftracis, cummaximeadipeculatibnesiibfi V. fequeritis: ciijus librirria- °P cris « 
teria rriihi unicUs in toto opere flnis eft propbfitus. Aftrbiibmus e- 
nim ego ficuc de figuris regularibus- difpUto , hori tam geornetrice 
(nifi ubi illa adhUC incompleca vifa eft)quam aftf oriorriice & metaphy- 
ficejficeciarridecaiicUsproporcioaibus fcribo rion carri fnuficequam 
geomecrice, phyfice , deniq.ut pfiUs>aftrbhOmice&fnetaphyficei 
quia ficuc corporibus quinq,- regularibus ex Georriecria > fic eciafn Pro- 
porcibrtibus, cocoq;apparacu HarthOnicoexMufica>opushabeo adex» 
plicandas caufas proporcioriis Orbium cceleftiiim > Eccericricicacuniq» 
& mocuum in Apfidibus. Arcem verocortiporieridi cancus,qua? pra- 
xis eft Mufica, hequaquarrt proficebr ,* quam ex Af tufij fiipra dicti > exq; 
Sechi Calvifij , amici quondam mei libris, de af ce compoficoria Cantus 
edicis, redtiusqui volec pecec : quosipfos camen,non quodopcimospu* 
tem , fed qma alios noa vidi, nomino. 



86 De Proportionibus 
De tribus Medietatibus 

Digrefsio Politica. 

Vide Iocum 'Tf 0/029. linea, 9. paragraphusfiquens locofio exclufus efl , quod opcra folin 

maminBo- exemplaris incaute diflribuiffent. (quippe.7. 10. ) 

«hnodeRe- Neque camenobidreprehendendi funcauchores,quiproporcio- 

* u : nes hujufmodi ciculo Harmonicarum,inRemp. recipiunc. Nam ecfi 

pauca: ex fic formacis , meras Harmonias defimunc , reliquae omnes ab 

Harmonijs aLieriae fiint: omnes camen hujus definitionishochabent, 

quodconcemperacsefuncexambabusproporcionibus, Arichmetica8c 

Geomecrica.-exquaconcemperacioneineftillis haxin Rep. apcicudo. 

Viciflim vero in Rep. fi quavis eft Harmonicarum, ucHarmonica:» 

neque noftra? mediecacesHarmonica;fpernipocerunc.,quas laxioride- 

fimcione fic crado: 

Qubdfit omne id,quod intercedit inter duas voces confinantes, conjonetu 

Harmoai- ^f ipfim cum illarum utraefc In fedtionibus igicur &c. 

ca qaia ve- Hafienusomifa. Cum autem Bodini meminifem in margine , )&Wfc 

1« fit. finito libro tertio, ($ ad.dito fuperioriparagrapho ,Jatis operatum effe Mathema- 

ticis Jbeculationibus cenfuiffem ifin-ta hacjfyinojd materia 3 p/acuit ex ipfiBodi- 

no prtcipua diflutationis hujus politic&capit* tranfcribere, 'verbis g? ordineut 

plurimumex meo loci illius captuconformatis : ut £■? lucis aliquid afferrem loco 

per (e objcuro , quippe Bodinus ex Mathematicis difciplinis nonfatis adhancjpe- 

culationemprxfidij attulit: & utttedium morojarum dcmonflrationum Ma- 

thematicarum , quibus totus liber conflat, interpofitionepopularis jucundx ma~ 

terix lenirem , ufusfy ejus n&n nullius in cognofiendaRep. guflum exhiberem^. 

Jncipiam autem abexplicationerei Mathematicajufiori , adfy lecloris non Ma- 

thematici captum accommodatiori. 

Quando numeris ahquot , non accenca eorum magnicudine , ad- 
duncur aequalia, cuno eft proporcio Arichmetica. Vc 

Addcl! t l ^t % % Quanlumenim6majoreflquhm V 

' J Zm tantum [totidem fc ,uniUtibus) 12. 

6. I-2* 8- IJ. 20. 41. efl major quam 9. 
|i - 

Hsecproporcio in hocexemplo eft disjun&a. Ergo proportio 

conjuncla vel progeflioarichmecica eft , quando initio fafto ab aliquo 

numero quocunq, , adduntur illi aequalia continue, 

Cum ergo inter 3. 6. 9. 12. item inter 38 41. 44. 

47-fitprogreflio concinuaarichmecica; fituttrium 

calium numerorum deinceps locatorum medius ap- 

pelletur Arichmeticamedietas; utincertf. 12. Me- 

diecaseft9- incer38.44-Mediecas Arirhmecicaeft^j. 

Quando vero numeris aliquoc, accenca eorum 

magnicudine adduntur fimilia , ttjnceft proportio 

Georuecrica. 

V6? 

• i 

j! ! 



Vcj vel 58 

L .1 

6 4 1 

JL J. 

9 44 

»* 47 



Harmonicis Lib.U1. %r 

PoLirici,* 



Vc 

Z- 9- S- 10. 17. 38. 
9- 27. i-f. 30. 5r. 114. 



12. 55. .20. 40. <5g. 1/2. 

Nam ficucad 5-. addicur criplum9. fic ad^. addicurcriplum27. 
quod eft canco majus quam 9. quanco 9. eft raajus quam j. & quanto 15-. 
eft majus quam 5. &c Sicutergoj. adi^. fic?. adg^. Etficuc^. adp. 
fici2. ad^6. 

Rurfum hascproporcio in hoc exemplo eft disjun&a. Ergo pro- 
portio Geomecrica con junfla feu progreffio eft, quando iniciofadto ab 
aliquo numero , femper addicunlli velpars vel mulciplex fimilis. 

Uc 3 10 g 

9 ?o- 4 

J2 40 I* 

56 120 6 



48 )6o jg 

144 4S° 



192 640 .3,? 

Ad inicialem addicur triplum in duobus primis exemplis , dimidi- 
um in certio : Rurfumque ad eum qui hinceftnacus,addicur eadera 
multiplex velpars. Ergout g. ad 12. fic hic ipfe 12. eftporroad ig. fice* 
tiam ig.ads?. Ubi 12. eft mediecasGeomecricainrerg. & ig. Sio$ 
msdiumGeometricumfeuproportionaleeftinterj2. 27. &c. 

HaJc prius funtcognofcenda>utinteiligacur,quidiitproporcio 
Harmonica. Nam Ula fic defmicur a Bodino, quddi# ea Rationes <zqua- 
lium tf Jimiliumjint modice confnfe , id eft racioneS priores arichmecicx, 
& pofteriores Geometrica?. \ 

Porro hsec definitio vera non eft. j. multienim modi iunc etiamitt 
numerisnonharmonicis,quibusmodisraciones ajqualium &fimilium 
poflinteflemodice confufe. : neq; tamehocfuflicic 5 ucficproporciohar- 
monica; oporcecenim accedere aliaseciam humerorum babicudines, 
excap..I,II. III. pecendas. 2. Mulcieviciflimfunccopulaciones nume- 
Torum harmonicse , in quibus neq; ajqualium neq; fimilium raciones 
continencur. 3;. Quineciamfuncharmonicseproporciones, inquibus 
eft fimplex Geomecrica proporcio, Uc 1. 2. 4. etfi Identicas funcnec gra- 
tiam fole, pariunc praecipuam : adeo uc Bodinus negec illas ex feipfis ef- 
ficere concencum ullum,intellige figuracum: func viciflim aliae harmo- 
nicse proporciones in quib p eft fimplex Arichmecica proporcio uc j . 2.5". 
fic 2. 3. 4. quas eciam Bodinusfuioblicusproharmonicisagnofcic,ec- 
fi nihil habeanc analogise Geomecrics admixcum. Sic 5-. 4 .f. fic 4. 5. 6. 
fic 1. 3. 5. fic.2. 5. g. &c quaspofterioresBodinus perperam negac har- 
monicos efficere concemus ; auchoricace vecerum coucra fenium audi- 
tui infurgens. 

Eftca 



88 DeProportionibus 

Eft tamen aftertio vcra quadamtenus de ea proportione , quarA 

VeteresfalfaperfuafionedixeruncHarmonicam. Dico,quadamcenus » 

fi nimirum pro Kationibus aqualium , intelligas Mediaciones Arith- 

mecicas, in alios numeros rransformacas, inquibus hon fic exprefla ac- 

qualitas Excefliium achialis, quae erat in primis tribus. Nam Veterum 

Harmonica Medietas propriiflime fic definitur , qubdfit excefuum inttr 

tresnumerosyeademproportio:, qux extremorum , ut in 3. 4. 6. Quicunqj 

tales tres numer i uinc , five vere finc harmonicj > five non fint >, lemper. 

in ijsverumefl , rationes <equa/ium (Ccu pociusarithmecicasj £$ fimiiium, 

(feu Geomecricas) tfie confufds uno cerco modo. Modus aucem efl hic 

Datis extremis, ut 2. 5-. dacur mediumarichmetieum> quod ne fractio- 

nemhabeat,fumantur hicexcremorum dupli 4. jo. horum medium 

arichmeticum eft 7. Iam in tali mediatione arichmecicai 4, 7. 10. ex- 

cefluum j. j. asqualium, femper epnftituuncur duae proportiones , una 

maior, inter terminos minores 4. 7. altera minor, inter majores^. 10. 

Quijamvultmediacionem Harmonicam efficere ex hac A-rithmecica 

mediatione, & ei aliquid admifcere Geametricae mediationis,is ponat 

* 7««- minorem proportiohem loco priori , & majoremlocopofteriori , fic * 

I +' 7 ' & quaerat numerum , qui fic habeat ad 10. fictic 4. fe habet ad 7. 

crunt tres numerificr. 10. 17/in incegrisinrerfeprimis 14.20.35.Huic 

trigaeeft admixcum ahquidde Arithmetica progreflione ,hoh manen- 

te tamen ejus aequalicate exprefla. Nam vtraque proportio mediationis 

Arichmeticaeinccr 4. 7. io. collata huceft , tantum fitu mutato : ficuc 

enim ibipriores termini, fcilicet 4. ad/. fic hic pofteriores 20. ad 3S- Ec 

ficutibipofteriores7.adio.fichicpriores14.ad20. Efteidcmviciflim 

ctiam admixtum aliquid de Geomecrica mediacione. Nam minor pro- 

portio, 7. io. pofitaeft ad terminos minores 14. &io. major 4. 7. ad 

majores, 20. & 3^. &t deniquefit, vt ficut eft minimus cerminus 14. ad 

maximum35. ficfit difFerenciaminor<5.admajoremi5. Haecomhia ve- 

rofapiunt fimilitudinem aliquam Geometricae "proporciohi familia- 

rem ; quia in ea uc minimus terminus ad medium, fic eft medius ad ma- 

, ximum. 

Haec tenenda funtex Machemacica: quae Bodinus hon fatis vide- 
turpercepifle, dum Harmonicam propOrtionem propohic in quih- 
quehumcris 3. 4. 6. 8. I2.dequeijsaffirmac, qubd<tquali*d fimiliafyacift, 
quodammodotemperataexiflant. Namcum Viderec exceflusefle 1.2. 2. 4. 
£equalitatemexpreflamagnovitin2- »• fimilitudinehi in 1. 2. 4. Acqui 
indefinicioneVecerumfufficiunc cres: nullaeciamihea cocinecur tem- 
peratio aequalitatis expreflae cum fimilitudine. Nam in 3 • 4. 6. nulla eft 
«qualitas exprefla excefluum. 

Iam eft operasprecium, videre, quomodoBodinus,qui hacinma- 
teria'copiofiflimuseft,applicetiftaadMoralia&Politicavarie:Cuiple« 
lumque hoc accidit , vtpro HarmonicismediationibustamVeterUm, 
quamveris,merascompofitiohes proportioniim Arithmeticarum & 
Geometricarum arripiatjvitiofe fuae definitiohi inhixus: quod ficut fta- 
timinitiopraefandum fuic , ica in fequencibus faepius eric icerahdum. 
h Cum cres finc PoHciarumformWaPopularis Opcimacum & Regia ,• 

popula- 



Harmonicis. Lib.111. 89 

pularem il!e comparac Arirhmecica? proporcioni, Opcimacum Geo- Politica. 
raecrica? , Regiam Harmonicae. Nam ficuc in Arichmecica aequalia func 
incremenca numerorum omnium , cam magnorum , quam parvorum, 
ficinRep. populusvulc aqualiaefle omnium onera, & commoda,& 
honores, &magiftracus;nec vuic colerare refpeclum ullum perlona- 
rum;vulcexempligraciaomnibuseflejus venandi , five nobiles finc, 
five ignobiJes, five divices, fivepauperes. Quod fiqua reseft, quamon 
pacicur divifionem mcer mulcos; eam populus vulc forciri ; quia fors 
caxaeft , non inrernofcens nobilem ab ignobili , divicem a paupere, 
bene mericum ab immerico, vircuci dedicum a viciofo,ingeniofum a 
ftupido. Tumdemumenim aliquis fe pucac a*quari caceris,fi cumijs 
forcicurfuper calibus,five jam bona, five mala force adipitcacur. Vbi 
forcisloco pofluncefleeciamaliaacquirendimedia;uc fi ele£cio per- 
miccacur ei,cujusnihilincereft, auc quipsrfonasnon refpicere credi- 
cur. Ica Roma; Confularus eraccommunis omnium cerci ordinis; eum- 
quelicebacpecere apopulo, ac non largicionibus , ne corrumperecur 
populus, &divices praferrencur cenuioribus. Ecfi in hoc cafu cacico 
confenfurefpicicurvircus, dequeca& de bene mericis, judicium per- 
rmccicurpopulo. . 

Econcrari6ficucmGeomecria,Exceflus numerorum aflimilan- h 

curnumerisipfis, ucmagnus numerusmagnumhabeacexceflum,par- 
vus parvum: fic in Opcimacum Rep. diftinguuncur perfona, diftinguu- 
cur & onera, pramia, Magiftracus , munia ; & praftanciflima refer- 
vancur Opcimacibus,reliqua relinquiicur populo. Vbi necefse eft,feor- 
fimincerfingulasfaclionesadmiccieciam arichmecicam proporcione : 
de ijs enimquafuncpopuli,forciencuromnes, quifuncinpopulo -,de 
ijs, qua,Opcimacum,omnesOpcimaces. Nifienim hocfiaoperpecui e- 
runceciam inpopulo gradus Opcimacurn, ufque ad imam popuh fa- 
cem;perpecuieciamincerOpcimaces, ufque ad Reip. Principem;qua 
racione Relp. nonenc, fedRegiumcivicacisgenus. 

Regiusveroftacus, ecfivelmaxiraeproporcioni Geometrica af- 
fimilacur ,• eo quod omnia jura Majeftacis Regi refervancur , ficuc ipfe 
vel Nobili profapia , vel armis vel vu'cucibus praftac caceris omniL us - 
gubernandicamen racio m hocftacureftiflimepoceft cemperari ex u- 
croq; Proporcionisgenere. NamunusRexarbicer omnium, non cce- 
coimpecu,ucfors,fedvircucis, mericorum,ordinis,graduumq;racioni- 
bus,qua licec, omnia incer Opciraaces populumq; difpenfac, omnes ju- 
fticiadiftribuciva & commucauva parces exfequicur; qua ucriufque 
proportionis conjunclio Bodino fufficic ad proporcionem Harmoni- 
cam confticuendam ; ac juxca omnia confilianon cam ad fingulos, vel 
Ordinesvelhomines,quam ad cocum Civicacis corpus, ejusque falu- 
cem mucuamq; charicacem &concordiam referc;nonfecus ac fi innu- 
meris, proporciones ab aqualicace & a iimihcudine non nihil deflexa , 
fic uciiladeftruanciirfieftopus, adcommunemomniumharmoniam 
referancur: quomodomeis mediecacibus Harmonicis ucecur. 

II. Ex Cyn padia exemplum proponic Bodinus,quo omnia rria 
generaproporcionis explicaripofliinc.Cyrus puer,cumhominem pro- 

M cerum 



90 De Proportionibus 

JPig&sssio. 

eerumcurta tunicainducumconfpicacus eflet,pumilum juxca cunica 

judicJum laxa,cenfuiccommucandasillisefTecunicas,Uccuiq;quodcommodum 
Cynpucn. c £ sez obvenirec: Magifter cuiq;fuum relinquendum edixit. Quod fi 
procerofuifTetinjundtum , ut pumilo aliquid pecuniae folveret , & fic 
demum permutatio fieret: optimeconciliatus fuiflet Magifter difcipu- 
lo. HicCyrusGeometricamurficproporcionem, admenfus corpo- 
ribus veftes,Magifter arithmeticam ,pofleflionesucriq;fuas tuitUs: ac 
tertius ille , refpexifsec ucrumq; fimul , tam corporum indigentiam , 
quam copiascuiq; fuas falvas : icaq; Harmonicam infenfu Bodim afle- 
ruifletproportionem,quippeexutraq;pnorummixtam:harmonicarn 
vero etiam in fenfu meo ; quianon dubicarec, alceriquodeffecpanni 
fuperfluum, alteripecuniam eripere, ut ntriq; confulerecur: quia com- 
mune utriufq; commodum comparatur fuavitaci concencus. Acci- 
dere autem dixi, ut interdum Geometricaproportiofitetiam harmo- 
nica,uti,2.4. , ficuc hic commodum eft , utprocerus longam veftern 
habeat;interdumvero Arichmecica proporcio eftetiam Harmomca 
ut2. 3.4. : ficuchiccommodumeft,ucpofleflbrlongae veftispumilus , 
retineat quidem fuum , fed in pecuniam c ommu tatum , qua rec~tius u- 
ti poteft, quam fuperfluo veftis. 
.... r III. Cumgubernandi,racionesomnescomplexaficjufticia, ex Ari- 
cies, itocele allegatpartesejus duas ,commtttatiVam m arquahcace anthme- 

cica verfantem, diftributivam in fimihtudine Geometi ica; Ipfe tertiam 
(peciemjuftitiaefuadetexutraq;priorum conflacam, quae Strerum co- 
piam certis peffonis viliori precio vendi vulcquam ca:ceris,& non fem. 
permagnismagna diftribui; & fic,utrumq;genus jufti violariquadam- 
tenus, fi falus univerforum id poftulec , auc fi commodum inde publi- 
cum emergat.Non bene conflacur proporcio ex fpeciebus duabus alijs , 
fiucramq;peremit, Eft igitur applicatio haec meis medieta tibusHarmo- 
riicis aptior. Vt in numeris^. ^. 5. nec arithmetica eft excefluum zequa- 
litas, necGeomecriaprogreflio, eftcameninrereos Harmonica. 

Hucin fine libri Poetas accommodat, qui Themidis (quae jufticia 
eft)tres finguncfilia s Ewj/o^jW, kmetMcu/ , tt^wlw : Leges, iEquica- 

tem,Pacem,quafi crium proporciOnum Tutelares, Arichmecicae, Geo- 
metricae, Harmonicae. 
tegescon- ^" Legesconnubiorum, praecipuumcivitatisvinculum, Iuculen- 
oubialcs. tum exemplum fiibminiftrant trium proportionum. Si Patricij pa- 
triciasducere jubeantur, plebeij plebejas, Geometricafimilitudoeft. 
Sin jusomnibus promifcueconnubiavelfbrte quzerere,vel forma, o- 
pibus, virtute , fine generis refpeetu , contendere quantum poflis , nee 
ulla conditio vetita : haec erit aequalitas arithmetiea. Verum ibi civi- 
umanimidivellunturinfac~hones , hicconfundunturordines;utrum- 
q.perniciofumReipub- Suadet igiturBodmus,Patricijs cenuioribus 
interdumpermittereconnubiaplebeiaopuIenta,Plebejisdivitibuspa- 
tricias inopes. Hoc enim utriq;ordinicommodum,nobilibusqui- 
dem , ut aucti opibus tueantur locum quem obtinent , & fceminae hujus 
ordinis maritentur yplebi vero , utpatefa&oadhonoresadicu,vircuci 

denc 
I ' 



i 



;ii ■ 



Harmonicis Lib.111. 91 

denc opcram ;deniq; Reip, ipfi, uc Qrdines mucua fefe charitate com- PoLirie^ 

ple&ancur. 

RurfumhicperemicGeoniecricamAnalogiam,ucHarmonicam 

efficerec,neq;cameneam ad meram aequalicacern Arichmecicaepro- 
greflionisredegic.Ucfij.j-^. Geomecrica perimacur,fiacq; 1.J.8 quan- 
tum hic receflum eft ab 1. 5, 9. tantum illicderogatum pacncijs: & qua- 
tum in 1. £ g. quorum exceflus 2. 5. ( cum prius eflenc 2.6.) acceffimus 
adprogreflionemarithmeticam 1. 3.5. (quiahorumexceflusfc.2. aequa- 
Jes) cancum illic dacum plebi ♦ uc rn numeris quidem Concordancia 
confticuerecur incer 1.3.3. m ^- e P» ver ° concordia incer Pacritios & ple- 
bem , manente camen diftin&ione ordinum. Hsc commucacio 1. 9. in 
1. g. occurrec hbro V. eciam in ccelo ipfo. 

V. IneptaeftArichmecicaaequalicasinSympofijSjfiprOmifcueom- 
nesaccumbanc,nullafexus,condicionis,a:cacis, habicaracioncinfulfapogj^ 
viciflim merafimilicudoGeometrica. Namfidotti tantumdodhs jun- 
gancur,quidproderunt lmperitis/fifceminae folisfceminis, quaevolu^ 
pcas? fl clamofi clamofis ', quis auchor i js modeftiasf A c fi ncq; caecam ae- 
quahcacemadmiccas,neq; morolamfimilicudinemj fedmifccasucram- 
q;,modice camen &cum judicio rationis, proporcioericharmonica:Ef- 
ficies enim , uc Senes juvenum, Virifceminarum afpe&u gaudeanc, ju- 
venesprudentiafenum , fceminae virorum auchoricace regancur , ce- 
tricos urbani excicent, vicifllmq; & vereancur, nec in fcurnlicacem fefe 
profundanc. Rurfum hxc non compoficio eft incegrarum fpccierum . 
fed violacio nonnulla , uc Harmonica exiftat. 

VI. Ad arithmecicam pertinet aequalicacem, quod antiquitus Pacres Confeflus 
cumplebepromifcuoconfefluludosfpedlarefolici > ad geometricam inludis - 
proportionem , quod poftea Patres a plebe fejuncli. Hoc quidem fic 
eft , fi folos ludos cortfideres. At fi univerfa Reip: commoda Urto men- 
tiscomplexuceneas;cumexijsplurima Pacribus vindicaca fuerincra- 
tione geomecrica, populo feclufo; percinuk equidem hasc ipfa in ludis, 
ucriufq; ordinis exaequacio , ad contemperacionem illam , fenfu Bodini 
harmonicam cociusgubernandi forma;:quippequa&plebsdelinieba- 
tur,ucpueri folencrebusleviculis, adq;diligendosOrdinesfuperiores 
invicabacur, neq;quicquamderogabacur dignicaciordinum. Quadrac 
eciam admeas Mediecaces, quacenusproporcio non cenecur,uccenea- 
tur concordia. Priiis in cercis perfonis Ordinum , derogabatur Analo* 
giae, nuncin certis prcemijs. 

VII. Amicicias animac harmonica contemperatio. Quod enim eft AmieitiaJ 
inproporcioneConcordancia, hoc eft in cocius humanae vicae ambitu 
Amor, quifundamencum eft Amiciciae. Qupdfi mera aequalicas offi- 
cioruminducicur,legearichmeciea, nullaericrtifi incer aequales ami- 
cicia:ecfiincer inaequales mera &exg t ficafimilicudoOfriciorumGeome- 
trica: neutrobiq;amiciciaeric,fed lbi perpecua negociacio nundinaci- 
oq;officiorum,comodifuieaufa;hicneceflafiaPacroni&Clienciscon- 
fociacio , nulla Amoris demonftrandi Jibercas , nihil fponcarteum. A- 
micicia ecfi confiftere cum crebris injurijs non poceft , leges camen re- 
fpuic, omniaq; adfobrium & fanum Amoris arbicrium referc, nunc ae- 

M z qua- 



92 De Proportionibus 

DlGMSSIO. 

qualia rependens nunc proportionalia,eft ubi neucra,femper talia ,qu» 

prorenacafacere videnturad confervationem Amoris: qui eciam uc 

Harmonia diifonanpjs , & ut ignis ferriftylo, foditur injunjs nonnullis, 

earumquecondonacibnegracuicaviresrenovac. 

RcguiaXet VIII. .yEquaricacem Arichmecicam Bodinus pulchre comparat Regu- 

fci* lx Polycleti ferreae, quse frangi pnus quam flecli poffec; fimilitudinem 

Geometricam,Regul£eLesbia?plumbe^ 3 qua?omnibusangulisaccom- 

modabatur.Ipfe Harmonicam proportioncm ,fua; definicionis, adum- 

brac Regula lignea , quae flefticur quidem, at c veftigio redit. 

IX. In gubernationeommsgenerisPoliciarum,rigorlegum & Judi- 

Le § es cis officium comparantur tequalitaci Arichmecica:,qua non cancum f ii- 

*i auas - um C uique ad amuffim cribuicur, fed etiam pcenas irrogantur delm- 

quentibusjequaliter/ineperfonarumrefpeclu, Scquaaftnnguncurju- 

dices ad leges,adq; allegata & probata, ut fecundum eas judicet.etiamfi 

iniquse Ieges videancur. Viciffim iEquicas , & arbitrium Magiftratus 

merum,quicamen bonusfic&exconfcienciaagat, Geomecricas Ana- 

logiae naturam induic Ac Bodinus Harmonicae concemperationis 

exemplo,mediumincerponicofficiumvelfuperiorumCuriarum,velG* 

mnium, vel fumi Magiftracus, quibus neque licec ex arbicrio agere me- 

ro i & tame permittitur,utlegesprorationecircumftantiarum fleclanc 

nonfrangant , &easinjudicijsfecundumaequicacem incerprecenturi 

uttamenperfingularescuriarumfententiasnihillegiderogetur. Vulc 

leges haberi fimiles fuae Norma;,ut cedant quidem in flexum , ac ftacim 

redeanc. Quamquam hoclocoBodinusexemplofuo verumdemon- 

ftravicquodde Juriseonfulcisaffirmaverac ancea; ipfos Machemacica 

ifta propcer fui obfcuricacem miiius percipere. Nam non quadrac ejus 

de Numeris difpucacio ad normam noftrae difciplinaejcum aic,fieri non 

pofle , uc Proporcio Geomecrica, quaj eft incer quacuor ccrminos, ulla 

terminorum cranfpoficione pereac ; eandemq; afleric analogiam efle in 

6 5.4. 2. qua;eftin5:.2-4-6. Minime 3. eftad2. UC4. ad6. Econrario 

Proporcionem Harmonicam pucac curbaricranfpoficione. Sane.,fipro- 

porcionem incer duos cerminos folos , agnofcic nullam , vincic. 

Ha;c eftn. nonnullorum fubcilicas loquendi,conjun£Ia cumfum. 
Quid mihi mao bfcuricace, ucidquodGrasciAoyoi/appellancLacine Racionem 
velinc dicere , Proporcionem vero , quod Grxci AvcthoyictV. Vellem 
equidem id imicari pofTe , uc fecifle mememini antehac: at 7\oyo$ 
Grarcisnunqin comuniufu Ioquendifumicurpro voce oultOV , Lacinis 
vero Racio creberrime fonac caufam , vel Modum. Oporcec igicur ce- 
neremorem aBarbaris GrascorumElemencorUm incerprecibus incro- 

!du£tum, & proporcionis vocem cam pro Aoy&) quam pro AvdKoytct 
fumere ,■ quod coco hoc libro crebrbfacio. 

Jam igicur diftin&a funt, Proportio &Concordantia, &haxillius 
velutiqualitasqusdam,illaq,hujus fubje&um. Concordantia vero 
ineft Proportiontbus primd & per fe, quatenus illaa funt inter duos cer- 
minos; non quatenus eft mcer plures cerminos concinuitas qusdam 

pro^ 



Harmonicis LlB. 111. 9? 

proportioms. F.cconfonant duoproportionistcrmininon caulafitus, 
in quo prius eft & pofterius, fed quatenus fimul pulfantur eodem tem- 
pore duae chordse; nec mutaturhaecconcordancia,mucacoficuchara- 
cleruminfcripcura aucin Teftudine everfa. Proportionivero, qua; 
1 eftmtercresvelplurescerminos,accidicconcordanciafecundari6,pro- 
pcer fingulares cerminorumbigas* in quibus ecfi mucari poceft mutato 
licu, Analogia, idnempe,quodin illiseftde Geometricaproporcione 
admixcumy nequic camen fimul mutari qualitas Harmonica. Quare 
quod difpucatBodinus, quatuor ifta, Legem,Legis a£honem,y£quica- - 
tem,Magiftracum, comparariquaruornumeris,Harmonica proporcio- 
he colligatis; &quemadmodum cranfpoficisnumerispereacconcen- 
tus, ica ii Proceflus forenfes&exfecuciopociores habeancurLegibus, 
fi Magiftratusprioraequicace, civicacis harmoniam turbari : id quidem 
nulla ratione ad id quod in proportionibus eft Harmonicum , fed fim- 
pliciter adif5farumpr0portionumnaturam,quaGeomecricam qua A- 
richmecicam,eftreferendum,hoceft,ad id proporcionis genus, quod 
ex ucraque temperatum, Veceresperfuafione quadam infirma,Harmo- 
tiicum appellarunt. Commune enimhoc eftomnibus Analogijsfive 
iimplicibus, fivemixcis,concraquam cradicBodinuSjticvel mucencur 
fn foecies aliasjCranfpoficis cerminis, vel plane deftruancqr. Sed ad rem 
t edeo. 

Simerum arbitrium habet Magiftratusguberhandi fineiegibus, Legum ««, 
neq; legem obfervac Nacurae,neq; boni & innocencisviri officiofun- ceftitas - 
gicur: non magiftracus eric,fedTyrannus. Cumq; bonorum Princi- 
pum numerus oppidd parvus exiftac , hon eft confultum Reipu- 
blics,fefehuicpericulo commiccere, quocies renovarur magiftracus» 
Lcfi vero concingac illi bonus quandoquemagiftracusj diucurnus ta- 
men effe ftatusifte nequit : atnec falucans Reipub: quia ut bonusfit 
Moderator, prudens fatis non femper eric, qui quid aequumfiCj fi- 
ne legum norma videac ; &uc ipfe videac fequacurque, quod re&um, 
cives camen calumniabuncur eciam opcima ; nifi leges fint , quibus 
ille fa&a fua tueri ad populum poflit : Cives legum difciplina iunt e- 
rudiendi, pcenarUmimagine ^quae legibuspraefcribunturj amalefa&is 
abfterrendi. Legibus igicur carere Refp, neqiiit. 

Viciflim legesj Graeco vocabulo Na^OJ, diftribuchramjufticiaepar- 

^temfignant; quae in ftacu populari fequicur arichmecicam aequahca- awt"* 
tem. Quodfi omniaad legiim rigorem examinencur, iniuria nec plu- 
rimis. Leges enim de fadxis ftatuunt, nttlla circumftaiiciarum varietace 
definkis ; fa£ta vero fingula cirCumftanciis fuis defcripta funt , quibus 
velmitigantur,velaggravancUr: quarum cum fic varietas; nullis un- 
quam legibus illae comprehendi poflunt. Neutra igitur racio per fe iola 
tuecurRefp.fed mifcendas docec Bodinus, ut & leges fint, fed paucae, 
quialegummulticudofeges eft uberrima litium ; & multa Magiftratus 
arbitrio referventur, non fatta tantum fingularia, fedeciam mcegrae 
Ronnull3;fadorumipecieS;Cert»que aliaelegurn maceria;, imprimis 

M. & poena* 



94 DeProportionibus 

Dickxssio. ■ .' ' - 

poenarum incenfio & remiflio , legumque ipfarum intcrpretatio, & ad 

fatti circumftantias applicatio. Hic non de triplici Reip. forma, fed de 

uniuscujufque gubernandiforma triplici agitur; meraaequitacisracio, 

fblutalegibuSjeftariftocraticagubernandiratiojetiaminPopularijin- 

que Regio ftatu. Legum vincula , gubernationem popularem faciunt, 

etiam in Regio. AcfiLeges quidem finc,ijsver6derogecurinloco& 

tempore, proarbicriogubernacoris, afumapoceftace confticucbguber- 

nacorifte,liceca populo decur, Regulum quendam agic Tales ple- 

rumquePraefides Provinciarum.Is igicur auc leges obfervacauc ex aequo 

judicac, eacenus, dum Reip. falus pacicur: fi fecus, non dubicac exorbi- 

care. Vcfi quisproporcionumfpecies,qua?harmoniamfaciunc ,admic- 

cac, uc 2.5. 4. vel 1.2. 4: quae diflbnanciam, eas curbec, inque confonan- 

ces commucec, uc 1. 5. 9. in 1. 3. g. & 3-. 5. 7. m 3. 5. g. 

Mul<ft*. ^* Inlegibusipfis,quaefuncdemul&ispecunianis, uc plurimum 

quidemarichmecica fervacur aequalicas,ut muldlam legibus ftacucam 

fblvac, quicunque deliquic, five dives five pauper. Videre camen eft, 

ubi&Geomecncafimilicudofic,ucfimul£tacuiquepro racione cen- 

fus irrogecur , auc fi cemere licigans aliquocam parcem amiccac aeftima- 

cae licis, Sin aucem incer locupleces omnes , major aliqua mul£ta nun- 

cupecur,incercenueslevior,eaque a fingulis cuiusque ordinis exiga- 

turaequalicencemperamencumidericproporcioniSjBodinodittaeHar- 

monicae.Nonmucancurhic proporcionumfpecies,fed componuntur, 

aut diftribuuntur potius in diftin£tafubiec~ta, ad idem totum pertinen- 

cia. 

Leoesfunr- ^* I-$§ es 'veftiari* plurimumhabent de proportioneGeometrica; 

ptuaxi*. ut quanto quifque altiori dignitatis gradu confiftit ,• tanto preciofior ei 
permittatur ornatus veftium : aequalitas' Arithmetica intolerabilis hic 
eft. Quia tamennequefola varietas ordinum , in veftitudiftinctionem 
poftulat,fedaliqua hic ratio habenda copiarum, aliqua meritorum; 
neque facile omnes Ordines una lege poflunt enunciari : tempera- 
mencum aliquod ucriusque proporcionis , parcim legibus ipfis inferi 
folecparicm arbicno Moderacorum permiccicur. Id cemperamenrum 
Bodinus harmonicum cenfecquiaHarmoniasconiunciioneduarum 
fpeeierum proporcionis definic Mihiharmonicumnon, eftcumafte- 
tiecurproporcio alia, &exprimerecur perfetle, fipoflet. 

XII. Idemfere de ijs Legibus dicendum ,quae cum de pcenisfinr, 
3?f ' perfonas illuftres periculo capicis, Nobiles fulpendio eximunc , pcena- 

rumquegenuscommucanc, more a plurimis gencibus recepco. Nam 
reus dignitatem quam habebac amicces gravius hoc dedecore punicur, 
( Geomecricalegeobfervaca ) quam fiquiindignicace nulla fuic, virgis 
caedacurpublice :icaquediflimilium pcenarum aequalicas quaedam efle 
poceftj&diftribucioHarmonica fenfuBodini,quihic Ariftocelem re- 
jicic, quiinpraemiisquidemGeomecricam proporcionem , inpcenis 
vero Arichmecicam fervandam docuerac. 

XIII. Eft& alia in Legibus pcenalibus obfervabilis proporcio eo- 
Satisfaftio. dem temperamento ; quaenondelinquentem attinet, fedperfbnaelaefa; 

honorera & vindi&am. Gravius enim punitur qui Principem Civitatis, 
l! | qui ve 






Harmonicis Lib. 111. 95 I 

quirc unum e CoIIegio Ele&orum occidic, quam qui agricolam ; gra- 
viusquiliberum, quumquiiervum. Namecfihaec variecas ad Geome- 
tncam eft referenda iimilicudinem inter perfonam & illacae eidem in- 
junae vindi&am; rara camen eft. 4 plurimum viciffim ia pcenis homicidii 
aequalicacis arichmecics , pradercim incer Chriftianos , ex lege divina> 
quahomohomima;quiparacur,&fanguis ianguine rependicur. Haec 
igicur ucriusque generis racionum confufio percinec ad Bodino di- 
£tam Harmonicam : Inprimis lllud , qudd in lege divina ficarii omnes 
morcepuniunturarichmecicaaequalirace,ac genus morcis in poceftace 
judicJseft,Geomecricorefponfu,facl;is,circumftanciarumvariecacedif- 
ilmihbus, irrogandum ; uc Bodinus referc, puco ex Rabbinis. 

Neq - , cam perfonis fingulis lcefis hasc pcenarum inaequalicas cribuicur, 
quamfalucicocius reip. queomnes hoftespacriaeimpuneoccidipermic- 
tic,civium fimul omniumfalucem inPrincipis,OprimatumqueincoJu- 
mitate, inquecranquiiiicatepublicaconfervata,cuecur. Saepius aucem 
dittum,BonumpubIicumhabere refponfum quendam ad fuavicacem 
concencusHarmonici. Quas una fummalex, legum omnfum macer ,ii 
obfervccur -• Vc idfan&um & legicimum eiTe jubeacur, inquo falus ver- 
ticur Reip. jam ftacim conftacde fimilicudine cum Harmonicis racioni- 
bus,exmeaipfiuseciamfencenciadeicripcis,eciamfinihillexilla fimile 
praecerea concineac neque Geomecrica:, neque Arichmecica: propor- 
tionum. Namneque hi numerii/..20. 24. jo. qui Harmoniam eonci- 
nenc dulcifsimam, proporcionem obfervanc vel unam vel alreram : ex- 
ceiTus enim func $-. 4. 6 neque acquales;, neque fimiles proportione,tcr- 
minorum proporcionibus , fed neque eodem cum illis ordine crefcen- 
tes. 

XIV. Aliud exemplum , Geometricae diicipiinarfamiliarius, afferc JEftimad* 
Bodinus in Legum de muldlis incerprecacione-, uc quaj anciquicus ftacu- raukte. 
tae func mulcae pecuniariae, pro ratione praeiencis pubhcae opulencias 
vel lnopiaeaeftimencur . Hic incolerabilis sequalicas Arithmetica omni- 
vim tcmporummeq; camen obiervacu facilisproporrio Geomecrica in 
omnibus.Icaquc pro lua prudentia judcx,proque rerum circumftanciis, 
medium fec~cabicur harmonicum,eavebicqucne vel Iegcs violalTe vi- 
deacur,vel legum incerprecacionc maliciola inopes opprimancur, locu- 
plecibusacpocencioribus peccandilicenciadecur.Qnineciam ciufdem 
harmoniae ftudioincerdum pecuniariam, quaseontemncrecunin cor- 
porcam pcrmucabic. 

X V. Legem quae fures fulpendio punit,Bodinus eatenus probat, p«. H afujtl 
quod nititur ratione,ne fures augeancur, ucpeccaca quaefrequentia fu- 
tura fucrucgravius puniacur, quod Geomecricam fapic proportionem. 
Eandemreprehenditob aequalicacem Arichmecicam. Frequentiflima 
quippca<ftiofuuiperomniaoppidapagofque,judicesplerumqueplc- 
bejos habecj, quidum aequalicer Omnes ad fupplicia rapiunc, non incel- 
ligunc fe iniquiflimam inducere pcenarum inaequalicacem , dum pec- 
cacis circumftanciarum variecace inaequalifsimis eandem pcenam ir- 
roganc Plerisqucreis deeft judicij firmicudo,qua fibimagis ab inforcu- 
nio, quama ma^nitudine fceleris cavere debcrenc; quos occaficfa- 

me% 



96 De Proportionibus 

mes, liberorumftudium,fiducia lacendi,aliena?opulencia: opinio,fu- 
resfacic;cum ipfumperfefacinus,adaliacomparacum,nacuralijudicio 
vilipendacur,quod eciamJex divina, quasquadruplicancum refticucio? 
nefurcumpunic,confirmare videcur. Si camenjequum&fanclumeft, 
illam hominum parcem , qu>f dolis & cenebris naca, murium nacuram 
referCjpariecesperfoditjnonforcunarumcancumjfedeciamvicxfecuri- 
tacem publicam curbac, Reip pocius caufa, uc casceras feras rapaces, mi* 
nuijcercerefpecuis Reip. uc fepe diclurn, refpondec concencui harmo- 
nico, nec fme accuracifsima cemperacione harmonicaj quaeftio ha*c 
exercen debec •, ne, dum Rei p. confulicur, mulcis qui fpem boni civis in 
pofterumpraeberepoillmc, vitacemertob hocgenus criminis eripia- 
tur. 

XVI. Eciam illud in pcenis irrogandis ad Geomecricam percinet 

Po:naexcu'/^q U icacem,quedpueriquamadulci,juvenisquamfenis,fcemina;quam 
viripcenaeft lemor. Nihil hic iniquius a?qualicace arichmecica perpe- 
cua;qua;tamenfiadimacur prudencia;judicis,prorenaca ufurpanda; 
curbabicur mhilominus Harmonica proporcio. 
Rekpfi. XVII. HarmonicamproporcionemBodinusinijslegibus demon^ 
ftrac, qu<e cum primum aclumfcelerissequalicer in omnibus levi mul- 
cfaulcifcuncur,veluci admonicionis loco , relabences poftea gravius ' 
puniunccemopeccances icerumgravius, & denique morce ple£tunc. 
Eftenim mixcaa^qualicas arichmecica inprimo actu, Geometrica: pro- " 
portioniinreperici, eoque graviorisfceleris graviori pcena. Ha:c Bo~ 
dinocompofitio duarum m unam , vifa eft harmonicam confticuere 
proporcionem. 
Talionis. XVIII. In genere qu6d poenae five legibus five judicis arbicrio pro 
diverlicace & magnicudine criminum difpenfancur,univerfumq; adeo 
jus ralionisGeomecricaeanalogiasrribuendumeft: qu6d quidam le- 
gislacoreszequalicerinsequalia generibus peccaca vindicanc: arichme^- 
cica haec racio incer homines locum non habec, in Deo,cujus asqualicer 
omnes creacura fumus, querelis nofiris uc reprehendacur, fas non eft. 
ACquodlegumlacores quatdam levioraperfe crimina gravifsimis , ir- 
rogacionepcenarum,Reip. causa exaequanc, & quod in jure calionis 
non dens pro dence , fed 1 oco dencis aeftimacum precium , de quo inter 
licigances convenire poceft, rependkur , nec ei qui mihi deduobus ocu- 
lisunumeruic, cum ipfeunoculuseflec,ca?cicasmerainrligicur, eruco 
fuo-:id HarmonicasBodinoconcemperacioniseft: Sicenim&c fingula 
peecaca pcenas habent arichmecice «equales; &c diverfa, pcenis eciam di- 
ftinguuncur. 

XIX. Qui conacus animi puniunc pcena non leviori,quam fi volun- 

propafiti. cacemconfequacurerTecT:us,&quifac1:umpuniunc,a quo aberac ani- 
mus^plebeiamarichmecicamEequalicacemviciononleviftabiliunCjillic 
m diflimilibus animi conacibus, hic in diflimilibus facinonbus. Qui 
diftinguic hic incer conacuum varias formas, uc pcenam (celeris habeac, 
quiomniafecit,qua? animus medicacus adeventumafFerre poceft, five 
perpecraveric, five fcopo aberraverinnon habeac, qui occafionibus 
quidem infidiatus eft; ad rem camen, cuius imagine confcelerata ad 

rem 



Harmonicis. Lib.HL 97 

rem tamen , cujus imagine conf celeraca poterat abfterreri , non venit ■' Po t , T , S(!J . 
hic geometricam aequitatem obfervat." nec minus qui riudirn perfuafio- 
nemfcelerisleviuspunif.quaminpatratorefcelusipfumj&contraqui 
au thorem & impulforem gravius,quam miriiftrum,uc qui alienum fce- 
luspacravic.*quideniqueleviuseum,quem vis magndlibidinisveliraB> 
trafverfum rapuic, qiiarri qui quietior ab iis,omriia prxmeditato animo 
peregit.Idenideeverituurrivarietatetenendum. tandem pcertamfne- 
retur,quiviatoreipoliattridb6id,fiariiriiomagneprqdqirihiavit,quam, 
qui talentum eripuic." miridrem concra ,quicum tocum poilet aiifcrre 
pondus auri, modicu abftulit, quam qui cruriienarn ef ipuic, in qua pau- 
culi afles. Has quide Geometricas diftindtiones Bodirius ad philofophi- 
carri crimirium atftimationem refert » pcenas verd, quibris exempla pu- 
blice ftacuuntur, ad publicam tranquillicacem pertirierites, omriirriddi 
illa aequalitate eximic ': uc ica crebrius in fa<fta, quae in civium oculos in- 
curruncanimadvercacurpublicc^crebriusconacusafcopo aberrances; 
quippe inconfpicuivulgo,impuriici,' auclevius quam geomecrice par 
erac,punititranfmittancur, utcrudelitatisminusperidsjudieemrepe-' 
riatur. Toc refpetfus bonipublici Harmonicumquidfapiurir. 

XX; IrijUdicioiriqueconfulcationibusArithmeticaeftratiofufFra- •■; 

giorum,fieanumerentur; Geometrica, fiponderencur,feugravicaee fe- >" Iu 1 , n ™" 
rentis , feu bonitate argumencorum: harmonica ( Bodinifenfu )fnix- a 
turafuicap. Romanos, quorum Cpnfulares fericenciam oracione ex- 
plicarunc, carceri pedibus iri edm ibanc fencenciam, quamprobabanc. 
Mihiquodneceflicacis legefa&um(no fufFeciflecenim cempus audien- 
disomnibus)idHarmoniC£eproporcioriirionvidecurcompararidum. 

■XXI. In commnMtiva jufticid requirebac Ariftdteles •Arichrrieci-. Com - 
cam aequalicacem. Bddinus nec hic arialogiam exulare dicic Geome- tivajuftiti* 
tricam. Etfi exemplaconfufa videricur. /. Vc fi quis publice fcaridalo 
daco eciatri privatum laefit > privacd quidem fedifim iatisfaciec asquali- 
taccarichmecica,necpluseiprore fua refticuecur ab homine nobili, 
quam ab agricola : exemplum vero peflimum alicer lue/ ille, alicer ifte, 
pfoporcionefervacaftatuumGeomecrica. Quolocd conciliacur Ari- 
ftocelesBodino. 

2. Qupd verd bona eius, qui noneft foIvcndo,pro credici cuiusquc Credit«re*. 
rriagnicudine diftribuuncur, fine credicorum refpedu,dummddo cem- 

pore & qUalicace credici pares fueririt, id equidem propdrcidne fic 
mere geomecrica,- quod uc non negavic Ariftoceles, lta omiffumabil- 
lo per incogitantiam videtur ,redteque aBodinofuppIecum. Ecfi hoc ; 
fundacuraequalicacearichmecica foluti & crediti.fi Bona fufficerenc. 
Nectamenvecacurpenicusfuperidr rriagiftratus harmonica concenu 

ficratione uci , & credicores inopes alicfuacerius- & pro reriaca, prtefer r«) 
ocupletioribus. 

3. Illud etiam harmonicurri quippiam^fenfil.Bodinijfapit.-qupd^^^^ 
gentium quarundam more resfurco ablaca: non fimplo penfancur,fed fiuti:' 11 "* 
quadrupld,res aliae quincuplo ; asqualicer quiderri ab omnibus>iriajqua- 
licercamen diverfaeres;,in quibusxfltimacur geomecrica racioneinju* 
rkcdiverfamagnitudo, non nudumreiprecium, 

N 4.Evi- 



98 DeProportionibus 

{£^ SI0 ° 4. Evidencioreftharmonicaracioinpenfacionedamnorumnondo- 
lomaloUlacorum:ubiplurimumficumin concrahencium ucriufq.fa- 
ttorum oircumftancijs , quae ali_quando , vel legibus vel Magiftracu ju- 
bence,aequalem & arichmecicam eompenfacionem,aliquando nullam, 
eft ubi & ex sequo & bono moderacam requirunc. 

frbitti Hujus generisvidecur & illud, quodfuperior magiftracus non ex 

aequo omnibus incer fe jure experiri concedic, necincaufis omnibus, 
fedprouc circumftanciaefuerinc,arbicrosvelipfedac,veleorumele&i- 
onemlicigancibuspermiccicjucvelucriufqi commodis vel Reip.-qon- 
fulacur. 

rfats. ^ Eciamufurae ad commucacivam jufticiae parcem fpec"tanc ; neqi 

camen aequales omni hominum generiabomnibuslegiflacoribusper^ 
miccuncur; fedgeomecricamixcura,inaequales diverforum ordinum 
perfoniSjaequalesfingulisordinum : quae compoficio Bodino harmo- 
nica eft. 

R«mun«a. $. Egregiam exceptionem ab arichmecica commucationis aequali. 

*°' tate verbis Bodini exfcribam. Medicus ad calculum diviti dttrahendumau- 

reorfepe D. accipit ('imo exigit) ab egente verb X. aut V. (imo nihil, ex for- 
muIajuramenciHippocracis^/^c^^i^^i^yi^w^/^wf^^^oiw^y/Vrf^ij» 
undiquaefc Analogiam confetTarentur, alter quidem calculo, alterjhme interiret: 
Jed harmonica ratione huic quiiem opes ,falus illi (non equidem eadem cer- 
ticudine) comparantur. 

7. Quam quidem adracionem & judices fuam operam & honorari- 

Merces ju- um m cau fi s difcepcandis exigere confueverunc. Licium n. faepe levifli- 
marum difliculcas major eft, quam fi derebus graviflimis quaeracur, ju- 
dicibus camen infruttuofa. ^Equumigicur eft,ucexrerum ampliflima- 
rum vindicijs adjudicacisplufculum exigacur mercedis." cuncfcilicec, fi 
judicesnon fufficiensa Rep. falarium capiunc, fed confiliominuenda- 
rum litium,ex partium litigantium tributis operae locatae compenfacio* 
nem quaerere jubentur. Quanquamhuncego concentum Harmoni- 
cum authoriBorfinoGallo remicco:penes nos Germanos judicia in pra> 
cipuis civicacibus & provincijs procul arcentur ab hujusmodi fbrdibus» 
nec ultra legum praefcripcum quicquam licet exigere. 

iO^ 6 ^ 1 ** S* Haereditatem diftributio aequabilis in capita fexus utriusq/, arith- 
meticis legibus peragitunut origine aequales,proporcionibus eciam fub* 
ftanciae ab eodem patre reli&ae aequencur. A c dum Reip: confulicur , 
praedia ad mafculos, quimiliciae neceflariae finc apci, pecuniae ad foemi- 
nas & ad perfonas deo confecracas devolvuncur,dumq>* pr imogeniri ca> 
teris velmajori porcione,vel cocius aflis pofleflione pferucur , reJiqs vel 
porcionibus incerfeaequalibus,vel legacovel ufufru&u foloprovidecur 
ucimagoquaedamprincipacus , ucilis reip: in familijs ftacuacur ,* idfit 
racionibusharmonicis , quae incerdum duraefunc admodum &diflb- 
nances,quoadfingulosiquippe curbaca anchmecicaa;qualicace:adcon- 
iervacionem camen univerfae civicacis confpiranc 

JForm-e XXII. In populari imperio , quod ex Arichmecica aequalicace confor- 

£■«:•?• macumeft,&inopcimacum, quodexGeomecricafimilicudineifiEpe 
tamenaliqua conccmperationis racio habecur. Uctjum Populus ipfe 

rerum 



Harmonicis LiB.lll. 99 

rerum potens , fponte fua patricijs potifTimum, honores, magiflratus, PetmeA 
facerdotiamandat,autcum Optimates plebem honorum nonnullo- 
rum participem faciunt , fru&uofifsima munera folis plebejis conce- 
duntjinjunaseis abOptimatibus illatasgraviflime ulcifcuncur, liber- 
tatem tribuunt fruendarUm volupcacum,qua: per fe ftacum popularem 
fapic i fuffragij quoddam jus plebi permiccunc , in Candidatis ex gente 
Opcimacum cerro numero nuncupandis, ex quo numero ipfipoftea 
Optimates, quibus volunc, Magiftracus credunr. 

Quze communio.quandiu fponce ejus Ordinis penes qUem furnum 
eftimperium , confiftiufuavifsimus concordiascivium concentus du- 
rac:acfirevocecur,primumqUerela; emerguncparcis mulcacae, dein- 
de difcordia?, quafi curbato concentu, deniq; vcl crariffercur impenum, 
vel tota civitas hoftibus fuccumbit. Idem dc Regio ftatu , cui fa- 

miliariseft harmonicarario,cenendumeric: inquounusquantumcae- 
reris omnibuspra?ftat,tancumeciamfolus fummum jusimpenj pofsi- 
det : cxteri fub illo deguilc arithmetica zequalitatc. 

Hac igitur in Poiicia; forma , poceft effe gubernandi ratio trium 
generum, quod fupra etiam No. - IX. tangebamus , fed ilhc de re,hic dc 
perfonis , feu Ordinibus, Reip. membris agimus. Nam fi omnia mu- 
nia Rex ex aequo communicet, nulladiftmclionenobilitatis a plehe, 
populariserit &arithmeticaefimilis moderatio, non decora majeftaci 
fumma;.- quippefummusipfecum irifi mafitce copulabiturjnullo me- 
dioincerje&oordine, quodNaturatamenamat. Q,uiri imd ciVesge* 
nerofanndolisregnoexcedenc,finuilusgenerisrefpe£tus. 

Sinomniaconferat in nobilicacem,feclufapenicus plebe, Georne» 
cricahajc imperandi formaeric ,fed periculofa, & hatmonica fuavicace 
carens:populusenimpollensmulcicudine, tandemofTenfus,Nobilita- 
tem Magiftratibus &honoribus, Regemipfum imperioexpoliabit. Ec 
quamvisargutius diftinguat Moderaror Ordinesiri plures gradus, di- 
ftinguat& munia; fi tamen cuique oidinifuafoliconfervet;utRornas 
Tribunatus plebis folius erac,Con(ulacus patriciorum caricum : alie- 
nabuncur ab invicem Ordines, nec firma inccr fe concordia in unurn 
corpus coalefcenc Nam munia lnferiorum cumipfo ordine conccm- 
jaencur : aded uc Romae Tribunatum gerere patritius non potuerit,nifi 
ejurata nobilitacej&cumexcorfifletaliquandoplebs confulatum, ta- 
men plebeij Confules ipfi pauci numero, plebem exinde coccmnerenc. 

Harum difputationum ideam Bodinus in numeris proponit: & 
primum in his 4. 6- 7. Hic 4. Regem reprefentat. 6. Nobihtacemi 
incerq; hos efle harmoniam monec , 7. verd plebem , quem numerura 
redTe affirmac ab utroq,priorum difcordare. PocuilTec melius uci hif- 
ce 4. 6 9. Nam uc 6. cum 9. harmoniam facic , 4. cum eodem 9. nullam 
facit, ita Nobilitati facilior eft confociacio cum plebe, qua~i Regi : & uc 
6. eft medium Geomecricum incer 4. & 9. concordans ucrique : fic No- 
bilicas provinculoincerjecta eft incer Regem & plebeminfimam. 

Ariftocraticam veroRegnigubernandi formam repraefentat nu- 
merisproportionisGeometncaedifjun&ajj.tf. /. 10. Difjundtionem 
xomparac difsidijs in Civitate^ex ordinum f eclufione nimium accurata* 

N x non 



roo De Proportionibus 

Sj asju» non i ne P c ^ Athocmale,quodhancdisjunfl:ioncdifcordancicjreaag?e» 
Omncsn.hinumcri3.6./. io.comunemharmoniafaciunc. Nihil enim 
ad Harmoniaraffe&ione attinec AnaIogiaGeomecrica,utfcpe diclumi 
nihil lllius analogiae differencia,disjudHo. Ac tametfi fe vcluti corrigens 
cadem pagina aliudnumcroruexemplufubjiciatdisjun&aeproportio- 
nis,eidem mtento deftinacu,fcil. z* 4. 9. ig.* iii quibus verejdiffidenc foni 
per 2.4. nocaci , a fonis 9. 18. non cft camen haecdifcordancia mufica, ab 
. illadisjun<ftioncGcomecrica,feda fuiscaufisproprijs,ex eo fc. quod la« 

bernaciomt cusNonangulino eftincer cffiigvKgi. Deniq; cemperamencujucriufquc 

sieniuM.* gubernandi formae in ftatu Regio ; ut fc. Nobilitatis munijs mifceantur 
aliquiplebeji,fedpauci,&:copijsoneripares,auc virruceahave re cora- 
mendar.imcq; incerdu Nobilium cenuioruunusplebeiaefru&uofaefun- 
ftionipraefeftusjdecus illi circumjiciacfplendorcgeneris,quomagis id 
fic in pofter u ad plebem corhendabile : uc Duuviratus ex Nobili & ple- 
beio confticuacur, folacio ucriq; ordini:ut curiae confticuacur ex omniu 
ordinu perfonis ; uc in deliberationib* de bono publico tenues locuple- 
tibus mifceanturjut no meri vircucisSc pietatis cultores habeanc omnia, 
fed ahqua etiam fortibus aliqua ingemofis , aliqua prudentibus, aliqua 
exper iencia pollentibus refervencur; cuiq; illa , ad q dotes apcas Sc prae- 
fidij plurimu affert: hocinquam cemperamencSexprimic Bodmus Nu- 
meris4.6.g. iz.ratusfejUcipieloquicurjContinentisAnalogieejUtGeo- 
metraeverojcotinuaeproportionisfpecimeederc. Rurfumfallicunnon 
cft enim 4. ad6, uctf.ads - - at hocverum, omniu quatuor4.6g.j2.vcI ln 
minimis 2. 3. 4. 6. corhunem efle concordantiam,quantumvisaIiter 2. 3* 
confonenc , alicer etiam -z. 4. aliccr deniq, 2. 4. vel 5. 6. Quicquid iguur 
ilmilicudiniscftinnumcris cum Rep: idillisineft ,quacenusieorfima 
Mufica gcomecricis vel arichmccicis progreffionibus confociaci func , 
vel mixtura utrarumq;. Auc viciflim fi quam lucemPohtijs cognofcen- 
disaffcruntproportiones Numcrorum Harmonicae;faciuntidperfe, 
feorfim a refpetlu proportionum gcometricarum. 

Atq.egofanefi Rcip. notitiammihicomparafiem,& hoclibro Poli- 

Hirmeni- ticum agerem; diftincStionc rcru ufus , totum Bodini locu fic incerpola- 

ec v«a,idca rem, uc & Ariftoceli fua placica manerenc incocuffa, & Bodinus ex mea 

Um^ 9 nac Harmonica,feorfim ab illo,difcerec melius in policiaphilofophari. 

Aliud dicerem efle ftacum Civiracis,ejufq; gubernandi forma, aliud ju- 

fticiaeadminiftracione,difFeruntenimutpars5ccocu;qucmadmodum 

in Machemacica aliud func Geomecrice Arichmecicaeq,- numeroru pro* 

porcionesjaliudcoccnc 9 Muficinumerisexprefli. Judiciafane conftitu- 

unt,qui reru potiuntur,five un 9 fit,five pauci,five omnes: at ijdem tute- 

la Reip. funt occupati, judicia raro ipfi excrcenc, nifi cum licec arbicrio 

V rop»rtio - uci,foluco legib 9 . Concra Judicibus raro fuperiora munia mandacur; le- 

»«j3eome- g cs p ciuspr^fcripc?func,quibus cenetur. Icaq,- Geomctnca Arithmeti- 

»onad f Ra- camq;progrefliones adjudiciarelegarecum Ariftotele,noadmixtore- 

«onem fta- fpcftu concencuu harmonicoru,qui ijs accidunc. Na qux Bodin 9 ha£re- 

"^rHar- * nusin judicijs cemperamencadefideravit: eaprovocationibustandem 

moicas.fedadipfumReip. fummummoderatoremdevolvuntur. Acquetuncille 

•d judicia cum proportionibus,quas Ariftoteles Iudiciis & juftiti» dedicderogac; 

^» "*' noa 



Harmonicis LlB.lll. 101 

ncn jam judicac , fed officio fuperiori fungi cur , cuens Remp. & fingula ** ' l T ' ** 
ejus mebra. Huic fane Moderacori,five rex fic , five Opcimaces , five Po- 
pulus univerfus . egofuadereproporcionesHarmonicas,nullageome- 
tnce Analogi^nulloArichmecicqsqualicaciSifednudoconccncuuro- 
fpectu i jubereq; fubciles lllas Analogias Harmonieis concencibui . 
fic ngida ucriusq; jufticie adminiftracione fumis imperijs & faluci Reip. 
in loco cedere. Proh Deum quanca hic difpucacionu feges,fi quis com- 
parando per fingula velkc ire? Confidera n. nacuram ucriusq;rei. Gco- 
mecrica analogia comunis eftNumeris & quancicaci concinuq,fic uc po- 
fterius in numeros veniac , tuncnimiru,cum figuracio quancicacib* hoc 
dac 3 uc numcro efferri poflinc.Iam creberrime ficuc inefFabiles finc ccr- 
mini AnalogiaGeomecricacoplexi, & quoprogredimurlongius,hoc 
magisab EfFabilicate degenerecE cocrario numeris efFaripoccft omnis 
Harmonicaproportio. Qutdhocfibi vulc aliud, ad policica applicatu, 
ouam ientcntias judicu juftiflimas, adque legu 32quicacifq;norma,ven- 
ulacionib 5 ' Jurifpicoru fubtihflime exaftas efle oporccre .• moderationc 
concra Reip. folucam cantisneceflitatibus, prouc tempora fuerincfine 
xnukoftrepitu,adfalutemuniverfbrum,arbicratuimperantisaccomo- 
dandam. Hic diducenda eflet quaeftio in partcs,quomodo Arithmecicas 
progre ffionis racio rudis,fine nobili aliqua forma,folis macenas dimen^ 
fionibus infiftens,comercijSjopificiis,viclui plebeio aflimilarecur,Geo* 
rnecr lca fimilicudo(Iegem unam folam obfervas, nec quicqua penfi ha- 
bens, lineaquam incuecur, lacus quinquanguli fic, an crianguli, effabilis 
an lneffabihs) fimplex judicumofficium adumbrec ; atrationes Har» 
monicce,exmultisortxfigurisregularibusfcibilibus,generedifferenti-' 
busin unum compaginata; , mulcadiftincta imperij muniarepraefen- 
tenc, quoruunicuiquefuaproprialex, fecrecaaca:teris. HiccumPto- 
lemaeo^infrainappendiccadlib.VOexgeneribusharmoniaru&cant^pgxieenj 
MollequidemPacidarecur,Durumbello,diflidiaq, generumcadem , Moiii.Bet. 
quq in civicace utroruque temporu. Verum hec ahjs curanda relinquo, G - i]i * 
qu ibus vitae racionc magis conveniunc : ipfe nunc ad fequeces mee pro- 
fefllonis maccrias propero. Icaque Bodinum priusexpediam. Ad ejus 
enim libri finem, fimulque ad hujus mei cercij principium pervcnio. 
XXIII. Jam enimBodinustocusadmuficam,utcftamedefcripcafe- 
orfim a proporcionibus Geomecricis, cranfiens. - eamque Uc mihi quoq,- 
phcec , Policijs accomodans ,nihilfpeciofiuscocolibro difpucac > q.de iafwmam 
Regniformaexpreflanumeris/.-2.5-4.q,ucprimifuncnacura, &unicas 
c^dem numeroru principiu,Ica quancicacu principio Puncto,indeq; fpc- 
cieb'earum tribus, z linca;,^. fupficiei,4.corpori, penecodemmodo, 
quem initio hujus Hl.Iibri ex Pychagoricisrecenfui,jucundo ingenij lu- 
fu comparatifunt. DcindeunicasilliRexeft, DeipraspotencisinRep; 
vicarius.a.Sacer ordo.j.Milicaris fcu Equeftris.4.Populus,& is quidem 
omnino quadruplex: Agricolae, Scholaftici,Mercatores,Opificcs. Hic 
inter hos numeros harmonias comprehenfas codem modo recenfec,q, 
ego fuprafum ufus: vanam camen mec 9 caufam habec, ad qnarium pro- 
grediendi, quaficurbetur harmonia,quodfalfumcflc ex toto hocli* 
bro patet. Sint fane & valeanc aliae caufa: fubfiftcndi in Quatcrnario. 
Quin etiam in Homine ipforclucercdcmonftrachanc Rcip.formam 

N 3 cxPla* 



102 De Proportionibus 

cx Platone,in qua i. Mens, z- Raciocinativa faculcas,in fyllogifmos fcfe 
Anima. difFundes, j. Irafcibilis,4. C6cupifcibilisfaculcaces;quarum cciam fedes 
in cerebro, in pettore, in ventre , Plaro harmonicis cciam incervallis 
dislocatas demonftrat: earumq.primae Imperium,fecundte Confilium> 
certiae Milicaris ordo , quarca; Plebs afllmilancur , ejufq; plurimum pof- 
fidenc- Hincquacuor Rcrump. columnar,luftiria,Prudencia,Forcicudo> 
Temperancia, vere cardines dicli, cuiq;Ordini fuapocifsimum com- 
mendaca, Adeoq; muficuseft facTius Bodinus, dimifla Geomecna& 
Arichmecica,ut nc diflbnanciarumquidemfueric oblitus; cujusrcifub 
imagine,fuadec inccrdum eciam immerico alicui magiftratus, honores, 
cseteraq; vircucu praemia non iniquo animo pcrmiccere : quia uc ex op- 
pofirione unius diflbnancix,concencus rcliquus canco melius dignofci- 
tur, tancoque avidius hauricur ; lic quicunq; fucum hujufmodicommo- 
dorum Reip. incuencur exfecrancurq;>univerfi ij viciaconfimiliafuge- 
re, vircuces fedcari , magis acq; magis confuefeant. 

XXIV". Tandem Bodinus Regnumafeconfcriptummudo ipfi com- 
parac , oftendens, quomodo deus creacor jundtis arqualium & fimilium 
' racionibus in unum concencum Harmonicum,opus illud fuum exorna- 
veric Inpropofitoilhaflentior,ucquimaxime; quaiq; ipfe auc prae- 
cedences philofophi ne accigeruncquidem ,de harmonica concempe- 
racione accuracifsima mocuum cercorum ; ea libris fequentibus ego 
fuppleo , demonftracionibusq; clarifsimis in lucem profero. Non de- 
fino camen, ne in calce quidem,obloqui Bodino hallueinanci : non exi- 
ftunc enim verze Harmoniae ex mixcisaequalium& fimilium racioni- 
bus, uc fajpius dictum. Ergo Bodinus , Harmonias in mundo fe demon- 
ftrarepucans,mediecacespociusgeomecricas demonftrat & asqualica- 
tes, &fimilicudines : i. Harmonicasquidem infaculcacibus Anima?;ac 
illas Symbolicas tantum , nulla demonftrationum evidentia in fblidam 
aliquam effigiem, ut Mathematicaamant, expreflas; quippe cum intel- 
Inqnan» ligi non pofsit, quomodo infint in Anima qtiantitates , proximum & 
tccjusfa- immediatum harmoniarum fubje&um. 2. ^Equalitatem inter Muncli 

Gultatenu- ' . .„.7 ,. ,. 

merusiiie corpus, & univerfam vim matenc. ;. Simihtudinem ( qualuanvam 

ipfe,cuem pocius ex figuris, quam Relacivam quancorum cerminorumj incer 

affigua" US Archecypumaecernum & Mundiformam; quo loco Bodinus praxor- 

diamihicangicmaceriaMyftej-ijmeiCofmographici , quanquam per 

ignoranciam , accacta. 

Quanco veroplaufibihusin meaj Epicomes Aftro : Copernicana: 
libro IV. haxaequalium & fimilium commixcio de Mundi parcib? pras- 
eipuis eft demonftraca, de Mocore fole, Locante fphera fixarum & In- 
cermedio,quodmobihbus conceflum. jEqualicasenimeftinparcibus 
materixftatuta; uttantundemfitejusin Sole, quantum vel in excimas 
fphajras orbe, vel in fpacio intermedio. Maceria£verd>ucpopulo,debe- 
tur arithmetica xqualicas. Vicifsim Geometrica proportionis fimilitu- 
do in denfitate trium horum corporum; & rurfum alia inter diametros 
Solismocoris,regionisMobilium,&fphaerae|ulcima: Locantis immo- 
bilis. 4. Medietates porro Geometricas quodammodb : ut intcr dud 
genera mocuumj alterumin orcum^alcerum in occafum, ccrtium Tre- 

pidaci- 



V 



Harmonicis Lib.111. 105 

pidacionismocum,fed cx quibusduo pofterioresfbla vifusimaginacio- 
ne,fecundumCoperniciplacicaconftanc. 5. Incercerram & cophum, 
argillam, 6. incer mecalla&lapides, srofasglebas, 7. Interfhrpes 5c 
lapides , Corailia. g, Incer ammalia & ftirpes Zoophyca. 9. Incer 
Quadrupedes & pifces , Amphibia. 10. Inceraves & pifces , volances 
pifces. 11. IncerHomines&Bruca,Simias, aucMulieres ex Placone. 
j2. Incerbeftias&Angelos,Hominem,morcalemcorporeucillos,im- 
morcalem animo uc hos. j j. Incer cceleftia beacorum habicacula & E- 
lemencaremregionem,ccelumftellacum. 14. Quibusaddeexprinci- 
pio libri hujus , bina media ,\ fcilicec Aerem& Aquam incer Ignem & 
Terram •, & caecera. 

Ac non paulo melior admonicio de ijs, quae in mundi gubernacio- 
ne,racionem habenc diifonanciarum:in Anima vicia;in animalibus rpo- 
ftrafin Ccelo deliquia; in Geomecria ineftabilia (quae camen neceffica- 
ce maceriae quancicacivac cum exiftanc i f equencibus libris longe rectius 
cceleftium mocuum variecaci comparabuntur)in providencize operibus 
Exemplairaj&ulcionisdivinajjincerRacionaliaDiabolus : Quaeom- 
niaaDeo fupremo moderacore ad bonUm finem > rerumq,- omnium 
Concencum abfoluciffimum diriguncur: cuiomnisfpirabiliscreatura 
mericiftimalaudum facrirlcia mdefinenci pietacis exercicio deferac ; i- 

pfeqjadeofi vifum illifueric, nonmoriar fedvivam,librisqi 
fcquencibus narrabo OperaDomini» 

Finis Libri III. 



PonneA; 



Lectori. 

Tirocinium Operarum cum aliquo damno libri hujus III. in quibusdam exemplaribus co*- 
j luiftum r»iit ; id ne longtus a calce totius operis petendum effet ,hoc ipfo libronnito» quonw» 
do farcires, monendum cenfui. Nempe 



FoLaj £$■«$(• — 



& 



i 



£ 



z~±zz* 
— *— i 

ic 



-t-+- 



%- 






& 



— * « 



fc±-_ 



y. 



m 






& 



Paflim aberrant nonnihil 
Numeri a Notis fuis prxiertim 
fuperpofiti&fuppofici, ut 
fol. 4-r. ubi pro 66. fctibe^eT. 
foL^j- lin. ii. Legeminorem 
fol. 47. lini.-y.pro 40.1ege 405. 



--$--^ Et P t0 3flE$ft 



--♦—5- 

Eifol.--p.ini. 

diagratnniatc 

Notammuta 

Et fol. is- 
primum dia- 
gramma tale 
hat. 



t 



•fcrifcc 




__«: 



$j. 



-21 



— ~J~~ Etpermutavo- 

fol./7 >g _ ces fupermt , im- 
" ferms in non 
__— _ nullisExcmp la 

ribus. 

Fol. 60. lin. 9. afine» Pre> 

3.4.eft &c. 
Caeteri leviculi in paucis cx- 

emplaiibus occuiicnt. 



JOAN- 



IO:KEPLERI 

Harmonices Mundi 

LIBER IV. 

DE CONFIGVRATlONI- 

BUS HARMONICIS RADIORUM 

fideralium in Terra.,earumq;effe- 

chi in ciendis Meteoris., alijfq; 

Naturalibus. 



PfcOCLUS DlJtOoCHUS 
Libro I. comment: inl Euclidis 

De Mathematices ufu in Phyfologia<& Politica: c/udpotif 

Jimumpartem lllius Harmonicam de Radiatio- 

nibus concernuitt. 

Ad contemplationem Natura; praecipua omnia fuppeditat >decla- 

rans Rationum ordinem pulcherrimum>(ecundum quem fabricatum eft totum hocVniverfumjpro- 
p >r.ionumq; Analogiam, quae ornniamundana mterfe conne&it, utloquitur alicubiTimjeus» 
qaaeq; amicitiaro inter pugnantia, refponfum & mutuam affectionem interjlongiffime diflita, con- 
ciliat. Etpoflpauca Inde &angulationes commodas poilibile eft ratiocinando venari, Rur- 
f*m ,Hoc opmor & Timseus fignificare voluit> dum paflim per voces mathematicas, tradit contem- 
plationem de Natura totius aniverfi, ortumq ; elementorum, Nameris & Figuris depingit , faculta- 
tesqi&aff^ctionesillorumietianiqjeffectusjhis [fgu,is~) acceptosfert;anguIorumacutavelobtu- 
fa.kterumq; alpera vel lxvia > &c. caufas conftituens omnivariarum mutationum. 

Ad Politicam vero dictam doctrinaro > qui negari poflit , illam plurima & mirabilia confer- 
rej dumopportunitates rerumgerendarurndimetitur> variosq; circuitus totius univerfi &(, 
Numerofq; Hafmonicos, vitae moderatores, aut incongruentiae auchores , &ia 
unirerlura impetus aut remiflioms opitulatoies 

'( 
Cum S. C. M. Prfoilegitsdatmos XV. 




LINCII AVSTRI/E, 

Excudebat Johannes Plancus. 
~ ANNO M.DC.XIX. 



io6 DeConfigurationibus 
Prseambulum & Ratio 

Ordinis. 
i^ ^SRoportioncs Harmonicas in abftracto con- 

<M x ISfideratas cribus primis libris formavimus,quorum primus 
^^. ^figurarum fingularum proprietates Geometricas, fecun- 
^Q^J^dus junctarum Congruentias exhibuic , cercius ex figuris 
harmonicas proporciones propagavic. 

Reftabat ucHarmonicas raciones haclenus defcripcas inMundum 
incroduceremus cribuslibris alijs,quorumprimus Deo coelorum Con- 
dicori, fecundus Narurannotuum variorum adininiftne , cercius Ho- 
mini , vocisj quzeexmotugignitur, compoti, tribuerec Harmonias: 
verum perfuafit nobis conditio rerum dicendarum, ut non cancum or- 
dinem Verceremusjinicio ab humano cancufadojtranficuri inde ad Na- 
turse opera , & fic demum ad opus Creationis^ quod omniurn primuna 
& perfediilimum fuit s fed etiam finem fpeculacionis abftradhe cum 
pnncipio concretarum Harmoniarum in Cantu , conjungeremus eo- 
dem Iibro tertio. Initio igitur fa&o hujus in Mundum incrodudlionis 
libro antecedenti; & tranfcriptis Harmonijs humano cantui, quem Ar- 
tisgeneraiivocabulocomple&ifolencalijiequicurnuncquarcusliberj 
qui inhocordine inverfo fecundas Harmonices concreca; partes Na- 
tura: tribuit. 

Ecfi vero fparfim libroIII. difputationem de har moniarum Ef- 

fcntiacecigi ,• plenam tamenhujus metaphyficaj 'difputatiohis tra&a- 

tioneminprincipiumhujus libri quartieodem confilio refervandam 

cenfui, Cum cnim vulgo philofophorum Harmonias non alibi quae- 

AtquiSocra rantnifiincantu .fitq.inopinabilepIerifqjAcroama, cum docecur a- 

tonem,ci-hudquidefsefonos , aliud Harmonias,quae ineffe putanturin fonis: 

tamePro- dandum aliquid fuit imbecillitaticaptus ,'& Harmoniarum ortus ex- 

Euci i Mufi- plicandus terminis potius Muficis vulgdnotis,necturbandafuitavi- 

«iiiUudefi- ditasledorisimportunafubtilitatcmecaphyficarumquasftionum. 

nitsqabijs Ac jam porro , cum Harmoniasi in Natura inq; Ccelorum|moci- 

qirSintin bus patefacere fic animus ; vulgusverdphilofophorum ftatim ad pri- 

fenfiijpgte- ra am Harmonias mentionem concipiac fidcrum Muficam vocalem , 

ffnfilwnar auditu percipiendam ; &eum Scipione Ciccroniano arre&is auribus 

monias, $- adftet , excepturns Untum d> tam dulcem jonum : Cum proclive fit,rcrum 

jsomonesqs i m pitos cum ilio ipfo fomniatore Ciccroneareumcntari,A/o»po/^//A , »-> 

earum mve . •* ... r „, . 2 n i • J 

itiaanrfas. tiotantos inatarimotus 3 & cum rychagoraeis ex Anitocelerationemrea- 
Qui tadem derccur coeleftis fonus iionexaudiacurin Tcrris : quxprjeconcepcseo* 
fnPhiioio- pinionesplurimumobftantledloribus , adNatura:penecraliaconten- 
phu.exgge- dencibus;adeoq; & abfterrerepoflentmultosjudiciopollenf.es , veri- 
faa'harmo cac [£q- fe£tacores , uc nugamenca ifta Py chagorica ,vix eminus agnita, a- 
adcontem- fpernancesjhbrumnonle&um abncerenc: his de caufis idoneus mihi 
piaduPri- vifus cft hic ipfe locus > in quem difpucacionem hancfurnmenecefTa- 



ELS riamrefcwci 



temqsipfara. MO« 



Harmonicis Lib.IV. 107 

m 

Movic mc & Pcolenm exemplum : qui cum hbris 2- prioribus ope- 
risfui Harmoniciabfolviflecdo&rinamHarmonicam, quateft de can- 
tu, jamquc libro ccrcio demonftrandum fufcepiifec, omnes naturas 
perfeclasHarmonicaviparcicipare: difputationem & ipfe incipic ab 
haceadcmquaftione : Subquodgenus rerum referendajit Natura Jeu vis 
Harmonica, ejztsquejcientia. Etlligiturexamen & cenfuram Pcolemau,, 
cgo in bujus mei operis appendicem rejeci j ac quid ad hanc PtoJemau 
quaeftionem cxmeis principiis refpondendum videacur, idob didtem 
caufamhoc quarcolibro pra^micti debuic. Necidtantumad pr£muni- 
cndum lecTot cm,avercendasque fmiftras opiniones percinet,fed etiam 
adexplicationemfundamentalemcociusqUartilibri,- uc quia de Har- 
moniisradiorumfideraliumdic~turifumus,qua: &quoc finc numero, 
quibusque geomccricis principiis formencur; prius fciamus , quse fic 
Harmoniarumeflencia,cicra& fonorum,quibicnullifunc, & iplbrum 
eciamradiorumconfiderationem;&quodnam earum propriurrifub- 
jeclum,quitermini,fincneinrebusexcraincelle&um,aninfola anima, 
quomedioperCipiantur,introrfumquerecipiancur;quare dijudicen- 
cur; quiseffec~tushancperceptionem&agnicionem,quo authore feu 
primomocore,confequatur: quibus rebus tam generalitcr quam fpe- 
cialiumfabjeclorumcoliatione explicatis,poftca nobis facile erit de 
Animorum,ipfiusque Naturaj fublunaris cifentia & propnetacibus \ 
Mecaphyfice diflererejNacurajquearGana paui6,quam eranc haclenus^ 
inmajori luce iccare. 



Capitalibri IV* 



Caput I. DeEjfentia ProportionumHarmonicarum tam Jenfilhtm itmhm 
JntelleEiualium. 

Caput II. Quot quales^Jint Anim<z facultaies fecundiim Harmonias. 

Caput III. Quzjint Genera rerum feu fenjilium y feu immateriatarum , m 
quibus expreffk fitnt Hatmoni* , five a Deofjive ab Homine , £J? quomodo ? 

Cap. IV. Quiddifcriminisjit inter Harmoniasboc libro quarto , & inter 
iUas hbro teriio cnnjideratas. 

Cat>. V. De caujis efficacium Confgurationum, earume^ Numero g? Ordi- 
tte graduum. 

Cap. VI, Qutejit cognatio Afyeftibus cum Confnantiis Mujicis in Nu~ 
Piero <=ff caujis ejus, 

Cap. VI 1. Epilogus halet comtcmplationcm Naturxjublunaru t facu/t4* 
tttrnfy Animd inferiorunu. 



o 2 Caputr* 



D 



log De Gonfigurationibus 

CAPVT I. 
De eflentia Proportionum harmo- 

nicarum tam fenfilium,quam Intelle&ualium. 
E Harmoniarurn.efsentiadifputaturo mihidubi- 

care concingic; ucrum clari 9 fic.,vecerum fencencias primum exq- 

rere, deindc cum mea comparare; an ab expoficione propriae fencencise 

incipe. Prior philofophandi racio r ecepca eft ab omnib 9 ,- & crebro com- 

rnedacur ab Ariftoceie/pofterior magis convenire videcur pfenci mace- 

riae. Difpucaciones n. de Eflencia Harmoniarum infpecie pauciaccige- 

runc:Sc fi qua dixer unc de fubfiftencia Generum & fpeciaru Machema- 

ticarum,quod Harmonijs in fpecie poflic applicarnid necefle eftinphi- 

lofophia Gencilium obfcuriraciseffe plenum,- eoq;lectorisanimnm in- 

cer amorem fpecioiiflimoru dogmacu & fufpicionem ficta? rei fludtua- 

redubium.lncoecibusChnfl:ianorum,&fiquisfacrofancT:umTrinicacis 

MyfleriumjOrcumq; rer um omnium ex hifloria Mofaica,firma flde am- 

plectitur > difpucacionis capica & clarius proponi poflunc , & proclivio- 

DivifioHat res inveniunclectorum animosad credendum. Uc igicur mechodum 

«aoniarum. di^ndorum expediamus, adivifioneincipiendumeric Aliudenimeft 

Harmonia fenfilis, vel ei analoga,aliu dHarmonia fecreca & pura a reb 9 

fenfilib^illaj mulca? funccam racione fubjectorum,fpecie difFerencium, 

quam racione individuorum: ac fincera Harmonia & a fubjectis fenfih- 

busfecreca,inqualibecfpecieunaeft&eadem. Verbicaufl,eft una& 

cadem fpeciesHarmonia?, qua; aproportionedupla oricunha^c fi ineffc 

infonis,Diapafon dicicur; fiinradiacionibus, AfpectusOppoficusnun- 

cupacur-' & in Muficoquidem fyftemace vel fuperior efl vel inferior , 

vel acucior vel gravior , vel vocum humanarum, vel fonorum cx orga- 

nis:nec minusin Meceorologiaeftmulciplexivelenim Sacurni& jovis 

vel alcerius copulx, & vel ex fignis aequinoctialibus vel ex Tropicis. 

De ucroq; igicurgenere quasrirur , quomodo fubiiftanc, quodq,per 

Harmenix fe, num feipfis, an m rebus alijs.Quod igicur fenfiles harmonias accinee 

fcnfiks. a d earum Esse quacuor ifta concurruc; j. duae res fenfilesejufdem genc« 

ris,& quancse, uc incer fe comparari poflinc causa quanticacis, 2. Anima 

comparans.j.Recepciofenfiiium incrorfum.4.Idonea proporrio, q de- 

finicur Harmonia. Horumuno fublaco, collicurfenfilis Harmonia. Fa- 

AdEffeHar- c ^ e en i m e ft incelligere,NacuramHarmoni£e non efle definiendam per 

Kq^riOr- folas res fenfiles, uc per fonum vel radium ftellaj. Aliud n. eft fon 9 aliud 

^nem, ordo eer cus incer diverfos fonos : dico aucem ordinem hoc loco , non 

caufa fic 9 in aliquo loco phy fico,nec causa cemporis, fed caufa acuminis 

&gravicacis. Pofluncigicureflefonidiverfi, acnifi fitinceripfbs cercus 

ordo, quicercisproporcionibusdefinicur, re machematica, nullaeric 

inter vocesHarmonia. Viciffim fono fublaco , quamam confingi poffic 

Harmonia audibilis.,& radijsplanecarum fublacis qnamHar raonia con- 



Harmonicis Lib. IV. 109 

flgurationum l Amplins quia Harmonia mufrca non eft fonus , fcd plu- CAP y T * 
rium fonorum Ordo,hincfequicur illamefse inpraedicamento Relaci- 
onis. Ordoenim,deq>hicloquimur, relarioeft,&:ordinaca,funcadin- 
vicem relata. Qua igitur re foni funt harmonia, ld accidens eft , quipps 
quod in fubjectis ineft,necfeorfim confiftit , poteftq; abeffe citra fubje- 
clorum corruptionem. Deinde , ficut quantitas in univerfum a corpo- ^* 1 ^ j" 3 " 4 
nbusnequitfepararifuis, fedpoteftbeneaugeri&minuicumipfiscor- accidi» 
poribus, & tamen accidens eft i fic etiam Ordo ipfc fonorum, cui ut ge- 
neriHarmoniam fubjecimus,tolli non poteft a fonis,plurib 9 uno,quan- 
titate acuminis &gravitatisinterfe diftindhs : namaut plures efle defi- 
nenti aut fi plures, ,eric incer ipfos ordo fecundum exceflum & defectu; 
mucabilis ille quidem, fi fubje&orum relacorum alcerum mucecur. Or- 
do igitur cum quancicacibus,& in fpecie cum numero pari paflu ambu- 
lac. Terciofreuc Numerusdefiniturefle multitudoex unitatibuscon- 
flata > in quo Anftoceiesagnofcicaliquidmateria^anaiogon , unicaces 
fcilrcetejus, aliquidformale , mentisconceptum, qua2unam,quocun- 
que refpe&ufeparatamac£teris,multitudinemillarumunitatum fin- , ff 
gulanum agnofciwtaque ahbi pmlofophus idem fublata Anima nume- mon ix rc- 
rante , tolh ait omnem numerum , at non unitaces fmgulas : uc ita quiriAni- 
numerusmatenaliterficinrebusipfis, nihil prcecenllas, niiiaccedat mam ' 
Mens numerans ; tunc demum emm , numerus prsecer res ipfas, & a re- 
busabftractus, eftdiverfumaliquidabipfis, eftfc. conceptusinmen- 
tepluralitatisrerumindividuarum: ficetiam ordo iple fonorum £c a- 
liorum fenfihum,quo de hic agimus , non eft quicquam aliud,quam ipfi 
foni piures; nrfi accedac Mens, comparans fonos incer fe, differences a- 
cumine: & ingenere relacio omnisyfine Mentenihil eft, preeterquam 
fua relaca ; quia relaca non func id quod dscunrur , nifi mens aliqua 
fupponacur > qu^ referac unum ad akerum. 

Quodigicuringeneredecrdine,deq;relationeverumeft;idmul- 
tomaximefubfumendum de Harmonia,q in proportione conliftit,in- 
que numeracione partium quantitatis a;quahum : fcihcet , utfubfiftar., 
&ucEssEpoflitaliqua fenfilis harmonia,pter duosfenfles terminos 
oportere & Animam efle comparancem : hac enimfublata, termini 
-quidem eruntduofenfilia, fed non eruncuna Harmonia, ensracionis. 

Videndum nunceciam de certio , Cc: de recepcione rerum fenfili- AdeffeH» 
umin animum, ejufq; neceflicace & modo. mouixCci^ 

Nimirum Harmonia eft res una , termini fenfiles foris extra Ani- rcC eptioni 
mamnon funtresuna,necufpiamnifi mtus in anima poffunt adunari externoru 
Nonpofsutverdintus efle , nifi introrfum recrpiantur , quod multis mAmma » 
verbis ab experientia probari non eft opus. Poteft quidem Muficus 
Symphoniarum artifex intus in animo fuo meditari Harmonram dua- 
rum pluriumve vocum, quas tarnen incrorfum non recipic : at illa har- 
monianoneftilloac~tufenfilis,nosver6defenfilis effentia loquimur. 

Qualis vero eft rlla receptio ? nonne foni, ut exemplo notiori u- 
tarlocoomnium, perftant foris extra aures, in aerc, 6c ante fonos mo- 
tus corporum,ad quorum quantitatemfoni fequuntur? nonne ij ma* 
aeoc ia fuis corpgribus ? quoinodo crg6 ingrediuntur? Reipondeo, 

O 3 parcini 



IIO De CoNFIGVRATIONIBUS 

partim agendo, partim patiendo,agendo,dumfpecieSemittunt,pul- 
' fata motus fui, fonos ,' lucida luminis & coloris fui. radios, & ficu t loqu i- 
mur, cum obiecla dicittiUS movere fenfus.movere vero eft agere:pati- 
endovero.non ipfasresper fe, fed (peciebus fuis _ quacdum fentiuntur , 
memoranturi coparantur, femper aliquid pati debent ex ufu loquendi . 
Et omnind haec ipfa duorum terminoru adunatio iii A nimo, per quarn 
refultatEfletiaHarmonisefenfibiliSjipfum fcilicetreferri & comparari 
eft rebus jurttlim fumptis tale quippiam, quaie quippiam eftrebus fin- 
gulis,videri,audiri, eoqueminusetiam. Sunc quippe hsec omnia, paf- 
fiones qua?dam,fed a.quivoce didta:, magno fignificationis ambitu. 
•Paffionum Sed conftituam 5 grad 9 paifionu.Primum paciturveibi c?.ui_i, Aqua, 
aquiToca- c um egelidaexiftensj ignibus admotistcpefcit. Alter fignificatus,pati 
dicithumorem,cum aliquid agit ipfe,fcil humeclando arida : nam 
pars eiusrapiturin meatusexiiccaci, eiquemifcetur, quodeftpati: fic 
& patitur aqua cum guftatur: partcm enim deglu tit ficiculoius , di- 
geritque.Sedcercioeciamfignificacupacicuraquainguftacu,cumaiin- 
guafalcemconcingicur,noncancumquialingua?calorecalefic,cumipfa 
fuo frigore linguam frigefaciat; nec cantum ideo,qa ha.ret aliquid aqua; 
inlingua,fedfimplicicerquia tangituralingua, quodeft quafi leniffi-r 
meferiri , aut pulfari, auc impelli, unde eft motus localis partium in to- 
tOiMoveri vero eft Pati. Quarcus efto fignificatus,quo pati dicitur 
aqua , cum emhTo vapore fent nares , odoracuque percipitur . percipi 
aucem.eft paci : & hic quidem pacitur non ipfa, fed effluxus eius corpo- 
reus, quapailioneeciamabfumicureiusaliquid. Quintus gradus, quo 
patiintelligicuraqua,cumftrcpicusejus auditur : primum enim ipfa 
aqua in motu eft, deinde fpecies immateriata aqua_,uc movetur,diffun- 
ditur ab ipfa in omnem ambitum ,reeipicurque in meatus aurium ,• ha_c 
recepcioeftpaffio,nonipfiusaquje, fedfpeciei eius , feu defiuxus eius 
immaceriaci: &in hacrecepcione deperditur ahquid tempore & mul-_ 
tiplicicaccreceptionum. Nam obtufioreftfonus,quimagn£emultitu- 
dinis auribus, aut veftibus, accidic , auc qui intcr nivesdecidentes emic« 
titiir. 

Sextoeciam cum videturaqua, paticur aliquid :emitcicn.afupficic 
vel quafi,nimirum a coloribus fuis,in quantum colorata,radios ad ocu- 
lum,quiradijtanguntuf, repercuciuncur, refringuntur, coguntur ad 
pun£tum,excipiuntUraretiformi tunicacoa&hquzeomnia funt paf- 
llonesnonipfiusaquae,fedfpeciei immateriacae,feu radiorum. Echi 
radii,jaminhacrecepcionenihilperdunt,nequelocis,nequetempore: 
remoto enim quod tangic, pergunt ulteruis, penitus illibati, quod ncn 
facitfonus. 

Scptimo,poftquam hae lpccies,ipfumq>• aded corp' aq in corporea 
{enfuum inftrumenta priusaliquid egerunt. illafc. fibi conformiter af- 
feceruc, fibiq; affimilarunt, ut & lingua: &cutis membranulas frigus & 
faporem,narium fpiritus odorem perceperincfpiritus auditorij ejus fo- 
nitupftrepant,viforijejuslucecolfuceant,itaq;typus&ipeciesejusfen- 
fenforia fueric formaca, quam oculi cerce circumgeftanc, eciam abhta 
illai f^pe invico homine; jam hsfpecies fcnfiles ab fenfuum veftibuiis 

feu o- 



Harmonicis LlB. IV. III 

feuorificijs^rccipiunturintrorfumpervimreprasfcncacivamfeuphan- 
tafticam,cognofcuncurperfenfumcomunem,conduncurpm8moraci- 
vajpromuturpreminifcentiamjdijudicanturpfuperioremfacultatem.* 
q omnia paci lncelhgicur aquanon infe , fed ln fuisfpeciebusfenfilibus 
& mencahbus.Tunc lgitur etiam fuprema facultas anima;,qua; numero 
comparacionibusq; pra*eft , expluribus rerum fpeciebus mentalibus> 
unamfibifabricatformatq^relationis^ordinisjcomparationisqifpecie, 
refq;forisexiftencesincerfecomparac:qua*comparacio,ucfupradice- 
bamus, cumfiacft.iperrebusipfis, fme ipfarumopera,paffio quaedam 
illarum efie intelligirur : eodem fere fenfu , ut cum de fama abfentis & 
ignari in judicio agicur, auc cum is capicis damnacur , auc profcribicur. 
Omnindquidemapcafimilitudo ; ficutenimtalisaliquis , etfifecum 
ipfe tuncmalinihilfencic,ade6q;nihilpacicur,camen paulo p6ft vim 
ejusj quod paffus eft, re ipfa experitur: ficeciam voces,& qcqd omnino 
congiuenci3eparcicepseft,pi-oucmeciplacuerincinhaccomparacionc, 
proeovel concinuancur,velrefpuucur,fugiuncur,prohibencur,impe- 
duincur, opprimuncur,finiuncur. Etfi jam fton hoc cventus confequen- 
ti3refpecT:ufonos patidicoifed illo ipfo a£tu,cum eos inter fe mens com- 
parat;fufficitq; g longum exphcaffe, quo fignificationis acqvoca; gradu 
hanc comparationem metalem,paf]lone dicam.Sed nonfruftraprolix' 
fuiinrecenfendishisfignificatib 9 :hacenimot!ajamporrcmirificeadju- 
vabimur in agnofcenda NacuraFacukacis : Harmonica*&complenda 
hacparteMecaphyfica;,qAriftoceles nepcranfennamquidem afpexic. 
Ex hifcc quoq,- clarum eft id quod ancea concendebam , fc. qucd 
Harmoniasfenfilisipfumformale, qua harmonia, accidac fenfilibus , ^ a ' m,, "i* 
nimirum ficuc eildem accidic, videri & audiri & ca*cera. Pacec fecundo ctetx \ a °' 
Harmoniaseciamfenfiles,efse res.abipfisquodammodorebus abftra- anabftia- 
ctas; quacenus nimir um non res ipfas foris, fed fpecies rerum per fenfus 
ingreffa*,adq; cribunal animse perdu&ae,fiunccerminiproporcionis 
harmonicaefenfilis. Ac viciffim duplici nomine harmonia; iftae func 
adhucconcreca: ,primumquiafpecies has rerum fenfilium , non func 
earum nudae quanticatis fpecies , fed etiam qualitatis fenfilis , puta foni 
vellucis&c:deinde quiafpcciesha2fenfilesj,ucfenfiles, intus in ani* 
moncqueuntrclucere, nifiresipfa?,quarumilla*funcfpecies, foris e- 
tiam prsefto fint & maneanc. Nam ijs ablacis,definunc eciam earum fpe- 
ciesincus,lucisquidem, quoadfuamradiacionem, in ipfo inftanci , fo- 
nivcroincrabreviffimumccmporismomencum. Relinquicur qui- 
dem infenforijs inftrumencis aliqua impreffio , uc in oculo lucis , fed 
illanoneft rei forinfecae , fedpociusfpecieifpecies alcera, in corpus 
impreffa,jam corporis momencaneaqualicasfatta.quemadmodumin 
opcicis, coloreslucefolis puraminimeq.coloraca, vim concipiuncra- 
diandi quaquaverfum colorace, Ec hoc eft quod inicio quoq; cort- 
tendebamus,oporcere cerminos fenfiles & Animam praefentes efie , 
mutuasq, tradere operas, agendo, patiendo, illam fc. movendo fenfus , 
hanc comparando > ucconfticuacur efTenciaHarmoniajfenfiliSb 

Objiciac, hic aliquis , Aaimam comparando non facere > fed in- 

veni- 



iog De Configurationibus 

CAPVT I, 

dxwceuus venire idoneamproportionem: quod quartum fupra &formalc prin- 
iAmraafa- cipium erat harmonia;fenfilis:ergd viderianimamabefsepofle,ialva 
cianHarmo £fl- cnc i a Harmonia:. 

tcnawavc- Refpondeo per inverfionermldoneam invenirein fenfihbuspro- 

iuat.. porcionem > eft detegere & agnofcere & in lucem proferre fimihcudi- 
nem illius proporcionis in fenfilibus , cum cerco ahquo veriflima; Har- 
monia: Archecypo , qui mcus eft in Anima. Quemadmodum iguur 
Athenienies vircucem aliquam invenerunc rn Zenone , Pi y canei lui jus 
ineo non invenerunc, fedilli conculerunc.quodZenofine Achenien- 
fibusconfequi nonpocerac: fic Animaordinem & proporcionem ln fo- 
nis inq; radijs invenic(ecfi ne hanc quidem foris invenicied ialcem cer- 
minos,ucdictum)atucha:cproporcioficharmonica , ipfa fui Arche_ 
typi coliacione facicqua: harmonica dici non poflec,nec vim ullam for- 
tirecur inmovendisanimis> Ii hic Archecypusnonefsec. Sacisigkur 
cL Senfilibus Harmonijs. 

JamenimcranfeundumnobiseftadpUfas&fecreCasHarmonias, 
hTmonia alcerum fc. divifionis noftraemembrum : lllas nempe , quas jammodo 
inieniihs; ftatuimus Archeiyposfeu Paradigmaca fenfilium harmoniarum. Nani 
fi Archecypi fuam haberentfubfiftentiam excra Animam ;fateor equi- 
dem, magno nosaigumencoprivari,proafserenda neceflicace Animar, 
ad eflenciam Harmonia^conftituendam. Acqui excra Animam Ulos 
confticuere , eft oppoficum in adjecco , ut audiemus. 
Ejustermi- Verse enim & archecypicae Harmonia: > qtiaenulliipeciei fenfili 

Confufa exiftit , principia iunc nihilominus divifa & numero plura. 
Cumenim& illalitproportio > fequirit igitur & ipfa fuos terminos 
binos. Hiver6termini,utlibrisprioribusufurpavimus , funtCircu- 
lus totus & Pars ejus vel partes , aliquota vel aliquoca: , demonftrarive 
rcfcifo arcu. Hxc eftipecifica proportionis hafmonicse difterencia , 
quanon tantum harmonica proportio diftinguitur a proportionibxis 
ali js , fub eodem genere locatis, fed etiam pura & archetypica a fenfili- 
bus : niflquatenusitfu vulgi tritiflimo , fola fonorum Cottgruitas , 
Harmonia dicituf . Naminhocipfo clarifllmum apparec difcrimen 
inter puram Harmoniam,& Harmoniam fenfilem feu concreta ; qucd 
in puraterminifuntexmathematicisgeneribuSjCirculo & Arcu , cer- 
to modo formatis:habet n. circulus fuamformationem feufiguratione 
ex feipfo , habet arcus ex Subtenfa cerminos, ex circulo figuram; in Cen~ 
filibus veroHarmonijsnoneftopushacfpeciali formatione , poffunc 
enim efle vel redfoe lineae, vel aliter figurata? quantitates fenlile ; dum- 
modo finchujus archecypicaifua^Harmonijefidaexemplariajinquan- 
titate quaelibetfua : quantum quidem poteft efle fida; imitationis in re- 
bus fenfilibus ; quia quod in ijs vero propinquum eft , fecundum magis 
&minus, idproipfoverorecipicuc HifuncigicurcerminiHarmonia; 
archetypicat. 
AdESSE Deinde , pracer terminos , f urfum uc prius didtum in fenfilibus, 

1 ^tcaa** rec Fi r i curcc i am Mens,comparansterminos,& dijudicans, num ij,ni- 
i •ncera re mirum arc 9 circuli,calesfinc,quos de toto circulo refcindatlaCaliquod 
a - figurae demonftrabilis. Icaq; tria quodammodofuntprincipiaHarmo- 

nia; 



Harmonicis Lib. IV. 115 

niaeArchecypicaj,duoexparce cerminorum, Maceriale, ut analogice CAfVT L 
loquar, Circulus, &parsejus ;Formale, refciflio partis per figuram 
demonftracivam ; & unum ex parte ipfius relationis cerminorum , 
fcilicecEfHciens ( quodammodo ) Mens. 

Cumqueproportioomnisj&ficetiamhjEcpartiscirculiadtotum, Harmonia 
fit in pra;dicamenco Relationis , jam ha?c certa & defcriptaproportio- e ft Rdatio 
nis forma, habet feutqualicas quarcaefpeciei. Eft enim Harmonia, Re- quaiiuuva. 
lacio quodammodo qualicacivafeu figuraca, quippe aY figuris regulari- 
bus formaca. 

Quod fi prius ad Effenciam Harmonije fenfilis percinuic, uc fenfilia 
perfpeciem infiuerencinanimam:quantomagisetiam hicnecefleeft, 
utquos diximus Harmonia: fecrecae terminos , Circulum & Arcum 
eius; ij finc in mente ipfa intus : five id quis per fpecies incro recepcas 
faftum effe dicac , five cum ipfa Mence perennavennt , ante omnem re- 
cepcionem intus prsefentes ; de quo jam porrd nobis omnibus ingenij 
viribuseritdiipiciendum. 

Cum autem ad hunc locum jam devenerimus ; non equidem fine GTnaa & 
luculencainjuria tam le£toris, philofbphiae cupidi,quam Veterum, s P eciesre - 
quihancphilofophia; parcem ante nos criverunCjipforumplacicade^™^^ 
rebus iifdem diffimulare poffumus , quancum quidem nobis de iis con- infmt ia A. 
fticeric Unum cancum prasmictendum cenfeo ; diftinguendum effe in- ruma * 
cer fpecies ipfas machemacicas, Circuium,& Ai cum ejus, incerq; com- 
parationemeorum :&hocided;quiafifpeciesipfa2 , ceucerminij,col- 
locandse func intus in anima fine recepcione; mulco magis Harmo- 
monia, qua? eft inter illas partes , in mente collocanda erit , uc non h;u 
beat effentiam fuam extra lllam , quippe cum eius •effentia confiftac 
in a&ione aliqua mencis circa fpecies illas. Ec circulus quidem cum ar- 
cubus fic func in Anima,uc cicra concroverfiam finc eciam in fenfilibus : 
acHarmonia, qua^efiincercirculum ejusque parcem; quoad formalc 
fuum,nullo modo eft excra animam; uc fuprapacuic exemplo Numeri. 
Jam vecerumargumencafuncprasripuedefpeciebus ipfis,refimplici- 
ori; Harmonia vero res eft magis compofita. 

Et hoc eft difcriminis inter Ariftotelem , Platoriem , Proclum , ex 
unaparte, interquePtolemaeum exaltera. Illi enim de EssEfpecie- 
rumdifputant,Ptolem£eusde Esse Harmonib. Sed Ptolemari Tex- 
tum nos in Appendicem totius Operis rejiciemus ; ne nobis , quod ini- 
tiocapicishuius verebamur,turbas coucitec;Illosver6, qui appoficif- 
fime ad praefencem fpeculacionem loquuntur, jam audiemus. 

Ec Placonis quidem de rebus Mathematicis fententia hsec erat> j * ,ato f ls 

1 e- f r- o • dogmade 

Mentem humanamomnes&fpeciesfeunguras, &axiomaca, &con fubfiftemia 
clu fiones de rebus>feipsa edoclam effe; cum vero videcur erudiri , id ni- Mathema- 
hil aliud efTe,quam admoneri per diagr ammaca fenfilia , rer um earum, rum . 
quas fecum ipfa fciac Id fingulari arcificio repraefencac in dialogis,in- 
trodu&o puerojquirogacusamagiftro^refpondec omnia]ad vocum. 

Anftoceles contra in Metaphyficis, commentum hoc appellac, Ariftoteiis 

>$yov 7iha.<rfjLCLT^, esrg$$ tlw v7ro$-£<nv fa@>ict<r{jLiPov : NecjSfj 

enim haec Matbemacica feorfira a fenfilibus ufquam fubfifterc : nec 

P aliam 



roaco— 

ttarium, 



114 De CoNFIGURATIONIBUS 

CAPVT I a ^ am e ^ e i^ orum fubfiftentiam, ne quidem in Mente, nifi ea racione » 

' qua cajtera univerfalia funt in Mente , cum eflentiae ipfius , rerum fen- 

filium fingularium, fpeciesperdefinitionemformatur inMente : itaq, 

prioraquidem efle fenfilibus, & abftrahi a fenfilibus,at nonre,fed con- 

ceptu mencis. Ubi nocandum,qucd Ariftoceles, quocies fere ufu venic 

«ierft Art uc nommec generumMachemacicorum unum aliquod exempli gracia, 

ftoteli. femper aue Punclum nominec, auc Lineam, auc Superficiem, aui: Cor- 

pus, auc Numerum; qu& func in prsedicamento Quanticacis fumma ge« 

nera: quancitatum vero, in quantum funt figurae, & in quarta fpecic 

qualitatis(ubialiudeftipfarummateriale, quancicas, aliudformale,fi- 

gura) per hasquidemdifputaciones,ficmenciorariflima ; in quantum 

Relaciones, planenulla. Adeo quidem etiam Harmonicam fciennam 

ponit fpeculari de nuliare,nifi de vocibus.;deq; ijs non aliter,nifi in qua- 

cumills funclines,planeucOpcica. De incervallisverolinearum, quai 

func proportio (relatio nimirum, &ea quidem qualicaciva &figuraca ) 

ne fomniat quidem unquam Ariftoteles.Nullum itaq,dubium eft,quin 

ulterius progreflurusfuiflecin hac fpeculatione , fiMachemacicispro- 

fundioribus(deincelle£tuaIi figurarum poftibilium & impoflibilium 

difFerentia,quade nos egimushbrol f )|fuifletimbutus. In quanturni- 

gicurdefummisquancicacisgeneribusdifpucac , facile vincic, nemme 

*etiamde repugnante,- quod verd in univerfum * concludit, & Platonem ftulci- 

Sv^uisf^r "^^"J 118 ' quamipfe fibi eft imaginatus, reum peragic ; denique qucd 

mahter) ,ut pi&uraj Platonicai,de puero ctv f^cLuCOy ipfe opponic picturam con* 

circulo,Tri r r . . . r rr 

gono &c. tranam, Mentem af leren» feipsa vacuam , non tantum cognitionis cse- 
Ariftoteiis cer2e » & Mathematicorum generum fed etiam fpecierum, & plane Ta- 
tabuiarafa, bulam rafam,ucinqua infcriptumfitnihil , ne mathematicorum qui» 
menns ldea £ em } i n f cr ibi vero poflint omnia : hac inquam inparte nec in Chriftia- 
na religione tolerandus eft , & invenit poft aliquot faxula cum alias 
multas evQujua.<;,ut loquitur Proclus;tumProclum ipfum adverfarium; 

quanquamhic Ariftotelem ipfumnominenoncitac:PIaconemvcro > 
quem defendit, nominatum, aperce ducem fiium proficecur, 
Prodi Phi- Hujus igitur Procli philofophiam defpeciebus rerum machema- 

lofophiade ticarum, quas egoterminos proficeor proportionisHarmonica?pura? 
E u ^ n ^ r ^&fecretaeafenfilibus,opera:precium eftex ejuslibro 1. in Eucl: huc 
maticarum tranfcribere de verbo adverbum. 

Sicille : ^Re/iquum efi, irtvideamus , qu&nam Subfifientia , fiu EP 
fintia debecvL afiignari tMathematicu Generibus £j? Jpeciebus / Conceden- 
dumne Jit , illa k (enfilibus Jubfiftentiam accipere_s , five per abfiraclio- 
nem , vt mos cft loquendi , Jiveper colleclionem eorum, qux Jitnt per partes 
difterja, in vnam communem Kationem ( feu dejinitionem ) anne^etiam 
<tnte h&c , ipfis danda (ubfiftentia,vt Plato ujurpat, , & vniverptatis rerum 
Svtdcuna.progrefiodemonftrat, ? 

thematica Primumitnque , fiajfirmamus , Jjiecies cJWathematicas a fenfilibus con- 

jioneffe k flitui , dum Animaa Trigonis aut Circulis rnaterialibus , fpeciem circularem 
finguaribas aut Trigonicam ' pfieundariaquadamgeniturd, infiipsafirwa£ t ; quxro uns* 

sjuantij. ~ vc " 



Harmonicis LlB. IV. HS 

de veniat, rationihus (feu definitionihus ) il/a tztnta certitudo , tztntatfc accutatio? 
Erit enim aut dfenfiltbus ,aut ah ipfa anima, At impoffibile , ajenfi/ibus ; muli b *" *' 
namtfc majorjubtilitas ff- exaciio inefi Rationibus tflis ? Ah anima igitur , qu<t 
imperfeftis perfeclioncm , minime accuratis , (itbtilitatem illam accurafom 
conciiiet. 

Dic cnim uhi inter Jenfi/ia inveniatur natura impartihi/is ('pun&i) d? 
latitudinc carem , ( uc lineaj i$ ' profunditnttL» , ( uc fuperficies ) aut uhi 
aqualitas /ineatumex Centro , aut ubiProportiones fiemper conflnntes laterum 
(maceria mei libri I . ) aut uhi angu/orum reclitudines ? 'I^on equidem video , 
irt fitnt commixtzi $ confufa inter feomnia partibilias , nihilfincerum , ni- 
hi/d contrario fuo purums ; omnia partibi/ia^, fi? qu<t locis difttx, & qu<t unita. 
Quomodiigitttr immohi/ihus ipfam durabilcm efentiamex mobi/ibus , aliastfc 
aliterhabentibus conciliahimus ? Qujcquidenim Juhfijlentiam Juam habzt d 
motisefientijs; habere eam mutnbi/em concedunt ipfli. Et qucmodo accuratis $ 
tertis Jpeciebus d non accuratis impetrabimus accuratiamfuam ? Omne namtfc > 
quod caufa efi notionis fimper mutzibilis , ipfum multb magis eji fe/o. Sttppd* 
nendum er%b erit , Animam ipfam genitricem efeMathematicarumffecierum 
f$ ^Rationums. cAtquifi 'illa continens inje , i/tprima exemplajeti Paradig- Vera matha 
maU ,fecundum efenttam ipfafubfifierefkcit , *ut itztfintgenerationes ( Chrifti- "^""s™ 
artUs fubaudic, creacio rerum fenfilium) nihi/aliud , quam propagationes tia ia Ani« 
JJzcierum ,quxinillaprius inerant (raciones Creandorumcorporum ma- *"*• 
chemacicas j Deo coaecernas fuiffe> Deumque Animam & Mencem efTe 
fuperexcellencer; Animas vero humanaseffe Dei creacoris imaniges> 
eciam in efferttiahbus fuo modo , id fciunc Chriftiani) tuncP/atonicon* 
fentiemus , h<tc dicenief , t-f vera Efentia Mathematum nobis in venta erit- Sin 
autem Anima , cumnon habsret , neCprius alicunde accepifei RationeS Mathe- 
maticas ( fi cum rton fuiffenc ipfi cortcreatae ) nihi/ominus admirahi/em 
huncornatuni immateriatum texit ,pu/cherrimam hancflecit/ationem enititur» 

quomodo ergb difcernei fic genitzi ,fintne (ubfifientia gf conjhntia ( [XOVllLCt 
non yoviLLCt \ego)an in ventos eVanida,& 'Jj/ecJrapotius quam vera? ^ttjh 9 
normis u[a veritzttem eorum metietur ? Imb quomodo , cum efentiam eorum non 
kaberet,gignit tzlntnm varietatem rationum?Nam hocpaBofbrtuit&m illorum 
fubfijlentiamjhciemus , nc^adullumfcopum vel terminum tendentems. Sunt 
ergb Anim<£ ipfitts fbbo/es , fpecief Mathematict , nechabetilla Rationes, quas 
tonfiituit , afen/i/ihus } quin potiushttcahilIispropagantur\JuntquehienixUs 
ipfius , £<f h<tc puerperia } permanentium & perennium Jf>ecierunu> t , evi- ^fj^*™ 
dentia^. non eflc col 

Secundbfiah infra & a fcnfi/ibus colligimus Rationes dMathematum J22§"£ 
( (eudefinitiones ) quomodo nonmeliores erunt demonfirationes quas confiitu- gularibus 
untfenfiliaj,, demonfirationibus univerfalioTum^fimphciorumf^eCierum^? quanus. 
Dicimus enim, ad qu<tfit<t rei invefiigationem,ubique principia £•? propofittones, 
efe demonfirationtbuc- feu conclufionibus cognatas. Si igitur (tngularia uni~ 
verfa/ibus ,(ifinfi/ia ratiocinativis Jitnt cauj<t , quomodofieripotefi ,iJtdemon- 
firationis terminus ad magis univerfalia , non ad partia/iareferatur ; vtque A1 ' e g a ^?* 
intefleEiualium quam (enfiiium efentiam cognatiorem demonftrationibuf pro- ft ote i c . 
Umus i Sic enim ioqUuntur ; T^onfiquis demonfirat,, o/Equicrurum hahere 

P 2 angu- 



n6 DeConfigurationibus 

angulos duobus refi is <equales, idem JEqttilaterum , idem Scalenum,hoc fiire efi 
legitimumifed is fcientiamproprie difkim habebit,qui de omni Triangu/ojimp/i- 
citer hoc demonfiraverit . Itemj>:vniverfalia meliora efie addemonjirationem 3 
ejudmparticularia--,Amp/ius ; magis uniuerfalium ejfe demonfiratiom s ; ex qui- 
bus verb conjkint demonjirationes , illapriora eficj> , gf naturd pr&cederefinpur 
laria , gf caufas efie eorum , qit<eprobantur. aMu/tum igitur abjitnt fiicntite 
Apoditiic<za.bhoc ,vt circapoflerioraortu tf> obfcuriora fienfi/ia , propofitiones 
fuas mendicatb coUigant. Dicam infitper df hoc tertium ; illos Animam vilio- 
remfhcere ipfisjjeciebus , qui h<ec dicunt. 'dsfamji materiafufcipit d Natura //- 
la, qu&Junt efientiatia-t , &f magis Entia , ij> evidentitroj, i Animaverb pofle- 
rioriaBuaccipit abil/is , Exemplaque ti Imagines ortupoflenori fingit infie*. 
ipsd, rejficiens adEfientias viliores,^ abfrahens a materid, quitfiecundhn ipji 9 
natura?nfiunt infiparabilia-- ; nonne Animamipfidmateriaolfiuriorenij> , viddu 
gentioremquefhciunt .<* 'ISfam af materia locus ejl maieriatis rationibus , Jicut 
Anhnafpeciebus (immateriatis) Efibt verb i/la locus prioribus , iftaficundatijs 
cS? il/a ducatum obtinentibus in efiendo , ijkifitbfifientiam habentibusabi/lis : de- 
nique iilafhciis ficunddimefientiamj> , ifki mmcupatis ficundum intentionemjs. 
Gfuomodo igitur Animaj , <iMentis ?J intelleciualis prim<e Efienti<e particeps t 
£jf qute cogmtionem inde confummatam habzt ; quomodo inquam ctiamoblcu- 
rifitmarum totius vit<ejpecierum erit receptaculumj> , infimi fcilic&t in rebusgra- 
duS) omniumque imperJeBifimi adefiendumj,? ^Uerumhancopi zionem oppup- 
nare pluribus , qu.e dudum dmultis efiflageilatu ex merito , fupervacuumexi- 
Jiimo. 
Animahic Qujidji non exifiunt Mathematkz flccies per abfllraciionem materia* 

intetligic torunzj> , nequeper co//ec~iionem eorum, qu<e infunt infingularibus communias : 
ioue 'jJefi ne< ] ue omninb junt ortu pofleriores autex (enfilibus: necefe utique fiierit , iri 
creacumP a Aiimave/ ' dfieipfiave/ 'd Mente tranffumat.iUas , veldenique £$ afi & d Mert~ 
tonis:Me^- tefimut. 'Verumfi djejola , quomodo erunt imagines intelleclua/iumjjccie- 
Chriftiani runij> , quomodo erunt medix inter partibilem i§ impartibi/em naturamj> , cunt 
dicerer lpsu nu H am dprimis confitmmationcm adefiendum fortianturi 'quomodo denique Fri- 
torem : cui' ^ a Exemplas , Paradigmatu ve/Ide& , qu&funt in ntent o ,Junt univerjoruni 
imagines Principes? 
funt omncs £■ vgy * ^ Mente (21. t tranfiumuntur in Animam\ auomodo Anima mane- 

Animaecre- _ J r -, '*? s ■ ■ r i 

at*,corpo- bit ipfajeipja operans , Jeque ipjam movens ;jit\.ationes, qu<zjunttnipja , ad 
iib J vivifica n0 YYnamfubJijientiot i/larum rerum_j> , qu<e ab atio cientur , influXerunt in ipfam 
&£ aliunde^)? Et quiddifferet Animadz3A.ateria,qu<tJolumpoteJkiteefiomnia, 

nihi/verbdematcriatisj^eciebusgenerat ? 
& lunt AnT- %e(kit igitur , vt Anima £? dfeipfd & a mente tranfumat ijki,&vt ipfk 

marexem- Jit abfoluta.confummatiojf>ecierumj> , qu<t ab intel/eBua/ibus primisExemplis 
p,ana &{- ea " fi u Paradigmatibus d feipfis genitis fubfiflentiam habent , & acceffum adipfum 
ftetaturetia ESSE fortiuntur. ltaque nequaquam efi Anima Tabu/arafaj , abommbui 
numabiKo ra tionibus vacuas. i Jed efl fcriptn fimper tabula-* i firibitque {$ ipfiz* 
yeh^irradi infeip(dmj> , & Jcripturis imp/etur d Mentcj. Efi enim Anima , <JM.ens , fiu 
ationem Inteliecius quidam , quifeipfitm Jecundumpriorem fi ' IntelleElumrevolvit 3 i- 
ni inipfas!" wago i/lius , tffigurajeu typusfirisjhcius. Si igitur ille omnia intettettuah- 

tereji 



Harmonicis LiB.IV. 117 

terefi , erit^f Animaomnia animaliter ; & 'Ji "ille exemplariter ; Amma ima- L 

ginis in modum ; (jfjii/ie contraffim gf unitim ,anima divifinu>. Qupdcum 

{_? P/ato intcllexiffei , Animam ex omn:bus confiituit , -divmtque (ecunaum nu- In Timzo .. 

. J _ , .. _s D ... 4r 3 . . J .* ' . r quieftcitri 

meros ,revmxttque Analogijs _v Katiombus tiarmonicis > inque tpjamcontu- oc - m( j u ], ltik 
lit Principia primds , Figurarum effeHrieia-s , putei ReBum tf curvums , mo- tioms alca, 



"uetque circulos, quifunt in ipfa intelleElualiter . Omnia ergb zJMathemati- ^™","*" 



am 



ta primum fifit in Animiu;i_f ' ante Numeros Numeri feipfos moventes ,zf> ante IU pnmum 
figuras apparentes , figurx vitn/es , _f ante Concordata, ve/concinnatzt,, ipfi. Ra- "P 1 " G ':" c 
tiones concordantiarum_s ,fsu Harmonic<e ; H_f ante corpora , qu& moventur in i.Mohs, 
circu/um_s, ipfi inconfbicui cycli conditi funt ;eftque Anima omnium rerum Con- transfbr- 
Jummatio;_f ktceftexornatio quxdam a/ia(pr<eter •ftnji/em)qu<e _f ipfajeij.m ™ p}ui o f . 
adducit (adres) & a fkmi/iari _% cognatoprincipio adducitur ; quxque vitd &■ phiam Py- 
feipfam implet , £y a Creatore impletur, incorporeo _fi indijhnti modo. ( Non 16- _\]_^\[ 
ga abeft ab unoquoque ; in ipib vivimus , movemur & fumus ) Et cum_> tet att ente 
profert exp/katqne ^Rationes ejus : tunc _v Scientias detegit omnes, _$ virtu- k gf nt i' & 
tes. Efentiatur igitur in hifce (feci-bus Animas ; nec exifiimandum , Nume.. Mofisiien- 
r *wzj>, qniin ipfa inefl , efemu/titudinem imilzLtums ; neq^fbrma tv idea eorurn tidtm con- 
qux hcis funt dij/ocabilia,fubaudienda cfi corporea^:fdomnia vita/itsr tf inie/- utim ' 
fclualiter fuppone/ida , _f prima exemp/a apparentium Numerorum {_f Figu- Animam 
farumzff Rationumii motuum: tf> fcquendushicTim£u$ , qui omnem ipjius Mundi Ti- 
ortum i^fibricam a Generibus aJM^tbematicis confiimmat _f perficit , in^ ipsa ^^ us lnte 
¥erumomniumcau(:sreponit. Septemenim illi termini Numcrorum omniumPuto 1.1.4.9 
Jecundum caufam in ipfoprxextiterunt. ^Rurfum Figurarum principia ar- H'*J* 
thitecionico feu fhbrdi modo inipfirepojitzfunt ; $ motiium omnitim primus 
t^ principa/iffirnus , qui motus reliquos omnes circumdat incitatqucs , una 
cum ipfa extitit ; omnium enim-qua moventur , principium efi circulus, ^f mo^ 
tus circu/aris. Sunt igitur e(?entia/es cif feipfis moventes Cftlathemaiicarum> 
rerum Rationes,qux confummant Animas: quas Anima proferens & \propagans 
evolvenfque_s) , omnem varietatem fcientiarum tJMathematicarum fhcitfubfi- 
fteres. T^eque erit unquam vt dejinat illa progignere i_f eruere fempet 
■alia pojl alia ; dum Rationes fuas impartibilesjimplicitate exuit. Omnia enim 
prius accepit , (fjecierum principum cv primxvarum in modum;t?> fecundiim in- 
finitamfuamfkcu/tatenz^ , ex principijs antichatis , omnis generis Jfecu/atio- 
numpropagationes architefkitur. HaclenusProclus. 

Tocum locum exfcribere volui , quia non cancum genuinos Har* 
moniarum cerminos , Circulos &: arcus a nguf is refcilsos , incer cascera 
mathemacica ', in Anima , inque mence ftacuic eflencialicer , fie uc haec 
mathemacicafianciplianima;, viciftimque Animaipfis (inquancum 
funtfecrecaafingularibus) quaedam velut Eifencia: fedeciamquia mi- 
hi fimilia proferenci , demic invidiam rejecli hinc inde Ariftocelis ; co- 
tamque hancphilofophiam eximie commendac. 

DeNumeris quidemhaudconcenderim ; quin Ariftoceles redte 
refucaveric Pychagoricos : iunc enim illi fecuncfaE quodammodo in- 
tencionis, im6&cercia?,&quarca2,&cujusnoneftdicerecerminum: r 
nechabencinfequicquam,quodnon velaquancicatibusjvelab alijs ve- 
ris&realibiis encibus,veleciamavarijsMencis,incencionibu8 accepe- ' 

P % rinc 



118 De CONFIGURATIONIBUS 

Tinc:icaqueneqPlaconicisNumeris,converfioniRerump.cribucis>quos 

G j. ' ' Bodinus inMechodo Hiftoriarum ufurpacnec Clima&ericis dittis, 

ci» propcer quidem feipfos,quicquam cribuo : nifi in quancum ij Revolu- 

tiones Aftrorum Configurationumque numeranc : ucnuper in Prole- 

gomenis Ephemcridum non oblcure fignificavi. 

Ac quodaccinec quancitatesconcinuas,omninoadfencior Proclo; 
ecfioranofluicipficorrencisinftar,ripasinundans, &coecadubxcacio- 
num vada gurgicesque occultans.dum mens plena majeftatis tantarum 
rerum, luctatur in anguftijs linguae , &; conclufionunquam fibipfi ver- 
borumcopiafatisfaciens,propofitionum fimplicitatem excedic. Opi- 
nor igitur , fi meas egoraciones , cur Harmoniis infenfilibus , Circulum 
intelledualem, eiuvquepartes, terminos confticuam,jamfubiunxero 
(conceptaspriusquamProclum legilTem )me non tantum confenta- 
neaProciodi£turum,fed etiam compendium quoddam locidefcnpti 
fa&urum, quantum quidem ille meo fervit inftituto. 

Non dicam inter rationes, quod cum primum foris , deinde in fen 
HaTmonia- fuftfiflenc illa, quxcomparantur ; ultimo 6c a rebus, & a fenfilibus re- 
rum iafen- rum fpeciebus abftracla fuerint, quem fenfum proprie vox abftrahendi 
fiiium.tjua- gignit : nam utfupra dittum ,ha:cabftrahendiratiopertinet adfenfiies 
ftraft«. Harmonias Sonorum & Radiorum , habetque locum tunc tantum , 
cum , uciciviumbenevelmalefadcaexlegibusanciquitus latis , itaSo- 
* ni & Radii ex Archetypica Harmonia jam antea intus praefence , 

dijudicancur. 

Sed haec eft caufa, cur quancicas inteilecluaiis efle dicatur, qu* 
cerminos praebet Harmonicis proporcionibus > quia oporcec illam 
quancicacem demonftrationis longe fubtiiiffima: capacem effe : de- 
monftracio vero illa ex fenfilibus diagrammacis nunquam habecur, 
ecfiijsadjuvecur.-necexcolledlionibusoricur mulcorum fingularium 
fenfiiium ,in unum Axioma > fed a priori comparacur. Quod cum 
fupraProclus vere objecericAnftoceli, fiqjn genere incellectum.ipof- 
(umego in fpecie luculencifsimis argumentis ex iibro primo pecicis 
redderemunifsimum. Figurarum enim quae Harmonicum arcum cir- 
culirefcindunc^differenciafpecificajquaucparcedefinicionisjexplica- 
£urearumeflencia,eftifta,qudd oporcec illas efle fcibiles. lamvero 
quae fcibilicas fine Mence , fcienciae capace ? Neque dixerisj, rem efle 
pofle , uc fciencia ipfa rei non fic : Nam fciencia confiftic in compara- 
tione,uccumlacusfigura;eft3equale Semidiametro. Jam sequalicas quac 
iic fine mence, praefercim in ijs, quae loco feclufa func, idincelligi non 
poceft : revolvimurq; ad argumencum jam fuprapro Harmoniis eciam 
fenfibiiibus aliacum. 

Neque cancum fcibiles fedeciamfcicas oporces efTe; ut Archecy- 
palis Har monia I uceac aclu intus in animo- Nam pofsibilitas ad fcien- 
dum nobis ad Criterium harmoniarum fenfilium non fufficic. Cujus 
igicur pars eflenciae eft incus in animo, adeoque in ejus Operacionc 
feuEnergia , illamipfam remincus oporcec ftacui , cerminos fcilicec 
Harmoniarum,Circulura,eiusqueParcem. 

Qusrai 



Harmonicis Lib.IV. 119 

Qu^rasquipoffitineffefcienciarei , quam nunquani mens didi- CA p VT f. 
cit, nec forralle difcere poceft , fifenfu rerum excernarum defticua- Anjma na _ 
cur ? AdbocrefpondicfupraProclus, verbis infiia philofophia cricis: bet fcicnti- 
nos hodie , ni fallor , vocabulo Inftindtus redtiflime utemur. Men- am Math « 

, . , . . . • n • o n_ matum ei 

ci quippe humans castensque Animisexinftindtunotaeftquancitas, i n ftin<ftu. 
eciamfi adhoc omni fenfu deftituacur : illa feipsa lineam redtam, i- 
pla intervallum asquale ab uno Pundto incelligic , ipfa per hax fibi 
circulum imaginacur. Si hoc , poceft mulco magis in eo demon- 
ftracionem invenire , icaque oeuli officium in afpiciendo diagram- 
mate ( fi camen opus eo habec ) fupplere. Quippe mens ipfa fi nul- 
liusunquam oculicompos fuiilec , pofcerecfibi ad comprehenfionem 
rerum excrafe pofitarum , Oculum , legesque ejus formandi exfeipsa 
pecicas pra;fcriberec ( fiquidem pura & fana & fine impedimencis , 
hoc eft , fiidfolum eflec, quod e/t) ipfa enim quancicacum agnicio, 
cpngenicamenci, qualis oculus efle debeac, didtac : & ide6 talis eft 
fadtus Oculus , quiacalisMenseft, nonvicifllm. Ec quid multis ? Ge- D ± p, oc i as 
omecriaance rerum orcum Menci divinas coaecerna, Deus ipfe (quid pauio p°ft 
cnim in Deo, quod non fic Ipfe Deus)exempl aDeo creandi mundi fup- a °X™ um'' 
peditavic ■, & cum imagine Dei cranfivic in hominem : non demum per Eisetijs m* 
oculos incrorfum eft recepta- ' ffimflari* 

Cumigicurdemonftrabilicasquantitatibusinfit, non quatenus fi- ventatecir- 
gurajfubjiciuncuroculis, fedquacenusmencisoculispacenc,ideft,qua- « d *°i, & 
tenus non cam abftradta; a feniilibus , quam nunquam ijs concreta; fue- ti s>unWer(i" 
runc : abftradtam igicur quancicatem , jure terminos ftacuimus pro- ufum arche 
portionibus harmonicis Archecypicis , quippequxfunc ex circuli di- ^^ m s at fi h b ® 
vifionibus demonftrabilibus. costeinis, 

Eft alia caufa cur abftradtas quantitates eligam , quiacirculus , inconfor. 

^/1 ,.'.„. ° -V matione 

guraeft, quartae nempequalitatisfpecies,quamvisficquantitas, Mundi. 

tameninhocnegocio, pureutfiguraconfideratur, fine magnivelpar- 

vi difcnmine , adeo uc etiam ab ipfa quanticace, veluci a fuo fubjedto 

abftrahatur quodammodo , pofTicque vel in pundti anguftia eius 

agnofci nacura. HocopinorProclusvoluic, dumMachemacicasresin 

Anima dixicinefle ineorporeo & indiftanci modo. 

Eft deniq; & hajc fumma & decumaiia racio,quod quancicacum eft s ymD0 lit 

mirabilisquxdam, &planedivinapolicia, rerumquedivinarum&hu- m» rerum 

manarumcommunisinijsfymbolifacio. De facrofandta; Trinicacis ad- <j lvinaru, n 

1 • • > 1 -.'."•'?»■'. .*. -*. . . . ; .. humanaru 

umbracione m fphaenco fcriph pafsim, mOpcicis, rn Commencanjs queinqui- 
Marcis , iu dodtrinafphaerica, quas hic repetita volo. Sequitur igitur utacibus. 
redtalinea , quae ex fluxu pundti in centro , in punctum unicum fu- 
fiperciei, prima rudimenta creationis delineat , ajmula asterha; ge- 
nerationis filij (egreflii centri , verfus infinita pundta cocius fuperfi 
ciei , lineis infinicis, fubxqualicaceomnibusperfectiflima,figuraca;5c 
depidta: ) quaeredta linea elemencum fcilicec eft forma: corporeae» 
Ha?c in lacumdudta, jam lpfam Formam corpoream adumbrac, Pla- 
num creans : plano vero fedtum fphasricum, Circulum fedtione reprae- 
fentac, mentiscreacae, quajcorporiregendoficpra;fedta,genuinami- 
maginemiquae in ea proporcionc fit ad fpha?ricum,ut eft mens humana 

addi- 



120 De CoNFIGURATIONlBUS 

CA P VT I- a£ j jiyjna^ t linea fcilice t ad fuperficiem , utraque tamen circularis : ad 
planumveroinquo&ineft,fehabet ut curvum ad rec~tum,qua; func 
incommunicabiha &incommenfurabilia : ineftque pulchre circulus 
Animi<^u?- Cam m plano fecante , circumfcribens illud, quamin Sphauico feclo, 
tio? C "' mutuoutriusqueconcurfu;ficut animus,&incorpore ineft,informans 
illudjConnexusqueformaJcorporese^&inDeofuflentaturjVelutiquEE- 
damexvultudivinoincorpusderivata irradiado, trahens inde nobi- 
lioremnaturam. Qua;caufa ficut flabilit proportionibus harmonicis 
Circulum pro fubjecfo & terminorum fonte, ficvel maxime abftra- 
ctionem commendat : cum neque in certae quantitatis circulo , neque 
inimperfecT:o,utfuntmateriales& fenfiles, infitdivinitatisanimi ad- 
umbratio^ & quod caput eft,tantum a corporeis & fenfilibus deceat ef- 
feabftrac~tum,circulum;quantumcurvirationes , Animifymboium, 
a re£to, corporum umbra, fecreta? & velut abftracla; funt. Satis lgitur 
muniti fumus ad hoc , ut Harmonicis proportionibus , animi folius ob- 
edis , terminos ex abftractis potiflimum quantitadbus petamus. 

Utigitur bunclocum concludamus : prarcipua fafciculo collige- 
mus. Communeenim habentHarmonixfenfiles cum Archetypahbus, 
quddterminosrequiranc, eorumquecomparadonem, ipfiusAnimaj 
energiam : in hac comparatione,utrarumq; eflentia confiftit. Sed fenfi- 
lium termini fenfiles funt, extraque Animam prsfentes adefie debent: 
Archetypalium termini fiinc antea intusin Anima prasfentes. Sen- 
filibusigitur opus infuper eft receptione per fpeciem exfe emiffam , 
qujereceptiofiatafenfibus, Anima; miniftris; opuseft& aliacompara- 
rione,fingulorumterminorumfenfilium,cumfingulisArchetypalibus, 
puta circulo,eiusque parte fcibili; at Harmonia? Archetypali neutra re 
eft opus, cum termini antea fint in anima praefentes , ei congenitas , i_ 
pfaque adeo Anima; nec imago fint verifui Paradigmatis,fed ipfum fu- 
um veluti Paradigma. Ita fimplex tantum comparatio , quam inftituic 
anima,fuarum ipfius veluci parcium incer fe,abfblvic Archetypica; Har- 
moniaseflentiamomnem.DeniqueAnimaipfajVerfansinhacenergia, 
eft propofita nobis Harmonia, ficuc, fine refpe&u hujus energiaj,eft 
circulus eiufque pars.termini fc. Harmonis : tandemque Harmonia 
penicus animificacur, adeoquedeificacur. 

CAPVT II. 

Quot qualefque ilnt Animse facul- 

tates fecundum Harmonias. 
y\ Iximus ha&enus de proportionibus harmonicis, 

**-^ quid illae finc, & ubi confiftanc : neque dum nobis videmur artigif- 
fe quseftionem inftituto noftrum convenientem,quod non tamin ip- 
iis proporcionibus harmonicis, quamin faculcace Animseharmonica , 
fcilicec agendifecundumproporcioneSiVerfacur- Ha&enus igitur de 

pro. 






Harmonicis Lib. IV. 121 

CaPVTIT. 

de proportionibus egimus caufa ipfarum Eflenciae : nunc de ljfdem a- 
gendum caufa ipfius Animae. Qu°t facul 

Duplex aucem faculcas circa harmonicasproporciones 'exiftical- "^"^"'j 
teraper difcurfum, menralis, vel quafi ,alcera operaciva : & mencalis Harmonia* 
quidemrurfumduplex,aucenim invenciva proporcionum lpfarum ex occu P 5tui: ? 
abftratlis qnancicacibus , auc agniciva feu animadverfiva electarum 
proporcionuminrebusfenfilibus. f acultas igicur quae indagac racio- 
nes harmonicas , eft eadem, quae & reliquas fciencias arcesque comple- 
ftitur, Animifcilicechumaniparsfuperior, DeDeoenim hicnihil,uc 
quinon difcurfu &c ftudio quippiam indagac, fed fcic abaecerno. 

Faculcasillaquae proporciones nobiles in fenfilibus , vel eciam in 
aliis rebus excra fe conmcucis,animadvercic agnofcicque , eft inferior 
anima^ facul cas,fenfus proxime informans , auc adhuc inferior,fcil. can~ 
tumfaculcasanimaevicalis>quippequae nec difcurncuc Philofophi fo- 
lent,mechodoveadhocucicunnecinfoIoineft homine, fed eciamin 
feris & pecucltbus, inque Anima fublunari. Quaeras l fi llla non com- 
posdifcurfus, eoque non poflic apprehendere fcienciam Harmonica- 
rum proporcionum, unde ergo hoc habeacuc agnofcac for infecus obla* Animis coo 
tas ? Namagnofcere, eft excernnm fenfile cum Ideis incernis confer- nafri ratio- 
re,eisque congruum judicare. Quod pulchre exprimic Proclus , voca- ""as^ 
bulo fufcicandi, veluc e fomno. Sicuc enim fenlilia foris occurrencia fa- 
ciunc nos recordari eorum, quaeancea eognoveramus: ficmachemaca 
fenfilia,!iagnofcuncur,eliciunr igicur incellecl:ualia,ance incuspraefen- 
tia : ucnunc actu reluceanc in Anima,qua: prius veluci fub velopocencie 
lacebancin ea. Quomodo igicur irruperunc iricro ? Refpondeo, omni- 
n6 Ideas feu formales raciones harmoniarum,ucdeijs fupradiffere- 
bamus> inefle ijs, quae hac agnofcendi faculcace pollenc ,• fed non de- 
mum incrorfum recipiper difcurfum ,quinpociusex inftinelu nacu- 
ralidependere, ijsqueconnafci>ucformis plancarum connafcicur nu- 
merus ( res incelleccualis) foliorym in flore &c ceilularu rn pomo. Quod 
experimencum in plancis, fimile raciombus harmonicis, (numeruse- 
nira & proporcio, res cognaca (unc , uc fupra pacuic ) efficit , uc ne vege- 
tativaequidem animsfacukaci,Plancisque ipfis, faculcacem agnofcendi 
harmonicas proporciones Radiorum iideralium, confidencer poflim 
adimercecfi fine experimencis propnjs mhil ftacuo. Sic igicur fic,uc pu- 
eri,ucrudes,agricolae,barbari, ipfa;que ade6 ferse, percipiancharmoni- 
asvocum , ecfinihilfciuntdefciencia harmonica Si quaerasunde lllis 
hic inftintlus ? aucadDeumconfugiam, quihascorponbusformas,o- 
mnes fui ipfis imagines , fecundum magis camen & minus , efFormac & 
Praeficic, fecumque ipfis harmonicas raciones ciroumgeftare facicuci 
ipfe eas ab aecerno mente complexus eft , inque creacione expreflic , uc 
fupra dichim : auc , quod eodem redic , alleeabo coenacionem , cap. I . • , 

a ._ . . . n . ° • , , * Ammam el 

tactam , animarumharum,etiaminfenorum , cumcircu!o,adquem, fequodam- 
yeluc ad normam legemque , compoficae & conformacae finc , cumque ™ odo circu 
ipfo circulo, ejusq;demonftrabilicace, Ideam eciam proporcionum har- Fundamen- 
monicarum inde dependencium mduerinc. Valde enim confirmanc u,minflu - 
hanc Philofophiam Genefes, cum videamus, charafterem confluentiae SSSJ 

Q_ radio- 



' 



122 De CoNFIGURATI ONIBUS 



CAP. II. 



radiorum cccleftium ad idem punftum , vcluc cx circulo communi i 

imprimi in nafcencis animum: de quo infra cap. VII. plura. 

Media'qui- Porro media quibus ucuncur lftae faculcaces Animte inferiores ad 

bus Animapercipiendasharmoniasexcernorum, funceademquibus &excernaU 

liarmonias pf aoD Jecl:aincrorfumrecipiunc Sifenfiliafunc, feniibus eciamperci- 

piuncur,faculcacib p fcanima;, fenfus in formancib 9 , qua: & lpfanon mi- 

nusquamfuperior , m comparacione verfancur rerum cercarum , fed 

idinftinctu , npn difcurfu. Sicfoni audicu, eiq;pra;fe£ta poceftace, con-* 

fonancesdifcernuncnradiflbnancibus. Sicproporciones Architecto~ 

niceeoculis percipiuncur, &faculcaceilla, quse vifuieftpra:feel:a,pulch* 

rae&congruaeabincongruis difcernnntur. Sinautemresipfa;,inqui- 

buseftharmonicaracio,fenfilesnonfunc, fedfortealiafacultateper- 

cepcibiles , eadem & ipfx proporciones rerum in anima relucenc -• uti 

- comparacum eft cum proporcionibus radiorum fideralium ; quae quo- 

modo ab anima fublunari percipiancur, infra Capice VII. difquiremus. 

Eft camen obcufa & ohfcura hxc Harmoniarum percepcio rn facul- 

Qgalisper- tacibus Anima: inferioribus, & quodammodomacerialis , &fubnube 

«puo. quafiignorancia? : necenim fciuncfe percipere; uc cumvidences ali-» 

quid,non camen animadvercim 9 , nos id videre.Tales func mocu s llli, & 

pavores,a Scoicis celebraci,nacurales fine confilio,prarcerq; volucacem 

talis eciam afFe&us Odij vel Amoris nacuralis,miro cumpnmis ingenio* 

qui membrorum comenfu. vocisq; & cemperamenciqualicacib 9 ,honi-» 

ftinaus. 1 "" cacemvelfimilicudinem ajftimans Animaealceriuscumfua,mirificein 

illam exardefcic Amac igicur infanus adolefcens puellam;nec fcic cur, 

auc quid in ea pociflimum amec,quod ei nonpoflic praeftare quaevis ob- 

via merecrix , fi lnhoneftus amor , auc qua;cunque nubilispuella, fi le- 

gicimus, AcPhyfiognomicusfuperveniens,invenicinucraq;perfona 

fimilicudinem aliquam morum ; qui fi viciofi, licigijs perpecuis in con- 

Phyfio2»o- j u gi° P ra; b enI: occafionem ; fi boni, cranquillicaci vica;. Adeoq; huc re- 

micusm- referendus eft univerfus inftin&us Phyfiognomonicus ;qui quamvis 

fonaus. mucus, & quodamodd brucus , (minime vero arce comparacus , ecfi per 

eamexcohpoceft) rerumcamenhumanarum incerpres & arbicereffc 

unicus. Tancumenimquilibecprofpericacis (nacuralicerloquendo) 

obcinec, quancumejusfacies,comenfuscorporis , inceflus mocusque 

membrorum, arridecrerumpociencibus,quancumq;ijsirrepic, nullo 

i^ ftuf ec ' am w P er ca rc confilio ulis , veluci lacens,uc fkpe ceftencur, fe ama- 

re vel odifle quempiam , nefciences ob quam caufam. Talis inquam 

eftin Animsfaculcacibusinferioribus fenfusproporcionum finefenfln 

Adeo neq; diftinguunc proporcionem a Terminis feu fubie&o fuo ( uc 

cum audicajucundacancilena,pr£ecer fonos ipfos,nihil de arcificio lpfo 

cogicam')necplanediftinguucincer fe diverfas Harmonias;cantum n* 

quodfincanimadvercunc, quidvelquamvariaefincnefciunc. Quippe 

ipfae eciam Ideas Harmoniaru , quas hx inferiores Animse faculcaces fe- 

cumhabencinc ? ,nonplanepurasipfis func inftindta>fed cum in volucris 

{peciei fubjecl:aj,ej 9 fc. qua; cujufq; faculcacis fic obieclum.Nimirum fa- 

culcas auditus(uc exemplo fonoru concordacium ucamur loco omniu ) 

corpori proxime aftans,craflanimis , eoq; & inhabihsfuic adrecipien» 

darnpurifllmam proporcionis Ideara;uc iam ftacim pluribus explicabo» 

Nune 



Harmonicis Lib. IV. 125 

Nunc enim ad energcticas Facukates venio , qua; circa proporci- ^ 

bnes Harmonicas occupantur. Eftn. hsc quoq; duplex : nam aut infe- ■ 
ipaa eft operofa, aut in rebus extra fe,ucrinq; aflimilans opa fua propor- 
ciomb p , autinducens has irt illa. Ecilla quidenipaflivaefimiliseft., ifta 
citra controverliam in agendo exercecur , illaigr inferiorum Animc, 
facultatum riirfum eftfoboles,ifta fupenorum: lllaNacure viribusfub- 
cftihqc voluntaci hominis. Iila fane motU pollet akeracionis,quam cor- 
pon Ilio inferac ,uc omninofacukacifubfic vicali. Quod enim deledta- 
rhur Harmonijsfonorum,fpeciem paflionis haber, quippe delinitionis ^, H e a c r "" 
demuliionisq;,Unde ectamaPhilofophisapaciendoSympachiadicicur momas pa- 
animorum cum Cancu;eft camen revera operario anirmv, nacuraii mo- natuI AaU 
cu agencisirt feipfam, fefeq; exufcicantis: ad quod illa non confilio, nec 
voIuncace,fed mftindm nacuraliferciir: habecq; jam ab ipfo orcu conne- 
xas & in unumquafi conflacas Ideas , & Harmoniarum infonbs incor- 
poracarum,&afteclionuanimirefpondencium:ucnGnaliceripfificim- 
planraca Idea Harmonia?,quamquacenusla'cificac,eftq;dele&abiliurn 
aliquid, & quarenus eftldeie rhotus conformis implexa. Hoc dpinor 
Proclum fupra voluiflejcuniafrirmarecParadigmacarerum Machema- 
cicarum ( & iic eciam , mulccq; magis Harmoniarum ) ineife in Mence ^ 
~*mLelIedi:uaIiter,inAnimaverdtvicalicer:fic n. ineruftceciam ih facul- j/og^fflC* 
tateaudic* fonore, invicali fublunarium radiofe & operative,-fc non. 
func ipfa Paradigmaca pura incerna , Ced Icones illorum , foras derivaci. \ n ~ . 

Quod veronon cancum deledlamur Harmortia cancus, fed eciam C,W/Wtoff 
diguorum,oris,pedumj,corporifq;motus accomrriodarhus:id jam prae- VtAnimia _ 
ftamus facukate ariiriialij jundla voluncace. Ac ciim eciam vocem ad g ^n: r«un- 
HarmoniasintelligibilesaccOmodamus; meditances concihnum can- dun ? ratl °- 
tum, anteari6riauditum:hicfupremis infimifq;omnibus facukatibus n," s . im I 
ucimur : fupremis quidem, qUod & vokimus , & confilio ucirhur > infe- 
ridribus vero,qucd poflbmus, &: quod eciam fine inteliedlidne propor- 
tionum, folasldeas intervalIoru,nacurainplancacas,caricu exprimim p , 
inconcinnisomnib 3 excj ufis, perfola intervallaconcinna divagances. 

Hadtenus igitur cxplicatas , facukates harmonicas eflentialis illa Vndc Anr- 
Harnionia,DEllS ipfc,expiravitcreando,utqui eft io\CL OVZgyetCt, in- "^'1"«« '' 
fpirantq» hancparticulam Cux imaginis' in Animasomninoomnes, fe- H 
cundum magis camen Scminus , qua inculcacione finem impono i & 
huic capici. 

CAPVf nr. 

V<Lias fint Generar&)!/ ^pLoo-puzvmkoc eftjrerum feii 

fenfilinmfeu immateriatarum; inquibus expreflcefunrHar- 
moniae, five aDeo, flve abhomine, & quomodo ? 

"p\ Iftindtas efsc quxfliones facilepatet i.cuiinfmt 

"*-^ HarmoniaecanquamAgencijEormancijfeuOpifici. 2. Cuiin- 
fi nc canquam operi formaco. De priori egimus hadtenus •' de pofterio» 
iinunc porro agendum acc^uratius. 

Q_ & . < Res 



armoni-_ 
cx. 



124 De CONFIGURATIONIBUS 

GAP.III. . 

Rcs igitur omnes velfuncimmateriacae,velmaceriaparcicipanc* 
t, i» Anima Imaceriaca eft Anima (refpedtUjquidem corporis)acq; haecuc hattenus 
ufurpavim 9 , coca refpedu fuae effenciae, defcripta eft a Deo in has pro- 
porcionesHarmomcas,quaeq;priusineranc AnimaeucOpifici,fc.uceft 
£nergia , nunc infunc eidem, uc operi Dei. Quae vero maceria par cipanc 
illa fimul & Numero & Magnicudine parricipac, Acmagnicudmemfe- 
quicur earum fitus in loco; quib 9 deniq;accidicMoc 9 localis. Numerus 
av Anin Nu jg r e ft- aliquid natura pn 9 Harmonia, qu la oporcec terminos harmonias 
^etarum. cujufq; efle numero plures uno. Habec camen & Numerus primorunl 
MundicorporufuasexGeomecriacaufas,quasinfralib. V.exMyfterio 
meo Cofmographico repeco. Quancitacem fequitur figura , individua 
ejusproprietas;qu2ecurglobofaiiderib 9 ,ipfiq;adc6Mundodeberetur, 
fe- ex Sphaer icf Archecypo, id alibi paffim folec explicari. Figuras cor- 
porumdiverforum ftacimfequitur cercaproporcio, eaq;criplex : una 
diamecromm, alcerafuperficierum, cerciafpacij feucorporum. leicur 
hbuscorpo U caulae harum Proporcionumaliaenon fuppecerec, probabilicerpoile- 
«*m. mus afFu - m/ire,ex Harmonijs effe defumpcas-Quaecunq, camen _eae func, 
illas Globi cceleftes fine ulla muracionecuftodiunc. quippe qui nullo 
mocu temporifve dccurfu majores minorefve fiunt. Secus eft cum ijs 
Prqportionibusiquae infunc corporibus causa ficus,& causa mocuum lo* 
calium : illaeemm recinenc ingenium Motusipfius.quiutincontinuo 
EIERI, nunquamin ESSE verfacur, ficeciamProporcionesmocuuin- 
^.Aninin- conftances func, alijfq, cemporibus aliae. Verum quidem eft; fimotus. 
tenaliis. CO rporum cceleftium non variaret eorum intervalla a communi meta 
feu Bafi mundijh. e. li nullus effet eorum mot 9 inaltum & profundum, 
fed omnis in merum circulum concentricum ; cunc non cancum intcr- 
vallorum proporcio conftans,fed eciam mereHarmonicafutura fuiflec, 
fi caufae aliae non fupgenjffenc. Idemde mocu dicendum, caufa fuae ef- 
f ^ "ceic° ^ enc i^'-d eft caufa fuaS celericacis verae per aecherenvquae fi conftans fin- 
xitatecon- guliseffec & perpecua, dubium nullum eft; quinhaediverforum celeri-> 
ftanter. tates & cardicatesad legesHarmonicasfuiffentattemperatae. Idemde- 
niq, de eodem motu dicendum eciam caufa confecci fpacij fub Zodiaco 
apparencis. Nam fi omnes planecae eodem mocu apparenci fub 
nbu" atpa° ^ ocnaco debuiflenc incederejnec unqlongiusalcer abalcerofeparari* 
rentib» fub non eft dubium,q,n Deus calem illorum ficum ad fe mucuo fub Zodiaco 
Zodraco confticuiflec mde ab inicio (fiquidemhbera&nonalijsnecefllcacisle- 
con tantcr. ^..^ 9 nexa f ul n; et; ifl rurn difpoficio ) qui undiquaq/Zodiacum rationib' 
y. An infitu difpefceret Harmonicis. Id adec & in principio motuum ( cum princi- 
corum mi- pi U m temporis confideretur fine tempore) fuifle confentaneum eft; uc 
reme uTb ex communi fitu & configuratione Harmonica (qualis vel ex Terra , 
Zodiaeo. vel potius ex Sole apparere potuit)veluta carcerib 9 ,in fua quihbetfpa- 
. . . cia feu itinfira excurrerit. At quia Planetae moventur in altum & pro- 
non con- fundum , fitus incervalla mucances ; & quia ad hunc mocum neceflkate 
ftanter. phy fica fequicur eciam realis incenfio & remiflio motuum,causa celeri- 
tacis: deniq, quiaper inaequales diverforum celericaces apparentes,Zo-« 
diacifpacium,quodvidencurillicrajicere,dividicuraIiasalicer:hifcecri- 
busnominibus, cam ficibus, quam mocibusidemconcmgiccausacem- 
poris,quod quancicacib 9 ipfis fine refpe&u cemporis. Sicuc enimnon in 

cote 



Harmonicis LibJV. 12? 

cococirculo, Velre£rainq;omnibusejuspunftisfunccerminiieumecae eAp ni 
racionumHarmonicarum , fedfalcemincercisaliquibus.ficcciamhic videfbLJj» 
non coco cempore morus,exiftere poifuncHarmonias , neq; in incerval- »4» 
lis, neq; in mocuum celericace, neq; in fpaci js Zod iaci incer planecas in- 
tercepcis-.poffunccameomninoincerciscemporismomecis, &poflunc 
hoc cicra ukeriorem Dei operam , femel inicio mocus daco. Nam qui 
exrremaprsefcripficmocibus, &:mucacionemindulficabuno excremo 
in alcerum ;idem eciam incermedia iargicus eft omnia, cam incongrua , 
qux func infinica , quam eciam congrua 6c Harmonica , cerco numero 
incpngruisinccrjecla. Neq; enim hatc mucabilia Deus rehquicfine 
omnicura ornacus Hafmonici : quin pocius eorum aliqua (ucmocus 8. in ititrc* 
Planecarum proprios) excremorum ipforumprajfcripcionein ordine mm . ' celexI - 
Harmonicumredegit:quaematerialibri V. eric.'inalijs>ubinondancur 
cxcrema, fed quancicas mocioniscirculo connexaefr.fecumipsa,facis 7-f«n«um 

, , - _ l r r ■ ■-'i- r cl lougltudltU 

habuic Creacor , iic conrormare ammas,creacuns mudanis prjerectasjuc DU s per Zo> 
& expeCtarenc & obfervarenc & animadvercerenc harmonias , per cocu cUacum. 
-circulum, fuis cemporum momentis provenientes; & operaciones fuas 
ad lllarum praifcripcum accommodarenc Sicfit cum mocibus planeta- 
rumexTerraapparencib p fubZodiaco;maceriahujusIV.libripropria. - 

Igicur cum operibus Dei nobis notis , res fichabet : adquae fi jam to ,i B Cant« 
comparemus ca", qua? Homines adharmonicas leges ordinanc,parcim DifFetentia 
eadem nobis dicenda erunc , parcim diverfa. Primum in Cancibus Harmoma 

r. ■ \ i i . . ■ rum ccele -•* 

ccfi non rninus quam m ccelo dacur concinua quancicacis augmencacio ftium &ca- 
Scdrminucio: haxtameninccelimotibus,cercisnacura?legibuseftne- tushumani 
ceilaria; in voce humana neq; neceffaria eft , neq; eciam facilis. Gutcuf 
n. diftinctione circulorum ad voces ar cic ulacas factum eft ; facfliufq; ab 
acuco in erave, & viciflim , p falcuum veluci incervalla,fonicusq, - difcre- Cu^tox h« 

° - v r - ,*' •■ r " i T i i • minisnon 

tos pervenimus, quam ii juberemur uci lHceniione concinua. Nihu igr cont j nu j s 
mirum , in motibus cceleftibus, cum ipfa augmentatione & diminutio- angmehtis 
necontiaua,qu£vicarinonpotuit,manfiileetiam intervalla inconcin* fi^"^^ 
na, mixta concinnis & confonis: in cantu humano,eliminatis omnibus mentum 
inconcinnis, fola concinna & confona obfervari. Neq; habe t ided,quo ^ el criorda - 
gloriecur Cant 9 ,pra: motionibus cceleftibus: illis n. aliud officium quod mershar- 
peraganc,eftdemandatum;harmonicacontemperacio ipfiseftacceflb- monicae c6 
riatantum: cancuspraecerHarmonias, nihilquodfpeclechabecnihil n f s Ur U tin"ca 
excrarequiric,inunumfolumfinemdelec~tacionisincencuseft. tumeraco» 

Sunt&ahaopahumana, inquaemensproportionesharmonicas, clnaaf . 
obfcurius tamen &c viliiis,incroducic: utcum Cantus non qualitate tan- 
tum acuminis &gravicatis, fed infuper etiam menfura cactus, proporci* 
onis duplae & cnplae parcicipe,informacur: & rurfum in mocu corporu,' n. in taftas 
cum falcacur in Choreis, pr imum in aequalfcacis, pofteriiis in dupla pro- y C ! ,f Y 1 ?' r - 
porcione. Quodidem & poecaeimicancur, concinacione pedumex fyl- fpi.14, ' 
labis, longa 5c brevi; quaru llla ponicur <?iTe dupla hujus ; ubi Iambuso - , *f ; ln SaIt * 
Trochxus-ovelTribrachys o o o, ad Spondaeum - -, dacTylum-ce., A- nonc ' 
napaeftum w«-, vel Amphibrachyn ».i/, vel Proceleufmacicum ww , eft , i j. Harmo- 
uc 3. ad 4 ; ad Bacchios a - _ , - _ v , Crecicum - o - & Paeonas , • o u o , Dlx P ed u». 
9-00,09-0, •»»- , uc/.adj. adMolofsum — jChoriambum-*/»- , °'" cori *Sr 



GAP. III 

- -w» 

va ■ - 



126 DeConfigurationibus 



Ionicos & compoficos fuos, uc j. ad 2, ad eofdem Spondseus, DadTyluSj 
, ._„" & qui cocidem cum ijs cempora habenc , uc 1. ad 3; & hi ijdcm , ad Pa:o- 
'-"• nas , UC4. adc.PaeonesveroadChoriambum&ibcioSjiic/. ad6. 
Vude pcdi- Adedq; deledtancur Poecse & Gramaricieriam nominib 9 propor» 

US .V r ! cionum,ufu peculiari, pedes quadrifyfabos, una brevi, Epirntos,h. e* 
-*-- Sefquiterriosappellante5:quiauunproporcione4.ad3.1ineisparallelis 
*"Z expre(lajCresquidemprini3£unitatesdup!ici]inearepra:fencacur,quar* 
uia cacancurafimpliciexcedece:ficin pedecresfyllabsefunrduorumtem- 

porum,quarca uni p cancum.Cumq; vox ipfiPedum ad Choros alludac, 
Hatmonia parcem Comcediarum & Tragoediarum: videcur hiftriones eciam mo- 
hiftnoni- cupedumproporciones iftas omncs expreffiffe, nonminus qiiam ho- 
" cliitC(fto/ diedupla&criplaexprimicur. In Archicedtonicaquaecunq; proporci- 
nicx. ones longicudinis ad lacicudinem vel c rafficiem plurirnum probancur , 
eciam anon Mathemacicisfpedtacorib^ese quamproximasharmonicis 
Harmom* jnveniuncur. Quodverohisomnib 9 exadhores funt fonorum pro- 
loiscantus portiones , ijfq,'Nacurahominis delecTatur impenfius exprimendis,fie 
cur exsftif- nide, quia fonos vel maxinle in poteftate habec animans omnis ; quippe 
* m '*" incrafeformacos,abipfisprKcordijsemiflbs,adomnemmencisnucum, 
omnem cordis motum prompciffimos : & quod prius didram , quia in-* 
ftrumencum eciamnaclus eftapciffimum, Guccur inlongum porreclu^ 
inftar chordsfeu pocius fiftulae : qua in longicudinc redhlinea vox iur- 
fum deorfum errar expedicifsime. 

Generalicer aucem in omnibus reb 9 , in quib 9 quancicas , & feciirw 

«fnrhar- dhm eam Harmoniae quseri poflunc , infunc illae mulco evidencio- 

quantitati- res per mocum , quafn fine mocu. Nam ecfi ineft in unaqualibecli- 

kus quicf- nea redbi, ejus dimidium, cercia, qiiarta, quirtta , fexra , earumq; mulci- 

roTinfint p'i ces ' lacenc camert ex, irtcer parces alias.coci incomenfurabiles,in una 

•«denter. &eadem confufiorte cum coca,fic aLfcondica^ucfi maximefecundali- 

nea sequalis ahquocarum parcium alicuu ftecjuxCacocam,verbicaufa, 

trabs fuperliminaris crium pedum,juxcapofterri quinum; ej 9 came pro-- 

porcioadcocam nonicafacile innocefcac, acfimocus ahquiscompara- 

bileslongicudinesdifcernat,conftituac& decerminec. Caufahseceft, 

quodubi quancicas eft fine mocu fecundum eam , ibi omnia qua? infunc 

in quancicate, fimul funt eodem tempore, omnes fc. partium omnium 

«urmom proportiones ad totum: ac fiquancicas aliquamocuquodam percranfi- 

potiflimii cuf,'tunc(uteftmotuseffencia)quspertranfnajfunt proporciones,ea: 

en l r !l^w! nortiuntamplius, quaenondum func percranfica?, nondum eciam func i 

propoitlO- r ■ r> i n \ ■ ■ n- ■ 

bis. &unaquaevisproporcioiola eft, cummotusinejusvefr.giapervenic. 

Itafitfucceffionemotuum, ucenucleentur proporciones harmonicas 
ab inconcinnis,& fecrecae a mixcura lllarum, veluci pura; in Iuce confti- 
tuancur,adq;comprehertdendumfertfibusexporrigancur. Adeoq; ne 
mens ipfa quidem in daca quancicace >proporciones harmonicas , fine 
quadam mocus imagine, difcernic ab inconcinnis infinicis, ance & pcft 
ftancibus: fed pertranfitis ( verbi caufa in circulo) fubtenfis infinicis , in 
fubcenfa cerciaJ auc quarts partis circuli & fimilibus , operofa eft , e- 
jufque demonftrationem exquirit: praeftacque cogicacu , quodpra?- 
ftat manus du&a linea , uc earo hoc adT;o fecernat ab infinitis > non cogi^ 

tacis 



HaRMONICIS LlB. IV. 127 

• • j «■ - t r CAtfflfc 

tacis, & non duchs, uc cjus congruenciam aucincongruicacem;feoriim 

a ca: ccris mcns incueacur. Cur mot< 

Mens quidem ifta poceft,quia voluncace ucicur,fuoq; arbicracu falcac pdrifllnia 

inillaquancicacuminfinica divifione, quze coca menti fimul praefto eft cnitcfcan0 

ad cogicandum j fenfiones vero , percepcionesq; aliae nacurales , mocus n r c °? ot 

deniq; corporum.perquos adjuvancur percepciones , nonficin ani- 

mancispoceftacefunciuc/iinfinicifonijaucbinorumplanecaruminfini-^^"™^* 

ta: angulaciones per cocum circuli ambicum , fimul eodem cempore m- nobis cxere 

ter fe confufae effenc.poffincfe fubducere arejeclicijs,inq; folos placen- P lum > ac j: 

ces fefe recipere: opus igicur habencmocu, quo incercedece>omnia quas Hatmonija 

quancicaciscaufaconfufa effent^per cemporafuccedenciaevolvacur >uc tadiorum, 

fingula folaienfibusaccidanc. Quod fioculi fimilequidmenci pofsunc, ^ am6 *" 

uc ex confufione infinica una praefentium fine mocu , ehgantprasftan- 

tiora (udimanuumufaeminifterio> exinfinitiseirculi fubtenfispofli- 

biiibus cligan: delineentq;fubcenfam cerciajparci, lacus fc.crianguli): id 

ipfum non camoculi,quammensipfaperocuIoscenfendaeft facere, 

nechocplanefinemocu,ucdixi,manuum.. 

Vc igicarhancobfervacionemprionbusprottunciacisapplicemus»* , , 

oporcec>ii rcs aliquagenuinu debec eiie iubjectum proporcioms harmo- debean: et 

hicee, oporcet inquam & quancicacem>longicudinemfc.in Ula re inefle, (c com P ara 

& figna elie bina ad min 9 >fi longieudo eft cirCul p ,vel crina,fi re&alinea, " t ^jVhaE 

quorum vel unum vel omnia,motu quodam longitudinem rei percur- monise i»- 

ranc, terminiq^fiartcparciumlongicudinis, incerquasfitproporcio : et h 

hoc ad minimum. Acq; id fic ex parce in configuracionibus,hujus lib.I V„ 

proprio fubje&o. Nam uc dicecur capice fequenci, Harmoniae quidem 

in angulis, quos mecicur Zodiacus,confiderancur fine mocu : anguli ca- 

fnen ipfi, alij exalijs , corporum radiancium mocu per Zodiacum con» 

fticuuncur. Sunc camen modi pftanriores , ad eundem finem cenden- 

tes : uccum corpora, quae habenc longicudinem, ipfa & determinancur 

talibusfignis,furfum deorfttm errancibus,&ccrurtciqualibecviceincer- 

cepci , fimul moventur : uc icanon jam corpora, fedmorus ipfi corpo- 

rum, caufa longicudinis & brevicacis non cemporalis, fed corporea: 

(quippe mocuum incorporacorum,feu corporuinmocuconfticuco- Qgowode» 

rum ) incer fe comparencur. Quemadmodumfe res habet cum fonis: ^ 3 . 8 ," 3 & 

nam fonus eft fpecies emiffae corpore, Scucquancum illud, & ucfigu- n iamm % 

racum quadamcenus, &uc in mocu conftitucum eft: quiapro apcicudi^Je^J 1 » 

ne figura eft & mocus & fonus. 

Acq; hax jam alcera magisq; evidens caufa eft , cuf nacura hominis » 

Fonorum pociffimum proporcionibus harmonicis fic dedica. Fit n. hoc 

rurfum ob conformationem fui corporis: ln quo guttur illud corp 9 eft, 

quodpro fuperionsvel inferioriscirculicarcilaginei in afpera arceria Q3 ;<1 *">•? 

conftrifhone , nunc longum nuncbreve cft , quodq; impulfum fpiricu fo^"c"nfe 

expulmonum follibus expreffi, cavicace fua (figura nempe) mocum e- «t ad Har, 

dic fimilem,cuius & fpecies accidic auribus, & lenfio ( arceria; ipfius, ut, m r onias ^ 

eftinmocuconfticuca) animaj fencienci praefto eft : quippc hoc com-- pnmen 

munifenfu fencireeft , frui fpeciebus membrorum corporis , ucfunc 

illavarijs aftecla & quafi formaca mocibus : quaefpecies,ucinDio- 

pcricis explicavi > fpixicuum concinuicace feruncur % a membf is cor- 

pori» 



128 DE CONFIGURATIONIBUS 

m corporis, etiam remocis, ad fedem fenfus communis. Fic igicur, ucquia 

homocrebrafenfioneafperaefuazarcerixinmocu confticucx, combi- 

mfns^omi bicideam quandam conformacioms corporum quomodolibec fonan- 

nisexfono Cium , idem canco f acilius agnofcac , &dijudicecquafi , conformacio- 

quantua^ nes cor porum excra fe , mocorum, eoquemocufonicusemiccencium, 

tem lonan- r , l . r t i i • 

tiumdiju. eotque incer ie comparacos ad leges narmonicarum proporcionum 
dicet. examinet. 

CAPVT IV. 

Quiddifcriminis fiti.nter Harnio- 

nias Qiiarto, & interillas tertio libro 

confideracas. 

aVantires momentifit ad bene philofophandum> 
diftinguere rerum riries; incer fe cognaca conferre , ne pro ijfdem 
habeancur,Oppoficacommiccere,u: illuftrencur ; id nihil accineclon- 
giori fermone praefari. Quare operae precium fueric , omnia qua? ha- 
denus ad hoc ucilia , vel fparfim vel obfcurius vel obicer dicta func, fub 
unum afpedtumproponere,&:ficubiopuseft, ampliusilluftrare,adque 
praefcripcum capicis lemmaex profeffo accommodare. Quincuplex 
igicur difcrimen eft incer huius & praecedencis libri concemplaciones 
harmonicasjUnum inre ipfaHarmonica,caufafua; amplicudinis, Alce- 
rum in Terminisejusfenfilibus, Tercium in caufa, qua; conciliac Har- 
moniaj fuameffenciam, Quartum in modo inefsendi, Quincum ia 
ordine caufarum quse formanc Terminosproporcionisharmonicar. 
Harmonis L Quod rem ipfam accinec , quasHarmonicaproporciodicicur,- il» 
anguftiorec jjg librocercio primumorcaea fectionibus circuliper figuras regulares 
ro ' planas demOnftrabiles, mox ad reccas lineas cranflaca;, lncerque fe Com- 
rniffae & cOnjugacx, copiam non mediocrem harmonicarum partium , 
(ucfuncSedtioes harmonicae, Torii,Geriera,Modi,Syfternata &fimilia) 
incerque eas admirabilem quaridam policiam progenueruncacque illa 
pene coca fuppellex , quancaquanca eft , eciam infra libro V. ericper- 
fcrucanda & adhibendajac Uunc hoclibro quarco ab ijfdem quidem Cir- 
culi fedtionibus inicio fadto , non camen ad retlas lineas progreffuri fu- 
musifed incra circuli metas coco difpucacionis ambicu eonfiftemus/cau- 
fa didta eft Cap. pracedentj , dicecurque amplius infra cap. VI. ubi & 
de cognacione, & de eftectu hu jus difcriminis agemus pluribus. 
II. Quancum ad Terminos harmcniaru iftarum feu fubjedtum earu 
HatmonisrenfilejilludlibroIII. erancSoriiacumine&gravicacedifTerences-icaq; 
iftaciuntan &fub mocus genus referebantur, &figuraci quodammodo motus e- 
guiorum. ranc; Hocquarcoverolibro nonfuncvoces, ucinprajambulodidtunx, 
non ahquimotus , incer quosquis agnofqacharmonias,- fedinfunc illas 
in angulis,quos bini planec£e,radijslucidis emiffis,formanc in cerra,qua- 
cenus calis arigulus cum angulis redtis quacuOrjUhum pundtum concur- 

fus cir- 



HarmonicisLib.IV. 129 

CAP. tfi 

&s circumftantibus j comparari poteft. Acque hic opus habet le&or 
aliqualuculencaadmonicione. PofTum enim hos quidem cerminos 
explicare clarius ad percipiendum , fed nonpoflum fine periculo con- Quomod» 
fufionis in bene philofophando , nifi dihgencer le&orem philofophum aasamaZH 
praemuniam. Cumenimternfiniproporcionisdebeantdifterre quan- * CK 
cicace ; angulorum vero quanticas, hoc eft menfura , fic arcus circuu, ex 
concurfus angularis pun&o defcripti, uc in Geomecria docemur;in 
toco quidem mundi fpacio , quod eft hinc a cerra ufque ad fines rerum , 
non pofllimus ufpiam defcribereaucdefcripcumfenfib^perciperecir* 
cuIum,radiorumangulis dimeciendisidoneummagis,nifiillumipfum 
fenfibilem circulum in fummoa;chere,creberrimis fixis ftellisexpref- 
fum , a quibus in cer cas animalium formas redactis, ille nomen adepcu* 
eft Zodiaci; quippe & fub quo ipfo Planecae femper verfancur , locum- 
queejus unum linguli nobis corporum fuorum objc£tu cegere viden* 
cur, & in Cujus cencrum, Tellus domicilium noftrum, non fuo tancurri 
cenrro , quodpunctum eft, fed cocius mole corpons, per cujus fuperfi- 
ciem difpofici fumus homines, abditum efie videcur. Nihil igitiir eft 
percepcu faciiius, qUam fi dicamus, ut cap. praecedenti, proportiones 
harmonicas,dequibushoclibrofumusacl:uri, efle incertotum circu- 
Jum Zodiacumj& incer ejus arcum, quem duo planecaj vifibili illo coiv 
porum obje£tu defignare , terminare vel refecare videntur. 

Kocetfificefteomparatflm,^xqueGeomecricis & AftronOmicis 
Rationibusoptimepronunciacum : diligenciflime taraencavercdebet ^ie^. 
ledlor Philofophus, ne animo prarfumat,harmoniam hanc ( libri quide 
quarcimateriam) inccelo ipfo,inqueZodi3COcirculo,auceciaminph- 
neusinefle. MinimegenciumnneftenimhscharmoniaZodiaciparci- 
bus,nonpropcerfeipfas, cumplanecse radiances immenfo incervallo 
confiftanc infra hunc circutum , fed propccrei , quod illae menfurant 
angulos radiorum in Terra concurrencium ; imd propcerea, qudd non 
ipfas a£tu menfuranc, fed illarumioco, fcon exac~tus Zodiaci cceleftis 
in Anima fublunari, hoc menfurandiorficium fubic: ineft radijspla» 
necarum nonquacenus ij finguli velaplanecadelcendunc fuojvellucis 
func foboles ( ecfi non fine hoc) : fed quatenus binorum planecarum bi- 
ni junftihic in Terris cercum aliquem harmonicum formant angu- 
lum. Ucioque nomine Terreftre efthocharmonia; fubjeclum ( forma- SedTerr^ 
licer, & rn quancum radij fiunc Termini Proporcionis harmonicae) mi* ftrcs * 
nime vero ccelefte , nifi cancum macerialicer , & refpeclu fui E s s E pro- 
prijjfine confideratione Harmoniarum;fciIicetquatenusangulos irl 
terra fa&os, proprium fcil. hujus harmonia: fubje&umj conformanc 
radijlucidi, resccelooriunda,fedin terramjam delapfa. De verecce- 
leftibus vero harmonijs libro V. ex profeflb agemus. Breviter Termini 
rnrmoniarum libro tertio , fuerunt Hominis feu Artis opus ; hoc libro 
1 V. erunt Natura? opus : Librodenique V. erunt opus Dei Creatoris. 

III. Quancum jam ad Rationalem caufam , qucc harmonijs {imm 
E s s f conciliat: difcrimen librorum Tertij & Quarti in genere nullum 
eft , fed falcem in fpecie . Influebant enim Jibro III, harmonia? ratione 

R, foifub» 



I30 De Configurationibus 

fuifubjedli materialis (fonorum) infenfus,recipiebantur&dijudica;> 
bantur , ratione fuae formalis effentia? , qua harmonias funt (id eft for^ 
mabantur ) ab inftinclu Menti concreato,racionis fine difcurfu partici- 
pe. Et haclenus Harmonias tantummodo feipfis confidetabantur. 

Deinde vero per occultum fed corifeffum tamert commercium 
facultatum animae , trarisfundebantur harmonia? introrfum receptae in 
affectus cordis varios,per quafdamfuifimilitudinesfeulcones >■ tranf- 
fundebantur & in locomotivam , ut homo conceptam animo fpcciem 
harmonia; non voce tantum exprimeret, fed etiam motu corpons 
imitaretur. Ita Harmoniaj vices alicujus caufse fubierunt. 

Similiter & hic Animam fupponere neceffe eft , cui mde a creatio- 

nercrumfitinftinclumhoc proportionii Harmonicanim KPiTftgjloVi 

& qua? angulum duorum radiantium fiderum', quomodocunque m- 

troreceptum(feuid flataliquarefenfuum arialoga,fivefua:effentia', 

qua animaeft,proprietate, - de quo & di&um capite praecedenti, &di- 

centur infequentibusplura)fecumipfae.ftimet/adquatuorre&oscon> 

paret, harmonicum anon harmonicodijudicet, &fic harmonisfuum 

E ss e incellectuale conciliet, quod anguli hi foris extra mentis limina 

nondum habebant. 

w . Quodfiquxratur,cu]ufmodiha:canimafit,ubivelin quocorpo- 

iftxrducet.re collocetur :refpondeo ,primum tales efie omnium hominum ani^ 

i.ia Anima mas . Sed librotertio erat faculcas quae prxeftauditui,& fic fenfibus|: 

kQDiinis» hicnoneftfenfitivafacultas. Oculienim, quorumobjeclumfuntLux, 

& radij lucidi , nullum faciunt idoneum indicium harmonicas radiatio- 

nis binorum planetarum. Nec eft Radocinativa facultas : etfi enim ex 

ObfervatiombusAftronomicisper oculos adminiftrandis , ratioinve- 

nit & computat, qui quovis tempore finc afpectus : id tamen non agic 

naturahter,quippe non apudomnes promifcuehomines , fed volunta- 

rie,apud paucos aftronomix fingulariter deditos. Sed fiint ammae hu- 

nians fubjecfum harmoniarum illarum,primum ratione inftin&us na- 

turalis,in quancumanimaefunrexemplariaCreacoriSjUcdiclu Cap.IV. 

fecundo ratione facultatum, Vitalis & Naturalis motuumque vitalium 

& naturalium , feu Platonico more , Concupifcibilis & Irafcibilis par- 

tium;racione quidem illius, in quantumHarmonixfunt,rationever6 

harum , in quantum fpecies Harmoniarum imprimuntur in has fa- 

cultates,fiuncq>- caufae operum Nacurae,cam m animo quam in corpore, 

impultrices &ftimulatrices. 

Deinde prascipua animainquam haeradiacionumHarmoniaein- 

z inNamta fluunc,eft illa philofophis di&a Natura fublunaris,per totum TelluriSj 

fubiunan alumnae noftrae, corpus difrufa, inq;ejus aliqua certa parte non aliter 

ftuamma q uam animahumana incorde,radicata; ex quo ceu foco , fonte ,vel 

penecrali,perfpeciemfuiexicincircumfufum Terris Oceanum & fu- 

perfufurn utrifque Aerem. 

Quemadmodum verd, qui Melodo fuavicer'canenci aufcultat,is 
laJtitiafrontis,voee, plaufu manuum pedumve,ad Melodias menfuram 
attemperato, teftacur,fequodeftinmelodiaharmonicum, percipere 
& approbare ; non aliter Natura fublunaris 8 eommotione infigni & evi- 

denti 



Harmonicis Lib.1V. 151 

CaP. IV. 
dcnciviiccrumTcllurisjadillospotifrimumdieSjquibusErrantiafide- 

raradiisfuisharmoniceconfigurancurin Terris, ceftacurde eo, quod 
jam prsmifimus >■ fe fcilicet non minus inftindtu quodam nacurah vale- 
readpercipicndumproporriones angulorum harmonicas,quampol- 
let facultatem nacurali, vitalis noftra: fimili, ad corpus I elluns , ofifici- 
nasque fubterrancas in moncanis, certis Harmoniarum temporibus 
calefaciendascxagicandasque; ut ilize magnam vaporum nebularum- 
que copiam cxhalcnc, ex qua,per Anciperiftafes frigons fuperni,omnis 
genens meteora conformantur. 

InTerrxenimcorporeponenda eft haec anima:quia nec anguli , 
harmomci radiorum m ulla aha parte mundi , quam m 1 erra exiftunc ; VII- 
& opera Natur£C,quas ad configurationes radiorum fequuncur,ex Ter- 
ra;vifceribus,montiumque cavernisortum trahunt. 

IV. Qaarcum diferimert confiftic in modis, quibus Harmoniae di- 
verfia: in fuis infuncfubjec~cis. 

NamLibro III. cuminCancuineilent;in illo coco ineranc , coco Diffimilirtfc 
fciliceccempore, quodurabaccancus. Ecquamvis incervallavocum.uc d&Haiaio- 

■ ■ ' j- i-.-> niarum ha- 

omnia quancicace parcicipancia, concinuam admiccanc divifionem; rum&Mu _ 
non crac camen ibi traniicus cancuiafono inferiori perincermediosficarum.ia 
infiniros, ufquead eum, qui primo confonus auc concinnus effec, fed c ° ntinul -» 
cum falcu & filcncio crajiciebancur incermedia omnia , omnis vero vo* 
caliscorhoracioeracinfomsincer fe concinnis. Eodem modo in Con- 
ccncu , quamvis incer Diapafon & Dihex incef finc infinica incervalla , 
non fiebac came incenfio vocum concinua, per omnia lncermedia, quo- 1 
ad ex Diapafon fierec Sexca,fed falcu ferebancur voces a mera Diapafon 
in meram Scxcam , incermediis omnibus filencio cranfmuTis. Ec in or- 
ganis quidem falcabacur ab unacanna ad aliam , in cenfis, uc Inftrumen- 
co&Harpe, abunachorda ad aliam,velfimulcifona; chorda? uiurpa- 
rencur ,ucinClavichordio,Pandura, Chely, Cychara, ab uno ca£cu, auc 
infiftul is , ab uno foramine ad aliud ; in guccure humano ab uno circulo 
arreria? afpera; ad alium. Non fic in Libro I V. Nam quas in eo confi- 
derabimusharmonias, illae uc dici cepcumcapicepr£ceden«,nonfem- 
per exiftuncinrerbinorum planecariorumradiorumangulum,ckincer' 
quacuor re&os ; fed fic concinua feparacio planecarum, quibus quidem 
hocdacum eft, fubZodiaco drculo^perincervaha&t^^ocraomnia, 

in harmonica, quorum exrremum, duo re£ti, femicirculus , feu oppo- 
ficio-. indequerecrogradoordines pef incervalla rurfum inconcinna& 
dnTona omnia, ufque in conjun&ionem : nullus hic falcus fic ex uno 
angulo harmonieoin aliiim, verbi caufiaex Trigono in Quadracumi 
fed cranficus ab illo ad hunc concinuus eft, per incermedia omnia. Pro- 
pcereacempusuniverfurn motuum cceleftium occupanc configuracio- Suntm<* 
nes radiorum inconcinnse.difpungunt vero falcem cercis momentis," 161 "* 1161 ' 
configurauonesbinorum,autinterdumtrinofum,aut etiam quater- 
norum .harmonice.: rehquis in incongruencia pergentibus; ucfi fepcem 
canna:Organica:fonoscocidem diflonos concinua cenfionis alceracio- 
ne emicterencfierecque tenfionum obviatione mucuajucincerdum 

R a bin* 



132 De CoNFIGUKATIONlBllS 

binseveltrinseconfonarcnt jcasteris difibnantibus. Icavere &proprii 
loquendo, ipfiftimaeharmonicas configurariones non funcin cempore, 
fed in momencis indivifibilibus perficiuncar. Ecfi verum juxca & hoc 
eft,commotiones, quze exhifce harmoniis iri Animis exiftunc, non 
efTemomencaneas;movencenim harmonica£"configuraciones,quace- 
h, nus func in fieri , & in ipfo momenco quo perfeeTra" fiunc, rurfum remic- 

Nontamen . ; - , r , vt i r> ■ i /* n • 

momcnra- titearummmulus ; opera vero Natufiaj j.quae per nos iumulos folhci- 

aeus earum tantur , jam a canditionibus materia; menfuras accipiuntfui cempons , 

ec **' durantque fepe longeukra momenturo,quoperftcicur radiacio. Sic 

machina amea explofa,vi fuccenfipulverispyrijignefcic,nec ftatim., 

confumpca materia ignis,acaiore remiccic. Sic corpus snimalis,uc 

exemplum fic accommodacius,ja£lacnm febrili paroxyfmo ; quamvis 

faculcas animajvitaiis, auchor infiarnmacicnis,a conacu fuo remiccac* 

quippe defuncla fuo munere , & maceria febriJi vel colliquata , vel eje- 

da ex incimis fedibus, verfus exceriora, noncamenftacim omni calore 

liberacur ,hrerecenim is in mareria corporis,carne.,oilibus, nervis diu , 

quoad ipfe quoque craclu cempons expirec 

foi. it T . SuncigicurhxHarmoniaeexearumnumerojquasfupraCap.il. di- 

Sj^ntmixtae ximusnonfubjacere providencixhberce,fed neceiTicace mocuummi- 

inefficaci- fcericum infinitis fui genensincongruis : quibusDeusmences ordina- 

%Ui vic, quas illas cum incidunc , agnofcerent. Atqui longe fcehcior eft, Na- 

tura fublunarisin his,quam auresin cancu,dignofcendis. Audicus enim 

non valde dele£lacur Harmonia binarum vocum , fi quinque alix dif- 

fonancesobftrepanc:Narara fublunaris, afiueca perpecuis incongruis 

configuracionibus,easpronullishabet, quia novi nihil animadvertit; 

in harmonicum verd anguium fic eft intenta,ac fi is folus eflec. Sic cum 

Prognofticum aiiquod millies errat , negligitur tamen hoc ; at fi femel 

fcopumatcingic,hocmemoriadignumcenfecur,hocomniumfermo- 

nibus celebracur. 

Ex hisigiturincelligi datur,Harmonias, invocibusquidem arbi^ 

»unt «eceC trio conftitui confihoquecanencis: inangulis Veroradiofisnullo natu* 

farii non rx fublunaris confilio , fed mera neceffitate geometrica moruum pro- 

grocwata:. venu - e> Nam quiaduo Planetse feparaii debent, per totius femicirculi 

feu Graduum igo. longitudinem , fit neceffario ut fuis certis momentis, 

etiam particulis ejus harmonicis , fcil. jo. 60. 90. 120. &c. graduum di- 

ftenc. Itaque harmonia: cantus quasruncur intus a canente, harmoniafr 

radiorum expe&ancur deforis a Nacura fublunari, obfervantur citm in- 

cidunc, dinofcuncuranonharroonicis,(&ficabillafuum Esse accipi- 

unc ) excipiuncurque & applicancur. Brevicer , configuracicnes pr<£- 

cinunc, Nacura fublunaris falcac ad leges hujus cancilena;. 

V. Quincumdifcrimeneftquodammodoanneclendumprimo. Nec 

piffimiiita- enimljtcicudinecancum difterunc Harmonise hujus & prsecedencis li- 

awoidine- bri,fed etiam ordine refpecluum diverforum, quibus Figurae Geo- 

metrica; gignunt utrumque genus Harmonicarum proportionum* 

tertio namque libropotiorfuit refpedus Scibilitacis,quarcoiftopocior 

ericCongruenciae. Seddehocquincodifcriminejam Cap, V. exprofef- 

foagemus,inexplicacioncAxiomacum, 

cap. y. 



Harmonicis LlB.IV. IS5 

CAPVT V. - P? 

De caufis efficacium Gonfigura- 

rationum 5 earumque Numero &C 

ordine graduum» 

Definitio h 

GOnfigitrationis vox fumitur pro binorum radio- 
rum, cujusque a Planeca fuo defcendertcis, angulo illo, quo an* 
fulo radi) hic in Terra ( quas pundli racionem habec ) coeunc: vel 
quodeodem redic;, fumicurproarcu circulimagni.inZodiacodefcri- 
pci 3 quiarcus menfurafic difti anguli, ieu quem arcum bini Pianecas 
corpor um fuorum objedln cerminare & quafi pracidere nobis cerrico- 
lisvidencur. . 

Notandum primo de nomine , Ptoiem&us in quadripartito, in Opere magno 3 

inque Harmomcis ^j^fJLCLTKT (/M? appeliat,quod Arabes, AJfecius,verterunt i 
qifitfi Schema Jit idemquodvultus ,facies ; quodetiam nojier Teutonijmus ha- 
het , ciuifacicm foiei nominare Da£ Qingc ficf)f / Afpeclum , c5 J perfonatorum Sche- 
7Kata,faciei obtenta, ©efic^fe?/ q #<* Itali Mafcaras. lnvenitur tamen £$ vox 
(ZvfQ<7&K?\L'£i$ ) quasnon tantum ex Ar&bieis AJfeciusvertimus 3 fedetiam 
boni Autores Latine Intuitus^fgria Intuentia dicersfblent. Sedhocjenju vox 
non tam planetis competit , quamjignis Jeu Dodecatemoriis Zodiaci ; qu& citnL» 
londtudines habeant , iis cavis Jtbi mutub obverti Jecundiim magis £$ minus 
poffunt. Nam cdntignafignaf mutub rteqtieunt iriiuerii qkippe vuitibus non in 
fe mutub ,fedjuxta invicem in eandem plagam vcrfs. '*• 

Deinde riota , qubdquo tempore duo Planeta Angulum in terrafaciunt, eo- 
dem g£ in aliis iocismundi Jaciant alios angulos ; at, nujpiam tantos-, quam irt 
«rcu circuiiperipforum gf terra corpora traduclo,aut circalineam,qu<z ipforum 
corpora connetiit , veiuti clrca axem circumacto. Extra h&c loca radiationes 
eorum coeunt angulis lonqe aiiis ,fivcij Jint etiam Harmonici ,fve inconvruii 
utfere pertotumreliquum mundjtnLi. Inpr-imis nota,qubd in aiteruiro corpo^ -. 
rum planetariorum nullus conflituatur angulus. Adangulumenim requirun- 
tur duo radij : at radius omnis extra corpus efl, nullus in ipfo corporc_j>. Quod ideb 
iiotandum, quia angulationem in terra ,jequitureffecius in terra etiam; exqua 
fitb rempus Alpeciuum, expirat materiapluviarum ^ cxterortim meteororum : 
ut defede cauficmoventis meteora,difJutarepofJimus; quedi/ia nonfit in PlanetA 
*ueiuno , vel altero , necinloco alio mundi vacuo,Jed iri ipfa terra. 

Tertio non f-uflra addita efl mentio, qubd Terra puncii rationem habedt * 
tx eo enim Jequitur ,etji animantes in terra innumeri ,radija, ex quolibet Pia- 
iteta in illos o reliqua terr*. puncla infiniti : eundcm tamen,adjenjum,e(fe angu- 
ium radiorum a binis Planetis venientium eodem tempcre,per omnia terrx pun- 
Ba,five in centro,Jive in fuperficie five in cavernis montium : omnes ilii ajfyeclus 
licet numero infiniti,pro unoaJj>ec7u habentur : Omnes quippc adfenfum interje 
tquahsfunt. B. % DEF£> 



CAP. V. 



154 De CONFIGURATIONIBUS 

Definitio IL 

C 1 Fficax configuratio dickur ; cum binorum Planetarum radii talent 
■--' faciunr angulum,qui fit aptus ad ftimulanda Naturam fublunarem, 

facultatesque mferiores Animantum , utcirca opus quseque fuum iiac 

operofior, (ub tempus configuranonis. 

Tribuitur effcacia conflgurationi , qiiczformaliter Ens rationis efl ,fed non 
effcacia in rem ipfam immediata , quafipluvix & fimi/ia ex ipfb ccclo fflilic. a 
planetis configuratis delaberentur , qu<e vulqi flulta perfuafio efi ; fed mediata 
c5? objeciiva. Mamficut objecla movent fenflus ,finus auditum non oculos, Z$ co- 
lor viflum non auditum :ficetiam hic, certa qualitas Relationis hujus , qu& con- 
figuratio dicitur , movet nonfenfus corporis ,Jedfacultatem animalem, Rationis 
ex inflinclu capacemfine difcurfu. Facit igitur hoc Configuratio, vi non propria, 
fidviAnim<t,qu<epatidicitur,cumreverapotiusagat, ipfla infeipfam. bofllea 
animafeu Naturaflublunaris,(iemotafeuflimulata ab tifbeclu,fluique admonita, 
feipflamexfuflcitat ad eliciendam ex terr<t viflceribus materiam omnis ^eneris 
tempefiatumj). Si nuUa efflet inTerra Anima , quam dicimus Na turam fublu- 
narem;planet<z ipfi ne^per fi , ne%per commodum aflfiectum quicquam in Ter- 
ram pofflent. Abfurdum enim efl cogitatu tfjoci lufust^ poetici flimile , quhd ex 
coitu binorum radiorum harmonico, velut ex maris & fccminx concubitu, conci- 
piatur vapor , materia venti velpluvu : quafiverb , utfemen efi de fitbflantitLs 
parentum,fic humor $ c<ttera qu<t ex terra expirant,flt deflubflantia vel Har- 
moni<£ , qux efl relatio ,vel Anguli , qu<t efl qualitativa quantitas , vel Lucis 
jtdeb ipfius , qu<t qualitas efl , nequaquam verb flubflantia-*. QuemadmedunL» 
verb ex nihilo nihilfieri dicimusi Sicetiam ex immateriato aliquo, naturaliter t 
materiatum nihileducipotefi. Vide plura Cap. VII. 

Axioma I. 

Rcus circuli Zodiaci , quem refcindit latus figurae vel ftellae con- 
gruae 5c fcibilis , mecitur angulum Configurationis efficacis. 

Axioma II. 



A 



A Ngulus figura; vel ftellas fcibilis & congrua; , efr. modulus anguli 
**Configurationis efficacis. 

Duohus Axiomatihus totum ntgocium nititur ; qu<z ideo duofleci,quia duofunt 
modiprobabiles ,quibus Animx & Natur<t flublunares in notitiam Configura- 
tionum , qudtfitnt quovis tempore , venirepofflunt. 

Aut enimfiguram Mampercipiunt, cujus latus de circulo Zodiaco reflindit 
*rcum , Conflgurationis feu anguli radiofi menfurams ; autfiquram illam, cujus 
elementum fit ille ipfle configurationis angulus. Quas inter figuras quodnam^ 
fit diflcrimen , qu<t viciflim cognatio , ex hiflce Schematihus hinc ordine fle mutita 

confi" 




Harmonicis Lib. IV. 155 

&»fiquuntur,adocu/umpatet.Binanam%SchemataJuntctVTl7rZ7rov3-6TcLy ' 

trimum diameterfibi ipji,fiu bifecet circulum , ducla percentrum , fiu tangat, , 
cum duo radijpro angulo duos reBosfiupotius an^ulum nullumfaciunt , in line- 

dm unam reUam ordinatu Idem cogi- 
tandum de ConjunSiione d- ve/p.P/a- Figuraff 
netarum , qu<t improprie configuratio 
dicitur. Namfi duo Planetce Juerint 
fub eodem punbio Zodiaci; tunc in cen- 
tro angulus nullus efl, in circumferen- 
"tid infniti,d' /aterafigur<efuntpun- 
l~ki: circulus Jcilicetefl velutiFigura- 
lnfinitangu/d, H<ec confguratio non 
habuit opus repr&fentatione oculari. 

Deiade Tetragonus etiamfibi ipfi 
CWTVKVKOwi , quia angulus , quem 
duo /ateraformant in circumferentia, 
<equatur angu/o in ceniro , quemfub- 
tendit unum latus. Ex eo Trigonus 
Hexagono , PentagonusfleUce Quin- '.* ra ' 
quangu/<e , Ociogonus flellce Olfan- 
gu/<e , Decagonus Stellct Decangula , 
Dodecagonus Duodecagulce dyji7[£- 

7roV.JCt(JlV; utfiunius ex fociis angu- 
/i omnes infiriptifunt in circumferen- 
tiam ; /atus ejus fubtendit anguluwu> 
re/iqui unum in centro collocxtums. 
Centra autem circulorum omnium 
adwmbrant Terram , ve/ut in medio 
fitam ; circuli ipfi vel Zodiacum , ex 
terra imaginaturru> repr<efintant , 
vetquemcunque alium circu/um Zo- 
diaco (itbordinatum,metiendorumangulorum causd imaginatum:quales circuliy 
potefiateJunt animd ipfe, qu<e moventur afpeciibus , circu/i fiil. ab ipsd veluti 
quantitate abfiracii,inque punEii qua/itativi, $ plagarm* capacis, anguflias 
redacfi. 

Pojui autemflellas duas radiantes , extra hunc circulum , a/ium alid a/tio- 
revtu, ; ut ocu/ari reprctflntatione monererru> > nihi/ referre ad Configurationems> 
in terrd , alius an humilis Planeta (it in ccc/o ; Z$ poffe unum a/io multis vicibus 
effe xltiorem ,mxnente eddemConfigurationein TerrtL». 

P«rrb qubd inaxiomateprimo vox congma.pr<ecedit,injecundo vox fcibi- 
lis ; id non fortuitb fedftudio fatium efl. Nam quod a/iquis AJJeBus efl efficax , 
in caufa efl utraquefigura , tam il/a qu<e injcripta efl in circumjerentiam , quarm 
iua cujus unus angu/us formatur per radios in centro : utraque tam propter 
Scibi/itatem,quam propter Congruentiam; non idtamen ttqualiter. Qwe omnia 
indioent explicatione paulb pro/ixiori;qu<t cur tamfitMnofiu> } caufa eflunica i 
nt JfjtebluHmnumerns phi/ojophicis rationibus minui,ve/faltem in 'gradus cer- 

to*. 




156 DE CoNFIGURATIONIBUS 

% A P V. tos ^ l fl' m g u 'f°lP tk NamJiaduJitateS 0B0, quatuor injitper admittere voluifferfl 
Jineomnidifcretionc*\potuifeth<ecdifj>utatiocarere a/iquot Jequentibm qtuf- 
propojttionibus, quippe tantitm in comparatione occupatki 



M 



Propofitio I. 



|igwUlIB 



*gut«iy. 



Aior eft Radiationum cognatio cum C irculo ciuf- 

que arcubus : quam eracConfbnantiarum. 

Cujusjundamenta Hbro III. prtmifajunt/tdjamin librum lV.?neritb 
tranffumeretur,ttt Jxioma : probatur tamenjic. i. Confonanti&fitnt fonorum, 
Jont conjijtunt in motibus s illorumque acumina t$ gravitates , qiabits Confonan- 
ti« exprtmuntur, oriuntur d celeritate $J> tarditate motuum,per demonjiratas 

Iibrilll, Atquijonitus celeres £5* 

tardi eliciuntur ex tenfis pulfa- 

tk , non tantumfi circuiaris fit 

tenfio , fedetiam, £5* multo ma^is, 

firetlilinea. Nonrefficiunt igitut 

confonantux. immediate ciratlum 

ejusque arcus , causa fitx figurx 

circularis } fed caus.i longttudinis 

partium , proportionis fc. illarum 

mutu<z> habentque quod habent,d 

circu/o, etiam tuncjicirculus de- 

firufius, inque retlum extenfus 

eji. Afpetitts contra per definitio- 

nem I. funt anguli , quos metituf 

circuius fuis cum arcubus , non a- 

/iter, nijimaneat idquodeffe dtci- 

tur, quatenus fs. £§ Jiguram ha- 

het circularem, tf eam integram 

retinet. 

2. Conjonantitt noftj om- 
nes aqualt propinquitate propa- 

fabantur A circu/o ejusque parti- 
tts i Nam aliqux ortumfuum re- 
Jerebant adpartes circuli , quate- 
nus ipfis non ut circuli partibus; 
fedutreHis lineis ,accidebat ali- 
quid, eademfc. divifio,qu£ circu- 
lo toti: ut oflenfum libro III, Con^ 
tra efl in AfpeBibus : ejus enimj , 

quod tantumcircu/orefpondet ,menfurttynuHo modopotefi habere refbeBum re- 

Bitudink. 

Propofitio II. 

^[ Aior eft Radiationum cogn atio cum figuris Regu- 

laribus, 




HarmonicisLi&IV. 137 



Iaribus ; quam erac Confonanciarum. 



cap.y. 




Probatur primum a circum* 
Jerentiaiifigura^. iSfam ubi circu- 
lus inteper , ibi^ figuraregular» 
integra^ : fid magis efl circulus in- 
teger in dimetiendis radiationum 
angulis , per I. ergb tffigura rejpe- 
c~iu radiationum magis "Vt integra Figura V", 
confideraripotefl. Contrain Con- 
fonantijs , irt circulm ejusque par- 
tes inretium poterant extendi,fat- 
i)is confonantiJs,fic etiam omniafi- 
gur£ latera in eandem & unam re- 
ihmextendipoterant , cafycumu- 
no figur£ latere reciilineo filcere 
Conpnantiamj> . Hoc verb patlo y 
uti circulus,fic etiamfigura re&ili* 
nea,fuamfigurationem amtttit , vi 
figura amplius nonfit. 

Probat ut • ficundb a centralifigu- 
ra.3. Anguli funt figurarum ele- 
mentz ;jam duo radiffiiciunt angu- 
lum in cent ro, qui altquoties repeti- 
tus confummat figuranij), vt appa- Fl S ura Wi 
ret exfchematibus hifces. fd au- 
tem nonfiebat in ortu Confonantta- 
runts,; nullus enim ibi ftit rejpe£iu& 
anguli in centro. cJMagis igitur 
fiimiliares funt figurx Ajjreclibus t 
quam Cpnfenantijs. 



Propofitio 111 



/"^Ongruenria %urarum plus poceft in confticuendis Configuracio- 
^-* nibus efficacibus, quam in Confcnancijs. 

Arzumentzthujmreimultiifuppetunt. 1. Congfuentia efl proprietasfigur<t s 
quatenus figura totii efi , JJieckmque habet : atqui figur* quatenus hancjpe- 
ciem totahabtt , primum ipjaper fe magis efi cognata configurationibus , quarrt 
Conjonantijs, per Pr. II. deinde dividit circuiumvt totum harmonice, circulus 
verb etiam magis efl configurationibus cognatus , quam conjbnantijs ,per Pr. L 
Quare utroque , tf> privatofigur&nomincjt , Z$ communi figurx $ circuli, 
Congruentitf quoquefigurarutnj, , in configurationibm quamin conjbnantijs , 
"vis efl major. 

2. Anumeroflgurarum. Vfurpavimus enim hoc, fer Axiomatii prttmiffa,fi^ 
gurai effe ejficacesperjuasproprietates. Vbi ergb magis rejpondet Numerus ejfi- 

S &en- 



§gura VH, 



JJIguraVIlt 



I5S De CONFIGURATIONIBUS 

aendorum , ihi major caufit cognatio cum effeclu ,faltemprobabiliter. Atqui ut 
Congru<tfigur<tpauc<tJunt, ita etiam Afpeclus pauci ,quodexperientia tefiatur: 
nifienimpaucieffent , magna effetconfufioillorum, magnafrequentitu,; itaut 
^ngulifeorfimfiiisdiebmobfcvvan non poffent: cvl pofunt obfirvari,nonfiunt 

igitur infiniti nuKiero : contra con- 
fonantict poffunt infinitct ejfe,aug- 
mentatione intervaUorumper Dia~ 
pafomutfcibilesfigurctinfinitczjunt. 
3. Ab Effentia Terminorum , in 
quibus confifttini proportiones hinc 
£5? indcj,. Motus , quorum affeciio 
Soni , in FIEK I confider.rmur , £•? 
quatenus tempus occupani; ^Rddia- 
tiones magk in ESSE momenUneo. 
Sicut enimhoc momento eji aliquod 
eorpm 3 fic etiam hoc momcnto efia- 
liqua radiatio : de Motu verb quod 
prctterijt, idnonefiamplim, quodfi- 
quitur , idnondum efi , in momento 
nihdefi. Congruentia verb magis 
videtur eorum efie quct SVNT 3 
quam eorum qua FWNT: Congru- 
unt enim laterafiuparietes dcmus , 
vtfit domus; non vt demum gf pef- 
petub quidem, <edific&tur t 4. A co- 
gnatione congruenti& irt caufik, cum 
configurationibus. Sunt enlm ect 
ernguli : OL congruentia quoq^ inefi 
figutis ,propter angulos. 

Hadenus fuerunc incer fe Op- 
pofica:, Confonancize &Confi- 
guraciones : infequencifiecop- 
; poficioaliain folis configuracio- 
nibuSjCongruenciae & Scibili- 
tacis. 




Propofitio IV. 



A! 



D configuracionum EfficaciampluspoteftCongruenciafiguraruni, 
L quam Scibilicas. 

Probatur a conditione AnimA fublunaris , Jhcultatumque etiam humanne 
nnimct , quct percipiunt afoefius. H<t igitur omnesjunt inferiores fkculute dif 
currente & InteueBu: $ cognatiores Jhcultati Jenftivct Z$ prctficltoperibus 
finfilibus : quin etiam inflinEim illius , irt Cap. III. diximm , tunto efi obtufior 
inftinciu humano , quanto rudius efi corpus Terr<t,corpore hominis. Atquietiam 
Congruentia efipofierius aliquid ScibiliUte 3 f$ quajiporreffumfbras,in aliquod 

«pus 



HarmonicisLib.1V. 159 

«ptts , quod hahet ldeam operum Jenjiliunu> . Par igitur ejl credi ,facultates has ^ A p - ?' 
animales Congruentia potius, quam Scibititate figurarum moveriafficique_j>. 

Opponebantur Congruicas & Scierttia.>in eodem genere Configu- 
racionum. Jam opponentur figurse duas incerfe,primum causa folius 
Congruencisipoftea causa Configuracionum. 

Propofitio V* ! 

COngmentiaeftproprietas magis figura? Circumferencialisj quarri 
Cencralis. 

Habet enim potiorem locum in illafigura, qu&poteflfieri tota,ratione loci a 
qtio denominatur ; quia congruentia eflfigurarumtotarum,ut ex libro II. appa- 
ret. At de Centrali non plus uno angulo in centroflare potefl,per def. i, In circum* 
ferentia verbpotefleffe Mu Circumferentialis: ergo. 



Propofitio VI. 



EX duabusfiguris, quasfibivindicac Alpe&usquifq; } potioreftCii> 
cumferertualis CentralL 

Eflenim Congrueritia potior ins> 

hoc negotio Scib'rfitate,perlJf. Jt illct 

potior efl infigura circumferetiali,per 

F. Quarein quo idquodpr*pollet,plus 

inefl, idipjum eiiam prafollerejacit jFiguraIX-,1 

circumferentialem fcilicet figuramji. 

Idem etiamfic probatur ex inti- 

mis Attimtzproprietatibus ,Cap, III. 

• taciis. Cum enim Animajit ,qu<z Con- 

figurationum Hafmoniis fuum conci- 

iiai Effe formale ; certe quo difcrimi- 

ne anima vetcirculus efl , vetpunciu y 

centrum circuii) eodem di(crimihe_» 

etiamfamiliare"s illi eruntfigur<e } Cir- 

cumferentialis, £-f Centralis, 

Etji verb omnis Anima circuh 
quandam Ideam gerit , abflrafli qui- 
demiiliusnon tantum a materia , fed 
etiam a magnitudine quodammodb , 
ut dicium Cap. III, ebque circulus £? 
centrum hic fere coincidunt , ipfaque 
vet circutuspoientialis , velpuhclum Jigita j& 
piagis diflinctum , tffic quodammodb 
qualitativumdicipotefl : tamedifcri- 
men hoc videtur objervandum , qubd 
al'i£ facultates anim& potius ut circu- 
lus conJiderand& Junt , ali& potii/s ut 
punc~iunu>. Quemadmodiim enim cir- 
culusfine centro cogitarinequit ,omne 
S 2 vicijjirtf 





18 AP. V. 



Figu 



iXT. 



figuraXlI. 



140 De CONFIGURATIONIBUS 

vicijfimpuncium circaje hahet regionemjcrihendo rirculo :ficin Anima quoqut 
cperatio nuUa efifine impreffione imaginativa ,• omnis viciffim interna receptio 
"velmeditatio, efipropter motumexternum somnis ammxfacultas interior,pro- 
pter magis exteriores. Ipfa princeps if> fuprema Animajacultas , Mens dicio-» > 
quid efi nifi Centrum ? quid Ratiocinativa , nifi Circulus ? Nam (icut centrum 
intuseji,circulus exteriits ijic Mensfccum ipfa manet, ratiocinatio telam qtian- 
dam exteriorem texit: tfjicut centrum, circuli ijic Msns ratiocinationum ha- 
Jis ,fons j di origoefi. Rurfum omnis hac Animxfacult.is tam InteUecius } qudm 

Difcurfiis , denique etiam Senfitiva , 
fiint Centrum quoddam ; at, faculta- 
tes Animte motrices , Circulus : qui*> 
rurfi-im ut circulus externus circum- 
ponitur centro ,ficoperatio ad extra 
efi , cognitio meditatioque perfcitut 
intus, $ ut circulus adpunElum ,fic 
quodammodb fe hahet Aciio exter- 
na, adContemplatione intcrna, mo- 
tus animalk adfenfionem. Puntlum 
enim, quia undi^ oppofttum circum- 
ferentitt, aptum natum efi reprxfen- 
tando Patientii £sf Animafenfitiva, 
•vel hic Radiationu perceptiva, quid 
, aliudfentiendo £-f percipiendo, quarn 
patitur ? fc. quia movetur ohjeBis. 

Comparando etiam utramqucj 
comparationem i ut idem utrinquCj 
centrum i Jic etiam eademquodam- 
■ tnodo cognitionis forma eji , mentalis 
princeps , tf fenjitiva , velei analo- 
ga , perceptiva Radiationum : ncu- 
tra difqtrfii injeipfa, quatenus talis, 
utitur fjed cognofcit citra iilum. Vt 
itufit h<xc illius , Natura dico fuhlu- 
naris , aut etiam fenfitivas , Mentis 
humanx. Principis , tenuis quadanu> 
imago:ficutiUe difcurfus rationis,ha- 
tum aElionum aut operationum ani- 
tn<z imago efi , utrac^ circulus. 
Ouatenus igitur Anim&percipiunt radiationes ccelefies, Osfic ifs quafi mo- 
ventur fecum ipfi. intus, nohis puncl 'afunto,quatenus verb viciffim movent,hoc 
efi, quatenusperccptas radiationum harmonias transferunt in operafua, ijsque 
fiimulanturad dgendum: confideraridehent ut circulus. 

Sequitur igitur , ut in quantum cognofcit Harmonias radwvum , occupetur 
potijfimum circa centralemfguram; in quantum verb operatur , ciensmcteora 
( e? quctfimilia in homine ) circumferentialijefe accommodet, Et verb in affe- 
Bu,prior efi nohis cura efficaci<e, qudmmodi,quo is percipiatur ab Anima operan- 
tj t^rior igitur ,& circumferentialis tmam centralisfgurdrej^eclus. 

Hic 




HarmonicisLib.IV. 141 

Hicfigurafigurasinuno& eodem afpectu fuitco!lata,infequenci 
geminajfuppoficaeademfigurajopponecurejusCongroicasScibilitati. 

Propofitio V I L 

1" N figura circumferentiali prsftac Congruentia Scibilita ti lateris ; "m 
■*■ cencrali viciffim , pra:ftac Scibilitas lateris , Congruentice figura?. 
Pertinet heec propojitio adconjummationemrei ,Prop. III. inchoatte. Etfi 
enimvotiorin IV. quamin III. ejl Congruentia , potior etiam libro lll<fuit 

demo/jjirabilttas: h&c tamen d conjlitutione Afjeciuum nonpenitus efifparada : 
cumnuUiCongruentitzJuadejit (cientijica determinatio ,adebque ab illa depen~ 
deat, citm lateris , tum prxcipue are<e comprehenfle afigune lateribus: ab angulis 
enim,in quibus refidet attitudo ad congruendum , arceffitur demonjiratio. 

Quodigitur propojitionem hanc ivfam attinet,videtur contrarium ejus ve- 
rum ejje, tam in uno ;quam in altero. Namqubd fliguram centralem attinet , 
ejus unus anguiusper radios aclu ipflo eji expreffus ; Circumferentialis nullus ex- 
primitur angulus ,fledtantum latus quadamtenus : Conoruentia verb efll angu- 
lorutn: ergb videtur illa potiflimitm in Centralijbecianda. Namji naturafub' 
lunarispercipit quantitatem anguli, quem duorumplanetarum radijjormant in 
terra , videtur etiam percipere pojfe ejus anguli aptitudinem , quam habet currLa 
aliis, ad congruend,unus> 

QuJdvicijTtmin circwnferentialipotiusjit fpeUanda Scibilitas latcris qudm 

Congruentiafigurct , idficpatere videtur. Scientia enim , quafciturfigura^ t 

rjt iibroprimodemonfliratumefll , conjiflit in<equalitate , vellateris , cumparte 

ejfabiii diametri ,vel ' quadratide /aterew , cumparte effahiiide quadrato dia^ 

rnetri ,vel a.receFigur<e,cumeadem ; vel "m alia connexione & determinations 

Jive lateris,flive ejus quadrati are<eve,ad diamstrum velejus quad.ratum. Po-* 

jito igitur , qubd Natura flublunark habeafcjenfiim circuii Xodiaci, circuli nimi- 

ru;n fenjibilis ,JorisJk>,ntis , quem ipfla examinzf adideatn circuli abfliraSii intek 

leciualis , quam tpflt fecum habet intus connatam feu concreattm : tuncfane fe~ 

quitur, qubdordine naturctpriits fentiat,qttantus arcus Zodiaciflii d duobuspla- 

netis i:iterftm(ius , tflf quantziretfaiilijitbtendatw , cujus quaiitatis ,Jit neef- 

fabilis longitudine , anflolapotentia quadrati ; annecumaiia quadam eflfabi'- 

lemflaciat fummam quadratorunti , tf reblizngulumeffabile ; in quaproprietate 

fitndatur Effabilitas arect : hctcinquamprius innotefcere Naturct fublunarivi* 

dentur ordme natur& , quia latus priits efifigura, ex lateris multiplicatione de-* 

flcripta ; pofled demum , ubi totafigura deflcripta fuerit in Zodiaco circulo, pate- 

flcunt ejus anguli , eorumque quantitas , £if an ijflint ex congruis , Z$ anfigura o~ 

Tnnibus angulis concurrat adeandem congruenti<e fpeciems , £jf ancontinuabi~ 

lisjtt congruentia. Breviter congruentia efli afjecius angulorum 3 Jcibilitas la~ 

teruntj). Vbiergbpriits innotefcitfigvrte anoulus,quam latus; ibipriores fif po* 

tiores videntur eflepartes Congruentict , quam Scibilitntis ; ubipofieriiis , pofie^ 

riores. <LAtfigurteadcentrumpertingentis prius innoteflcit angulus ;figur<e 

verb infuperficie defcriptttfper duos putaflolos planetas)prius innoteflcit latus:re- 

Be ergcfieri videtur ffiinfigum centralipotior habeatur congruentiae ratio , m 

Juijerjiciali ,potiorjcibilitatis>, 

S s &<e 



CAP.Y.' 



14.2 De Configurationibus 

GAP. v. 

Hcecigitur in contrarium nofitctptopofitioni allata ,fint nobis diflolvenda; 

eddemquc opera > vetis atgumentis foborandus ordo propfietzitum , Congruentice 
tf Scibilitatis, 

Primumigitut etfiverumefl > defiguracentralifbrmariperduorumPU- 
netttrum radios unum angulum ; nontumenindc fequitut , irt mens percipiens 
quantitntem anguli ,percipiat naturx. ordine pfiiis,figur<e, cujusfutufus efl an- 
guluS) Congruentiam. Caufkpatet , quia Congrueniia in quantum efl unius an- 
guli,ejusquejtqua/ium a/iquot, in unum locum planum,nimis efl oenetalis : funt 
enim inflnitcz angulorumjic congruentium form& , tzntofimper p/ures numero , 
quantoflnouliflunt minores. Nonefl igitur hczcilla Congruentia , de qua nos 
dijputkmus libro II. quce angulis nonfeor(im accidit ,pdflguris intcgtis , proptef 
angulos , necflgurisjingu/is , fldpluribus inter fejunBis. 

Itaque non tzintum diflo/viturfid eiiam retorquetur objeBio; quodenim il- 

la de Cifcumfiretiali ufittpavetat ,pofflumus nos czquojute ae Centra/i ufurpare, 

Congruenticim,qu<e nobis hic eflpropofita , in ea pofleriorem cfie Scibilitate, quare 

potiores efle oportere hujus qudm il/ius partes , conceflu quidem adverjarij. Pri- 

its enimflguram oportetfleri , qudm totn congrucre pofitt. Jam verb nijilatus 

figurcejcibilefit ,flgurafieri nonpotefl. Nam etji verum efl , dato unofiourct 

angu/o, quena radij duorum planetitrumflormant in centro, dari numefum omni- 

um, £jT per illos,figur<e totiits aptitudinem ad con^ ruendums, nec in hanc demon- 

filrationem ingtedi lateris natutam_j> : at non datur ille unusflgur<e angutus , id 

efl, non agnofiiturpro angulo fgur<e congru<z, niflper latusflcibile. Prii.s ergb 

{prdine natur<e) Animafcit /atus,quam agnoflat,jibi dati angulum congruum. 

^uodfi ' compatemus hicflguram uttamque , minus equidem datur latus 

"jelatea figurct centralis, ipjoradiationis aBu , qudm latasflgurx circumfleten- 

Tol. 136. tia/is : hoc enimflemper determinant tadij ipfi , illa non femper , fed in quibusdam 

Figura IV. f m t UVi fipuris i-utin Trigono,quia /atera cifcuferentialis * an ou/i (inou/a,fub- 

Figura III, 1 " / • cn ■ • ■ a r* ^ 1 ■ r 

tendunt arcum czqualem mtercepto. l\emotior igitutejtpgura centralisab 
aBufitendi , qudm circumfierentia/is ; temotiot igitut etiam Congruenti<z noti- 
ficatio: objcclio verb nitebatur contrario, quafi Congtuentid Centralis efla pr6- 
piot notitict , quam Congtuentia Citcunifietentiatis. 

Amplius ,Jianguti quantitas petcipitut , quaye percipietur , nifimenjura 

fud,idefly arcu circuli iliius , qui ex angu/i propofitipunBo, quod terra efl , de- 

ficribitur ? non verbptimb circu/ii/lius , quifigur<z centra/icircumjcribitur ,per 

ierfam tranfiens. Quare inperceptione quantitatis anguli defigurd centra- 

li , oportet vt Animapotentiam illam exferat , qud circu/us efi , non illam, qud 

exi/epunBum efi,ad quodpertingit angu/us. Atqui eodem tjpo circularisjux 

efleniictpercipit etiam circumflerentia/isfigur<e latus,ejusque arcum , idquepri- 

mb: poflea demum , duplicato hoc arcu, emetgit etiam atcuS circuli minoris, qui 

fiour<z centra/i circumjcribttur ,perprioris centrum duBus; quiarcus fervit in- 

flcriptioni centra/isfigur<e in circulunLs . Nam ordo qui efl in ra tiocinatione > 

idem etiam in inflinciu efl, Kufflum igitur demonflratur via adpcrceptionem 

figurcz centra/is , longior, ^ficetiam adejus Congtuentiam. fguare fleipjam 

evertit objeBio , qu<e pr<tpollentiam eotlocabat inpetcepiioneptioti. 

Ad rationespro altero membrofic refljondendum : vete quidemetiam in cir- : 
cumfletentia/ifigurdpriorem efle Scibilitatem latetis, Congruetidfigur#totius s 
$b argamente diBa , qux hic etiam valent, At nonfiquitur , t/t ex duabus re~ 

hifSi 



Harmonicis Lib. IV. 145 

ius, quarim altera alterius efi cauja, illa qux cauja ejl ,porrb etiamfortius mo- 
veafc tertium a/iquid. 'N^ampro captu anima. , qu<e debet movcri ,fepe minHS 
tnillamvaUi caufa , quameffecius ; i/t hic Animam fublunarem , in quantum 
quidemperceptivaefl ,plusmovetficibilitasJigur<ecentralis; in quantum vera 
operativa ,pluscongruentiafigur<ecircumJcrentia!is. P " p 

Argumenta, verb mea propria ad propoftionem probandam funt ijkl : yi. 
enim ufitrpavimus ex centrum efie \quandam ideam mentis Iheoret tcct , 
feu intelle:1us ; circuwfrentiam facultatis PraHicx fiuoperativct : quia "Ut 
centrum circu/i bajis efl &f origo,fic meditetio aciionis. Figura igitur , qucepor- 
rigit angulum ad centrum ,fc ad Terram , ubi Animafcdet , figurx perceptrix , 
psrrigitfe quafi adfiiendum $ dijudicandum, cum centrum tribunal Jcientix re- 
prajrntet. Igitur incentralifi^urapotius fpecTaridebetfiientia;nonobjkinte y 
qubdillaper circu/um tanquam injtrumentum comparetur , irt pau/b ante 
diciunlj)^ 

Qontrd fgura, qux ordinat angu/os in circumfiereniia , magis fie ' applicai 
ad imiinndum , exprimendumque in opere Animx , vcluti ad ideam operum con- 
currens. Atquipotius congruentia , qudmfiibi/itas habet operumjenjilium <z- 
dificationumau-ideam , quiafiquiturfipurastotas , cumlatus , quofigurafii- 
tur ,jit euis jaltem elementum. ^uare infigura circumjerentia/i potius con- . 
gruentia efi refpicienda, quamfiibi/itas. 

Alterum argumentum pro hacjecundaparte nititur eadem confideratione 
Anim/z. Pr<ejklt id ,propter quodjunt ctftero-.*. Atpropter opus Naturx Jub- 
lumris , ddebque etiam Animx humance, facultatum tnjeriorum , percipiuntur 
configurationes ;filicet in idpercipiuntur , vt opere exprimantur ; major efi igi- 
tur dignitasjacultzitis motorice in hoc neqpcio* Sed Jcibi/itasfigura Circumfe- 
rentidiSiperceptionifirvit, Congrucntia operationi,iJt hatlenus: igitur & con- 
gruentiafigur& circumjerentia/is ,pr<efint eutjdemfiibiliuti. 



Propoiitio VllL 



A RcuscircuIi,quiconfticuiturafiguraincongrua , nullam conciliac 
■*•■* kfficaciam radiacionibus binorum planerarum , arcum decermi- 
nancium. 

Namji ' congruzntia efl caufapotifiima EfficacU,per Prop: III. IV. 0* VIL 
hacigitur deficiente, non erit fufficiens , caufa hocloco vi/icr,Jcibi/ita<. Etjienim 
hxc prxpollet congruentict in Centra/i figurd ,per alterampartem Pr. VII: at, 
vicifiim circumfcrentia/isfigura efit centralipotior ,per VI. Et in i/ldpotior con- 
gruentia , per primampartem Pr. VII. Adhuc igitur congruentiafigune cir- 
cumferentia/is prctpo/let fiibiliutifigur&centralis, 

En caufam, cur cum figurae fcibiles finc infinitao diverforum qui- 
demgraduum; Afpeclus tamen pauci finc» • 



AxiOMA 111. 



A Rcus circuIi,quorum figuras pluribus pocioribusque congruentiat, 
"*-*-fcibilicacisque gradibus pollenc , efficaciores eciam recipiunt con' 
figuraciones. 

Sidm 



GAP. V. 



144. De Configurationibus 

Siduoprimaaxiomatafuntconfentanea vero , erit & hoc : quia propteP 
quod unumquodque efi tulc_» ; illo intenfo , ifiud etiam magis erit tit/cj> , Sicau- 
temintellige; qubdinfigura circumjerentialipriorjit comparatiograduum Con* 
gruentix, in centraliprior graduum Scibilitztis, denique potiores partes circum- 
■fbrenth lisfigurx. 

PropofitiolX. 

^Onfigurationeseflicacesfunt , qux intercipiunt Arcus circuli Zo- 
T^diaci iflos : 

Gr. 180. Oppoficiocf ,exDiametrocirculi:ucinFig . I. 
Gr. 90. Quadratus Q, ex Tecragono : uc in figura II. 
Gr. i2o.TrinusA.'&6o.Sextilis^, exTngono&Hexagono,ucinfi- 

guralll. IV. 
Gr. 45. OcTilis vel Sequadri, & 135. TriocTilis vel Sefquadri 18 ex O&o- 

gono & Stella ejus : ut in fig. V. VI. 
Gr. 50. Semifexci fg, &ci$o Quinquuncis , ExDodecagono &StelIa 

ejus : uc in fig. VII. VIII. t 
Gr.72. Quintilis ±, & ioS- TridecilisfeuSefquincilis : ex Pentagono 

& Scelia Decagonica : ucin fig. IX. X. 
Gr. 144. Biquincilis ^>, &36. SemiquincilisfeuDecilis: ex Scella Peftco* 

gonica&Decagono, utinfiguraXI. XII. 
Qundhtffigurajint Scibiles & demonflrabiles,oflenfum ejl Lilro I.qucdf? 
Congrux , libro II. <£upd verb configurationes expreftcrum 4 talibus arcuum 
jintefficaces , idhabent axiomatn I.ll.pr<tmifkj. 



Propofitio X. 



E 



Chara&e- 
res uiicati. 



FficacitatisAfpe&uum gradus primus &fortiifimus , cftConjun- 
ftionis <^& Oppofitionis ^. 

f^amin Conjunclione congru- 

unt radijduoin eandem UneanLs , £5* 

abeademplaqadejcendunt ; in Oppo- 

Jitionef aplagis quidem diverjisde- 

fcendentes , nihilb iamen minusfiunt 

partes unius continux line<t. H<tc 

verb perfectijfima ejl Congruentia £5? 

prtncipium quoddam omnis congru- 

entitt. Sic cum conjuntlionem repr<t-> 

Jentet puncium Jignatum in circum- 

prentia circuli ; oppojitionem verb , 

Diameter ; h<tc certe funt principia-> , 

/^ / illa S$ menjura omnis in hoc genere 

t ""^ ^. ^* *^ fcientix ; cum omnis in circulo line<t 

rec~i<tfcientia contineatur determina- 
tiQitcdemonftrativa per Diametri vel longittdinem vel potentianu : vtlibr» 

prim» 




Harmonicis LlB. IV. H$ 



primo patuit. 
efi Aftecbibm* 



Ergb per Axioma III. principium etiam Efficacitatis in hit 



CAf.f. 



Propofitio XI. 



CEcundus in Afpc£tuum Efficacitate gradus eft Quadrati □• 
-* In ^htjdrato enim concurrunt pr<zrogativxmult<z, quarumprima,quod 
fivnil : $ efl centralisfigura ,circwnferentiali : quarc quofcunque il/agradus ob~ 
tinct ■ in Congruentia zf Scibilitate ,ij quodammodo duplicati intefliguntur ,re~ 
flfe lu c.tterorum ■AfoeBuum. Sicut enim fffuadratus primus pofl Oppc/itum ai 
ex ilttnte line<z explicatur in aliquam la titudinemfeu a mpiitudinemfuperfic ia- 
lem are<z Tetragonic<z:fic c&teri Affeclus abidentitetefigurarum Jfbeciw £)ua>- 
drati, difcedunt in atiquamfigufarum alteritntem. (Jum igitur alias in phj- 

ficis tinita virtusfit fbrtior ,erit etiam m 

■4$ hacideali & objeciiva impr ^jfiune, ma- 

j±/ jor grad'tsfbrtitudinis , ubifigar<t toci< 

\ difiinci<z s alterafi. centr.tlis,attera cir- 

\ cumfprentialis,flecie exdem fterint . 

\ Deinde qua ntum ad Con qt-uentiam , 

| ifla in Tetragono perfiliijfiwa efi & o- 

S mnivaria, nam fecum ipf.i congruit !o£&, 

j figura in folido ad cubum fbrmandum , 

I qm rnenfiira efi oynnisfiiidifatis, £$ con- 

J gruit fimplicifftme ,temis tnntttm angu- 

■/ lis afcitis : congruit Z§ in plano (ecum 

ip[a,quaternis angulis:congruit rurfum 

^nfolido cum Trigono , Pentngono , He~ 

xagono, Ociogono, Decagono varie , ad 

fbrmand rsfigur.isfolidas, congruit cum ijfdem omnibus, infuper^ i$ cum Dcde~ 

ca qono £$ lcofigo no quadamtenus , ad pianitiemfiernendam : qua in proprietate 

illa a nuBit aliafuperatur. 

Tertib area Tetragoniefl effabilis ,qucdprincipium cfifingularis alicujus &* 
eximiz Conoruenti.t inplanoyut certus arearumhujus figur <z numerus abfumai 
certum quadratorum diametri numerum , zff ficfigur&non tantitmipfiz interfe 
angulis c3? ' lateribus congr uant , fid quodammodb ,certis fi. (uis lincis ',etiam cum 
quadrati diamciri lateribus. Inhac proprietate Quadratus aftieclusfblum Sc~ 
rnifexturnhahct ex parte focium. Videtib. II. 

Qujrtb , nec ignobitis eflgradus fcienticz lateris , quodefi effabile potentiai 
quo gradu prxcellit cxterisfiguris omnibus, excepto Sexangulo : ncquc tamen illi 
propterea loco cedit ; cum Scibiiitas nonfit comparanda Cnqruentitz, vt cxplica- 
tum eflfupra,- & verb valeat, accumulatippr<zrogativarum } adaugendam Ejfi- 
caciam,per<L4xioma III. hujus. 




PropofitioXIl. 



'Ertius Efflcacitacis Gradus efl: TriniA> ^extilis^f, & Semifexti^. 
Qujd Irinum } Sextilem , £? Semifextum , in codem gradu coltoco ; 



a 



A 1 




146 De Configurationibus 

CAP.V, facit propriemum non identitttt > fidtquipoUenticL*, Primum eorumfigurct 

principa/es, in congfuentia plana tra- 

dunt tnutucti operas : coeunt n, £jf inter 

Jevarie gf cum a/ijs >in quadrato.Pr<e- 

ccllunt quidem hic Trigonus g? Hexa- 

gonus , quia etiam fiecum ipft finguUt 

Jpecies co;igruunt;pr&cellit frioonoHe- 

xagonm , quiaperfbcliffimam obtin&t 

inpla no congruentianu>,folis fc. ternis 

an gulis:pr#cellunt ambo Dodeca %ono , 

quia etiam injolido congruunt illi cum 

Jig&risalijs,quodnopotefiDodecavon 9 

. JtviciJfimprxceUit reliquuDodecago- 

n e ffabilita, e a e<z ,cum illoru arexfint 

™edialesij) Jici^nobiliores-.qu&arearti 

jifferentia , vtjammodo diclum 3 redundat in congruentU perficiionem. 

Sic&tiam Trigonus pracellit rurfitm 
Hexagono , eo qubdfecum ipfa Trigo- 
nica fpecies infolido congruit varie , 
gignit% tria corpora regularia;Hexa- 
gon 9 tanthm cumfiguris a/ijs conoru^ 
it. Itapenfatis inter fe diverfafu pro- 
priefatuponderiF , Congruentia , qu<e 
primum ii pr<zcipuumelemeniumefl 
efficacix, penes hos tres propemodum 
ad tzquilibrium perducitur. Infcibi/i- 
tziteprimas ten&t Sexangulum, cuius 
lat* effabi/efecundasTrigon 9 , occupat 
enim eundem cumTetragono gradum, 
habens /atus effabile potentia , viliori 
tamenproportione: ultimus hicefi Dodecagonus > habens laius ineffabilc. Verumfcibi- 
litas necprxcipuum efi ad Efficaciam argumentum,nec infigura pr<ccipua,hoc efl cir- 

cumferentia/i, confideratur ;fed tztntum 

incentralimin 9 pr<zcipua. Gfu&fiquid 

potefi , Trinumpaulb reddit efficaciorene 

Sextili, quiaTrinumfirmat anguf He- 

xagoni in centro;pau/b min' utrisc^ effi- 

eacem Semifextu, quem metitur angul* 

Stelltg Dodecagonktz in centro, Efi tame 

cxteris fequentib 9 nobilior fcientia Semi- 

fexti , quia laf centralisfigur<e, in Inef- 

fabiliy nobiliffimx eftfbecieifc. Binomi- 

nu ,Z$ in earufub divifione duplici, (emg 

priores teet, adeb zrt cumfbciafua, latere 

circumferentialisfigur<s , retTnngulu ef- 

fabileprmet 3 quodefi noU perftclionis 

pene abfolut*; adebc^ etiam cumTrigono6 Hexagono hanc figuram (cibilitnte 

Jkcit contendere ,propter hanc penfation^ ineffabilitetis fu<z,ponderofam ad- 

modum' Propo- 





Q 1 



Harmonicis Lib.IV. 147 
Propofitio XllL 

UartusinEfficacicaceConn^uracionumGraduseft QuinciliSj Bi- 

quincilis, &Quincuncis. 

His enim communis efi congruen- 
tia figurarum primariarum totartk 
in p/ano , non tnmen fingu/arumjpe- 
cierumficum ipfisifidprimarum du- 
arum interfe mutub , u/timx cum a- 
lijsfibi cognatis. Prxceliunt duo pri- 
ores ajjteciweo, cjubd congruuntf- 
gur<t,Pentngonus& 'fiel/a ejus,etiam 
infolido,Jkciuntqueduasfigurasfi/i- 
das regulares ; qua nobilitatepene af 
ficiant ajbectus fuos Trino & Qua- 
drato iflella Dodecagonica injolido 
nm congruit.At vicijfimpr<zcelliti§ 
Dodecagonica , congruentia plana ; 
quam habef continuabi/em in infi- 
nitmru>i cum ill<tnon longe continua- 
ripofintfine mixtura irregu/ari. 
Vide hxc omnia libr. II. 

Quodfcibiliiatem attinst late- 
rum infiguris centralibus > hic e- 
tiam medio loco conjifiunt latert De- 
ctgoni £jf Trideci/is ^f Dodecagoni , 
qux (unt hac in clafie centra/es, in- 
ter iatus Trigoni prxcedentis, $ la- 
tera Pentagoni , fiel/xque Pentago- 
nicx, centra/iumfigurarum in clafie 
fiqttenti,Nam libro I.demonfiratum 
efi , prius efie in fcientia , Decago- 
nicum latus Pentngonico , Trideci- 
lc_i fieSari Pentzigonico. ltaque 
if Scibi/itas eodemj, ducit , quo $ 
Congruentia-» ,perpr. VII : quxhu- 
iuspotifiimitm demonfirationis cau- 
fd fititprxmittendtLi , ne Decilis vel 
Trideci/is prxfirrentur ^ttintili £$ 
Biquinti/i, Si verb quismifi.ifi- 
gura centrali , Scibi/itatem potiits itt 
circumprentiali quxrere ve/it , non 
minus qudttt Congruentiarttj : etfi 
fhtendum efl , hocpaffo prxUtum iri 
Deciiems ^Wnti/i , TrideciletrLs 
Biquinti/i i *£» meminerit is ,prx- 
cipua* efie fartes Congruentix , -vt 



CAt.r.. 




«AP.r. 



148 De GoNFlGURATlONIBUS 

ojiendimuspr. iF.majus igitur eji >& plus adefficacitatem poteji , crearefigu- 
ramjc/idanu> ( qux eji veluti idea qu&dammathematica efficacitatis phyjicdt) 
auam /atus habere perfbBiori gradujcibile. Latus quidem Dodecagoni boc paB» 
confert aJpeBumJuum in eandem claj&m cumjubtenjis decimx parti circuli , tri- 
busque decimis : quia contendunt interje pr<tjkintia Jcibilitxtk . f^amjicut 
Jociantur inter fe du<t ilixjubtenjt ,Jitque minor majoris pars , inproportionedi- 
vina JeBionis Jecundum extrema $ mediurnj>: Jicetiam latus Dodscagoni £5? la- 
tus ejusjielltjociantur , gf hoc etiam refpeBuJeBionu gf compcjitionis alicujus, 
non tnmen proportionalis. Et h&c quidem biga pojierior cadit in primam 
Jpeciem Ineffabiliums , qu& compleBitur Binomines $ Apotomas ; at> vicifjim 
illapriorbiga acquirit novamproprietztemJeBionis fecundum extrema& ' me- 
diunu : vt videre efi /ib. I. ^uare non tantiim pcnfantur higradus ,Jed etiam 
pntceUit nonnihi/ Decanguli latus. ReBe igitur JhBum , quod APpeBum 
Quincuncemjeu Gr. ijo. cum Quintili Gr.?2. £$ Biquintili 144, eodemgradu 
iocavi , prima tamenjede hisdata. 

Propofitio XIV. 

QUintus , ukimus & imbeciniffimus afpe&uum Graduseft Decilis & 
Jrictecilis , Oclilis & Trioclilis. 
Qujntum /ocum fbci Deci/i & 'Trideci/i ( Mcefllinus Semiquintilem , d) 
Sefquiqirttilem appellat) quos in Ephemeridibus haBenus omiji: quibus afociavi 
OBilem £? TrioBi/emJeu Sequadrunu, ff SeJquadrum;quos Calendariographi 
ex mea quidem fuggefiione £? nonnulla Pto/emai authoritate,fednimis calide $ 
£f inconfiderate arripueruni, Probandum igitur eji utrumquc_,,primum im- 
becillioresefehosquatuor , Ghtintili £S? Biquinti/i;deindcj> y Deci/em & Tride- 
ci/enu ,firtieres OBi/i £=f TrioBi/i ,garum admodum-n 

(Jum igitur Propoftiones nojlrtt 
fT<zcipuum ad Efficaciam momen- 
tum collocent in congruentiafgurct 
prxcipux. y hoc eji circumferentialis .* 
manifbjiumeji , PenUgonum tfftel- 
lamejus , congruere cumjuct quam- 
quejpecieifguris , adjo/idumperfb- 
Bum Jvrmandum , i/tjam modo di- 
BunLs ; congruere etiam inter fepu/- 
chre «dplanumJiernendums.Deca* 
gonus vicijjim & OBognnus cum 
JieUisJuis, quaque cumfu£ fpeaeia- 
iijs , injolido congruere non pofiunt* 
Congruunt quidem , Decagonus ij> 
OBogonutJedcum alijs non omnibus 
fuigeneris ijiellx verb inchoant aliquam congruentiam injolido , atnonabfol- 
vunt: etiam inplano ignobi/ior eji earum congruentia, quia nec mutuas tradunt 
•peras, qu&vis figura cum Jita Jiella folitarix , -ut Pentagonus cum Jua : Jed 
eum illisfuisJleUis^OBogonus cumTetragonojnJocietatem veniurit,congruen- 

ti<z atie- 




CAF. V, 




Harmonicis Lib. IV. 149 

t i<z alienx , iMamque, quo minus continuaripojjit , ipfe Decagonus impedit: Stel- 
U ejus esiam hiulcam in medijs interceptis fpacijs fkcit congruentiamj. Ocio- 

gonus verb $ Jlella ejus, alternk 
juvant continuationem congruen- 
ti<z, admixtis Quadratis; Congru* 
entia fit divcrfifbrmis , Itn pene 
paresjunt h<z quatuor in congruen* 
tiaplana ; prafertim cum areas u- 
tr<zquefgur<z habeant ineffabiles . 
<LAt injcibilitnte multumprif.cellit 
feEhPentagonica^. Primumjicen- 
trales figuras conjideremtts , qua 
Junt hicjam Pentngonus <$ Stella 
ejus, illarum quidem laierafub ea- 
dem fpeciem ineffabilium cadunt , 
cum lateribus Ociogoni p Jlellct i 
exifientia Elafion & aMizon ! fin 
drcumferentiates , qu<zhicjunt latera Decagoni tfjiell&cjus: illanon Untum 

funtexjpecie nobi/iori Binominum 
' ii Apotomarunu, , cum Ociogoni- 
c<siine<zjintex quartajpecie,qux eji 
Mizonum £jf Elafonum^ : fedac- 
quirunt etiam omnia latera Pen- 
tagonic* Jecl<z , nobilifjimam pro- 
prietatemjetlionis Jecundum ex- 
trema g? mediums ;qu<tplane ni- ^ 
hil attinei linets OiJogonicas. 
Quodfi OBogonicaJetTa nonnihit 
pr&poBere vifa eji in Congruentia i 
hicjam vi cijjim , multbfbrtiits dt- 
primitura Pentagonica* Retlei- 
gitur utrasque , vt de prajkinti* 
contendentes , in unam clafiem re- 
degi , pr&mifia tamen Pentagoni- 
ca. Confulatur de his identidem 
liber I. 

EJi £5? peculiaris -prxrogati- 
va Biquintilis , pr<z Tridecili £$ 
TrioBili, etiamque Quincunce , 
qubdJleUa Pentagonica , primari* 
fc.iilimfigura, aptiffimum £$ Tri- 
gonici <zmulum habet angulum-i : 
quia irt tres anguli Trigoni , Jice- 
tiam quinque angulifleUtz Penta- 
gonic<z , junBm utrinque <zquan- 
tur duobusreBis, vtficlateraan- 
gulos firmantia-i , circuli arcus\ 
T 5 qu<e- 




GAP. V. 



149 De Configurationibus 

quazquefuos, intercipiant; non vero bina £$ bincL» portionem eliqttam circuli 
communiter : quodinflella offo , decemu , duodecim radiorunu> , ob Paris nume~ 
ri conditionents , in^ cxterisfiguris primigenijs , pb angulimagnitudinem fieri 
nonpotefl, 

Excuffiomnes loculos , tt argumentis idon&is fidemfhcerem_y ; ne nimius 
flat numerus afj>ec~luum.j> , confufionem in experiumio pariturus:intra Quadra- 
tumigitur £=f ^uintilem Biquintilemquejubfiflend.umeflcj> , necadeorumde- 
rivatos quatuor , ultimigradus , itpote imbecilliffimos progrediendunu> ; ltce$ 
hos quoque prima propofitio admittat. Sita/nen ijkt non fatisfaciunt , {jj 
fitzinin eflprimx Propofitionis dignitas, vt interseffio omnis (ublatzifit: age , cuicf^ 
perme lih rum eflo , refpicere adhos etiam Affecius , prxfertim ijs temponbus , 
quibus cotteri omnes defuerint, Par enim efl , fitper his quoque audiri tefiifi- 
■cantem experientianu, ; ttt qux tf aeteris primamfidcmfecit, anterationts. 



Propofitio XV. 



C Uncaliquseconfiguraciones, qujeincerefficaces&nonefncaces 
'-' ambigunc: nimirum Arcus Graduum 24. exPenceksdecagono., 
& Gr : iS- ex Icofigono» i 

3\(amjcibi/es funtfigurce ,fid illa improprie , hce.c remotogradu, vt libro I, 
demon(lratunij>. Et conqrux Junt, fedilla non omnibtts angulis ttqualiterjn ca- 
demfbrmaCcongruentice: hiecomnibu* quidem angulis , fed Congruentia pLme 
non continuabili : quodoflenfum Libro ll. ^Rjtdimentum igitttr quoddamefl 
Ejficacitzttis , %j> veluti conatus ; at, effecius 'iielnuHus "jelimperfiBus. 

Mulcas habenc hae figuraj ftellas , illa quidem quinque , quar um la- 
cerafubcenduncarcuscirculihos , Gr. 4g. Gr.p6.Gr. 112. Gr 4 156. Gr. 
i6g.ha?c vero quacuor , quarum lacera fubcendunc arcus circuli Gr ./4. 
Gr. 126. Gr.)6z. Gr. 171. Ac cum ha:ftellajcavoshabeancangulos,in 
quos non recipiuncur anguli alij congrui ( fic uc in cavos angulos Penca- 
gonicx & Decagonicajrecipiuncur anguliPencagonici,inQd~cogonica;, 
angulusTecragoni , inDodecagonicaeangulusTrigoni ;reftacigicur rjs 
fbla acucorum ,quos Radios dicimus, Congruentia: funcigicurviliores 
ipfis fuisprimigenijs 

CAPVT VI. § 
Quac fit cognatioAipedibus cum 

ConfonantiisMuficisinNumero 6c 

caufis ejus. 

QVibusOccafionibus dcte£he,fint Configufationcs 

^^efficaces,au6tufqueearumNumerus : nonefthujusloci comme- 
morare, percinec enim hocad Aftrologiairn egiquede eareance an- 
nos 12. in librodeftellanova& Trigonoigneo, cap. VIII. IX. X.ubi 
non tancum difcrimen ingens oftendi incer Afpe&us & incer cascera 

com- 



Harmonicis Lib. IV. 151 

CAF.V, 

commenta,verevanitatesAftroIogicas:fedeciam Joh. PiciMirandu- 
\x Comids rationes philofophicas huic etiam Aftrologiae parti oppofiU 
tas, folide ut opinor diflblvi, qua diflblvenda,&refutandafuerunc. 
Cumq,ante novem annos Helifauis Roflinus M.D.& Philofophus non 
incelebris , libro Teutonica lingua edi to , novam hanc philofophiam , 
ipfe veceri Aftrologiaededicus, impugnandam fumpfiflec ; itemque a- 
lius MedicuSjPhilippusFefelius,ih contrarium,Aflrologia2 capitapro- 
mifcueomnia, interque ea & dodrinam de configuranonibus,oppug- 
naflec ; egoutriquereftiti, edicisduobuslibellisTeutonicis : quorum 
alceri Titulus , c R.e[j)on/io ad objeffu Koslini ; alteri , Tertius interve- 
niens. Et in hoc quidem veritatem defendi Afpedluum , in illo vero 
modum caula;, quo Afpedus fint efficaces, afferui. Itaque viri dodti , 
fcriptis ad me hteris , teftati funt, nunc demum Aftrologos a me purio- 
remphilofophiamdoceri. In omnibus libelliscognauonis memini, 
quse Muficis confonantijs intercedac cum Afpedubus : fed in primo ad- 
huchadicircanumerum Afpedtuum, quofdam fpurios; vel certeifnbe- 
cilles,obfervansinterpra;cipuos,quofdamfortiorespenitusnegligehs." 
in Teuconicis vero cepi hos defedlus fpeculacionis meae detegercquod 
paulopleniondeclaratione , loco fic poftulante , fepetendum cenfui 
nuper in Prolegomenis Ephemeridum , fol. j.j-.j^spj'. 3<5- Quee vero 
ibi loci propter mftitutam brevitatem explicari fufius non potuerunc 
eajamhic, ordineficferente,fupplebo. Axioma , quodanno i6o<5. 
ufurpatum,loco citato Ephemeridufumpfiexaminandum &refutan- 
dum,hoc erat ," Creatorem Deums , aut ex Harmonm Cantus infra OtTa-vam, 
libro III. de/criptis , defumpfife leges ordinandorum Afl>eBuunu>i aut ad ccelefles 
jifl>el1u$> attemperafjje aures hominis, Concordaniiarum illarum judices. Hoc 
Axiomafiverilm undiquaque effet,- oporteret efle cotidem numero 
afpe&us,quotfuntConcordantiae,ufqueadDiapafon.' Nam Sextilis 
refpondet Tertia: molli,Quindlis Terdaedurae, Quadrat 9 Diateflaron, 
TrinusDiapence,SefquadrusSexta?molli,BiquindlisSexcaedurq,Op- 
poficus Diapafon: quia fi aufef as a chorda coca canta portionem , quan- 
cam portionem de circulo aufercquilibet afpedtus i refiduumchordae 
facic cumtota illam Confonanciam , quae hic cuilibet Afpedtuieftad- 
fcripca. Cum igitur numerus ifte Septenarius Concordantiarum,feu 
pociusSedtionum harmonicarum,quas fingulas fingulae Concordantia; 
infraDiapafoninfequuntur ,certusfit&demonftrativus , nonminus 
quam eft rn Geometria numerus Quinarius corporum Regularium, 
utlibroIII. cap. II. patuit : effet igitur ratio demonftrandi numerurrt 
Afpedluum facilis &<expedita , per fufceptum hoc Axioma : nec fuif- 
fet opus operofb ifto novorum Axiomatumlibri IV. apparatu. 

Ec fanefi obfervaciones Meteorologicae huic feptenario Afpedtu- 
um fuiflent aftipulataz ex afle : aCquievilTem Ego infupra pofitoaxio- 
mate,necde ijsquarexrationumHarmonicarum ortu , exque meta- 
phyficae caufae Confideratione poterant objici , valde fuiffem follicitus. 
Sed quia crebro deprehenfum eft , Naturam fublunarem ftimulari e- 
tiama Semifexto , qui duodecimam parcem circuli intercipic, cum ca- 
men abiata porcione duodecima de chorda, refiduum, parcium unde - 

cirri 



152 De Configurationibus 

9;ap. vi, 

cirn, non confonet cumTota ; &quia infidcE deprehenfxfuncexci- 

m ulaciones Tempeftacum per Sefquadrum,qui difpungic cres Odtavas 

circuli jcumcamenablaciscribus Oclavisdechorda,refiduum 5 Ocla- 

varum omnino confonec cum coca 8; hinc orca mihi fuitnecefficas,cau- 

fas diifenfus & diverficacis hujus hoc I V. hbro rimandi profundius. 

Quod ecfi redte peracTnm, & caufas clariffimas erucasexiftimo: iurham 

tamen difputacioniscociuskeracd mculcare non nocueric ': cum idre- 

quirac infticuca hoclocoexpiicatioeoium , qu<uinPra?ambulo£phe- 

meredis concifius funtdi£ta. 

da^concor" Caufa igicur , cur non quot funt in Mujtca fecvionei Harmonicz , totidem 

dantia', ^3-etiamfnt AJJieclus ,uti ufque adannum )6og . credideram , eji h&c quia Mu(tc& 

Iet Rcdduu &pt enAY i) fui principia nonnulla ex ipfareclitudinechcrd&trahit: cumcirculus, 

cuculr,non'. i ->J 1 i . -. I> 

vaiet ui for- tn quo noUmm rfjpectus, znjeipfum redeat; nec pojjit, njt ex chordrfjtc ciiam ex 
mmdoA- ZodiaciKefiduopericirculmalius. Verbafuncdictorum Prolegomenon 
foi. 55". qua; fic explicanda func Nam uc Cap. IV. hujus dictum , ali- 
ter oriuncur fe&iones Harmonica?, alicer Afpedus, licec ex eodem cir- 
culooriancurucrique. NamhbroIII. ficcomparaca func Axicmaca» 
uc quadibec chorda,chord*eque pars,feu longa feu brevis, pcffit iterum 
comparari coci circulo, non minus quam cota ieu longiffima chorda ei- 
dem circulo comparabacur : At hoclibro I V. non pocuic arcus circuli , 
feumajor femicirculo , feuminor, comparari coci. Dicam clarius j 
quoccunquemodisckculus dividicur demonftracive , omncsillimodi 
poifunc cransferriin hneam rettam , hoc eft chordam , ejufque parcem 
quamcunque. Acnonficdivifiocirculicotius demonftrativa , verbi 
causa, m tria aucin quinque, poceft ideoeciaminarcumejusquem- 
cunque cransferri ; quod facis eft demonftr acum in propoficionibuii ul- 
timislibriprimi. Caufa eftin figura;rec"taenim manetrecla,fivetrun- 
cecur,five prolongetunatcirculustruncacusnon maneccirculus. Da- 
tur igicur fe£tio proporcionalisbinarumquarumquerecT:3rum,dacur 
&binorum quorumcunque circulorum,fednondacurbinorum quo- 
rumcunque arcuum unius circuli. Harc fic ad propoficum accommo- 
dancur. Sidividacur chorda inparces o£to , divifione fc- circuli de- 
monftraciva;una O&ava confonac cum cota,confonaiK & tres Ottava?, 
propterea , quia una Odava circuh demonftrative refcindi poteft, uc & 
tres odtavcC. Eadem demonftrativa determinatio eft etiam inter cau- 
fas, curOdVilis&Triottilisfmtefficaces. Athoceftdifcrimemqucd 
illicncndumeftconftituta^ECTioharmonicajnifieciamRefiduum^fe- 
ptem otftavce & quinque octava;, confonent tam cum tota, partium o- 
cto,quameciamcumparcibusrefciffis ,7. cum 1. 6C5. cum3- Acqui 
demonftraciva decerminacioparcis 1. & parcium 3,non dac iliarum re- 
fiduis7. &5- uc finc & ipfi.e coiifon<e : nam 5- quidemeftconfona, 7. 
vero eft diffona. Itaquefecl:iototius8. ' n 5- &3-eftharmonica/in7. &i 
noneftharmonica.Undeigicurhabec Refiduumj. fuam confonancia 
cum cocag. Refiduii7. fuam ab illadiflbnanciam ? Nimirum inde,quia 
circulusin^. divifiis,habecfubcenfamduabusquincis,demonftracivam; 
unde eft , quod chorda in quinque divifa (uc hicpars propofica de chor- 
da8.) confonaccum parce quaeeft 2 portioneslonga;quare etiam cum 

4.6^ 



Jf, 

Harmonicis LlB. IV. 155 

4. & g.quarfunccumz. inproporcioneconcinuedupla. Concra circu- c 
lus m^.divifus, non facic chordam uniusfepcimaeporcionisdemonftra- 
civam , quarc Refiduum illud chordae, quod habec^. diffonac ab i. & fus 
eciam a 2, 4. g. Ecce uc fectio harmonica cocius g.in j. 5-. unam cancum. 
confonanciam habeac ex Oclogono, alc-eram vero ex Pencagono. Quin 
&cerciamhabecexaliafigura,fc: ex Decagono. Non confonarece- 
nim Pars j. cum Refiduo 5, riifi confonarec ancea cum ejus duplo 10; id» 
que ideo , quia circulo in 1 o. divifo, fubcenfa cribus decimis eft demon- 
ftraciva. Haecverdcopulaciopluriumfigurarum,locumnon habec irt 
circulcejufqueparcibus. Namfiprimo fcripferisincococirculoO- 
clangulum regularc , pofico quod poftis arcum,qui habec crcs Oclavas, 
dividere m quinque ( quanquam impoffibile eft uc id fiac demonftraci- 
vej;cerce Quinquangulum illi infcribi ad divifiones faclas non poceric* 
fierec enim & irregulariffimum , & pocius fexangulum , cum arcus ha- 
beacduoscerminosancefuidivifionem. Cumergo ingensfic diver- 
ficas Refiduorum, hinc chordae , inde circuli ; pacec , qucd nifi a circulo 
progrediamur eciam ad lineam redlam , Refidui racio haberi nullapof- 
fic. Acqui Afpe&us eft angulus , cujus menfura non eft ahqua recla , 
fed arouscirculiex concurfus radiorum punclodefcriprus: non meci- 
turergocirculusAfpecl:um,non formaceum, non efficacem reddic, 
rarione Refidui ,• fcd cancum racione arcus ab afpeclu incercepri . Si 
nonracioneRefidui,nonigicurracionefec~tionisharmonica2 chordae, 
cxilladivifionecircuhorcx.-quiafeclioharmonica finc Refiduo defL» 
niri non porefi. £c frc profligacum eft axioma illud , qudd proporcio- 
nes harmonica»cancus,finc AfpecTxium caufs. Necfequicur, Refpon- 
dec TnoclilisfeuSefquadrusSeiftioni harmonicas, qua: gignic terciam 
mollem; & eft efHcax, - ergo ejus cfficacia eft a fcclione harmonica cir- 
culi, uc calis. Sed hoc verum eft , cJWdgnam, uc habcnc Prolegomena di- 
cla cognationem effe Harmonijs cum dfyeehb 9 \eandem tttrique generi originem t 
tx figuris riobilihus , circulo it; firiptifibw : ideft , demonftracivam fcibilica- Qn a Usc«J 
ccmfubcenfarcriumOtlavarumcirculi,incercIemencaeflc, ex quibus gnario Se- 
&harmonicafettio in Mtilica , & Afpcctusefficaxin Phyfica confticu- C u™' M J£ 
icnr. Loquor aucem ex hypochefi , quafi fola fcibilicasfiguras fufficerec ftibus. 
ad efficaciam, ficuc fufficic ad flmplicem Parcis Confonanciam cum To- 
to. Nam fi accurace agamus , eciam illud difcrimcn cft ; quod in Con- 
fonancijs quidemplurimum valec Scibilicas , in Afpecnbus vero Con- 
gruenciafigurarum praecellic cftqueSemiquadrus &Sefquadruseffi- 
cax non cancum quia Iacus 0<ftogon i & ftellas fcibile,- fed cciam & maxi- 
me, quia Ocfogonus & ftella ejus func flgura; congruas. 

Haecadeo caufa eft, cur Dodecagonus potiffimum gignat Afpe- 
£tum vahdum , at non gignac fectionem harmonicam , ideft Confb- 
nanciam eriplicem , licec gignac fimplicem . Nam Refiduum 11, abla- Non eft t©: 
taduodecima ,impeditie&ionemharmonicam,nonimpedicefficaci- ™ s b ^ d op '~ 
tacemparcisduodecimae. «Scddehocjampaulopoftpluradicam. t um refpon 

Namut vera,"machemacica,& caufalis exiftac comparacioCon- d a nuarura" 
CordanciarumcumAfpe&ibus;planecverccndum eft Axioma, quip- minorai» 

V pequodl Af ^ 



154 De CONFIGURATIONIBUS 

€AP vi P e °l uo ^ non tantum eft infufficiens,fed etiam veritati e diamctro con- 

trarium. Nullus enim afpeclus proprierefpondet ulli concordanua; 

minori, prsterquam OppofitqsConcordantia; Diapafon, fedrefpon- 

dentfmguiiconcordantijsmajoribusjminorumfocijs^extrigafedtionis 

uniuscujusq;. Nimirum Aipedus quidem definiuntur Segmentiscir- 

culi ijfdem quibus & majores concordantiar.minores vero concordan- 

tiae, circuli Refiduis. Vcrbi causa , Trigonus a(pe£tus non refpondec 

concordanciaeDiapence: fedDiapafon tpidiapente : Quadratus non 

refpondet Diateflaro, fed Difdtapason ; Qiiintilis nonTer tia? dura:, fed 

compofita? ex hac 8cexDifdiapason; Sextilis non Tertia; molli, fed 

Difdiapason epidiapente : Biquintilis non Sexta: dura;, ut fupra opina- 

bamur, fedcompofitajex Tertiadura&exDiapafomSefquadrusnon 

Sexta; molli ,'Jbd compofitae ex Diateflaron &ex Diapason:ut patec 

'ex eadem ucrinq; proportione partis ad Totum: 

j.Vcmsre- In hacigitur correfpondentianullus occurreret finis afpedtuum; 

fponiusma cummajoresjconcordantia: infinitaj fint:&: qui hacfola causanituniur, 

tlantiamra 1 ex quaftabiliant Semiquadrum Afpe£tum , quia nimirum ille refpon- 

cumAfpc- det concordancia? Trifdiapason ; excufationem nullam habent , qiun 

formarmi 1 ^- Decilemrecipiant &c Tridecilem, Sz. Vigintilem, & plurimosalios , 

nierum eo- quos tamenrejiciunt; refpondent enim & hi fuis concordantijs majo- 

ium. ribus, quae toties accumulant unam Odavam ulterius > quoties divifio 

circuliduplicatnumerumportionum. 

Quid igitur eft iIlud,quod metamponitnumeroAfpe&uum? & 
H e " Ubrode curnullus Semiquadratus vel Oiftilis, nullusDecilisvel Tndecilis,nifl 
Seiianova, tantum poftprincipia , introducitur? curSefquadrusMuficacognatio- 
cap.ix.foi. nenobilitatus velomittiturvelvilishabetur, Semifextusin Mufica pe- 
peex 4 hocii regrinus noninferitur tantum , fed & interprimos oftentatur ? Quia 
tro, quem non Mufica format Afpe£tus,fedGeometriautrumquegenus;alijsta- 
^des^pro-' menlegibusillam,alijshos. Eftenim&: HarmonicuminMufica, & 
miflum. efficax in Meteoris, quicquideftafiguranobiii , quae fingulariaaliqua 
Hmc eciam fi abet in Geomecria privilegia. Sed funt diverfae veluti gentes, Mete* 
meoTertio oroIogk&Mufica,exeadempatriaGeometriaoriunda;,quarumaltera, 
intervenie- hoc eft, proportiones Harmonicae lib.lll. patriamjquidem circulura 
LixTubfi- fatebantur,eique fuam originem ferebant acceptam , non minus quam 
nem. hic Afpectus ; Ced tamen illaeegreflkvelut ex circulo ,coloniam pro- 

4.Prascipua priamdeduxerunt, fuifque legibus degenresfefe propagarunt: Afpe- 
^^aiidos af ^ us * ntra circulum patriam fuam manentes , legibus non alijs utuntur , 
peftus^eft quamquascirculirotunditasipfis pr<efcribit , defumptasexfigurispla? 
congcuen. n [ s Regularibus Congruis &: circulo infcriptis. 

rurn. SUra " Nam in Muftca. feptemviratus ille fe&ionum conftituitur ex Ma- 

trimonijs eertis , accenfitis etiam fceminis. Verbi causa , iubcenfa tri- 
busOdlavis, feu fteJlaO£tangularis,excivibus quidem eftinGeometria 
&claflefigurarum regularium; at praxipuse nobilitatis noneft: In 
Mufica. vero,arcus ejus,(tres Odtavas circuh) locufn eft naclus,quia na- 
cus eftex connubio,quo plebeia fcemina, cui noYrren eft Kefiduum ((c. 
tres Quarta? circuli) jun&a erat Patricio (partifc. Quartae circuh); cujas 
nobiiicas in Geometria eft ex Tetragono» Nam ex hacmacre ( tribus 

quartis 



Harmonicis Lib IV 155 

quarciij pergeneracionem muficam (per addicionem uniusDiapafon ) CA pyi, 
naca eft Pars, cres odtavae ; cui, falvo honore fenacorio, licec jam ducere 
aliam plebeiam, cui nomen quinque o&avae ; cujus orcus eadem eft con- 
dicio ; nam macer illi quoque Refiduum, fcilicec quacuorquincarumi 
pater pacricius, unaquinta, cujusnobilicasGeomecrica eftexQuinqu- 
angulo. 

Duodecimavero circulipars , ecfijus civicacis habec inMufica, 
cum ejus fubcenfa fic in Geomecria praecipuaenobilicacis, camfua. vir- 
cuce parcs:'ob Congruenciam) quam a parencibus accepcse ( func enim 
figurar nobiles Sexangulum & Triangulum , ex quarum lacerum dupli- 
cacioneeftDodecagonuSjprxftanciorillis, obareameffabilem)acquia 
h:ec pars duodecimauxoremhabec, undecimduodecimarum Refidu- 
ura, quae in Mufica,adedque & in Geomecria peregrina; eft originis,ge- 
nus ad Qndecangulum refercns , figuram non demonftrabilem , ec-que 
civicacis jus adipiici nonpoceft: nullum igicur maricus m Mufica jus ha- 
bec fepcemviracus , ad confticuendum numerum divifionum mono- 
chordi. 

Concra in Meceorologia mos eft alius.Nam uc quifque ipfe nobilis 
feu orcufeumericis (Scibihcace fc aucCongruencia ) icaplurimumva- 
lec auchoricace , reliqui volicanc veluc umbrae : fceminarum racio ha- 
becurnulla. 

Hic igicur Octilis vel Scqnadrus, &: Sefquadrus , pofthabico fuo ju- 
re in Mufica, quia fubcenfas habenc ignobiles, func de populo, cujus po- 
teftasnulla, nifiperabfenciam magiftracuum,urgence molenegocio- 
rum. Hoceft, fidiunullieflencAfpe&usprimarijifacerencfortaflis- 
aiiquid eciam hi Afpedtus , prarfercim fi cerrahumore plena fic , quo ca- 
fu fe ipfam exoneracquandoque fine omni configuracionum ftimulo. 
At quia plerumque praefto func primarij,Naciirafublunaris ab ijs fatiga- 
ta , non fencicftimulos hos minores. 

Decilis verd & Tridecilis , ex illuftri quidem func familia , diviflo- 
nis circuh denariae, quae uticur proporcione divina; genus tamen fuum 
fddtis non illuftrarunc(quiainfolidononomnimodecongruunc),nec 
capica func familiae : ec fi quid eciam poflunc ( congruences aliquicenus 
in plano , eciamque cum ahjs in fblido) id omne praeripicur ipfis ab op- 
timacibusexalijsfamilijs/aucofFufcacur eorumgloria , fplendorema- 
jori. NamfinacuraperAfpe£tum50.graduumfacisfuicexercica,ter- 
ra fatisper illum exhaufla ; parum relinquitur afpectui vicinoj6. gra- 
duum imbecilliori , quod operetur. 

Semifexto denique Gr. 50. nobilitaseftprazcellensexDodecago- 
no , & Scibih & Congruo eximie.-nec connubium peregrinum, quod in 
Mufica praeftruxerat illi aditum ad honores , in Meceorologia ullatenus 
obftac. PofthuncDodecagonumquaefequuncurfigurae, camincribus 
fecrecisfamilijs, Tecragonica , Trigonica , Pencagonica,quaminmix- 
turaQnindenaria, prjecerquam quod omnes jamfuncnobilicacis infe- 
rioris , nullaeciam planehabencmericapropria (Congruenciae),icaque 
lege civicacis inviolabili > honoribus 5c poceftace confticuendi Afpe&us 
arcencur. V 2 £xhis 



156 De CoNFIGURATIONIBUS 

©AP.VL Exhisapparecid * quodinProlegomenis Ephemcndixi , inJfiie- 

Ekuum conflitutione valere cauflts diverfas,earumque concurfuntj>: $ Naturam 
haberedeletlumeorum , quipluribusfunt inflruffipr<erogativis .' gf Semifext» 
quddajura efie communiacum Quadratoinimirum ErTabilicacem area; infi- 
gura iquxdam cum Sexti/i,Cc. mulcivariam congrtienciam in plano> quib 9 
junclis copijs femifextus quodam modo potentior e vadit ipfb fext i/i, c\uztcnas 
nimirum pocior eft Dodecagonicx arexefTabilicas,erTabilicace laceris 
Hexagomci ; quia illam fequitur perfe&ior in plano Congruentia. Ec- 
fi hoc libro I V.Semifexcum ego fequi jufli Sexcile , fed eodem in gradu. 

Trinum eciam & Quadracum, & Quincilem & Biquincilem Prole- 
gomenaEphemeridisfaciunc*^/etf /tf^r/Twi & va/idiffimacaufai piica 
Congruenciae purae in folido,ad confticuendas figUras foiidasRegulares; 
Trinum g? Qu^idratum dixi addere caufam fecundanu», non multb levioremsi 
incellige Congruenciam puram figurarum in plano. Hax quidem eciam 
Sexcilicommuniseft,- verum eam illenonaddicprima?,fedfeparatam 
ab illa pofiidec. Quemzc\moc\um Quadraf & tertiam caufamaddere per- 
hibecur,pucaEfTabilicacemplani;nonquodea non eciam Semifexcus 
parcicipec; fed quia qux func in ca^ceris fingulae, illa; in Quadraco cumu- 
lancur, ucfiac omnium pocenciflimus. 

Sic in colligendis furTragijs pro fexcili, aliquam nobi/iutemei commu- 
mem cumOppofito efe dixi, EfTabilicacem innuens laceris figurae,quia eft di- 
midium diamecricirculi. Rurfum eidemaliqua nobilitaiefl communis cum 
Trino tf j^/^tamimirumCongruencia purainplano, dequa prius» 
Hzmejus aliqua foliim particul<£j>,hocei\ , Congruenciacum aliarum fpe- 
cierum figuris , competit Semifexto , gf cxteris ignobilioribus. In hac vero 
Congruencia; particulaprimum gradum obtinet Semifexti £5? OBilis figurae : 
cui poflet aflbciari eciam Semifexci ftella." quia Congruencia , quam in- 
choanc,concinuabiliseft,finemixcura formarum diverfarum \fecun- 
dum gradum habenc Quintilis & Biquincilis , nifi quod ijdem nobilio- 
rem habenc congrucnciam in folido ; icemTriodlilis , t)ecilis & Tride- 
«/#,quia eorum figura;concinuantquidemCongruencia;fednonfine 
mixcionediverfarumformarum,&omnesift£ congruunc quadamce- 
nus eciam in folido, fecundum magis & minus ; excepca fffuincuncis ftel- 
la Dodecagonica ; qua; ided in Tertium gradum refercur : cui eciara 
Sefquadrus , fea O&ogoni flella adjungi poceft , propcer obfcurica- 
cem fdenciae. 

Excendiquidemgraduseciam u\teriii$,2ic\P r if>intilem& ^uindeci- 
iewu>,hoc eft.ad figuras Quindecim & Viginci anguiorum; quibus Quar- 
tumgradum (in dicTa congruencia? parcicula fbla) dedi; caufam concinec 
noftra pr. III. hujus Libri. SteUis verbearum Quintusgradm fuic afllgna- 
tus, quiaScibilicaceparcs funcfigurisfuispnma:vjs, Congruencia lon- 
giflime pofteriores , uc quae cancum eorum angulos fingulos accinec 
Verum id non erac nccefle, ucfacerem :!cum nc quidem ad cercium gra- 
dum ufque , gignancur afpecTus plane indubij ; pofllmusque fpeciose 
mecam figerepullulancibus Afpettibus,infolidiCongruenria,&in per- 
fecla laceris vel plani Effabilicace. Quare pocius ex finibus librorum I. 
&II. pecancur gradus nobilicatis Figirarum:exquibushoclibrodiftin- 
&ifuncgradusAfpecl:uurn. CAP« 



Harmonicis LlB. IV. 157 

CAPVT Vll 

Epilogus , de Natura fublunari, fa- 

cultatibufqueAnimadnferioribus , prxfer- 

tirn ijs , quibus Aftrologia nicitur. 

\x Vlta de hac contemplatione capite fecundo, muU 

■*■*■*- tatoto hoclibroIV". nonnullaetiam libroIII. funtdnfta, & ante 
annum in Prolegomertis Ephemeridum , inque Epitomes Aftronomi- 
x Copernicanaelib.I.fol. i^rurfumannoidio.inTertiointervemen- 
te , Numeris 340. irt 4^. & a 59. in 72. & 1 %, &c inque Refponfione ad 
obje£ta Roflini; & artno 1605. in libro de ftella nova, cap. VIII. IX. X . & 
XXI V. XX VIII. praefercim afol. 171. in 175, & anno 1604. in Aftrono- 
miae parce Opcica fol. 26- Z7> &fol. 224. Nam prognoftica , quibus de 
furtdamentis Aftrologiae cercioribus f ubinde vel praefacus vel interfatus 
furri, confuItdpra^tereojUtquamonlacefparfafunc 

Cum aucem celeberrimis nonnu Ilis Philofophiae & Medicinae Proi 
fefforibus vifus fim novam philofophiam condere , eamque veriffi- 
mam ; omni cura fovenda & educanda eft cerielia plancula , ut func no- 
va omnia > ucradicesagacinartimisphilofophanciumjnequefufFocecur 
humore nimio vanarum fophifticaeiorium , neve vulgacarum opinio- 
num correncibus eluacuf , auc negligenciae publicae frigorib 9 obrigefcac: 
quodfimihicavereconcigeritmon ego illiaventiscalumniarum, ne 
frangacunrion afoiidaecenfuraeSole,neexuracur,'quicqu3mmecuo. 

Cum igicur cap. I. Ariirriae quidem cetigerim eflenciam, Ced propter 
foks Harmoriias , cum fecundum Caput non ex pf ofeffo de Artimafit , 
fedde Harmonijs propcer Anirnarri : lubetnUricjamhoc capite differe- 
re de Anima propcer feipfam.paulo generalius: lubec ex Epilogo Syllo- 
gum facere omriium , quae ad praefenrem materiam fpedtanc ; quaeque 
fparfim,quaeobicer,quaelacencefdida;hicfubunumafpe&umreferre, 
tocamque rei nacuram ,concinuo oracionis filo explicare. 

EffealiquamcociusuniverfiAnimam, praefedtam motibus aftro- 
rum, .generacionielemericorum , confervationi animancum & ftirpi- 
um^deniquefympathiaefuperioruminferiorumquemutuae , Timaeus 
LocrenfisexPychagoricis placicisapudPlaconem defendic;Produs ve- Fol. u$. 
ro, cum alias, tum praefercim verbis in cap- 1. hujus libril V. tranfcriptis, "7- 
ftabilivit. Hanc diVerfam a Mertte fecerunt ; & quod Mens fimplex 
cflet , Anima ifta multiplex facultatibus ; &qu6dIdeaeomniumfenfi- 
lium in Mente ineffent primo per fe,purae & identicae; in Anima fecun- 
darid, propcer Mencem , & ab ea accepcae , magis ad maceriam incli- 
nantes : unde & nominum diftindlione ufi , Intelle&uales quidemvel 
Mencales, P a radigmata, appellarunr, Animales vero, Paradigma- 
tum illorum Icones. Summa eo redic , uc Chnftianus aliquis facilime 
j)ro Mence Platonica Deum creacorcm, proAnima,Nacuramrerum 
incelligere poflit. 

V J Quibus^ 



158 De CONFIGURATIONIBUS 

cai». vn; Quibus illi pocifGmum vencis concemplationis agicaci ad hax dogmata 
appulerinc , alijs reliquo excuciendum : cgo de meipfb dicam. Ec pri- 
mumquidemde Animacotiusunivern" ecfinon repugno; nihil camen 
hoc libro IV. dicam: Videcur enim (fi eft calis aliqua) ln cencro Mundi, 
quodmihiSol eft, refidere, indeque in omnem ejus amplicudinem 
videEpiio- commercio radiorum lucis , qui fint loco Spirituum rn corpore anima- 
gum hb. v. lx t propagari. 

DeNacura vero, qujepraJeftelementis, quamque ufitatoepithe- 
tofublunaremappello,jamavigintiannis ego non diflimilia ftatuere 
cepi i mocus vero fum ad hoc > non ledtione vel admiratione Platonico- 
rum.fedfola &unicacempeftacumobfervacione, Afpecluumque,qui- 
bus illaeciencur, concemplatione. 
vide fupra Vidi enim , magna conftancia turbari flacum aeris , quoties plane- 

foi. lij.uf. tasvelconjungerencur,'velafpecl:ibus,vulg6Aft:rologorumcelebrati5 3 
i+oIulJ* conflgurarencur ,-vidi cranquillicacem plerunqueefleinaere,finulli, 
vel fi pauci inciderent Afpectus ; vel fi celeriter conficerentur tranfi- 
Ofdtantia gerencurque. Hoc vero negocium ego non ita leviter confideran- 
rum° ° 8 °" ^um e ^ e cenfui , uci vuIgusPrognoftarum fblec ; qui fic defcribunt fi- 
derumapocelefmaca,ac fiillaDij quidameflenc, cceli rerrsquepoten- 
tesjomniaqueexarbicrio agences -• fecuriflimiquo medio illa unum- 
quodque perficianc apud nos in cerris, cum ipfa in ccelo maneanc, nec 
quicquam, quod fenfibus paceac, ad nos , praecer radios lucidos >demit- 
tanc Ha:c praecipua fcacurigo eft fcediflimarum fuperfticionum A- 
ftrologicarum. Acnon vaIdePrognoftasmiror,genui hominum ple- 
rumque populare , puerile & fomniacorium : magis increpandi viden- 
turPhilofophiaeprofeflbres celebres; quicumrecipianthocab Arifto- 
tele fuo , vitam animantum , plantarumque foveri virtute Solis;non 
EtPhiiofo- perpendunt,percipierg6abilliscreaturis,virtutemSolis. Inersomni* 
n6&fomnolencaphilofophia,quaepacicurSoleminhaxinferioraage- 
re,ucftacuariusagicinmaceriam exanimem : cum fculpra Soli & cada 
&dolabraedefinc, &omniainftrumenca corporea. Quanco vigilan- 
tior philofophis hifce,poeca V irgilius, quanco & fapiencior? qui ne plu- 
vijs quidem,quacfunttamen&ipfa;, parsmaceriae,cranfcribicomniair 
fed Terraefinus comparatgremio Conjugu & quidem Ut<n, hoceft, per- 
cipiencis,quidfibifiac, cumvolupcace,motuque idoneomaricumad- 
juvantis: quaeomniaviT^funtindicia,Animamquefupponuncin cor^ 
pore pacienci. Nec enim facile fueric Soli, militibus idoneis deftitutoj 
invadere arcem hanc vifcerum terra: ,- nifi concurrac anima qua- 
Principams li SC unque, fedens incus > cumhofte coiludens , eique porcas aperiens. 
hcrtpencT Videas laborare hujus confiderationis neglectu,ceuveternoquodam> 
Animam plerofque , qui vel minimum Aftrologiae tribuunt : adeo quidem, ur. 
fablunare. c ^ m exor i re r ego , qui modum demonftrabam , quo fequeretur ex A- 
fpedtumutatiotempeftatum;exifteretvir celebris,quiutmerefutarec, 
magnaafleveracione contendebac , pluviarummateriam ( quodfupra 
fol. ^4. in vulgo etiamridebamus) cceleftem efle : nequetamen,ne 
TOaTeru U ex & c quidem , docebat s quo pa&o fiat , uc cum femper in Terra coeanc 
Terra. planecarum radij , pluviae cunc potius decidanc> fi radij binorum Pla- 

ncta- 



Harmonicis Lib IV 159 

nctarumfaciant angulum <5o, graduuna , quam fi/9. aut 6j. CAP.VB» 

Egoveroante omnia Jo: Pici Mirandulee.Comitis libros XIV. 
contra Aftrologiam mihi legendos cenfui , rationefque, quas is cuique 
capitiopponeret,exeutiendas: quare fa&um,utnontantumconfir- 
marerindamnatione plurimarum fuperftitionum ,fedetiam in qui- 
busdam nova mihilux oriretuiv dum vim objecl:ionum,ingenij concen- bj ^at^ 
tione difcutiens, rem ipfam penitius trofpiciebam. Denique fccit \i- AdEff:&us 
ber illc refutando nonnulla , ut ijs ego fidem adhiberem ; quibus ancea M« eor ° s 
ut fidcm derogarem , aftroJogi defendendo effecerant. Sic fuit cum feTconcur- 
Afpectib 9 .Cum enimex unaparte refpicerem ad conftantiffimamex- rumAfpea 
perientiam ,;non quidem nivibus , auc vencis , aut tonitrubus , alijfque., " a s s ! ""hg 
quae przedicere folencaftro!ogi,fic infpecie inhians 5 fed* generalicer a- longam pac 
nimadvercens j ftacum aeris quocunque modo commoveri, fi elTenc tem t- ann | 1 ' a _ 
afpectusj» verbi caufa,fieHencconjundl:i Mars &Jupicenquiefcere, fijl m enico« 
non effent : ex aitera ver6 parce Mirandulanum audirem, quaerentem; tinuam & 
quare pocms credar, Jovem & Marcem , ciim vidcncur fimul efle , majo- f^e^quo 
rafacere, quam cum func fcparati ? quippe conjun&ione nonaugeriudianinoa 
lumina , quantum enim poflederanc feparati, tancum afFerre in con- ^a« ftntu ^ 1 
greffum: quodfidiverfarumqualicatumplanetEecoirent, videriake- di CS f a nil 
rum ab altero pocius impediri-.hic inquam ego refponfionem quserens , fmguios, m 
ut Afpectus tuerer , ad quos Meteora fcqui videbam : primum lllos, ut |3£" viib 
eaufam, deinde haec, ut effectum, diligentius confiderare cccpi. Afpe- infra. 
clus enim forma , quse ex configuratione vel angulatione promifcua c fic r 
Afpectum facit , quanticas qualitativa crat, imo Relatio talium quanti- n o caufe 
tatum erat , cns fc rationis. Vt isitur commoveret aerem : oportebat , Tempefta- 
ut Rationcm aiiquam pnus m overet , quaj vel aerem , vel id quo is cur- 
bacur, in poceftace habet- Simul ob oculos verfabatur comparatio 
Afpecuium cumConcordantijsMuficis , aPtolema?otradita,aCarda- 
no explicata , a Mirandulano vero nimis temere explof a , qua analogia 
plurimum fum adjutus in caufarum indagatione .Nam pleraqucquas 
Mirandulanus afpediibus opponebat , opponi poffe videbam &con- 
cemperationi duarum vocum. Nihil fane efficic ne fonorum quidem 
duorura tripla proportio vel fefquialtera, causa acuminis,- & camen 
grati funt foni , fi funt in tripla vel f efquialtera; contra abhorrent, fi 
funt in fepcupla vel fefquifexta. Cum igicur Rationalem oporceae 
eflerem,quamiplamafepcupladijudicat, Animamfc. auditui prasfe- 
£tam i oportebit & in Radiationum negocio , Rationalem efle creatu- 
ram , quae difcernitinter6o.graduum , interquec9.vel6j.fubcenfas » 
fiveilladifcurfuad hocutatur,uthomointclligensGeometriam : feu 
a folo inftinctu concreato id habeat, utforma: plantarum , quae nume- 
rum certum foliorum inde a rerum ortu fibi creditum cuftodiunt,fem- 
perquearchite&antur. Nullahicviseftmixtionis, velut admenfuras 
medicas exatta;,nulla corporis inftrumentorum » nec delecianc foni, a*> 
nimantveradij, quiaficfuntcontemperaci,uc cum calidasfrigida mi£ 
cetur,quoad refuicec(qualicas, corpori locuro refpondens : Nam in ta- 
libus mixturis optima; temperatura effe folet unica , caetera? illi omr, es 
fecundum magis & minus appropinquant, At inter configuratior.es , 

incer- 



tura. 



160 De CoNFIGURATIONlBUS 

inccrquefbnorum inccrvalla>plures funtmecae, & infblishis mccis cft 

•acutaiw! ra "° hinc Confonanciarum, inde AfpecT:uum,ab ijs mecis fi vel parum 

digrediaris,jamftacimperijcratioinfblidum. Ucprimum enimSol, 

verbi causa, Sacurni quadracum fupcravit ,• jam omnis Nacurae excimu- 

latio deferbuic, ceflacque pcr criginca dies totds(quoad Saturni quidem 

<k Solisradios) ebr.squcdum SoladTrinum Saturni veneric ; cunci- 

s terum mcitantur temoeftaces unico dic, ceffancque iterum, illotranf- 

miffo. Talesnonfuncalteracionescorporum: utquae cempu.somne 

abinitioadfinemoccupant , nunquam lntermittcnces , fedcumaug- 

mento caufe , cumque cempore crefcentes , iterumque diminuta illa, 

remittences. Uno verbo, ficut fe habeclineaad Numerum, fic vulgb 

notae corporea? commotiones-, fe habent ad hos configuracionum fti- 

Se<!Anmia- rau j os Quaefiquisdiligenterperpendic , nulla is difficulcace fecum 

concluderepoceric, ucNumerum,fichasquoquecommocionesmo- 

mencaneas, ab Afpeclu , RacionisEnce,profe£tas,noncorporiseflb 

fed Animalium faculcacum : Animam icaqueeffe oporcere , qu£e ab 

Afpecllu admonita 5c veh.it excitaca , cieat meceora & tempeftates. 

Anima in Qua: verbaut cujusmodihaec cfletAnima, potiflimum ab ejus fc- 

deinmundocolligerepocui. Cumenimafpeclus , adquos moven- 

turcempcflaces , finc anguli duorum radiorum,nonijquiinunoveI 

Videfol. alcerofemucub afpicientiumPlanctarum;non quiin Solcquantitatis 

m- 143- Jongiflimediverfe^fedquihicin Terraformantunnequeplanetaripfi 

lol. 133. tabeancnotitiamangulorum,quosillorumradij hicincerraformanr, 

lol n nifiillosAftronomosfaciamus:fequicurigicur,ucAnima,quaeadpraB» 

fcriptum Afpccluum ciecaerem, hicin Terris fic. Cumque vis illa , 

comicans Afpectus , per cocum orbem Terrarumfenciacur;animailla 

aeque lace fufa eric; Ec cum maccria pluviarum, vencorum,nebularum, 

Materia conicruum, chafmacum,quae cempore Aipe&uum cliciuiicur, fic vapor 

tempcfta- humidus, velfpiritus;alius ficcus 8tigneus,excerraebulliens& exha- 

tum exTet- | ans n$ am cur n [ c folum Ariftocelem audiac Philofophui ,• fprecoRo- 

dolphoAgricola, imb agricolis omnibus, fuifque adeo prorijs fenfibus? 

cum quocidie vidcacingrucncibuspluvijs, monciumcacuminanebu- 

f oi. ijj. larum vim magnam evomere):eric igicur animaifta, non infupcrficie 

cancummodo celluris , fed incus eciam in cavcrnis fubcerrancis,in mea- 

tibus moncium ; denique Terrae globuscale corpuseric, qualeeftali- 

Tertaani. cujusanimalis : quodqucanimalieft fua Anima, hoceric Tellurihaec, 

mal - quamqua;rimus,Nacura fublunaris , quae ad praefenciam afpectuum 

movec cempeftaccs. 

Hicvaldemeconfirmavicidipfiim, quod alium aliquem abfter- 
fol.irr. rere p OCU i c ,- fciliccc , qudd non femper ad arauflim refpondenc com* 
piuntT *mocionesTenipeftacumAipedtibu$;fed cerra fubinde fegnis videcur 
& concumax: alio cempore (fcilicecpoft graves & diucurnas configu- 
raciones) exacerbaca, indulgec evaporacionibus, eciam fine afpectuum. 
concinuacione. Non eft quippe Terra, animal calc, quale Canis,ad om- 
nem nucum prompcum ,• fed calc , quale Bos auc Elephas, cardum ad 
iram , cancdqueviolencius, cumexcanduic. 

(^a£analogiacumfqeceder«c;eJfeciCiUceandemultcrius profe- 

quererj 



Harmonicis LlB IV 161 

qiiercr,comparansetiamcorpora Animantum cumcorpore Terrae : CAp ^ 
videbampleraque omnia , quae ex corpore animancis proveniencia , 
ecftanturanimam in liloinefle , provenire eciamex Telluris corpore. An ; m(8 
Uc enim corpus m cucis fuperficie pilos,;ficterraplantas arborefquc Tetren^ 
prof^rs i inqueijsibipediculi, hicerucae ,cicadae, variaque infec~ta& ^P" 8 * 
i nonftra manna nafbuntur : Sc uc corpus lachrymas, blennam , auriurn- 
que recremenca,cft ubi &c gummi ex faeiei puftuhs,ficTellUs ele&rum, 
bitumen:ucque velica urinam-.fie monces flumina fundunc;& ut corpus 
cxcremencum fulphurei odons , crepicufque , qui eciaminflammari 
pofTunc.. ilcTerraSulphurjignesfubcerraneoSjtonirruajfulgura^ucque 
in venis animancis generacur fanguis,6c cum eo fudor,excracorpus eje- 
£tu.s;iic invenis ceri -x, Mecalla & fofillia, vaporque pluvius. 

Oporcec ieicur , ucficuc Animanciareliquacibumpocumduehau- Jctrxfb 

r„ . <-> ~i ., , , i ■ - i i_ . bulum, 

nunc, fic eciam Tehus, cananbus cercis, ahquid macenae cranac; ex 
qua illa cammulcipiicia excoquac , quia exnihuVnihil fic ; crahic au- 
cemibrbccqueaquammarinami quae caufa eft cur aecernis coc flumi- 
num infuiionibus mare nunquam redundec. Hic quam abfurdi fint, 
^ui raecailatbliusSolisoperacionicribuune, eitra Telluns operam, ex 
tncedi&is colligere poces« 

Rdbondieuaminlibrodeftellanovaadvulgaremillamobjedrio- Q U$ f pef -t 
nera, quod Terra, fi animam haberec, eciam crefcere debere videacur ', AnimaTci» 
membraque mocut apca haberc : Nam prouccorpus eft , pro eo 6c a- luru * 
nima rejpefndec, faculcacefque ejus ; cum haec anima fic ob Terrae cor- 
pus; nonvero hoccorpus,iic ficob Animam , ficuccorpushominiseft 
obMencem,pfincipem Animaefaculcacem:fi igicur incrementis Terra 
Opus habuiftet, fi pafta aiio, quam dixi, Veiuc exvenacu ;fuiflent & ifta 
muniahuic Anima,* commiifa , & idonea inftrumenta data: quae Socra* i 

tismorituri philoibphia fuic inPhaedone , omniaMenci gubernacn- 
ci , omnia dehberacioni de eo quod opcimum, cribuens. Icaque ii 
quisargumentecur : quacuor fblas efie facukates Animae; quarumnul- 
la huic Animae Terrenae compccacnon eile ergo aliquanyn Terra ani- 
mam ; hunc ego jubebohan: quincam ad numerum addere , codem 
«£ xemplo , i jfdemque argumencandi tegibus-, quibus ilice numero qua. 
tuor , in homme fcdicec , invencae func. 

Ucaucem Terrae cancoconfidencmsAnimam cribucrem , move* 
runtmeeciamalia , qua-paffimperlibrosmeosc^ceros inculcaca, in, 
EpitomeAftronomia.Copernican.efol. i^.fafciculocoilegi : praeci- 
puehoc, quodformacrixfaculcaseftin vifceribusTerrae, quaefaeminaS 
praegnancismore,occurfancesforis res humanas , velucieasviderec > . . T 
jnfifliiibus lapidibus exprimic , ucMilicum , Monachorum, Poncifi- luris.lm*! 
cum, Regum , & quicquid morc hominum eft, novosinfolcntcsq;ha- g" 1 "'* 
bitus. Hoc quidem rarius ; Ulud pcrpetuo , quod m gemmis & fofli- „ 
Jibusexpnmitquinquecorpora regulana Geometnca • Nam de opi- ingemmis. 
£cc tcftatur opus. Quibus addat , qui Copernicum fequicur , volutio- Un „„ -„<. 

1 1 * T* I 1 • J ■ f • I • *V> OlUS COJM 

nem globi Telluns diurnam.perpetuam & aequabihflimam : quam in- porisfu* 
ter hujus Animse muma r «cWune aceeafcbit. 

X Quod 



162 De Configurationibus 

Gap.VIl. 

in Terr- ^^ ^ U ^ & ** enms °l ui ^ am vel ta &us vcl auditus Tellurisglob* 

felsuTTa- m -ff" e Videcur , argumcnco hoc, quod con.lantiplurimarumprovin* 
«». ciarum cradicione confirmacur , fi quis in alciffimorum montiura 
cacuminaenifus,lapillum in hiacus quos habenc illi profundiffimo« 
conjiciac , undefolecexicanfonicusi aucfi in lacummoncanum (qui 
procul dubio & ipfi fundo carencj ; c veftigio cempeftaces excicari. Sic 
cnim & animalia , fi quis in ceneros aunum nariumve mcacus cicil- 
lans , aliquidinferac ,■ horrore correpca, capuc quaflancaucin curfus 
fcpraxipicant. 

Sunc & fui cercis Telluris cra&ibus languores, & incernas vifcerura 

Teir* «er vicifficudines : incerdum enim humore nimio abundanc ; iacerdum 

**• crudicace auc conco&ionis imperfeclione laboranc , quando loco 

pluviarum tempeftivarum , meri venci proveniunc , incerdum ve- 

luricaufocorrepta,nihilhumoris, fedpro co fulphurcos halitus, aue 

madorcs peftilences exfudanc , Icaque non injuria in libro de Novt 

ftella , fol. i yz, omnes conco£tionisfaculcace$ , Accra£tricem,Ra- 

TerKre- tencricem , Expulcricem, in iila quaerendas admonui, s^uippe harua» 

pnau». a ff e< ^i ones ( unc t Morbi ilii. 

Quid vero fimilius eft refpirationis Animalium terreftrium,& im« 

* primis, reciprocatioms illius Pifcium , dumforbencaquasore, expri- 

muncque viciffim per branchias ,• quam ille mirabilis fluxus & re,fluxus 

Oceani femid iurnus: qui ecfi ad Luna: mocus fe accommodac,fic uc pn> 

babile mihi fic vifum, in Praefacione commencariorum Marcis, unda» 

aLuna crahi, uc ferrum aMagnete, vircute corporea unitionis cor- 

Vadeduiusporum ,• quod Sc nuper in prolegomenis Ephemeridum , quo Ioco 

& rcfluxus Davidis Fabricij opinionem examino, repetij: tamen fi quis difputec » 

*** Tellurem ad Solis & Lunae motum accommodare fuam veluti refpira- 

cioncm , ficuc Animalia Somni vigiliarumque viciffitudines cumr 

diei nodtifque , habent eafdcm : hune ego non iniquis auribus au- 

diendum in philofophia cenfuenm ; pradertim fi accedercc aliquotf 

indicium flexibilium, in profundo, Terra: parcium,qu«e vicem fuftine-. 

ancpulmonum aucbranchiarum. Namficahs ahquanaturafitilla-« 

rum,qualis eft aeris noftri,condenfabilis & extenfilis,jam nonopus erit 

ad hanc refpirationem,motu fuperficieiTerrae, anaiogo fcilicec mo- 

tui mufculorumdiaphragmatis, incorpore humano refpiranca. 

Quae vero poffic apcior efle racio recepcionis aquarum marinarum, 
incrorfum in culinam veluti Metallorum , nifi h2ecipfa,perEuripos 
iftos femidiurnos perpecuos f Quid aliud fufpicari facic cafhs ille 
mirabilis ; quando paucis annis ance quam frequencia mcrcaco- 
rum Antuerpiamdeferercc , Fluxus & Refluxus Oceanum , die quo- 
dam deferuic ( excerruicque civicacem non mediocricer) ; Luna cwr- 
fum fuum non deieruic ? Nimirum Terra ipfa compos hujus reci- 
procacioms , licec illa mocu naturaliparticipec , continuit unam illiii» 
diei refpiracionem ; ficut Animantes interdumcontinenc Animam> 
quaravismocus Diaphragmacis ipfeeciamnacurahmixcusfic. 

Quanquam re£tiusforcerefpiracioncm aliquam , Terrajneceflaria, 
«x Amma; prsfentia, quam Animamexrcfpiracioncprobavcrimus. 



Harmonicis Lib IV 165 

cap. vii. 
Namutjam velutreccrci, quodfitinTellureaninta, adconccm- AnimaTet- 

plationemejuseflenti£eveniamus:equidem illa non cancum aliqua hv"«*n« 

lux eft , qualis eft ignium , & cincindularum , a fe ipsa pendens , non ab 

illuminacioneexfble;argumencohoc, quodlucidos planecarum ra- 

diosquodammoddperfencifcac; fedplaneflamma quaedam efle vide- 

cur , ( relpiracione fcilicec , feu forbicione fovenda ) argumenco calo- Vnie Calo4 

risfubcerranei perpecui & fenfibilis ; cujusmodi fine anima, nullus gibterra. 

a&u in materia nuda' perennac ; atnepocencia quidem meftin rebus Beus - 

ab Animalium ftirpiumque fubftantia exeuntibus , nifi ab Anima 

Tormifque, quajigneum quidfunc,progenicus. VideOpcicamea,fol. 

*S* 2<5- *?' 

Hanc Animas Telluris veluci materiam aflignabimus ; in quam fo J n/ ' "'* 

jamfitimpreflalocoform2e,imagovuItusdivini>cumIdeistamCircu- AnimaTer- 
li,rationumq; ejusomnium, quam corporisfuifenfilis, cui regendo rxeftquid* 
praefetta eft, Mundique adeo totius , in qup corpus ejus futurum erat. 
HabetenimDeusnonexemplaria tantum geomctrica fecum , fed e- 
tiam conceptus creandarum omnium rerum fenfilium ; quae omnia 
fimultranfeuntin Animas , Dei exemplaria , pro cujufque vel capcu 
vel ufu. Relucec igicur in Anima Telluris , imago qusdam circuli 
Zodiaci fenfibilis , cociufque aded firmamenci , vinculum fympachia: caufh^m- 
rerum cceleftium &Terreftrium;relucenc multomaximeinilla Ar- psthi* c«- 
checypiomniumipfmsmuniorum, omniumquemotuum,quibuscor- £ 8 ^[L* 
pusiuumquocunq;fenfumovertt:quamaIij <^wudjU.lV,C^O hi%yei#V Anima.eft 
lubenciusnominaverim. Eftenim animarum eflentiabajc, eft veluti 

pvcris quaedam hujus flamma? ifta , quod femper ica func comparacae 
fccum Animss ipfs incus , acfi agerenc id , cuiperagendofa&ae funt, 
five actu potiantur inftrumentis corporis , five impediantur. Deus f.uj. 
quippecftfubftancialis Energia , & ipsa hac energia" fubfiftic ( uc de di- 
.vmis humano more balbuciam ) : Sc imaginis lgicur divina; eflencia 

\vT&\u(>yei]> confifticucflammxgi/r^ pveiv 1 uc nifi Deus aecerniim 
il!amfuftencarec,irradiandoejusveIucimaceriam, fubicddefituraex- 
tingucndaque fueric. Quanquam adindividuacionisfuseprincipium Princi P iui * 
non cancum corpus, cui regendo praeficicur , fed eciam haec ipfa mace- '"^"^ AdL 
rialis (quampriusdefcripfi) particulafuirequiratur,diftinguensillam msc, 
a caeceris Animabus. 

Quatcnusigicurha2cAnima,CireuliZodiaci,feupociusejuscen- f^ 9 ' 
tri, geftac idearmperfentifcic eciam , «j planeca quovis cemporc fub quo 142.' 
Zodiacigraduverfecur, angulosqueradiacionum, coeunciumin Ter- Afpc&isre* 
ramecicnr ,- quaccnus vero ex Divina; eflencia; irradiacione , raciones 0°°^ 
circuli Geomecricas , & ( percirculicomparacioncmcumcercisfuis prpprietat» 
parcibus ) Harmonias Archecypales fufcepit , non pure quidem geo- £ Rcnux - 
metricas, fedradiationumlucidarumvelutifaccaroquodamindudlas, fcii*j[ 
imo penitns imbutas : mcnfuras etiam angulorum jam agnitas , has 
Congruas fcu Hurmonicas , illas incongruas judicac : quatenus deni- 
que eadcmanima complexaeftideasfuorum opcrum, (quorum uniut 

X i cujus- 



164. De CONFIGURATIONIBUS 

CAp vii, cujufque causa illa efl veluci circulus quidam operativus) ; in illa etiam 

fuaopera femperfertur > infignius tamentunc , fitrcshicirculicon- 

Fol 1+1.14.3 currerint & confpiraverinc in unum , hoc eft, fi anima per Afpectus fui 

Anim* Tcr ipfius admonita > opcri fiio cum aliquo exceffu infticeric Nunquam 

ramania quidcmilla ceifat acoqucndo , necunquam hacc coctura cftftnefumo 

Krpecua. ^. vapore. - quin cx funao foflilia fiunc, (ut cx fumis fornacum mecalli- 

Fol y-^-carum confifticArfenicum);exvaporcver6cepido,incus in lapidofis 

Terras cruftisrcfrigeraco, inqucguccas coa£to,fiuminaadfuasdeml- 

lanc origines ; ex eodcm foras fupra Terrxfuperficiem cxpirante , aer 

fpirabilis , qui p noctem in rorcs coicns deciderat, quocidie renovatur. 

Hocvero AnimxTerra;opus,ecfi pcrpctuumcfhopus camcnfuicex- 

ceflibus aliquibus in evaporando; non contmuis toto aliquo cempore: 

_ < fed ad cercos dies redadis ; ucexcopiavapcrumforas emifsa pluvice 

ienciapcr; cempeftivje, Solibus tamen incercurrencibus,fuppeditarencur,fuperfi- 

A^e^«. ciei Terrxrefocillandxhumeitandsquecausa > unde fruges Scpabula 

Animantibus fuccrefccre poffcnt. 

Objicere quis mihipofTet Africac & Pcruanar penitiflima , lineae 

«quinoctiali fubjecta , quibus Iocis concinuee pluviae per cocam a:fta- 

Solcm etii tem decidunc; ubi iguurhicdiftin&io Afpcc~tuum aconfiguracionibus 

ftos* cierct inefncacibus i ubi vicifficudincs Sohum & imbrium ? & an non curfus 

wporcs. Solis , plancca: folicarij , finc refpectu conflguracionis cum alijs , folus 

facicomnia?eaqucnonucEnsracionis , fedutcaufanaturalis, quace- 

nus fc. incendic ljs parcibus calorcm & aeftum , uc ad parces fic coftas, cx 

terrae vif ccribus, cxpircc accenuacus humor ? Rcfpondeo , adionem 

hanc nacuralem Soli non cflc ncgandam ; ac ca non eftjfblius Zona? tor- 

rida; propria, fed etiam penes nos fpe&aripoteft. Nam Solc in noftro 

Hemifphserioper seftatemobverfante ,plcrunquc copiofiorcs imbrcs 

decidunt , quam per hycmcm , abfcnte fole , folct cffe ulla nix. Quod 

aucemnobisaugencurflumina liqucfccncibus nivibus , quas imbribus 

Vt augean. decidentibus, non adeo videncur augeri ,certenon adco diucurnis in- 

tor flumma cremencis, id par cim indc fic, quia nivium minucacim dccidcncium fin- 

gulas tunica: cumulancur , & in prompcuario pcr multos mcnfcs vi fri- 

goris afTervantur;cum imbres arftivos, etiam largiflimos , ccrra Soli- 

busarcns,pocifIimaparrchauriacftacim:parcimver6indefit,quianix 

in AIpibus,nifi xftivis ircibrib* copiofiflimis dccidcncibus , difTolvi non 

poccft : uc fic concinua illa fiuminum incremcnca non finc folarum ni-. 

vium , fed eciam junctorum imbrium. Quarc fl omnia cxpendas , 

major humoris copia plerumq; pcr a:ftatem exfudac etiam penes nos , 

quam per hyemem. Hoc igitur impctrat objeclio , ucficconcurfus 

caufarum cceleftium , quarum fit alia naturalis , calor Solis ; alia ratio- 

nalis, Afpectus; fic eciam concurfus caufarum fublunarium, utnort 

tancumunaZonapIushabeachumoris quam alia,fed eciam ineodera 

climate unaregio plusquam alia, fuisde caufis. Incerim eciamin Tor- 

ridapluspluerepoteftfubtempusAfpe&uum , quam diebus ab afpe- 

ftibus vacuis. 

Hancvero quamfecundo loco dixi , chara&erifationem Animas 
teneax , fa&am a Zodiaco fenfiii cocaque adco fphaera , fixarum , illud 

cciam 



Harmonicis Lib. IV. 165 

r ^ Cap.VII. 

fcciam confirmat : quod magno cemporum omnium confenfu con- 

ftac , finovi quid in ccelo exiftac, feufecundumordinarium coeli cur- Vnde 9*£_ 
fum , uc func rariores congreflus plurium fiderumjUcEclipfesLumi- c iipfife us 
narium infigniores, fivepraecernacuramcommnnem, uc Comecaeautfa cffeaw. 
ftellaefixaenovae : fimuleciamNacuramfublunaremturbarinon ufica- 
tis affectibus; ucfiincingens &continuavispluviarum ,praecer modu- 
lum afpecmum, auc concraria ficcicas & fqualores > Terraeque mocus 
comices;deniquc madores aeris infueci> qui catarrhos peftilences aliaf- 
quc lues epidemicas ijs pociffimum locis inferunc, unde expir anc maja-' 
n vi , auc quorfum crcbrioribus vencis deferuncur. 

Ad eoque eciamaliquid fimile Memoriae Animalium huic Ani- 
mae ineffe , monui in libro de ftella nova, Cap. X. fol. 44. Nam haec 
eft Nacura rcrum omnium , quae luci func cognacae , uc cxcicae a lucc So 
lis , aucfalcem diei, afFe&ionemaliquamconcipiant,adcertumcem- 
pus durabilem. Sic in oculis Spiricus viforij , lucis foboles , imbuci ab 
improvido confpeftu Solis , quocunque averfis oculis , gerunc circum-toL n«. n» 
feruncquehancimagmem,eciaminvicL SicincerChymiftarum arca- 
na eft mirabile hoc & imprimis commemorabile experimencum,quod ^«nfiii».* 
gemmas, ut nuper admodum rcfeivi a quodam c£v]o7rfo,apparanc,qua9 
eum lateanc in cenebris j uc alia lumine calsa /fi quis camen illas luci (6- 
liusdieicxponacincenduncureauc candelae, fplendoremque fecum 
in cenebraseciamdcferuncj lucenres uc oculi felium ; qui brevi tem- 
pore iterum excinguicur. Tale quid accidic huicanimae, quam lu- 
ci & igni cognatam dixi , uc illa in plaga ( punctum enim eft illa, plagis 
diftincluiiij feu circuIusZodiacuspocencialisj in quacongreffifuerunc 
fiiperiores planetae,aut Eclipfis apparuit, concipiac characlerem con- Vndeioci» 
junctionis, durabilcm in aliquod cempus ; icaque quocies planetarum con S re(ru - 
aliquis, prxcipueSolvel Luna, locum cranfic, ipfavim fuam calem ex- ciafua, 
ferac,qua!emadipfam conjunclionisexcimulacionemexfererec. To- 
tum hoc negocium, inquam, firaileeftmemoriaeanimalium. Nam 
hominisfemclvififpeeiemanimocircumgefto, nec camen eum pra- 
fentemfemper habeocogitationibu;: acubi.rurfumapparuericillcauc Memoria 
fimilis aliquis, hic jam dc novo elicicur & in a&u eogicandi confticuicur, AnimaB Ta 
fpecics ilia priftina > pcr reminifcenriam . EtfrRobilior in hoc eft ho* 
fninis memoria,quodreimemoracaenon cancum aboccurfu forinfe- 
co admoneor , fed cciam mcipfum quocics volo admoneo : quia nimi- 
rumdifcurrendifaculcas adefthomini,quaedeefthuic Animae. Ve- 
rum ha»c m concemplatione Animaehumana? erunt cvidcntiora. 

Nunc una difEcultas , fupra etiam tadta , fed leviter , eft diffol ven- 
da,demodo&medijsreceptionis. Namquodnos homines fcnfili- 
um lpecies introrfum in Animam recipimus, resvidetur expedica & 
plana; funteniminpropatuloforaminapupillarum, perquasingre- 
diuncur;eftoculuSjfpecieiforrnacor; eftcryftalinus humor,Penicilli 05°"»^« 

r n t% -r • • • n amma 1 er- 

radioficemperacorjeltReciformis opcicinervicunica, picturaererum tx percipi- 
exceriorum excepcrix. Nihilcaleapparecincorporecelluris , nullus at ^P 6 *- 
hic oculus , quo Anima cerrae videac radiaciones Planecarum ,eorumq, 
angulos •' quomodo igitur lucem fencicc fine vifione , quomodo perci- 

X 3 piec 



166 DeConfigukationibus 

e pietautexcipicc angulos fine inftrumecoPDifriculcas eftaliqua,fatear.* 

V«» v.den- ac fi penicius rem incucaris,communis illa eft & hic & illic Adi mea; O- 

«LiBodm. pcices Aftr. parcis pag: 169 > vidcbis anciquam qucrclam , cciam de vifi* 

humano. Nam ecfi loco illo modum videndi a mc candem poft coc fru-, 

ftraneosaliorumconacusfohduTimedemonftracum facencur diligen- 

ciorcs Opcici & Mcdici Anacomici ( quanquam Fr, Aquilonius , cujus 

Tr. Aquiio- rnagnum opus Opcicorum ance^. annosprodijclibrummeumnonvi- 

dic, eoq; in anciquoerrorc circamodumvifionisjnovamjfanequara 

pulchramimcdftruxicpcrgulam): ramen illc videndimodusnonulcr» 

rcciformem runicam fefe porrigic.quaperfpicuifunc humores oculi:fi> 

pereft adhuc quxftio , nec dum a Phyficis, ad qnos provocavi, difcufla, 

,quomoddpi&urareividendaj,ameformacainreciformicuniea, inda 

porro pcr opaca corporis incrorfumrccipiacur ad Animsepenccralia } 

anne foras animaprogrediacurinejus occurfum? & quEehisadhaerenc. 

A cq; ego , uc ingeiiue facear , plus in vifionc ha?rco , quam in hac percc-* 

pcioneanguliradiorum:dequavideormihibalbucircaliquidnoninc« 
pce poffe , cum in illa omnind fim mucns. 

Poflemquidem falvarerumfumma fubcerfugere fpcculacionia Ia<» 
borem, & quasrenci, quibus oculis anima Terravideac radios fideruml 
refpondercljfdcm , quibus vidic milicem cum laciniofis caligis, cujus i* 
magincm plancavic in lapide fifllli. Vemm inercia mors eft philofo-» 
phiac.-vivamus nos & exerceamur. 
tbliif.tip. Primumanimapun&iracionemtbrcitaefta&u (falcemracioneal» 
14.0.HJ. ligacionisadcorpusfuum),circulifigurampoceftacc ,• quae cumficEn* 
ergia, didic Ceih ab illa fede puncli, in circulurmfive enim fencirc debcao 
res excernas illae fphajricum in modum fefc circumftanc;five corpus re* 
^TuTtoti S ere cor P us ^ 1100 !*' circumjeclum habccipfa laccc incus,radicaca in pun« 
h?^nra clo ej 9 cerco, unde exic p fpeciem i ui m corpus reliquum. Ac qui exeac» 
An-maTer- m fj p er fineas re£tas?hoc enim vcrc eft cxircqui alium cxeundi morem 
habeac, ipfa&luxexiftens&flamma, quamafoncibusfuiscxcuncalia 
Iumina,lineisfcre&is? Egrcdicurigicurvcrfuscxreriora corporis, ijfc 
dcm lcgibus, quibus circumftancia firmamcnci lumina verfus iliam in 
pun£to refidencem ingrediuncur. Cum aucem cocadimidij globi cerre» 
ni fuperficies , omniaq; adeo pun£ra fupficiei acris , quo amiclus cfi ille* 
ab uno & codem Planeca irradiecur radijs infinicis,-ex ijs omnibus unu» 
fol 9 cendic verfus pun£tum illud, quod eft fcdcs animac;Ec viciffim,cunl 
Anima in omnia fupficiei corporis fui puncla, lincis infinicis excac, (in- 
ftarradiorumSolis, quia& ipfa luxqujedameft, &fpirirusvulg6ccle- 
bracividencur nihilaliudefle,quam hiradij rcclilinci,&haeanimxfpc* 
cies):una camen fola linea ex omnibus eft, quae ex cencro in ilJud fupep» 
ficiei punitu cendac, quod fcricur a Planecae illo unico radio , qui verfua 
fedem Animajccndic. Ponamusigr,in hocconfiftcrepercepcioneuni* 
planecae radiorum, quando hujus incurfus & illius occurfus in unam li- 
neam redYam geomecricam congruut; exemplo vifionis fimilimo, quae 
in folo & unico perpcndiculari , medio cocius oculi radio , eft pcrfecla 
& accuraca. Ponamus &hoc,quodinDiopcricisprop.XLV,uc fingula« 
rearcanumfenfionumomnium,inculcavi,NuHajnfieri fenfionem rei 

txcernw 



Harmonicis Lib. IV. 167 

•xcernscnifi quaten» ea ro fcnforium inftrumentum afficiatur. Anima CAp VH . 
enimpcr iUoscxcurfusfpccierumfui , fidam habet notitiamomnium 
membrorum corporis lui , corumq;, quae in illorum unoquoq; nova fi- leu y rt , ft 
unc quovis tcmpore. Quibus poficis , fequitur , uc fi fiac a Plancta talis quomod» 
impreffioinaliquodpuntlumacris, quaenoncendac verfusfedemani- 
tnae, icd praeccr illam,ad latus;anima illius quidem punfti fic afFetti fpe- 
«icm,perfua2fpecicirecurfumcxcipiac,'fcaucrcmnihili,vilipendac:fm 
aucem in aliquod fuperficici acris punclum fiac imprcfiio talis,quar cen- 
dac verfus Animac fedem;eciam hoc punttum fic afrcdl:um, Anira jcnun- 
ciecur, &ha;cfenfio, ucadAnimampercincns , aeftimccur , aca:ceris 
«liftinguacur; eoq; in illo folo puntto Anima ftellam fibiimaginctur, in 
caeteris jam di&is minime. A&uatur n.& velut^illuminatur radius Ani- 
ma:, a radio ftellae, in eandem rcttam congrucnte ,- ficuci a&uatur color 
«• crum vifibilium a luc is adventu ; & ficut attuatur vifio, cum nos collir 
gimus, & pcrpendimus nos vidcrc. Hoc cum fic habeat non in uno tan- 
cum, fcd & in duobus planctis; duo ctiam figna invenict anima,in dua* 
bus partibus fui corporis.Sive jam rotundum fit ej' corpus,five inaequa- 
le & afperum;Anima illud in fphaerae modum fibi in uno puntto fedcn- 
ticircumjc&um habcc,radijfq;,feufpecicbusfui immateriacis, auc, uc 
«dij,actib'fecundis,dcfc circumemiffis,expiracvelucipcrfettum fphae- 
ricum, quoufq; corpus ejus pacecedq; illud ad idcam circuli, & quidcm 
T,odiacicirculi,circafuamfedcm > utcentrum,defcripti,examin^c,6cpar* 
tes ejus incerftin&as dimetitur.Ita neq;Terram opus cft concedere pcl* 
lucidamufq; ad ccncrum;ncq; animam exirc ufq> ad fidcra,nihilo cam» 
oainus moduspacet, quo configurationum anguli fcnciacur ab Anima. 

Hacquidcmfuppoficioncdiflblvuncuromniaargumenca,quaePi- 
«us Mirandulanusadevcrcendamdo£trinamdeConjun£tionibusmag« 
cis, deq; afpetlib*, acculic.Nam quia Animaomniamundi corpora cir# A * "J^ 
ea fuae fedis pun&um difponit(imaginando)in formam fphaerici,omnes 1 ettx , ejuf 
planctas in fofma circuli,idquc legc re£barum,exunopunt"to cdu&am; jj"' °^"* 
nihdigiturincercft,magnaftcllaficanparva> multumanparum itine- ncsOptic* 
Tis m ccclo conficiac,alta an vicinaTcrris fic.Haec enim omnia fic movec 
Animam,uti percipiuntur; pcrcipiunturautem ijfdemlegibus, quibus 
& a nobis vidcncur , fc. omncs uc aequealci, & uc mocu fecundo caren- 
tes, motuveroprimodiurnoa:quecelcrcs,neemagno quancicacisafpa- 
ftabilisdifcrimine. Ca;ceraquaeadPiciargumcncarefponderipofrunc, 
requirclocofkpeallcgacolibrimeideftellanova. Sacis inpraefensde 
Anima Terrae, quam Nacuram fublunarem dicunc. 

Quicquidha£tenusdcAnimaTelluriscftditl:umj idfitx»iliteretia*>e Ani«|i 
adfacultaces Animaehumanaeapplicari poteft : pleraque tamcn in his komini * 
Tuntevidentiora,canc6q;magismulciplicia, quanto quam illa , pluri- 
bus munijs iftae praefetlae funt. 

De principe quidem animae faeultate,quae Mens dicitur, praitcr il- 
la, quaefupraCap. I. exProcloatculi,nihiladmonecnegociumRadia- 
tionum, quoddicam amplius. Eft illapun&um , ut Mcns ; eft circulus, £ 140- hj. 
tit Raciocinatio; eft imago, vultus divini; cft Harmonia, quoad energi- ' 5 * r ; °- 
am unarn; funt in ei Idex & fpecics machematicacper circulurruiac llla 'uyu 7 . 

kiXco 



168 De CoNFIGUfc ATlONlBUS 

«ap. vii. bifee,dac &Harmonijs, EssEfuum incelle&uale. Haecomniarequirat 
£.. ... lectorexfuperioribus : hicpluribusnoneftopus. Unum hoe moneo 
raeteGea»- de Procli argumencacione ; Non videri illam nici bonis exemplis : dum 
raMathc- inculcac, ldeo lineas fuperficies &punttainanimaftacuenda:quiaiii 
fenlilibusnulIjepuras&IeparacjEfuperficieSjIineaeveipundafinc. Acq 
necin Animaeftlmeapura,feipsafubfiftens; fedinexiftic in fuperfieie 
mencali, eujus eft eTtcremicaSonon minus quam in fenfilibus quancicaci- 
b* corporeis,ineft fuperncies mera in excremicace corpuns , linea mcra 
inexcremlcacefupemciei, punduramerum lnexcrcmolineae." impsr- 
fe£tarumeniraquancicacumEssE,efc inesse in perfectis. 
Aiitct Sp«. Scilicec genera quidem Mathemacica , non func alicer in Anima 

h»s. ,ir — «T-^m univerfalia caecera , conccpcufque varij , abftra&i a fenfilibus^ 
ac speci eru m Machemaricarum illa,quae Circulus dicicur Jonge alia ra- 
cione ineft Animae j non cancum uc Idea rerum exccrnarum , fed eciam 
uc forma quaedam ipfius Animae ; fdeniq; uc prompcuarium unicum o« 
iiua» mnisGeomecricae&Arichmecicaefcienciae: quorumilludindo&rina 
Logaritiw Sinuum, hoc in mirabili Logarithmorum negocio eft evidenciffimumj 
«liTiL l. a. uc m q U ibus ex circulo orcis, abacus quidam ineft omnium mulciplica- 
cpc " cionum & divifionum, qua; unquam fieri poflunc, veluci jam confe&a- 
ru. Sed facis de Principe Animae faculcace; Veniam 9 nunc ad inferiorcs* 
*c Jtate? ^ aculcas icaque vicalis in Homine , non Harmonias tancum radij* 

lucidis involucas fecum habec , fed etiam Harmonias ,fonorum fpecie- 
busincruftacas.Ecfonosquidem auribus haurir,utobjc£tum propriumi 
B.adiosver6fiderum,nonutoculiseos,fedutilloipfoperceptionispau- 
16 fuperiusexplicataeobfcuriorimodoadmiccic,adHarmoniae conna- 
tasldeas examinac. Nam ea quaevidencuroculis, ferviuncdifcurfuij 
j. . o , Harmoniarum agnicio fine diicurfu eft. Sic innatam efle pullogallina- 
Heis. ceo ideam milvij, fcifcit';L C. Scaligermon eam quidem fimplicem, lc4 
cum noca fugicadaeperniciei. 

Hincigicurhabcnchoc Animaehumanae , quodfub tempusaipe* 

Q^idpof- cT:uumcQeIeftiumpraecipuoscapiuncimpec',adnegocia, quaefub mani* 

tltlifmV^ ^ us habent, peragenda. Quod enim eft bovi ftimulus , equo calcar aue 

*ultat4iu. celecifmus , milicicympanum& clafficum.audicoribusoratioincen- 

tiva, curbae rufticorum modulacio per fiftulam,ucriculos & panduram» 

hoc cft univerfis , praecipue veroinunumcongrcgacis , configuracio 

coeleftis idoneorum Planecarum,uc & finguli in fuis raeditacionibus o- 

<^»omoJ» perifque incicencur;& univerfi ad confpirandum , fociandafque dexcc- 

vu^it rasprompcioresfianc. Icaq;inmilicia videasplerumq; pradia, pugnas, 

i,! inVafiones , affulcus, expugnaciones > tumultus , Panicos terrores , fub 

tcmpora Afpe&uum Martis & Mercurij , Jovis & Martis, Solis & Mar- 

C^omodo t j s s acurn i & Martis &c. exiftere:In Epidemicis morbis plures cempo- 

re validorum Afpe&uum decumberc, gravius torqucru aut etiam mo- 

ti , NatUrafc deficiente in lu£ta cum morbo, ad quam lu£tam (non ve- 

roadmortem) incitaturab Afpedtu. Quae omnia non ccelumipfum 

facit fine medio, fcd Animas facultas vitalis, cum cocleftibus Harmonij» 

©perafua confocians,principatum tenet in hoc, vulgd ficdifto, influxa 

«celi. Scilicet kxc yqx Influxus fafcinavic pbilofopbos nonnullos , uc 

eur» 



Marmonicis Lifi IVj t6§ 

curh ineptierite vulgo ipfiirifanire,quammecum faperemallenc.Quo- CAp ^ 
rum fane quam infirma eft cacheha, Aftra agere in aerem, hunc in tenijs 
peramentumcorporis, hocjsminAnimam. Eftohocin quibufdam, 
ac quid hoc ad Afpechim > ens rationis ? quomodo hunc capiec ele- 
mentum aeris > quomodo corpus ? nifi fua ucerqueanima,qu»afpc- 
dumprimoperfe percipiacmodoamedi&o. 

Flammamaliquam efle, vitalerii hanc faculcacem , incehfam in vkaii» fiu 
corde (eoque mori abfumpto pabdlo i cumMensperenhet^probavi ^ 1 "' ** 
inOpt: Aftrohomiarpartei fol.ztf.luculenta. comparatione cordis,ejus- 
quereciprocorum motuum > Syftoles ScDiaftoles, cum clausalathpa- 
de,in quaflammafitfovendaoleb, ventilatione> effumatione. 

Hac igitur efleritiae ejus proprietate nititur imprimis admirabile il- ijp olhoto - 
Judnegocmmgenethliacum.Cum enim vitalis facultas> incenfa in cor- genefisqu* 
de,flagranfqub quamdiu vitafupereft>ficquidam circul'Zodiacus;cum q;fi"gub« 
confiftac ejus eflentia inenergia, 8evelutifluxuflamme0 : hincfit,ut fondTmeu 
torius Zodiaci fenfilis figura influat in illam , recens a partu incenfam , ">. 
inque illam inolefcat penitus,(c'celb lieet poft partus mcmehtum ih alia 
omniaeunte&tranffigurato).*inhacideaanimalicirculiZodiaCi, lo- 7 

ca omnia fighet, qus; Planetae fub fixis, quae ortus, occafus, autmedium % 

Coeii obtmuerunt. . t 

Prae reliquis verbrebus Aftrbnorhieis,multon:axima heceffitudcJ "• 

intercedit Harmonijs radiofis,cum ortU primo &formatione hujus 
vitalis in homine faeultaris. Diximus enim , quamlibet Animasfa- fbl.M0.n4 
eultatem efle circiilurh, rationc cflentiae , ut eflentia ; ut vero agic 
aliquidinfeipfamex inftinclb,utfeiliceteomparatcirculumfuum cum Curfit po= 
partibus ejus , efle Harmonias archetypicas. Tam vero facultas vitalis tius thcln * 
tuncineipitagere, tuncihadtumperducitur,cum perpartuminnam- ,h C matc 
raatur incusiri cordis lampade , fic uc ipfi pbrrbfic opusrcfpiracione, conceptib^ 
quippe ad fbvendam flammam vicae. Quahdb igitur incipic efle id , lu '• 
quodefttunccfimHarmoriias architc&acur : cuncmaxime ihillarri i 

influit Harmonia radiofa Planccarurri fenfilis. l 

Haec adeb caufa eft,cuf qui nafcuntur fub ternpusmulcbruAfpecmu 
interplanetas>ij plerumq; &laboriofievadant &.induftrij,five adopes jj^Arp P ea» 
cumulandas inde apueris afluefiaht,five.rerum publiearu mpderatores in Genefc 
velnaciveldele£tifuerinc,feudeniqiinftudiaihcubuierinc? Quo ihge- 
iiere vicse fi cui videpr ego exemplo efle pofle;ei genefis meae nbtitiam 
iioninvidi,librodcftella hova>foli43;quam eciam hac vice explicare 
commodum fueric. Jacfericiaecrimen hohmoror,'criminencur s licec, 
ij , qui tocum hoc fcripciohis genUs ftultitiae damhant , feu oratiohe 
feu vitae inftitutb , idiotse , fcmidotT:i , citulorum , & phalerarurh ; 
adpopulum dementahdum,infticbres,Theologietiam,uc Picusappel- » 
lat, plebeji: apud veros[fapiehtiae amatores cujufcunqueordinis,crif 
tntn hoc facilediluo>ucilitate .le£cp.ris mei i qhianullius neque ge- 
nefin,neque ihternam animi difpofitionein arqu^ certo exploratani 
babco, Jupitcr igicur nonagciimo proximus , quatuor gcadibus fuper. 

f avcrae 



170 De Gonfigurationibus 

averac crinum Saturni, Sol & Venus jun&idefluebanc ab ifto , applica- 

CAP. V r. k aiK ac j m um jUC robiq; Sexcilibus, defluebanc & a quadraco Marcis, ad 

quem Mercunus proximeapplicabat; Luiia ad ejufdem crinum ibat, o- 

culo Tauri proxima, eciam m lacicUdine.-oriebacur aucem 25-Gemino- 

rum , culminabac 22, Aquarij, Triplicem cdnfiguracionem ejus diei 

parcilem,Sexcilem Sacurni & Solis,Sexcilem Jovis & Veneris,Quadra- 

cum Mercurij & Marcis prodebac aurx mucacio ; nam poft gelu dierura 

aliquoc, eoipfodiecepor orcus , glaciem tblvic , pluviasdedic. 

Exceptio, Neque camen hoc uno exemplo omnes Aftrologoru aphorifmos 

contra A- defenfos &confirmacos volo ; neq;ccelo cranfcribo reru humanarum 

° siam 'gubernacula,imanequancumadhucabefl:philofophicaha;cobfervacio 

abillaftuidcia,feumalisiri{aniamdicere. Namuchujusexernplivefti- 

giapreitlammovifceminamijfdempenenacamafpeciibus , inquiecif- 

fimo fane ingenio , fed quo non cancum mhil proficic in liceris (non mi- 

quk effi- rumhoceftirifcemina),fedeciamcocUmcurbacmunicipiumfuum, fi- 

cjuntur a bique auchor eft rriiferia^ deploranda% Primum icaque acceffic afpedtib 9 

ti^mum" Planecaru,imaginacio diucurna macris prajgnancis, cui focrusj avia mea 

fublunariu , medicins popularis,a pacre eciam excercicx,ftudiofa,erac admiracioni; 

non funt acce fflc fecundo quod vir nacus fum non fcemina ,- quod fex 9 difcrimen 

da fideribus fruftra quasrunc Aftrologi in ccelo : Tercio corporiscemperacurama 

macre craho, ftudijs itiagis apcam,quam alijs vicae generibus:Quarco res 

erac parencibus rion ampla,glebafc. aberac,euiadnafcerer, adhasre- 

fceremque : Quinco aderanc ScholaS , adef anc exempla libcralitatis 

Magiftratuumiripuerosftudijs aptos. 

Animi qua- ^ c incerfef e, rurfum ex Geneil , Planetaf um diicrimina in quali» 

litates cum tacib 9 . Nam fi Ariimalqx quzedarri eft; difcernecetiamMarcisruborea 

quaiaatib™ ] oyis candore, Saturniq; hvoreacaq; farendum eft, magnum auxilium 

confentiut ex Marce, non cancum, u£ prius,ad induftriam!; fed eciam ad acrimonia 

piunmum. ingenij, qus conflftis in Vi ignea,videafq;prascipuos Philofophiasnatu- 

ralis,& Mediciria? pericos , fub afpectus idoneos Marcis cum Sole Mer- 

curioquenafci : quianimirummajusrequiricuracumen,majorfbler- 

ciaaderuendaNaturaearcana, quamadreliquavicsenegocia, ftudiaq» 

ijsdefervientia. Largiar eciam ampliusahquid,ex Joveefle in cceliMe- 

dium elevato,quod magis dele£torGeometfia in Phyficisrebusexpref- 

* Stipem sa, quamabftraclaillaj&Sacufnificcicacepraefeferencc-magisinquam 

hicaiiq Sa- phyfica,quam Geomecria:ec quodLunagibba in clarafroncis Tauriria: 

^"s^am.conftellacionejimpleacAnimceFhancafticam faculcacem imaginibus ." 

U t apparet , quarum camen mukas Nacuraererum confencaneas reipsa experc 9 fum, 

rfs^rmt' veluc ex Procli * Paradigmatibus delapfas. Ac fi jam de eventu ftudio- 

qui jocum* rum meorum loquar,quid qua;fo porro invenio in ccelo,quod ad illum 

meum unu ve i levicer alludacilPhilofophia; partes non contemnendas a me, vel de 

le^rnex li- novo erutas , vel ernendacas , vel plane perfeclas effe, fatencur perici; ac 

bro deftei- m ea hic fidera fuere , non Mercurius oriencalis iri angulo feptirna; , in 

V uoties 11 quadraco Marcis : fed Copernicus, fed Tychb Braheus , fineeujusOb- 

inttaXii-an fervationum libris omnia, quae nunca me funtin clariffimaluce collo- 

norumcur- czt ^ fepulca jacerec in cenebrismon Sacurnus domin 9 Mercurij,fed Cs- 

m^naTunt " fares Augufti , Rudolphus &C Macchias, Domini mei : non Planetarum 

hofpicium,Capricorn 9 Sacurni,fed Auftria fuperior Ca^faris dom 9 ,ejuf- 

demq; 



HARMONICIS LlB IV 171 

d6rhq; Procerupecenci mihiprompta liberalitas , excmpli non ufitati. CAP vit 
Hic ille Angulus eft, non Thematis occiduus, fed Terrarum , in quem 
Imperacoris Domini mei conceflu , ex aula nimium inquieta me 
recepi , 5c in quo per hofce annos, jam ad occafum vitae vergentes , NuMeveiU 
Harmonicaifta , '.& quaealiafub manibushabeo , enitor. Fruftraex j Usind T" | 
Themate Genethliaco caufas quaerec Aftrologus inventarum a me 
annoi5p6. proporcionum inter orbes cceleftes,- annoj6o4. Modivi- 
dendi; anno hoe i6j 8- caufarum, obquas cuilibecPlanecarconcigic 
cantaEccencricitas, nec minornecmajor > anrtis intermedijs, demon- 
ftraca; phyfica? cceleftis , modorumque, qtiibus moventur planecx, ve- 
rorumquemocuumipforum ; deniquefundamencorumefficaciaeccc- 
leftis in hxc inferiora,mecaphyfieorum-' non influxerunc ifta cum cha* 
radtere cceli in flammulam illam facultatis vicalis nuper incenfa*, inque 
actum produfta; ; fedparcim incus in penicifllma Anima^ eflent;ia late- 
banc, (ecundumPlaconicamdoctrinam , fupra ex Proclo aliegatam ; foLt/ * 
partimaliavia , per oculosnimirum,introrfumreceptafunc : fola & EiFeftus *' 
unicaThemacisGenechliaci operafuicifta , quod& emunxic illos in- n aaij™ 8<S * 
genij judicijque igniculos , & inftigavic animum ad laborem inde- 
fefl.umraaxicquedefideriumfciendi:brevicer,noninipiraVic animum> 
non uliam didtarum hic facultatum ,fed excivic» 

Exquoexempiofacilecuivis patec , quam procul abflc ab eo A- y tn aAflro 
ftrologia , ut ad capita illa, vuJgd proponifolica, De Parentibus, De Se- *<#e «r*» 
xu,DeSubftantia, DeLiberis, Denumero Vxorum, DeReligione , ta ' 
DeMagifterio,De Amicis,DeInimicis,DeHaerediracibus, DeFami- 
lia^De Regionibus, De lnfinicis alijs , exunofolo Tliemace Genech- 
Jiaco reipondere exadie pofllc. 

De vicx quidem longitudilie , quatehus proriuhciare poffic Aftfo- 
logus >• hoc eft, qua; fic vis diredhonum , dicam paulo poft .' De F orcuna 
vefonacinuncfeorfimaliquiddicenduvideo,corifehcaneuiupradid:if» 

Triafunc, quib 9 nici videturhoriiinisfortuna, quOadnacuralia: Ahi- *®"?°*X? 
m 9 , Phy fiognomia Corporis , & Gehi p tutelaris ; quorum de primo ne- buTrebu" 1 
mo dubicac , alcerum occulcius , riec ica vulgo nocum eft ': de cercio nihil rne<Wib» 
nifi conjecluras afferre poflum. Deprimo hadtenus egimus , de Ani- ^^k. 
mofcilicec, exquoMoresdependenc;dequibusvulgiproverbiUmtri- nus dcpen- 
tum eft, quod Quilibetlicforcunasfua; faber .' quo didto fumma cotius de&t? 
hujus philofophiae parcis concinetur. Agc ertifn unum genus actionum fo° t r u : u jj? bli 
morumque , prius etiam exemplo fasminaj Cadtum, loco omhium ob 0- 
culos ftatuaraus. Sic enim func comparatae res liumanae, uc craflorum 
&populariterfapienciumhominum , noninvulgocancum>fedeciam 
inMagiftracibus , inque facroordine,fempermagnacopiafic ,• quibus 
difcrcci, critici, reformatores , moleftifunt, proque uirilicigacoribus 
habentur. Ucigicurprofperaquisucacurforcuna, eadico,qu£eeftex 
hominumccetubus;huic ecfi& judicio de moralibus redco,& labOre in- 
duftriaq; in rebus proprijs 1 , a vulgo fecretis,opus omnino eflvoporCec ca- 
rncnanimopinguedinisaliquid efleadmixcum , oporcecmoreseipo- 
pulares, modumqueagendicalemefle, quicraflb populoplaceac :ani>» 
minimiumfubciles&inquieci, nififerecipianc in aliquefeceflumftd- 
diorum(hocipfo defpedti_& conccropci ),creare fibi folenc inforcunia* 

Y s Icaqut 



172 De CONFIGURATIONIBUS 

€aP. vir. Icaque fi quis ex figura coeli Genechliaca conje&uras habec fuffU 
ciences, dequalitacibus Animi: conje&uramiseciamdeforcunaHo- 
ministngenere,faciecnoninepcam,fedconje£hiram folam, praecerea- 
que nibil : fcilicec falli eciam ille pOceft , propcer intervencum plurium 
caufariim,camfupernacuralium, quamnacuralium 

Nam uc alcerum forcunx hominis fundamencum ex fuperioribus 

Facieifafci-aceerfam, dignacionemfc.vulcus;imaginacioquidem Macrum pluri- 
mum hujus confercfoecui, cocogeftacionis cempore,ut fsepe infoelicium 
parentum, (adeoq-, & aliorum hominum animaliumve, crebro & cum 
emphafi prajgnanctbus obverfancium) & vultus & mores & illis funda- 
menciSinnixaforcunaconfimilis,cranfferacur in fcecum, Sedtamen,uc 
fupra Paradigmata mencalia Procli, mulciplicabancur m animalia, vi- 

foae C ex' a ta ^> mobiha, complicacafc. ideis vitaemocuumque; ficeciamhic cha- 

prefla. radter cceligenechliacus immergicurinfpeciem vulcus,occulcavifacut- 
tacis formacncis ; agnofcicurque ex naci vulcu , occulciore adhuc fpe- 
&ancium inftindtu : videasque , ad eos, qui fub copulas plurium plano- 

tarum ance Solem^nafcuncur^J^u^og^ctfappellanc Aftrologi)copu» 

Vndeviscfok" ec ' am ' veluci fafcino quodam , ccecu? hominum popularium. 

typhorijs Cujus rei exemplumadomnempoftericacismemoriamcomendacum 

yjaaetaru. videreeft apud Hier: Cardanumin Genefi Lucheri : quanquam caufa? 

mocus publici plures concurrerunc. Qui fic nalcuncur(quanquam non 

una cerca forma praefcribi poceft):plurimum ij valenc auchoricace apud 

populum, plurimumfuftTagijs in conftlio, plurimum graria apud Prin- 

cipes Reip: quorum quidem & nacura refpondec : icaque ftepe forcuna 

.. .. ftacaparcibus immerici, heque alijs idoneis animi vircucibus praedici. 

' ' "' Refer huc reliqua , quaefupra de Phyfiognomia dixi , dicique amplius 

poflenc. 

Ceniorum De Genio cucelari ceftantur divlna oracula, fingulis ijs fingulorun» 

cuftodu. hominum cuftodias efle accribucas, dacamque & admonicionem, & in- 

Mauh. ig. cercelfionem ad cribunal providenciae dei Nullam hic poffcflionem ha- 

i-u«. if. habec Nacura rerum fenfilium : fi camen aftrologi cx chemace genech- 

liacopramunciarepoffunccafusplaneforcuicos(nacuralicerloquendo) 

hoceft cales,qui ncque ex malis hominis moribus,ex cemericace, ex in- 

temperanciairae libidinisve acciderunC, nequeavulcusdedignacione 

dependencquaeduoforcuna: fundamenca hactenus expltcaca func -* 

uc quod cegula de ce£to delapfa feric praecereuncem , quod rcpcan- 

tem in fylvis feric globus auc fagicca improvifa ,• quodnavisdemer- 

famiferosve&oresrnediisexponicinundis ,• quod flammishic incer- 

cepcus excinguicucille ruina domus vel moncis opprimicur ; & in con- 

trariurn , quod infperacam hic hajredicacem adit , illechefaurumfor- 

tuicoinvenic:fi inquam chemagenechliacum concinechorum cafuuin- 

dicia,qui pcrcinenc ad Angeli cuftodis munia cicra concroverfiam ,• o- 

porcec, &huiccuftodi3eimpedimencaexaftro geriechliaco provenirc, 

Aa pUnfc promocionefque concrarias ; quod num impiam fencenciam in fecon- 

fortuit«ma cineacviderinc Theologi,praefercim ij,qui magno numero fcribuncge- 

kp e " deaBt nefes&prognaftica. Experienciamego habeo, qualem dicam, nefcio, 

duorum hominum,qui cum effenc naci fub conftellacionibusviolencif* 

fimis , morefque fequerencurnon diverfi, adeo uc alterieorumludus 

CifffG 



Harmonicis LlB. IV- 175 

eflec, falcuppraecipiciaferri ,medioquevolacufunemarripere,aquofi CAp VlI 
aberrafl.ec, jam a&um de ejus vica fuiflec: perniciem camen fibi cemeri- 
tace fua non accerfivifle func vifi.nam alcer eorum fulmine, alcer globo 
plumbeo a venacore i&us eft, cum is feris infidiacus, vifu & auribus ab- 
erraflec. Necvideoquiccelum iftapoflic inhomine,cicragenios,quod Szpe pccca 
caeceraquaepoceft, omniaperhominis Animumcorpufve(quibusadta caufe 
iftanullavisineftjpofledeprehendirun Illudmihinonfemelaccidic, for:uu "" • 
quodcumdiu mulcumq.meexcruciaflem comiferacione quorundam 
forcuico pereuncium , qui mihi vifi ftinc inrtocenciflimi; candem ex fide 
dignis reicivi , vicam illorum prae casceris talem fuifle , qua facile bonus 
angelus , uc apes fumo , abigacur , & homo caxis cafibus, uc fine re&ore 
currus, permicci foleac,veluc emancipacus apacria Dei creacOris fui po- 
teftace , fuoque permifllis arbicrio , imo cyrannidi Sacanae. Cujufmodi 
aliquid num eciam de prius poficis exertiplis fit ftaCUendum , illiq; cafus 
Nenaefi divinae cribuendi, folus isnovic* qUi cordafcrucacur: qui vificac 
imquitacem pacrUm in filios, in cerciam & quarcam generacionemi Ve- 
rum de omriibus forCuico pereUritibus 4 abfic Uc eartdem feram fenten- 
tiam. Sed vitae calem impietatern, conjeclores ex aftris videre non pof- Fa£ta hom * 
func: nec ertim irt Cceli figura defcripCa furtc divina aUxilia,coricra pravas ex c«io. 
animorum iricli naciOnes,irt quas Cceli influxus poft 1 apfum degenerac, 
noncorrumpens, fedcorrupcumirtcicaris artimum: mulcdfninusin 3a- 
turnilivore, iVlarcisrubore,funcirifcripta,velutinPandecT:is,pcenarum 
gertera,peccacis firtgulis debica.Icaq; cum conriexio naturalis harum re* . 
rurri cum ccelo immediacanulla fic: jam femel acquetcerum per hos 20 negoci/ qd 
annosdedi publice confiderandumjAn ficuc fpiricuales llli Provinciaru cum g encfi 
populorumquepraefidesafpiritibusinfidiacoribus impedirife cap. IX. c lcnu 
DanielisquerUncur , ficeciamfinguloruhominugenijabaftrisnacura- 
licer quidem impediartcur ." qiio minus corhode refiflere pofllnt pote- 

ftatibus 3.his,7TcU>(fojU.ei nobis infidiancibus, lllaque impedimenca pra> 
videancurexchemace Naci;quodforcaffe eciam inGeniuminfluxic,non 
minusquara innafcentisanimum;acq;adea confequacuraliquagene- 
ralis naci infoelicicas ; ut hinc natum ficproverbium NuUacalamitasfola i 
Deus vero hunc nacurae invifibilium curfum non freqiiencer impediar, 
quia plerumq; eciam ex iilo impedimertco cucelse , boni aliquid procu- 
rare novicquod periclicanci, fi is placec, bono cedac, fin difplicec, jufcas . rum 
vindi&ae moclum impleat.Sane fi malum imminens non pocefl imped i- monitionss 
re Angelus cuftos, monecfalcem, occultismodis , uc imparacum penre 
non finac cliencem. Qualia praefagia monicionefque eciam ruinam il« 
lam moncis nuperam in Rhecis praecefferunt. 

Sic igicur hoc cercium forcunae hominis fundamencum falcem con- 
je&urale , nihil enim affirmo. Redeundum nunc nobis eft ad confide- 
rarionemEffencixfaculcacisAnimceVicalis. Quaeri n. poceft > fichara- Qa 0( j fa^ 
£ter cceli in pun£to demu Nativitatis influic i an igicur fcct 9 in parcu de- f* hommis 
mu concipiac animae vicalefaculcacem, &ucrueum anceparcumina-p^p 1 ^ 
nimemdicam?Omnin6 propriamvicalera energecicamfaculcacecunc «cquak? 
demum a£tu concipic, cum a macre feparacur; ancea macernae flarhuhe 
vitalis radijs illuftrabacur per venam 6c arccriam umbilicales,qusc arce- 

V ? na in 



174 DeConfigurationibus 

vtr ter * a * n cor 8* fettS inferitur,feparato mcatu ab ijs duobus, quibus poftel 

propriam vita; flammam alens intus , hinc fanguinem inde aerem ex 

pulmonibus hauric Qui feparacus cordis meacus , cum primo vicae die 

concidac, penicusque evanefcac ; uc mihiPragasinfucularecens edica 

hter vi monftravic Georgius Horftius, Haffiae Landgravij Medicus, naturae co« 

yat "f&cvy cius conful tiffimus : hinc igicur argumenca duco , cor fcetus ,' dum eft iii 

anteparci ? utero, non minusillomocufyftoles &diaftoles,quamrefpiracioneca- 

rere, eoque vicae propriae flammam in eo nondum incenfam efle. Ec uc 

infiftam analogize fidiflima? firmius:uci fe habec fumus ce£H lignei , pro- 

pcer incendium cofti , ad fiammam , quac illud fubico cornpic: ica fe ha* 

bec & id, quod in fcecu praecedit, ad vicalem facuicatej ab ipfo parcu , auc 

paulo ancea ,incenfam. 

In hac igicur facultace Hominis vitali, flc incensa in partu, praxi- 

Vntk*is_ puerelucec illudinftarMemoriaj, quod fupracciam in Anima Terras 

pianewrd oftendi :cum canca ficconftanciacharadlcriscceleftis,omniumq-,The- 

5 er loca macis Genechliaci parcium, canca durabiliras ejus in Anima, uc ance vi- 

Ceaefsos.' taefinemnon deponacur > cum adomnesplanecarum cranficusperlo» 

- ca chemacis prascipua , CcCe commoveac haec faculcas,perinde ac filoca 

illa non eflenc imagines nuda?, fuperftices in anima , rerum quae dudum 

tranfierunt, fed vera fidera; & fic non unus, fed duo, verbi caufa, Soles 

in ccelo eflent , inque unum coirent; eoque coitu nacura faculcacis vi- 

talis , modo fupraditlo, commoveretur. 

Teftimonium hujus reiclarifllmum, omnique exceptionc maju* 

<5«areg8- eftincognationegenefeon, fubquibus parences, Scfub quibus eorum 

tumadibe n liberi nafcuncur. Cum enim fcecus eft macurus,faculcas animae forma- 

romm co- trix,& generacioni praefed"ta,tunc pociffimum fe accingic ad excruden- 

jnatae? ^ um foetum } eaque cxcrufione accendenda novam animx vicalem fa- 

culcacem; cum fidera in fedes macernae pacernasve genefeos, auc in con^ 

figuraciones eafdem reverfa,admonenc Animam fui ipfius, fuique cha- 

ra&eris cazleftis, Videlib.deftellanovafol.43'. - 

Quid quod non tancum veros ttanficus planetarum per loca nati- 

N ta fun- v * themacis , haec faculcas obfervac ; fed etiam fuccefllones partium cce-* 

^smentumli , quae in Genefi planetashabebant , inlocapraecipuachemacumquae 

«aturaie conftituuncur exaftis a partu diebus incegriss proportionem obfervans 

amm. 10 " dici ad Annum ( uc cujus ucraque revolucio Terrae a Copernico tribui- 

tur),eaquc proportionc opera fuaper totam vitam Hominis difpenfec, 

utquantolongioreftAnnusDie , tanco cardius EfFeclusfuum indire- 

ftione Signum fequacur , quam Signu in dire&ione parcum infequicur? 

Ucicaimpreflloha;ccceleftisnonquifecens tancum durec, fed etiam 

durando, fefe motu extenfionis, in longioravicae tempora propagec 

Nimirum haec facultas non cancum circulus eft, fed motus eft circularis 

idealis , & isgeminus, eftdeniquc , per mocum', eciam Tempus idea- 

le. Videfuprafol. r 17. Procliverba. Cujusrei Exemplumrurfuma 

Memoria, qua;paul6fuperior eftfaculcas, pecerepoflumus. Namin 

cabulaquidempinguncur,rcscancum cum circumftantia loci ' in me- 

moriavero,confervanturrcsgefta;,etiamcumchara£l:eretemporis:de- 

nique in hoc negocio Direclionum,chara£ter ficuum & mocuum tem- 

pore 



Harmonicis LlB. IV. 175 .- 

pore decurforum mulciplicatur in operaciones,obfervata proportione VI! 
fenfili mundana,revolutionis diurna; ad cranslacionem fub Zodiaco an- 
nuam,- fic ucoperacionesjamdiftentraciOnecemporis,afuisftimulis. 
Dixeris cum iplo corpore Naci, crefcere&cempuscharadterisGene- 
thliaci mocuum. 

Quicquid igicur Aftrologi , De Vicaelongicudine , prsedicere ex ^4*1°? 
themace praefumunc, cocumilludinhoccapucconcrahicur : Diredh-mortisan- 
onum praeludijsex Themacisgenechliaci veluci pulpicovicalem facul- nusexaftns 

■ r i. rr '" ■ € , ptaedicipof 

tacem lnrormancibus, quopotilhmumannovicae, humorumunusvelfi c . 
alterredundans, excorporeexcurbari,aucfoIlicitaridebeat;ftimulus 
is eft Nacurae, ad peragendum opus fuum excraordinarium , quod vicae Q3 ld £'"* 
proroganda? cedac: mors in aftris, in ThemaCe, in Diredcione nulla; ne- C c. 
dum varia; Morcis.formae: maceria corporiseft , quae flammam vicasMortis cau 
velinundansopprimicveldeficiensdeferic , quae nacurae conacus im- se S enu,na: 
pedic,adqueperniciem decorquec: peccacum eft, quodgenushun a- 
numconcelfoolimimmorcalicacisremedioprivavic: quodeciamnum 
Angeium cuftodema cucelavitae, concra daemonum, hominum, ele- 
mentorumqueinfultus, abigitjimpediCjrepellic. Seddehac re plu- 
ribusav5endcmeiTecinAftrologia,cgiquenonconcifenimiuminhbro 
d3 ftella fol . 4j : & in Tercio invenience Num. 65-. & feq: > & force eric , 
uclibros Joh; Fici Mirandulani cum commencario edam ; fi me rem 
ftudionsPhilofophi«gracamfa6burumincelligam,necmedijsnecefl~a- 
rijsfuerodeffeucus. 

Nunc quia adfinem propero, com^arationem iubjungam,vitalisR ati ° &vis 
in homine faculcacis, cum Anima Telfuris , causa influxus cceleftium : feug^adus 1 
videcurque haec effe, quod Anima Terrae circulus calis fic , qui nufpiam afcendentis 
habeatinicium velfinem 3 necabaliquafuiparceficnexus;achominis inGencfl * 
faculcasvicalis circulo comparacur, apluribuspundtisvelucinexo: cau- 
faeft, quia Charadteregenefeos AnimaTerr^nullumhabeCjCumfem- 
per eadem maneac, nunquam nafcacur auc incendacur ,• hominis vero 
nacivicasrecens,morcique propinqua» charadterem orcus fui recepic, 
qui Zodiacum cercis inicij fimfque pundtis incerpungic Ec Telluri qui- Mundi Gc 
dem, quamvis charadterem Genechliacumex prima die Creacionis cri-nefis. 
buas ,• totum tamen cceli fpacium femper illi eftobvium , nihil in illo ra- 
cionem habec principij finifve, ortus occafusve ; Homini fuperficies 
Telluris dimidium cceli occultac , orcus & occafus figna diftinguic. Pa- 
tet igicur comparacionis racio. 

Adeoque vera eft ha?c comparatio.vitalis in adtu conftituca?facuI-£ ri< j um „ 

• 1 .- ri. ■/-!•■■ rundamea. 

tacis, cum circulo nexo ex cercis pundhs; uc eciam lub pnncipium mor- tum . 
bi(quinovaquafi vica eft , nova fc.energia vicalisfacultatis,feuadho 
ejusexcraordinaria,nacuralis , praeter nacuram tamen confticucionis ^"* mor " 
uficacae,humorem noxium e corpore excurbare nicens) locus quem lu- * 
na pofledit , influat in Animam , vimque concipiat veluti verae alicujus 
Lunae, in hocfuo gradu immobilis: ad cujus quadrata & oppofita loca fi 
luna vera in ccelo perveneric , Nacura hominis excimulacur , ad agoni- 
fandum cum morbo : Hac re nicicur dodlrina Crifium , de qua facis ac- 
curace egi in Tercio inccrvcnience, Num 70. & fequencibus. 

Sacis 



176 DECoNflGU&ATlONiBUS 

Sacis in praifencia di&um efto, de human* eciam Anim» facultawj 
cap. YIL fa£ et j ore . deque uniVersa hac maceria. 

Porro haec egode Anima difpucavi ha&enits , non equidem hoo 

confilio , uc philofbphia; divinas fhidiofos pemtns avocemale&ione 

Mccaphyficorum auchorum : ucve coc Placonis & Anftocelis irieer- 

precibus , profuttdiflima; ittdagittis, (jraecis, Arabibus, LacinisvPlotino. 

Themiftio,Simplicio, Porphyrio, Alexandro, Averroi, &quosiile 

allegac fuae gencis non paucos, Boecioque, &recencifllmofubciliffimo- 

quel- C Scaligero.de Anima, dequelncelligencijsdifpucancibusocu., 

los configerem : feduchaecexmeaprofeflione , cxque incimohujus 

operis Harmonici penu deprompca , nec dum ca&a abijs, quod fciam , 

confiderationibus illorum, veluci fupplemeflci loco,adjicercm;unde ab 

ijs, qui pof! me fefe huic concemplacioni Mecaphyficae dedicuri, aucho- 

resdi£cosle&uri,noftrahaecvcluci experimenca, cumillorumradoci- 

iiacionibus collacuri , & ucrumque ad alcerius limam liberrima racionis 

ccnfura exa&uri func (quodfaceor a mehacvicefattumefTeminimc),, 

hsec Mecaphyfica; fcienciaepars dcnique iliuftrjor &loeuplecior,omni- 

bufq; numeris abfolucior confticui poflic: quod uc ad gloriam No* 

minis fuperbcnedi&i, Dei Creacoris Vifibilium & Invifibili- 

um, inq; augmencum fan&moniae & innocencis vicas 

goncemplacorum.deniq» in falucem arcernam plu- 

fimirum Animarum cedac, illumipfum 

Dcum Trinunum fuppkx 

,b prccor. 



f iftis Libri Ite 



IO. KEPLERI 
Harmonices Mundi 
LIBER V. ~" 

DE HARMONIAPERFE- 

CTISSIMA MOTUUM CCELESTIUM, 

orcuque ex ijfdem Eccencricicacum,Semidiamecrorumque & 
Temponjm periodicorum. 



Adf!srj7if.p%deflrlji^ efirensmicz hodiernt eineodntijjVaix, Hypotbejeia, CaperniiL 
fed& TjAonis Brnber.quarum xlterutre bodie, Ptolematcinintiqn»tiS,nt 
< icrijjii&£ , pi:bltce i ecisitmtHr. 

GiLEKU! DE USU PARTIUM LlERO III, 

Xigjv /Xsyov hyad , tS $hfjuxgyli<ruji>}(& j rifjLctg vpLM> cbwfavw 
mviiun^i^fLj yofiiifyyTxr etvcu tIw ivo-£t%etttJ»,ov% \t Tav^oav ha-> 
TOfifiag axtla 7rct t it7rdrhctc narMtroufja » $$ tcL afhattvtfLct 
fjLv^, SvfiicLo-ctifjLh vgj actoictg' a79\ et yvoilw w\v dvlog, zvretfo, J% 
ygjiToig aMotg i^Yiynffcufudwi ologjULev fci tIw o~o(bicvi, oiogle t!w 
J > iwa-[jLLV,o7roiog J% rlw ^en^oTnra. roydg a.oo-fJLeiv l^i/Xetv aTTccv- 
^j tov h Sk%Qi${jov itoQ-fjLov, y$Jj fjLnfevi (pftoveiv tw dyaQ£v,Trig Ti-* : 
/\eid&T<\g ysgVTo^og lya c^etyfjLct Ti§i{JLCV.\Y$\ tcwty) fj&p ag dya- 
dogrjfxiv vfjLveiij-® , ro^cegdv fjLcthtqav.o^fL-f^m , vrdvk^ev^eiv , 
ax.&.go-Q<piag , to t&xgy tycto-cuTTavff oo~a 7rgoet/x£lo, 
^twufjLZtog cIyitIyitx. 

Ueft: 
Sacrum fermonem, hymnum Dco Conditori reriffimum ordior, 

pietatem hanc efTe ratus,oon ut he catombas illiTauioruin plurimas immolem,odores innumeros 
adoleam & Cafiam: fed ut primum Ipfc difcam,pbft & caeteros doceam,& quantus ille fit fapientia, 
quantus potentia , & qualis bonitate. V c lle enim omnia , quanto pofTet ornatu, decorare , nec ulli 
Bona fua invidere ; id ego Boaitatis confurnrnatiffima: documcntum ftatuo ; haftenusq; ut Bonura 
•elebro: Omnia verb invenire, quibus quam maximc eiornarentur,emiuentiflima: SapjentlSi - 
Onmia deniq;, quae ftatmcrat , in opus produccre, Potentise iniiipetabilij, 

Ctm 5. C. M. rrfciUpndannes JCK 
LTNCII AVSTRIjE 

Excudebac Johannes Plancus, 

*** 



ANNO M. DC. XIX, 



i7§ DeMotibusPlanetarum 

Prooemium. 

^^lj^^Vod ante duos & viginti annos , primum at- 

jPJA f-,. iljSque figuras quinque folidasinterorbes coeleftes reperi , 
5* y) ^hjmauguratus;qdodfirmiceranimoperfua(imeo,priuf- 
pfLji i,imjf c \ a ^ m Ptolemaei Harmonica vidiflem;quod ciculo libri hu- 
awWs^^jusquincinuncuparo^priufquamdere iplacercus eflcm , 
polliclcus fumamicis ; quodance fedecimannospubhcofcripcoqua:- 
rendum inculcavi ; cujus causa vicae parcem opcimam Aftronomicis 
concemplacionibus impendi , Tychonem Braheum conveni , Pragam 
fedem elegi . id candem, Deo Opc.Maximo, qui mencem infpiravejat , 
deiiderium ingens excicaverac , vicam eciam &: vkes ingenij prorogan- 
ce,mediaquecnetera, perduorumlmperacorum ,'hujufqueprovinci<e 
Auftria: Supr-Anifanae Procerum liberalicacem,fuppedicante,defuncl s ' 
pnus Aftronomica provincia , quancum fufficiebac , candem inquarn 
inlucemprocuh * fupraquequamfperareunquampocui, veriflimum 
deprehendi; ToramHarmonicesnacuram ,quancaquancaeft,cumo- 
mmbusfuis parcibus,libro III. explicacis, incerMocuscoeleftes repe- 
riri; non eo quidem modo, quem ego conceperam animo; pars haec eft 
nonpoftremameigaudij ; fed diverfiflimo alio , fimulque & praeftan- 
ciflimo & perfe&iflimo. Acceflic hoc incermedio cempore , quo me 
fufpenfumcenuit Mocuum refticuciolaboriofiflima, praecipuum & cu- 
pidicacismeceincremencum,&propoflci incicamencum , le&ioHar- 
monicorumPcolemsi ,q«aemanufcripcamihicranfmificVireximius, 
adquephilofophiam, omneq-, adeogenuserudicionispromovendum 
nacus, Johannes Georgius Hervvardus, Bavariae Cancellarius: ubi prae- 
ter expe&acionem , & fumma cum admiracione , inveni, cocum fere li- 
brum ejus cercium in eadem concemplacioneHarmoniaecoeleftisin- 
fumpcum, ance mille & quingentos annos. Verum id aecacis mulcum 
adhucdeerac Aftronomia:;pocuicque Pcolemzeus , re infoeliciter cen- 
caca,defperarionemalijsobjicere ; ucqui cum Scipione Ciceroniano 
pocius fuave quoddam fomnium Pythagoricu recicafle , quam philofo- 
phiam ad juviffe viderecur: ac me cum ilja veceris Aftronomiae rudicas, 
cumhicipfe medi:acionumucriufque,ex quindecim faeculorum incer- 
vallo, confenfus ad amufsim exa<ftus , vehemencer conflrmavic inur- 
gendo propofico. Nam quid mulcis opus? Ipfa rerum Nacura fefe pro- 
dicumibachominibus,perdiverfbsdiftantiumfaeculorumincerpreces: 
digitusDeieracuccumHebraeisloquar, hicinAnimis duorum , qui 
fecocosconcemplacioniNacuraededidifTencsde conformacione Mun- 
di,concepcus idem : cum neuceralceri dux fuiflecad hoc icer ingre- 
diendum. Jampoftquam a menfibus o&odecim prima lux , a tri- 
bus,dies jufta , apaucifsimis.vero diebus > Sol jpfemerusiliuxit con- 
cemplationis admirabilifsimae ; nihil me retinet , lubet indulgere 
facro furori , lubec infultare mortalibus confeffione ingenua , rae 

vafa 



Harmonicis LlB Vj \79 

Vafa aurea yEgypciorum furari, uc Ded meo Tabernaculum ex iji 
conftruam, longilfime ab iEgypci firiibus. Si ignofcicis , gaudebo ; fi 
fiiecenfecis,feram:jacioen aleam, librumque fcribo , fcu prasfenci- 
bus,feu pofteris legcndum, nihil incereft : expec~tecillc'fuum leclo- 
iemper anrioscencum ,• fiDeusipfe per annorum fenamillia coacem- 
placcrem praftolacus eft. 

Capita hujuslibri fuiit ift&» 

t, De quinqut fblidisfiguris Regutaribui. 

II. Decognations cum ijs , proportionum HarmonicarunLs. 

IH.Summa dotlrink Aftronomicd,necefaria adcontemplationem Havmg* 
fiiarnm ccekflium^. 

IV. Quj.bus in rebus ad Planetarum motus pertinentihus exprejfk fint 
Harrnomg Jimplices , tf qubd omn&s illa in Ccelo reperiantur , qu<e in CantU 
infant. 

V. Cl* ves ScaU Muficx,feuloca Syflematis, gf Genera Harmoniarunts^ 
Durum z$ Molle , a certis motibusexprefa efle_s. 

VI: Tonos feti Modoi Mufiios,ftngulos quod&mmodb ajtnguks p/anetis 
ixprimi. 

VII. ContrapunEfa ,feu Harmonias univerfales omnium Planetarum^i 
tafque diverfas , aliamfcJicetex alia, exiflerepofie_j>. 

VI II. In Planetis exprefas efie naturas quatuor vocuhis, Difcanti , Alti , 
Tenoris 5 Bafi. 

IX. Demonflratio , qucd ad oltinendamhanc difliofitionem harrnonicants ■> 
Eccentricitates Piandnrum ill* ippt , quas quilihst profe hab&t,^ non a/iigycon*. 
fiitui dehuerint, 

X. Epihgus de Sole , ex conjeUuris prxgnantijfimis t 

^Append.ix hahe-t : I. Verfionem lihri iertij : Harmonicorum Pio/emti aca* 
pite III. quji trackst eandem materiants. 

II. Suppletionem textus Ptolemaici i irttrihusultimis Ptolemsticapitibus i 
quarum lemmatn fblapofeit Pto!em<cus. 

III. 'A[otas adhanc partem Harmonicorum , quibus Mthoremexp/ico,rc$ 
fUto,eju*<L ve/invenlzt ve/ attentatu cum msis comparo. 

De his a&uro mihi lubet Lec~toribusiriculcareTi-* 

iiiaji , Gencilis philofophi , de ijfdem exordiencis, adhorcacionem fan- 
t"tiffimam , aChriftianis hominibus furnma. cum admiracidne &pu- 

dore,niilimiCericur,cogriOfcendam;qux caliseft. A/A &2&)X^£- 
m ) Tovto yi h\ 7rAc , ocroi, ^ xotfgi $$$.yy (rtoty^jQvm (*.iri- 
^amVi^Bi 7rd<rti o^fjuni^ <TfjLi}t^y{gj\ ymytxNd itZ&ypLarpcJdio* 
dii7mKci}\mv 3 rifjLoig^i raV<afe< ITANT02 T^yxs 7roM&cU 



IgO DEMOTIBtlsPLANETARUM 






jgij .9-sots c^fcoAy^syyc &;££<&-£« ttolv^ j xa&c *d«£ smvois 

§i$v fj.0LM<;cL , zmjLizva)$<&v[Atvei7reiv. Enimvero Socrates , 
cumomnes qui vel minimum Mencishabenc, quocies negOciumalU; 
quodfeulevefeu arduumaggrediuncur, Deumfemper invocenc : Nos 
ucique,quibu9deRerumuniverficatediuerere anirpuseft , nifiplane 
ab omai fanaracione aberramus, neceflc eft, Deos Peasque vocis con- 
cepcisprecariunanimes, uc calia dicamus , quas primum ipfis maxiiae, 
nm deinde & vobis fincgraca & accepca. 

CAPVT I; 

Dequinque Figuris folidis re- 

pjulanbus. 



Vomodofigurxplanaeregtilares congruerenc ad 

Jbrmandas folidas , didum eft libro fecundo : de quinque nimi* 
«freuli an- ruru foliths ( incer caeteras ) propter planas' ibi locuti fumus. Nume- 






ifripti C ^ C . U rus camen illarum qumarius ibi defnonftratusfuk i addicumque, cur 
umbranc illas Muiidaiwe a Placonicis denominaea; > & cui quaelibec Elemenco, 

Sphsrics, 
fcdilla pa« 
J&msjora 
liis circuli& 
funt conci- 
jpienda,pr« 
terquam , 
in 5. ut fci- 
licet srer£ 
ornsies fig« 
tx angulo* 
ftringant. 

Magnitu- 
«linis ratie 
m hocfchs 
jnate hxe 
fuit abfer» 
Tara, uc 
Sphxricurn 
ipfiusf.paC 
fit infcnbi 
i»4.hujus i* 
ceru Spha- 
jricum in h- 
guraj.& h» 
V os in 1. & 
hujus deni 
q;fphxrictt 
inlCubum 
«angenso- 
ma>a ejus 
fex plana, 
ia centris 

f(U9> 



quamque ob propriecatem,com# 
paraca fit. Jam in hujus libri ve- 
ftibulo rurflim de his figuris,ob 
feipfas,non ob planas , agcndum 
eric ,- quancum quidem fufficic 
ad Harmoniam Cceiorum : cae- 
cerareperiecle&or in Epkomes 
Aftronomiae parce alcera, libro 
qqarco. 

Igkur ex Myfterio Cofmo- 
graphico hic brevicer inculc© 
Ordinem quinque figurarum m 
Mundo,quafum cres primaria: , 
duae fecundarias. Cubus enim 1. 
exrimus &amphflimus,quiapri- 
migenius,6cracionem habensTo- 
fi«f,ipsageneracionis fiiae forma. 
SequicurTecraedron 2.tanquam 
lars feclione Cubi coftkuta, pri- 
maria camen & ipfa, angulofbli- 
do trilineari,ut Cubus. Incra Te- 
tracdron eft Dodecaedron^. VI- 
tima primariarum , fimilis fcili, 
ccc Comj>ofit& exCubipartibus»Tccraedriumihbus,idefti ex Tecra.T 

edris 




HaRMONICIS LlB. V. 





JgTfeprforifc 

• *•• ' * ' ret Tetrao- 

$dris irregular ibus , quibus ccgitur Cubiis iatus. Huic fuccedit Icofae- 4r©nA£Df 

° iatens m 

A — -"^»a _— -m s^~\**. cubo,fic 

«tACD.te- 
gatutab u, 
no cubi an-= 
guloACDB 
infecunda 
figura «pp» 
_ .=, i. - i /* jj V^"""!^^ XP^C^^Y- Ht$&l ■*- retCubui 

tlron4.obfimilitudinerri,ulcimalecunda- h &™? r Fj fim AEDlatehs 

riarum, angulo folido pluf ilineari Utenti- \L^^^^L^^ ir^jlJ 30 

am. IncimumeftO&oairon5«Cubifimi- ^^^tyMmM? £t*m^o& 

\c, &primafigurafecundanarum,Cuiidcd ^wmwr jibitCubi 

primus locus mceriorum debecur, qUippe infcf ipcili; titi Cubo circum- jjgj^jjj 
fcnptili primus exceriof um. tuta duob» 

Suncaucerrinocabilia du<* veluci conjUzia harum figUfarum,exDoaec a e- 

' a m dri angulis 

/^i...j w -, /, . - , , jq ^ . feuPgtaedro 



jABCDE 

quod eftfei 
ttilein tria 
Tetracdra 
diflimilia 
perduo 1 plsi 
«a.DCA, 
&ABD. 
Hic vides 
Octaedro (l 
infcriptura 
Cubo; Ico- 
fiedronDo* 
decaedre» 
Tetrae- 
dronTa» 

dircrfis cdmbinaca elanibus:Ma=tra«d«>. 
rcs, CubUs & Dodecaedron ejt 
ptimarijs> fcemiftar, Gclioedfcm 
& ICollcdrOn ex fecundarij^qui- 
busaccedicuniVeiucicoeiebS aucAndrogyriosjTecraeciron; quia fibi 
ipfi infcribicur , uc illae fcemellae manbus inlcribuncur & veluci fubji- 
ciuncur,&fignafexusfceminina mafculinis oppoficahabencangulos 
feilicec planicicbus. 

Praecerea uc Tetraedron eftelemencura i vifccra & velud cofta Cu- 
bi Maris ; fic O&aedron fcemina , eft elemcncum & pars Tecraedri , a- 
iia racione .* ica mediat Tecraedrort in hoccOrtjugiO. 

Praecipua connubiorum feu familiarum differCrtcia in hod confiltit; 
quddCubicaequidem £^S//«e{tproportiOjrtam TecfaedrorteftTri- 
«ns de corpore Cubico, Odtaedron lemiftis de Tetraedrico , fexta pars 
Cubi : Dodecaedrici vero conjugij proportio eft lneffahilis quidem , 
fed Divi/t/Li. 

Harum duarum vocum copulatio jubet cavere tedori , de earura 
(igiificacu. Vox enim Iheffdbilis hic non dcnotat per (e nobilitatem 
auquam » uc alias in Theologia & rebus divinis i fed denocM «oniicio- 

Z $ fi«« 




182 DeMotibusPeanbtarum 

nem dcceriorem ' fiirit enim in Geomecria , uc libro primo di&um , in* 
cfFabilia mulca , quae non ideo parcicipanc & divina proporcione. 
Quid aucem fic divina proporcio (fedtoria pocius diccnda) ex libro pri- 
mo pecendum eft. Alijs enim prOporcionibiis fuppecunc fui quacuor 
cermini, bcContinux rerni ,divina requiric eciam fingularem termino- 
rum habicudinem, prseterquam proportionis ipfius, ut fcilicet duo ter- 
mini minores > iuparter , confti tuanc majorem , ut totum. 

Huicigicur Conjugio Dodecaedrico quancum deceffit exeo>qu6d 
proporcioneucicur?»^v«^/7/,tantumexeovicifTimaccedit > quod in- 
efFabilis proficic in divinam. 

Habechoeconjugium&ftellamfolidarn >cujusgenefis eftexcon- 

tinuatione quinorum planorum Dode# 
caedri , ad concurfum omnium in pun- 
t~to unico ; vide genefin ejus libro II. 

Ulcimo noranda eft proportio Or- 
bium eis Cumfcriptoru ad Infcripcos , 
quieflinTecraedro efFabilisj utiooooo 
ad 555-33 veluc 3. adi. inCubicoconju- 
gio inefFabilis , infcripci camen femidi- 
amecerpocenciaeffabilis , radixdecer- 
tiaparcepotentiaediametri, ;fcilicetuc 
100000 ad /773:5 : in DodecaedriGQ 
conjugio plane inefFabilis , ut 100000 
ad 794.65; in ftella ,ut 100000 ad 52575 j 
itimidium lacuslcofaedri, feudimidiumdiftanci«duorumradiorurn« 

GAR IL 

De cognationeProportionum 

Harmonicarum,cum quinque Figuris 

Regularibus. 

xj Aria & multiplex eft haeccognatio : Sunttamea 

* quacuor pociffimum gradus. Nam auc defumicur indicium co- 
gnacionis ab excerna fol&m fpecie , quam habenc figurar : auc cum ipfai 
laceris conftru&ione nafbuncur proporcionesesedem, quae & harmc* 
nicae ; auc refulcanc ex figuris jam conftruclis, fingulis vel june~tis>auC de* 
niquc vel aequales vel vicinae func proporciombus orbium F iguf £. 

Primogradu Proporciones,quarum chara&erfeu major cerminus 
eflj. familiaricacem habenccumplanoTecraedri, Oftaedri^Icoiasdri 
Triangularh quarum vero major cerminus 4; cum Quadraco plano Cu? 
bi i quarum 5". cum Quinquangulo plano Dodecaedri. 

Pocefthaecfimilicudoplanieciamexcendiad minorem proporti- 
©nis terminum; ut ubicunque ternarius juxta unum ex continue duplis' 
iwrcnicMr, illaproporcio habeacurfamiliaris cribus figuris primo no- 

minacis 




HARMONICIS LlB. V. 185 

minatis ut 1.3 & 2. 3. & 4. 3. & g. 3. &c: ubi vero quinarius , ea propor- 
tio abfblute vindicecur conjugio Dodecaedrico: uc 2.5. & 4.5. & 8. 5. Sic ' 
j. 5 & 3. io.&6.f. &J2.5. &.24./.Minusprobabiliseritcognatio;fifum* 
macerminorum exprimathancfimilitudinem,utin2.3,junc"ti termini 
faciunc 5. quafi ideo 2. 5. ficfamiliaris Dodecaedro. 

Similis eft cognacio ob excernam fpeciem anguli folidi , qui eft pri- 
marijstrilinearisjOcloedroquadrilinearis , Icofaedro quinquelinea» 
ris:icaque fi proportionis alcer terminus communicatcumcernario, 
proporcio enccognacaprimarijs corporibus jfincum quacernario,0» 
dtaedro i denique cum quinario, Icofaedro. Sed in fcemellis hsec co- 
gnacio eft fpeciofior , quia fpeciem anguli fequitur eciam figura chara- 
cleriftica,lacens incus, in Octaedro Tetragonus, in Icofaedro Pencago- 
nus : Icaque^. 5. propcer ucrumque, efTecIcofiedricaefe&ae. 

Secundusgradus cognacionis , qui inorcu confiftic , ficeftconci- 
piendus. Primum func aliqua: proporciones numerorum Harmoni- 
eae,familiares uniconjugiofeufamilias>fcilicecperfec~teeproporciones 
fingulae,familia: Cubica? : eftviciffimproportio,quaenunquam plenis 
numeris exprimicur , nec alicer per numeros demonftratur , nifilonga 
illorumferie, paulacim ad illam accedencium : quse proporcio Divinn 
dicicur , cum perfe&a eft ; regnacque varie per conjugium Dodecae- 
dricum ; illam igitur proporcionem incipiunc adumbrare iftae Harmo- 
nia; j. 2.&.2. 3_& 3.5. & 5. 8, Nam imperfe&ifilmeeftin 1. a,perfediflime 
ia 5. §. perfeclior futura,fieciam5. &8- junc~tisinunumj3.fuperpona- 
mus 8" nffi harc jam definereceffeHarmonica. 

Porro ad confticuendum lacus figura?,fecanda eft Globi diameter : 
& poftulat Octaedron ejus bifectionem , Cubus & Tecraedron trifedi- 
onem, Dodecaedricum conjugium Quinife&ionem. Diftribuuncur 
igicur Proporciones , incer figuras , fecundum hos numeros , qui illas 
exprimunc Secacurverd&quadracumdiarnecri, feu, formacurla- 
teris figuralis quadracumjex cerca ejus parce. Et tunc Lacerum quadrata 
cumDiametriquadraco comparancur, confticuuncque fic proporcio- 
nes,Cubicum 1. j, Tecraedricum 2. J. Octaedricum I- 2:quare & juncta 
bma , Cubicum & Tecraedricum j. 2- Cubicum & Octaedricum 2. £. 
Oclaeiricum & Tecraedricum 5. 4. Dodecaedrici conjugij lacera fiinc 
inerTahiiia. 

Tercio figuras jam confticucas , Harmonica; proporciones varie 
confequuncur. Aucenim Numeruslacerumplani,comparaturcum 
numero lacerum figurae cotius: & oriuntur hae proporciones , Cubica 
4. j2- feui.3. Tecraedrica?;.6- veli.2, Octaedrica^. n.velj. 4 , Do- 
decaedrica /.30. veli. 6,Icofaedricaj.5:o.veli. 10. Aucnumerusla- 
terum plani , comparatur cum numero planorum : tunc Cubus dac 
4. 6. vel.2. 3 jTetraedronj.^jO&aedron 3. $, Dodecaedron 5. 12 , Ico- 
faedron 3:. 20. AucNumeruslacerum vel angulorum plani cum nu- 
merofolidorumangulorumcomparacur ; &dac Cubus4.g. veli. 2, 
Tecraedron 3. 4, Octaedron 5. 6. vel j. 2, Dodecaedron cum Conjuge 
5.20 &j. j2, idefti.4. AucnumerusPlanorumcum Numero folido- 
rum angulorum ; & dac Cubicum Qonjugium 6. g. vel 3. 4. Tccraedron 

sequalU 



eap.h; 



184 DeMotibusPlanetaruh 

eequalitatis pr oportionem , Dodccaedricum Conjugium 12. 20 vel 3 . 5"« 
Aut NumCrus laterUm omnium cum Numero angulorum folidorum: 
& dat Cubus $. 12. vel. 2. 3 , Tctraedron 4. 6 , vel2. 5, Ottaedron 6- )Z. 
vel 1. 2 i Dodecaedron 20. 30*vel 2, 3, Icofaedron 12. 50. vel 2. 5. 

Comparantur verd & Corpora inter fe , fi Tetraedrum in Cubo 
fit abditum , Oclaedrum in Tetraedro 5-: Cubo, infcriptione Geome- 
trica: Tetraedronefttriens Cubi,0£taedronfemiflis Tetraedri, fexta 
pars Cubi,ut & id Oclaedron,quQd eft infcripcu globo, eft fexta pars de 
Cubo.quiglobocircumfcribitur.Pveliqu.orumcorporafuntincffabilis. 

Quarca fpecies feu gradus cognanonis , eft hujus Operis magis 
proprius ; quod proportio exquiritur., Orbium figuris infcriptorum £;d 
orbesijscircumfcriptos; &expendicur, quxnam proporcionesHar- 
monicae ijs approximent.Nam in folo Tetraedro diameter infcripti eft 
efftbilis , pars fc. cercia circurnfcripci : atin Cubicoconjugio, propor- 
tio, qiueunica ibieft , fimilis eft lineisfola potencia efFabilibus. Nani 
OrbisInfcriptidiametereftaddiametrumOrbisCircnmfcriptijiiipro- 
porcionefemitripla. Ecfiproporcionesipfasincerfecompares, Te- 
traedricorumOrbiumproportio eft dupla, proportionis Cubicoriun 
orbium. In Dodecaedrico conjugio, proportio orbium rurfum eft u- 
nica , fed inefFabilis , paulo major quam 4, e, Igitur Cubcftaedrica; 
proportioniorbium,approximantexHarmonicisift£e,-i.2. utproxime 
major , & 3. 5. ut proxime minor : Dodecaedricae verd proportioni or- 
bium approximant Harmonia; 4. /. & /. 6. proximeminorc^s, 3. 4. & 
5-. g. proxime majores. 

Qudd fi ob certas caufas vindicenturCubo 1.2.& i.3:crunt ut pro* 
portioCubicorumorbiumadproportionemTetraedricorum , fichas 
Harmoni'£e 1.2. & 1.3. Cubo tributae,ad 1.4 & i.9,Tetraedro tribuendas, 
fiquidemutendumfuerithacanaIogia:funt enim & hse proportiones 
lllarum Harmoniarum duplae.Et quia 1.9. non eflharmonica;fuccedet 
illi proxima Harmonica 1. g. pro Tetraedro. Dodecaedrico vero con- 
jugio per hanc analogiam venient fere 4. $-. & ^. 4. Nam ficut Cubico- 
rum orbium proportio eft fere tripla Dodecaedricorum , fic etiam 
Harmonis Cubicae 1. 2 & 1. 3 funt fere tripls Harmoniarum 4. <;. & 3. 4« 
Nam4.5". triplicacafit64. )25-:&i,2.eft6 4. 12 $. Sic £.4. triplicaca, 
fit2 7.<S4. &i. 3-cftz7.$i. 

CAR 111. 
Summadodritt&Aftronomica^ 

necefsaria ad contemplationemHarmo- 

niarum Cceleftium, 

•tnitio fciant hoc le&ores, Hypothefes aftronomicas 

•^antiquasPtolemjei , quemadmodum ilkefunt explicata? in The- 
©rijsPurbachij , cseterifque Epitomarum fcriptoribus , penitus efle re- 

moven" 



Ha&MONICIS LlB. V. 185 

aiovendasabhacconfideracione , exque animo ejicLendas': nontra-CAP.iii; 
duncnamque veram & Corporum mundi dilpoficionem , & Mocuum 
policiam. 

In earum locum > ecfi facere alicer non rjoflum , quin Coperniei Hypothefes 
de mundo fencenciam unice & fubfticuam , 8c fi poflibile eflec , omni- °P" n1 "- 
busperfuadeam:atquiaresapudvulgusftudioforum, eciamnum no- 
va eft , &: dogma andicu plerifque abf urdiflimum , Terram ex Planecis 
unumeffe , mcerque fidera ferri,circaSolemimmobilem:fciancigi- 
rur , qui hujus fencentia: infblencia offendurtcur: fp<rculaciones has har- , c% 

■ - ■ • tt i f\ t~ i • t. i • i • i mpotbefe 8 

monicas eciam rn Hypothenbus Tychonis Brahei lOcum obtlnere > Tychoms 

propterea quod Author ille , caftera oninia , qiiae dilpbfitionem cor- Btahei. 

porum St conceniperacionemmocuumaccinenc, cUmCopernico ha- 

beccommunia ; fblumTerraemocumannuum Copernicahum cranf- 

ferc ipfe in cocum fyftema OrbiumPIanecariorum,inqueSolem,qui c , aratja 

ejus medium obcrnec , confenfu authbris utriufqiie. Narri ex hac cranf- U Kfl»fqus 

latione motus , fic nihilominus, ut terra , fi non in vaftiffimo illo & im- 

rnenfofpaciofphterajfixarum , ac falcem infyftemace Mundiplaneca- 

rij, locum obcineac quovis cempore eundem apud Braheum , quem ei 

dacCoperaicus : adecqueficut , qui fuper papyro circulum fcribic , 

jspedemcircinifcriptoriumcircumferf, quivero papyrUnifeu tabu- 

lam affigic torno volubili s isimmocopedecircinifeuftilo, circulum 

defcnbiceundem,fuperdecurrencecabuia: ficeciamhic , Copernico 

quidem Tellus eirculum mecacur , motufui corporisreali , mediyni 

incedencem intercirculos,Martisexteriorem, & Veneiisinceriorem* 

3C Tychoni Brahe , cocum fy flema planecarium ( in quo incer cajteros, 

funt etiam Mart js.& Veneris circuli ) convercicur , velut cabtila in tor- 

no , applicans ad Terram lmmobilem , ceu ad ftilum cornacoris, inter- 

/ticium inter Martis & Veneris circulos: ficquehocfyftematismotu, 

uc TellusineofigneteundemcirculumcircaSolem , Martij &Vene- 

rij incermedium , ipfaperftans immobilis : quem fignac apud Copcrni- 

cum , motu vero fui corboris , quiefcente fyftemace. Cum igicur Har- VaIet Ha 5- 

, r /. , L / . H « momca co- 

monica concemplacio confideret mocusplanecarum eccencncos,veluc tcrn pi at io 
ex Sole vifos : facile dacur incelligi , fi quis concemplacor in Sole inHypothe 
eflecquancumvismobilijTerramiHijquamvisquiefcencem (uchoc ra C1 ' 
jam concedacurBraheo) , nihilominus vifum iri decurrere circulu an- 
nuum,medium irtcer Planccas.temporis eciam incermediofpacio.Qua- 
re ecfi quis eft imbecillis fidei homo, qui mocum Terrae inter fidera ca- 
pererton poceft.-is nihilominus gaudere poteric divinifllnai hu j p machi- 
riamenciconcemplacioncpraEftanciflima,fi,quicquiddemocibu8diur- 
nisTellurismfuoEccencrico audicidad apparcnciameoruminSole 
applicec , qualem apparertciam etiam Tycho Brahe exhibec, Terra 
quiefcente. 

Nequecamencaufamhabenc juftamveriSamiaj philofophiae cul- t hma^$ia 
tores,invidendicalibus,communicacionemfiancdeliciofiflima;fpecu- Co per «icju. 
lacionis: ut quorumgaudiummukispartibus cricperfec~tius, quippe ex 
(peculacionisconfummacaperfe&iortc; fieciamSolis immobilicacem, 
T err s vero mocurq accepcaverinc, 

At PrimHm 



ais. 



i86 DeMotibusPlanetarum 

f Quo"m Primum igitur hoc ceneanc Ie&ores > rem hodie pehes aftrond- 

«orporam mos omnes efle certiffimam, quod omnes Planetae Solem circumeanc, 
<ucumi "°*excepcaLuna , quae folaTerramhabet procentro :cujus quidemor- 
tuam Hai- bisfeBCurriculiquantitasnoneft tanta,ucinhaccharca delmeari pof- 
jnonias, fic in jufti proporcione ad csteros. Accedic igicur quinque reliquis 
fexcaTerra, qucefeumopropTiomotu,quiefcenteSole, feuimmoca 
ipfa, &converfococoPlanecarumfyfternace , fexcum & ipfa circulum 
., . circa Solem defignat. 

8. Qii? : di- Secundo j cerqum & hoceft , Planecas omnes fieri eccencricos , id 

iri morum eft > mucare incervalla fua a Sole , fic uc in una parce circuli fianc a Sole 

corporum remociffimi , in oppofica proxime Solem venianc. Ih adjecto fche- 

antervalhs. mace p ro fingulis planetis facti func circuli cerni,quorum nullus indicac 

viam ipfatri Planecas eccencricam, fed mediiis quidem,ut in Marte BE, 

eft aequalis Orbitae eccentricae , quoad longiorem ejus diamecrum \ Or- 

;. bica verd ipfa , uc A D , cangic A F fuperiorem ex cribus , ab unajplaga 

^mV' A, inferiorem CD ex oppofica D? Circulus G H pun&is adumbracus , 

%q.tfiQ &per cencrum Sdlisdefcripcus , indicacviam Sohs apudTychonem 

$ g. Brahc ; qui fi hanc viam mbvecur , bmnia omnino puncla cocius Sy- 

fiemacis planecarij, hicdepicti,viam incedunczequalem, quilibecfii- 

ampropriam. Ecunoejuspunfto , fcilicec centro Solis, in una fui 

circuli parce ftante , ut hic in infima , omnia omnmb pun&a Syfte- 

matisftabuncin imisparcibus fuorum quodque circulorum. Vene- 

risetiamtrescirculipropceranguftiam fpacij coierunc in unum,prae- 

in Mnm. tervoluntacem. 

ju. rsume- .-; ■ . 4 ,. X ■ ■ •■ 1 . ■■'•■ - " • i'Tj! 

ius corpo- Terciorepecacledtorex MyfteriomeoCofmographico,quodedi- 

mm Har- jj ance 22> aanos > Numerum Planecarum feu curriculorum circa So- 

«ientium lem,defumpcum efle afapienciffimoConditoreexquihque figiiris re- 

quam cau- gularibus folidis , de quibus Euclides jam ante coc faecula , librum fcrip- 

abeat ^ ^ ^ • Ei emenC0rutri di c i cur y e £ q U 6d ex Propoficionum feric fic con- 

ftrudius. Quod aucem plura corpora regularia nequeahc efle , hoc eft , 

quodfigurae planx regulares nequeanc faepius , quam quinquies, in 

folidum congruere > id libro fecundo hujus operis pacuic. 

Quarco, quodaccinecproporcionemOrbicarumPiahecariarufn, 

Iudo'/pi"-^ a q^idem mcer binas Orbitas vicinas femper eft canca , uc facile 

ratum ; quas appareac , unamquamque illarum appropinquareproporcioniunicas 

^lia^To ° rD - mm unius ex quinque folidis figuris , fcilicec Orbis Cireumfcripci 

ra! quam ad Orbem Infcripcumfigurx : ac non camenplane jequalis eft , ucolim 

wfT ha " aums ; ^ ^ e P err e<^a denique aftronomia polliceri. Nam poft ab- 

m t? folucam demonftracionemincervallorum, ex obfervacionibusBrahew 

deprehendi hoc, Cubi quidem angulis , iacimo Sacurnieirculoap- 

phcacis , cencra planorum fere cahgere medium circulum Jovis; & Te'± 

traedri angulis incimo Jovis circulo infiftencibus,cencraplanbrumTo« 

traedri , cangere fere Marciscirculum excimum jfigOdtaedriangulis, 

cx Veneris quocunque circulo furgencibus ( func eceriirh omnes ti*es 

in anguftiffimum incervallum redacli ) Centra planorum OcTS&M- 

corum penecrare & profundius defccradere infra .M.ercuri) cir^. 

culuna 



1 






^H^^HI^H 






4if p&q.JS^ 



^hdkt^ 




Harmonicis LlB. V* \%7 

«ifculumextimum , neque tamen venireufque admediumMercurij CAp U|| 
fcireulum : denique Dodecaedricorum quidem & Icofaedricorum 
Orbium proporcionibus incer fe aequalibus , omnium proximas efle 
proporcionesfeuincervallaincerMartis& Telluris , interque Tellu- 
ris & Veneris circulos, eafqueiplas inter fe fimilitef arquales; fi ab in- 
timo Martisadmedium Telluris, amedio veroTelluris ad medium 
Veneris computemus ; Telluris enim medium intervallum eft Me- 
diumproportionale, interminimuniMarns& meditim Veneris:ac- 
camen has duas proporciories inrer Planecarum circulos , aclhuc efle 
imjofes, quamfuncbinorum illorurti in figuns orbium ; flc , ut Pla- 
norum Dodecaedri centra non tangartc circulumextimumTelluris, 
neque Icofaedricorum pianorum centra , circulum extimum Veneris: 
fednecexplerihunchiatum, perfemidiametrumorbis Luna; , fupra 
addicam Telluris inrervaliomaximo, infravero ademptam ejufdem 
minimo: fedaliam quandamdeprehendoproportionem figuralem > 
finempe au£tum Dodecaedron , cui nomen Echifiofeci >conforma- Tel.itb 
tumfcilicetexduodecimftellisquinquangularibus, eoqueproximum 
quinque corponbus Pvegularibus ; hocinquam , fi duodecim mucro- 
rtes fuoscollocec in circulo Martisincimo , tunciateraPericagonorum, 
quifinguhfingulorumradiorumfeu mucronum funt bafes, atnngere 
mediumcircuium Veneris.Breviter,Cub'usck;Ocl:acdronconjuges,pe- 
n etrantuaosplsnetariosorbes nonrtihil ; Dodecaedron&I<Jofaedroa 
conjuges, nonplane aftequuncUr fuos , Tecraedron prtecife cangic u- 
trumque:illic minusjiflic plus,hic asquale eit in Planecarum incervallis. 
Exquare patet, proportionesipfiffimasintervallorum Pianeca- 
tiorumaSole, ex folis figuris Regularibus defumptasnoncfle ;noa 
aberratenimab ArchecypofuoCreacor , Geomecriajfons ipfiflimus» 
&, mPlato{cripfK,/eternitm exercem Geometriamj>. Et potuit fane hoc 
ipfum colligi vel exeo, qudd Planetae omnes incerValla per cercas tem- 
porumperiodosmutancdicjuc unufquifque duo habeac infigriia in= 
tervalla a Sole, Maximum & Minimum; datrtrque incer binos Planecai 
eomparatio incervallorum a Sole quadruplex , velmaximorum, vel 
minimorum, velconcrariorum remocifllmorum incer fe , vel proxU 
morum:itafiuntbinorum&binorumvicinorumplanetarumcompa-- 
fationesnurtiero viginci : cumeeontrario,figura;folida:folum quin- 
quefint. Atveroconfentaneumeft, Creatorem,fi curam habuit pro- 
portionis Orbium in generccuramecia habuifle proporcionis, quas eft 
interfinguIoruminfpecieintervallavariantia.eamq;curam utrinque 
candemefle, alteramqueexalceranecti: quoperpenfo , obtinebimus 
fane & hoc,qnod ad confticuendas Orbiu & diametros & Eccencricita- 
cesjundiim,pIurib 9 fitop 9 principijs,pra;cerquinq;regulariacorpora. 

Quinto utadmotusveniamus, interquos conftitutae func Har^- 
moniajjrurfuminculcoleftorijdemonftraturoeflea meincommen^ v. 
tarijs de Marte, ex certiflimis Brahei obferVationibus, quod ar sus d:ur=. Anoma» 
ni aequales inEccentricouno&eodem, nonaequalipermeentureele- cai °oruu£ 
rir ate; fed qu6d ha; diverfa; Mor<t inpartibus squalibuf Ecccntrici.objervent veroiui». 
fro^rtwmmjstortmintervallorum a SoIcj , fonte motus : & viciflim, 

Aa z Quod 



j#8 DeMotibusPlanetarum 

Qudd fuppoficis temporibus aequalibus; puca uno dienaturai&inimiiQifij^B 

refpondentes ijs , diurni veri arcus eccentr.kx Orbita uniut , haheswtiihtt&r 

fieproportionem, everfarru, proportionis intervallbrum duoruma Sole.. $mssisM. 

j. aucem demonftratum eft a me , Orbitam Planetx efie ellipPicam ,%kSirikm> 

1 4. fontczojxioxm, efie inaltero ficoruw hujus Elliplts-,\ta<\u^ 

*■ abfbltstQtCOcius cjrcuitus quadrante a fuo Jphelio, prxcise mediocre Ihdhatft 

' intervallum aSo/e^ , incer maxtmum in A pheiio , & minimum w> ffterii- 

helio. , Exhisverdduobusaxiomatibusconficitur, utdiurmi&irihaas-- 

tae medimmotusxxi eccencriGO-) idem fit & w«#ejus Lccen.£riei!a2ici(!Bi&- 

urnusyriiis momentis , quibus Pianeta eft infine quadrantis EceenOmssa& 

Aphelio computati , licet llle quadrans verus adhuc rninor appareacjjfflte 

quadrante. Sequicur ampUus, Cpdddui quicunque arc*s EccentricidHaima 

verifiimi, xquaitter vere difinaies ,a/tcr ab Aphe/io ,a/ter a Perihe/io,,jjism&i^ 

quent duosdiurnos medios: & per confequens v.cum fk eadem ciircrfflawniia 

g proporcio , quae diamecrorum , quod cademfit proportio unius dimmm^ 

adjun5ias medios omne/imei -fe <equales s quot funcin coco errcuiknia;,^»»? 

e/l me^diurmadjmclofverosomneszircm Eccencricos , cocrdeira! otcjhbidc- 

ro , fed ihcer fe inajquales. F.c heec de veris Lxcencrici arcubus siimsrmsij, 

viAxioma deque veris mocibus func praecognofcenda , ucjam ex ljs inceliigamjKij» 

ta Aftrono- mocus apparentes , oculo in Sole fuppofico. 

micamocu) Sexto, quantum vero accinec arcusapparentes velutex Safe „ sbwsh 
apparcnnu tum eft ex antiquaetiam aftronomia , quod ex motibus veris , eciiflHiniae- 
(caangulo- qualibusincerre^isquilongiusacencroMundirecenic^ucquieiSinioi^JL 

1^™* diu\- phffo) appareat efieminor ; fpectanci ex illo cencro; qui propiar Er,.W:<3p*s 
nos com- efi.in Per'ihe/io,idem tf major. Cum igicur infuper eciarn majatrSifiumiTPe-" 
prehenJe». . • arcuS ^ u ' rn { y$ propinquo , propter. mocum celeriorem , MT&Mjsrcsiiia 

tescontor- .... . . l ~ ^ M J r K . /* 

mantin ce- Aphelio remoto., propcer.mocus rardicarerfu. hincegodemonitrainuBtt 
u;o Solu. M 3 r c ia 1 1 b u s , proporiidnem adfiarentium arcuum diurnorum uniusEc^Miriiss^ 
2 * fittis prjecise dup/am everfam efie , proportionis fiuorum intervalloruma Sa&Sj^. 
Vcfiplanecainunafuaramdierurnj quandoeftin Apheiio,diilaE«?ita 
SoleparcibuSjquacunquemenfura, 10. inoppofica die , quandloseiiiia 
Perihelio ,parcibusconfimilibus9 : cercum eft. qaodex Sole appsBrcnas 
ejus promocioin Apheliofutura fic ad apparencem in Periheliaillkiias: 
gi.adtoov 

Hqc aucemrerumeftcumhiscaucionibus; primo trt ■ artix* Ewas- 

_ trici nonfintmagni ,.ne communicent cum diftantijs diverfis i on^ulnMma 

difterentibus , hoceftne caufen.cur fenfibilem varietatemi difemuiiae 

4,. terminorum fuorum ab Apfidi.bus ^deinde , vt.Eccentricitas nonpfmMk 

tnagna-s ; nirn quo major Eccenftricicas , fc. quo major fic arcus; iwcm- 

gis augecur efus apparenciat angulus, ulcramodulum appropimqiiaiaiao- 

$' nis fu ae ad S oiemt.^ per Theorema.Ss . Opticorum Enctidis *.qu od tameia maer- 

{ubwparvis&magnadijktntiar.nulliusefi momentJ,ut inmeis Opn C^pist* 

*• XLmonui. Sedcftaliacaufa,'.eurhocmoneam. Narri4rcu?Eccmttri~ 

cicirca Medias Anomaliasinfyicwntur obliojue.excentro Solis, quarohlkjjpitas 

minuit apparentia; magnicudinehi ; cuhi ex adverfo^r<r/jsr circaJ^dnts.,, 

afteSiui, veluc in Sole collocatb , objiciantur reBk. Quanda igjcjar £c- 

ccntricitas eflvaidc magna,tuncfenftbiliter nocetur proportioni mo. 



Ha&monicis LlB. V. 189 

aswoi&^iiawe^mmedium diurnum finediminucioneapplicemusdi- 
iBaoscfiEaMefiKKa?*, quafi is ex diftancia mediocri cancus apparerec, quan- 
O^^vuari^aaitnMercurioapparebiC. Haxomnia prohxiustradun- 
55Sir]*alEipA%r. ( Oopernicanae Lib. V: fueruncaucem hiceciam comme- 
asjtewasnailav^Mia-accinenc ipfiflimosterminos harmoniarum ccelefhum, 
jjer&iinga^fflsfeorfimcorifideracOs. 

&5pjoin»o ) ifi cui forteoccurrant ij mocus diurni , qui non apparenc ^ **jf\ 
veitocexSofejfedexTcrrafpeftancibus.-dequibusagiclib. VI.Ep. Aft. cyuiapparet 
Coji:iis'f0iat,eorum racionem in hoc negocio plane hullam haberi : fa- 



c.\ tcrta p 



jReirae3^*e4e^c,cumTerranonficfonsmocus ipfbrum,rieq'ie poceft, P"- lcl ' 1 
©anaiEiJjafcits^j^oTicancum ih meram quiecem ieuftacionemapparen- 
se^yi^lfeweiynrecrogradacioneni , quancum ad fallacem apparcn- 
min^^geteTtenxrquarationeomnisproporcionum infinicas ommb p 
jiSajnerisifiinaul&ex arquo cnbuicur. Uc igicur cercum habeamus, qua- 
itesjpTqporrionesproprias conftiruanc diurnimocusfingulaium vera- 
ramOrbtcarum eccencricarum(licec& ipfiadhucappaientesfmc, ve- 
luciCpbiStafflci exSole fonte mocus) .•removehdipi ius ef) ab ljs rnotibus 
iprOprils/hxc pluncafia>communisorbriibusquinque, moctis annui au- 
Tennni ; frve illeex ipfius Tellurismocu oriatur , lecundum Coperni- 
^mffr/eexmocuiyftemacis cociusarihuo,fectindum "I ychoncrn Era- 
.Iie^moTufquecuiquePianeca;proprij > enucleau, fubcon.pcctum ful. * - 
jioiendi feit. 

OcTavohacTenusegimusdediverfismorisvelarcubus unius & e- v(r. Qu* 
^> v HcmPlahet,£.Jametiamde binorum Planetarum mocibus mhrle \Vr d> c 'u- ' 
©oiisajpaTatisagendum. Ubinotadefinicionem Termiriorum ,qm fui c L-WicnV- 
jpidbisifiiimTineceiTarij. Jpjidts proximas, duorum pianecarum dict mt.s P ri . r i m '^ 
Fcriliditfm^faperioris, 5c Apheliuminferioris.' non oDftarfce, quod il- 1! r .ou:m' 
|v:«-vt!rguia!ti!iaplagam Muridi>noneartdem,(eddiverfas,& fOiccconcrr> qiiofufc- 
liasj M^tmzxtrwwas , incellige, cardiffimufn & velocifllrnum cotiuscir- &££:£ 
taaiiiros Hinetarij. Convergentes extremos JeuConvcrjos , quifuncinbino- 3. 
a a® Apiidibus proximis, fcilicec in Perihelio fupef ion*,, & A plielio in- 
fenmi&i B&vergewtes ve/ Diverjos, quiih ApfidibusOppoficis, fcilicec A- 
fjtsdlttSjGaworis&Perihelio iriferioris.Rurfum igicur hic aliqua pars mei 
ASyferal Cofeiographici , fufpenfa ante iz. annos , quia nondum 1 ique- 
I«m:» afo#@ive**<ia , &hticinferendaeft. InventisenimverisOrbium 
imijrv^ll&jper obfervaciones Brahei, plurimi cemporis labore conti- 
.w©»t^dcsi»tari'dem , genuinapropprcio Temporum periodicorum 
atJ ^n^ordouem Qrbium —fera quidem rejibexit inertem^> , 

Mejjiexit tamen^ /ongopoji tempore venit ; , 
eaemcfitcmporis arciculos petis, g.Mart.hu jus ani ririllefimi fexcente- 
l?!fi^dea«u©2^vianimoconcepta,(edirifoeliciceT ad calculosvocaca, 
ee que pro fal sa re jecta , denique 1 5-. Ma ji ire verfa, rio vo capco impecu , 
cxpugriavit Mentis meae tenebras, - canca comprobatione & laboris mei 
feptendeeennalisin Obfervacioriibus Braheanis , & meditacioriis hu* 
jas,inon«mcoalpirantium; ucfomniare me, & praefumere quarficum 
iatcrpruiciipia»prim6crederem. Sed rcs eftcertifllfriacxacliflima- 
que 1 t$ac>dprzrpertvo qux ejtinter binorum quorumcunque Planetarum tempo- $. 
tmpritAkmjJhfrttisefeJquialtcraproiwrtionis mediarum diftanciarum, id 

Aa 3 eftO- 



190 DeMotibusPlanetarum 

*G AP. 1 1 1. e ^ Orbium ipforum ; acccnto camen hoc , quod meditim arithmeticum im 
j. • _- terutram^ diametrum eUiptic<eQrbit& (it paulb minus /ongiore diametro, I- 
mcncanjs caque (i quis ex periodo , verbicaufa Telliiris, qua;eftannusuntis, gf ex 
MaKjscap. p er iodo Sacurni, criginca annorum, fumpferit cerciam proportionis par- 
ij* probal tenv,ideft,r.W/Vetft7*tw^,&hujusproportionisduplum feceric , radi- 
vi Mediam cibus quadrate ma/tip/icatis , is hab&t inprcdeuntibus numeris interva/lorum 
hoc krithme y er ^ gj Saturrii a Sote medioYum , proportimem ]uft'£tmanu>. Nam cubi- 
/jimtffc di* ca radix de i.eft i.ejus quaarm i. Et cubica radix de 3o.elt major quarrl 
mitrumeir- ^,. e j us igJ£ Ur q Ua g r m majus quam 9. Et Sacurnus mediocruer diftans a 
Tndme^' Sole, pauldaltiOr eft noncuplo mediocris diftantia? Telluris a SoiCi 
^uateU.fti- Hujiis Theorematis ufusinfraCap.IX, hecefiariUsericaddcmonftra- 
TTj^T; tionem Eccentricitatum. 

Veltaproxr . , . . ,. . t 

mimmm. NOno h jarri ipfa veriiuma ltinera diurna cujusque planetac per au- 

f ani azcheriam eadem veluti decempeda volueris mecirLconjungendat 

IX. Quan- . . ,. r _ . . ' . ° 

t U m fpadj erunt proportiones duaz , lina dmrnorum arcuum Eceentrici Verorum 
^uilibecpia (non apparencium)alcefa incervallorurh cujuiquea Solemediocriurrifr 
* eta . r ef F e ~ quia eadem eft & amplicudinis orbium ; lioc eft , mu/tiplicandus eajusque 
trajiciat cj>- P/anetx arcusverus dimrnus in fuiorbis femiiiametrurru>: quofadlo, prodU 
?is tempoic {j unc numeri ldohei ad exquirendum, Kum iila itinera facianc propor.- 

XQuomo- lt • 

do ex vens cionssrtarmonicas. 

itinerib», & Decimd, Ut vero habeas , quantarri quodlibet taiiUm diuf norum 

vens piane- i c i nerum faciac apparennam , ocuio velut m Sole collocaco ; etfi hoc iv 

tarumaSo- .rr. A * ... . . \ ' 

iciatcrval- dem ex Aitronomia poceiummediatepeci ; tamen eaarn ncpatebic * 
iis , babca- fi addiderisltinerum prOpOrcioni propOrtiortem everfam intervallo^ 
«Soteap- fumnonmediorum,fedverorum,qua;funt quovis loco EccentricO* 
parens.fub- rum ." Multiplicato itinerefuperioris itt intervaHum inpricrisa Sole, £$ Viripim\ 
}ectum ar ^^ n?re i n &yi or % ' tn iniervaHum fuperioris a Sc!cj> . 

j»oni*cc*- i i . v J X 1 • -5 -i i ■ 

kftis. Vnaecimo,necminusetiamex datis mOtibiis apparentibiis , A* 

xi.Quomo phelio Unius & Perihelio alrerius, Vel viciffim alternifve, proportidfies 
d °tvfve e h c i u rtturIntervallorum,AphelijuniusadPeriheIiumalterius:ubita- 
lut exSoie) men medios motus oporcec efte prajcognicos, fc: proporcionem perid* 
diurjiismo- dicorumTempOrum everfam, ex quib 9 elicicurOrbium prOpof tio, pef 
katst iafcr Num 4 VIII.praJmilTum: luncjumppomedioproportiona/iintcrmotumaltcr* 
7allaPlane- utrum apparentem tffuam medium,fitiJthocmedium proportionale ad femi- 
tarumaSo- fajfcfotfjfa orbisj&m pate fa&am ,J?cmediu$motus,addijUntiamvefmter- 
■va/lumquxJitunL*. Sint duorumpianecariim periodica cempora 27. & 
o.ergomedijmotusdiurni illius ad hunc , eftilla, quseg. a&2j. quarb 
j— * erunt femidiametriorbium ut9- ad^. Namradixcubicade27. eft^. 
de$.eft2:harumradicumj. &2. quadracafunc 9. &4. Sincjam mo- 
tus apparentes, Aphelius unius 2. & Perihelius alteriiis^^ eumtertia 
parte, Media proportionaliairlcer motus medios g. 27 M hOs apparen- 
tt s , erun 1 4. & 5-0. Si er-go medium 4. dat mediocrem diftahtiam pla- 
necEE^. cunc mediusmbcus8. dacapheliumincervallum 1%. rfcfpondens 
appareiicimocuia. EcfimediumalcerumJo.dacmediOcrem diftanci* 
am alcerius planeca? 4. cunc medius illius mocus 27- dac perihelium illi* 
us incervallum jcum j qnris. Dicoigicur,diftanciamApheliamillius ff 
effe ad Periheliam hu jus , ut 1 $■ ad \ gum 3 quiatis. Exquo pacee , quo«i 

T~ »3* 



Ha RMONICIS LlB. V. 191 

. . .... cap. 111. 

nsharmonijs,intermocusexcremos binorum , & penodicis tempo- 

ribus ucrique pracTcriptis, necefluencur incervalla excrema&medio- 

cria,quareeciamEccencrick:aces. XII 

Duodecimo , dacur etiam ex unius & ejufdem Planetae mocibus proport.o 

extremis diverfis, invenire Motum mediunu> ; Hic enimnonpr&cise eftct- Mocus mc- 

. , . ]•■•''. • '.' i.' ' ■'* ■ duadexrre 

rithmettcum medium tnter motus extremos , necprxctse medtumgeometricum; mos< 
fedt.mto minor geometrico Medio , quantb Medium geometricum mtnns efi , 
qttammediuminter ulruraqucs. Sintdno motusextremig.& 10. Medius 
motus eric minor quam 5>.minor etiam quam radix de ^o.dimidio ejus, 
quodeftincerucrumque,^. & Rad.de go. Icafi fic Apheliuwo. peri- 
kehus24.mocusmediuseritmiiiorquam22. minor etiam quamradix 
de 450. dimidioejus,quodeftincerhancradicem&22, Hujus the- 
oremacis ums eft in fequenti. 

Decimotercvo ex pr<emiffis demonftratur,h3ScPROPOSiTio,no- 
bis valdeneceflaria'mtura,qudd quemadmodUmproportiomediorum m Qnx 
motuum in binis planetis,eft fcfquialtera everfa proporcionis orbium; epgnatio 
fic proportio duorum Apparentiumconvergentium extremorum Motuum jem- p to P ortI ° - 
per deficiat, afe fquia.lt era proportionis intervaSorum,i/lis Extremis mocibus "orum in- 
rejbondentiurru> : $ quantijper quidem chxxproportiones duorum intervailo- cerbmos 
rura refyondentium,aa interva/la duo mediajeu adfmidiamet ros d uo r u m or- g,^" 3 ^,^ 
i>iumjuncla,jhc'iu vt minus quam dimidutmproportionis orbium, tantifper pro- proponio. 



nemoruu 



portio Motuumdaorum excremofum convergentium , eft major proportione ne 

««•■>■'•-■■• // r > ■// r r /■•/•■• apparenua 

rejpondenttu intervallorum: Jt vero illajummajuperaret dimtdtam proporttonts iw^iuCjue, 
orbiuwL» , tunc motuum convcrgentium proportio ferei minor proportionefuo- 
rum interva/LriiwL». 

Sic Orbium proporcio DH. AE, Motuum mediorum proportio 
H I, E M, prioris feiquialceraeverfa. Sitintervallumillic minimum 
fui orbis fc CG, hic maximum fui, fc. B F ; &c jun£he proporciones D H, 
CG,&BF. AE finc primdminoresdimidiaipfiusDH, A E. Sicque 
moc 9 fuperioris periheh 9 apparensGK, inferioris ApheliusFL. utlinc 
extremi convergeces.Dico proportionem GK.|FL,|e(Fe majorem, pro* 
portione CG. BF eversa; minorem tameu ejus fefquialtera. Nam pro- 
proporcioHIadGK,eftduplaproporcionisCGadDH, & propor- 
tioFLadEM,dup!aproportionis AEadBF. Junftae igicurduaepro- 
porciones, H I ad G K , & 8 L ad E M, duplum efficiunc jun&arum C G 
adDH,&AEadBF. Sedjunda;CGadDH, & AEadBF,funcmi- 
noresdimidioproportionis A Ead DH, defettu cerco, uc eft in iiip- 
pofitis ; ergo & iunclas H I ad GK, & F L ad E M funt minores duplo di- 
midii , id eft , minores tota proportione AE ad D H, defeclo prioris du- 
plo. Sed H I ad EM , eft fefquialtera proporcionis AE ad DH , per VlII. 
praemhTum. Ergominustotodefecluduplicaco, ablacumafefquial- 
tero, fcilicec proportiones HI adGK, & FL ad E M, a proportione 
HI ad EM , reliquunt plus quam femis propor tionis AE ad QH 1 excef- 
fuduplicato:reliquuncverdproportionemGKadFL : Ergd propor- 
tioGK adFL,eftplusquamdimidiaproportionisAEadDH, exceflu 
duplicato. Atproportio AEadDH, eftcompofitaex cribus;ex AE 
adBF,exBFadCG,&exCGadDH.Et:CGadDH,eumAEadBE 

eftmi- 



m / 40 o 



1 5 4/ 6 £ 




192 DeMotibusPlanetarum 

i ' ■■ ■ 

i' eftminusdimidioipfius AEadDHjdefe&ufimplo. ErgoBFadCG 

CAp. ni. c ^. pj us ji^i^io ipfi US AE ad D H , exceflu fimplo. Sed proporcio GK 
ad F L erat eciam plus quarri dimidia ejufdem AE ad DH , ver um excef- 
foduplicaco. Duplicatusveroexcefluseftmajorfimplo. Ergo propor- 
tiomotuum GKad FLeftma3or,pr6portioneintervallorumrefporu 
dencium,BFadCG. 

Eodem plane modo demonftracur etiam econcrario, fipianecas 
appropinqueric invicem in \G. F , ulcra diftancias medias in H £. fic ufc 
proporcio mediarum diftantiarum D H. AE , amittac plus dimidio i 
cuncmotuumGKadFL proporcionem , fieri rriinorem proporcione 
fuorufri incervallornm BF ad CG. Nihil enim ulcrafaciendum, quam 
Xic muces Voces , Major in Minor, Pins in Minus, Excefus 'itidefbfrus; & vr- 
cifllm. 

In appofitis numeris , quiadimidia de 4. 9. eft 2. 3: & 5.$» eft adhuc 
major qiiam % 3. quancicace excellus 15-. 1 6; & vero proporcionis g.ad 9 
duplafa&aeftproporcioitfoo. adioac.id eft 64. adgi ; ec proporcio- 
ni$4. ad^.duplaeftfacT.aproporcio 5456 ad 5406 , ideflj6ad2j-. deni- 
que propOrcionis 4 ad 9. fefquipla cft fa&a proportio i606 ad 5400 , id 
eft8.ad27:ide6eciampr6porcio 2025adj45;6,hoceft75.adi2g,adhuc 
major eft,quam 5ad8> hoceft75. aa * 12 &- quanticace exceflus icidem(i20 
adi2g.ideft)j/ adi6,Ucica proportio mctuumConvergentium 202 f ad 3456 s 
tnntojuperet proportionem everfdm intervallorum refpondentium j.adg.quan- 
tb hacfuperat dimidium proportionis Orbium 4. ad$. Vel quod eodem re* 
dit, Propsrtio duorum Mtervallofum convergentium^ ejl med.ia inter aimidi- 
#m Proportionis Orbiumj , cJ? inter everfdm Motuum ref^ondentiunu t 

Ex hoc aucem dacur incelligi , Motuum divergentinm proportioncrru> s 
tfemultb majoremfeffuialteraproportionis orbiunu> ; cum ad fefquialcerara 
accedancdupl& proporcionurn, incervalli Aphelij ad incervallum me- 
dium , & medij ad periheliurn, 

CAPVT IV. 

Quibusiiirebus admotusPlane- 

tarum pertinentibus , exprefsa: fintaCrea- 

toreproporciones Harmonicae, & 
quomo&o i 

jr Gitur ablata phantafia retiogradationum &fta* 

■* tionum,& enucleacis planecarum proprijs motibus, in fuisgenui* 
uis Orbicis eccencricis , reftant adhuc hxc in planecis diftin&a ,1. Inter* 
vallaaSole. z. Tempora periodica. 3. Arcus.eccencricidiurnu 
4. Moraj in ijs arcubus diurnx. 5. Anguli ad Solem feu arcusdiurni 
apparenccs veluci (pe£lancibus ex Sole. Rurfumque , omnia haecCex- 
ceptisTemporibusperiodicis){uncvariabiliacotocircuitu,plurimuni 
quideminlongicudinibus medijs, minimum vcrp in extremitatibus, 

,qvian- 



Harmonicis Lib. V. 193 



qoandoconvcrfionejfa&a abearumuna, revcrtunturadoppofitam; 
uccum eft f laneta, humilimus &Soliviciniffimus,e6queinunogra- 
du Eccencnci moracur quam miHimum , &viciffiminunadiemaxi- 
mum arcum Eccencrieidiurnuconficic, & veIociffim p ex Sole apparec: 
cuncilliusmoc p Jmanecaliquandiuinhocvigore,finefcnfibjJivanacio« 
ne : donec (iiperaco nihelio planeca paulatim inceperic a Sole difcederc 
in hnea re&a longius; cunc fimul & iri gradibus Eccencrici moracur di- 
ucius: auc fi unius diei mocum confideres, iequenci quoque die proflcic 
minus , multoq; etiam cardior ex Sole apparec .* donec iummae Apfidi 
appropinqnaverit, faciensintervallumaSole maximum,cuncenim & 
diuciffime omnium moracur m uno gradu Eccencrici; auc concra,in una 
dieminimumejusarcumconficic , mulcoq;eciamminorem &cocius 
ambicus fui minimam facic apparenciara. 

Deniq; h«e omnia func vel unius alicujus Planetae per diverfaccm^ 
pora ; vcl iiint in planecis diverfis ; fic uc fuppofica cemporis infinicace , 
omnesaffecliones circuicusuniusplanecse,cum omnibusaffedtionibus 
circuicus alceriusplanet£,eodem cemporis momenco concurrere 5c 
compavari pofiinc; Sc cuncincegriquidem Eccencrici, incer fe compa- 
raci, proporcionem habenceandem , quam lpforum femidiamecri, feil 
incervalhmediocria,arcus vero Eccencricorum duorum , sequalicer 
veleodem numero denominaci , habentcamen inaequalesveraslon- 
gicudines inproportionerotorum Eccencricorum. Verbicaufa , gra- 
dus unus in Jpharra Saturni duplo fere major eft, quam gradus Unus in 
Sphsera Jovis. Et vicifsim, arcus diurni Eccentricorum expreffi nume- 
ris aftronomicis, non exhibent proportionem verorum itinerum,quas 
globi in. una die conficiunt per auram xtheream, quia fingulae umtates 
denotac in ampliori circulo Planetas fuperioris,itineris particulam ma* 
jorem , in anguftiori vero circulo inferioris , parciculam minorem. Uc 
fic haec iam accedac confideracionis pars fexca, de Icineribus binoruna 
Planecarum diurnis. 

Pnmum igicur fumamusfecundum expoiicis ; Tempora fcilicec 
periodica Planecarum; qua: concinenc fummas colleclasex omnibus 
Moris omnium Graduum cocius ambicus, Iongis, medioCribus, parvis. 
Ecdeprehenium eftabanciquo ad nosufque,qu6dPlanecajcircafblena 
redicus fuos abfolvanc , uc fequicur in Tabella. 



CAP.rv 



Saturnut 

Iupiter 

aMars 

TeVcuLun* 

Venus 

Mercuriut 



Diej 


Ergb diurni medij 


Diebtts ferupulis. 


Min. Sec.Tert. 


)S7t9> 12 


2. 0. 27. 


433*, 3? 


4> /9- S- 


686. /9 


*H 2*> 3). 


36f- *f 


/9« *. M. 


224. 42 


96. 7. 39. 


87* ft 


24f. 32. 2$, 



Sb 



lahij 



Satitmi 


Iovis 


Martis 


TeEuris- 


l r enerk. 


i Mercurij 




/0759-12 












5?79- 36 


4^2.37 








87-58 




. 2689.48 


2166. 19 






22\-\Z 


J75-5 6 


Dst. 


i?44-54 


1083.10 


6S6. S9 


355--J5 


44P-24 


3$i-}i\i>lao 


672.27 


54L35 













194 De Motibus Planetarum 

®w-ft .... . ,. . ., , 

Inhisigicurperiodiciscemponbusharmonicajproporcionesnul- 
Iajfunc,quodfacilcapparec , fiperiodimajoresconcinue bifecencur , 
rrtinores concinue duplicentur, ucdiflimulacis Diapafonincervailis,e4i 
quas func intra unum Diapafon , exquirere poflimus. 



ii. 
mi- 
di- 

Omnes ulcimi, ucvides, abhorrenta proporcionibus harmonicis t 
videnturq; fimiles ineffabilibus, CapiarenimnumerusdierumMar» 
tis 6$7- menfuram 120, quaj eft divifionis Chordxivenient in hac men- 
furaSaturno , pro parce fedecima , paulo plus quam 1 17 ; Jovi pro 
parteo£tava,minusquam95; Telluri minus quam 64, Veneripro 
duplo, plusquam7g; Mercurij quadruplo , 6iplus, Acqui hi nu- 
rncri cum 120. non faciunt ullam proportionem harmonicam , fed 
eorum vicini, 60. 75. go. 96. Ita qualium Saturnus habet 120; Jupi- 
terhabetfere97 5 Tellusfuprafi/. Venusplufquam $0; Mercu- 
rius minus quam 6%. Ec quahum Jupicer habec )zo; Terra habec 
minus quam $1 ; Venus minus quam 100; Mercurius minus quara 
78. Qualium icemiVcnus habec i^o: Terra habecminusquam^g, 
Mereurius plus quam 94. Qualium denique Terra habec izo ; Mercu- 
rius habec minus quam 1 15. Qudd fi valuiflec hic libera propor tionum 
eled"tio.'omnin6 perfe&ae Harmonia:, non verdjexcedences &deficien- 
tes fumptse fuiffent. Non deprehendicur igitur Creator Deus intcr has 
morarumfummascolledtas inTemporaperiodica, voluifleintrodu- 
'cere proportiones harmonicas. 
Propordo * Accum fitconjeduraprobabiIiffima(quippenixademonftracionir# 
borumf £Geomccricis , & do£trina de caufis mocuum Planecariorum , cradica in 
■etanoramcomencarijs Marcis; jPlanccarum moles corporum, cfTe in proporrio- 
ne periodicorum Temporum , ficucSacurniglobusficcrigecuplocir- 
cicer major, globo Telluris , Jupicer duodecuplo , Mars minus duplo > 
Terraglobi Veneris fefquialcero major, Mercurialis globi quadru- 
plo major;.non erunc igicurncquehajproporcianescorporumhar- 
monicae. 

CumautemDeusnihilfine Geomecrica pulchricudincconfticue- 
ric , quod non ab alio priore, quadam neceflicacis lege fic nexum i facile 
colligimus > cemporibus periodicis fuasvenireprolixitatcs,adeoque 
& Corporibus mobilibusfuas moles,ab aliquo, quod eflin Archetypo 
prius ,■ ad quod exprimendum, iftae , ut videntur improporcionaca; mo- 
les &periodi, funt inhuncmodulumaptatas.Ac coiiedhs efle dixi Peri- 
odosexMorisJongiflimis^mediocrib^^&cardiflimistoporcecigiturvel 
in his Moris, vel fi quid eft ijs prius in Mence Opificis, inveniri concini- 
aces Geomecricas. Morarura vero proporcionesnexa: func ab arcuum 

diurno- 



De MoTIBUS PjlANETARUM 195 

cfiurnorum proporcionibus; quia arcus proporcionem everfam habenc 
proporcionis Morarum. Rurfum,& Morarum & Incervallorum unius 
alicujus Planecae proporciones , diximus efle eafdem. Quod igicur ac- 
cinec Planecas fingulos , una & eadem eric confideracio crium horum , 
Arevium , Morarum in Arcubus aequalibus , & Remocionis arcuum a 
Sole,feu Incervallorum. Er quia jam variabiliafunchaec omnia in 
Planecis : dubium nullum effe poceft, quin fi quid fuerinc forcicapulch- 
ncudmis Geomecr icas , cer co fummi Opificis confilio; id fuis ExCremi» 
accepennc, uc Aphelijs &PerihelijsincerVa?Iii<s; nonicaMedijs incer- 
jettis. Nam dacis excremorum incervallorum proporcionibus , jara 
non opus eft confilio , uc incermediae proporciones cerco apcencur nu- 
mero ; fequuncur enim ukro , neceflicace mocus planecarij ab uno Ex- 
crem© , pe r incermedia omnia , ad Excremum alcerum. 

Igitnr extrema intervallafunc lfta , per accuraci/Iimas Tychonis 
"Brahei obfervaiiones,mechodo in Commencarijs Marcis cradica, ex- 
quffita , percinaciflrmo fepcendecim annorum ftudio. 
Comparata Intervaffd cum Harmonicts 
Binor&m Singu/orumpropr. 

Saturni Aphe/. 1OO52. * ^tonominorc^ 

**«* D *«r- Penhe/ium %96B.h " . . /0000 

lovis Aphe/ium /4/1. c **uffa concinnaproportb 
t + d j Ferihe/ium 4? 49. d (edfire -^-Inconcinna 

f™ e 1 'velAim i deharmonica £- 

s 

6 



MartisAthetium i66c. e Tr . 'MIa^s, u , J->- 

„ ":, ,. ' cHiinnn e J iet tlarmoniCA-a -r- 

. . Pertheltum 1382. f " Cl * 8S \ s 

Terrt Apheltum loig.g 10«, e r a die fc 2J. 

Perihe/ium 982. h rt/<r 9So r *+ 

a *„ ..iooi> h ty nonpoflid&terpidiefitt. 

Veneris Aphel. ?2Q,\ Minus quam fejquicomma 
Perihe/ium 719. k p/us quamtertia parsdiejios. 

'i jj, k 143 j 

m— 5 1 I60 Satrtrni Aphel. 470. 1 Ptusquamdiapcnte abun* 

Perihelium 307. m ^ w tl? «?/«^f <*»*?# H^r^ 

,<;o 8 
monica- — 1 

Nullius igicur Planecae unius incervalla Excrema ad Harmonias al- 
ludunc, praecer Marcis & Mercurij. 

Ac fi diverforum Planecarum incervalla excrema incer fe compares : 
jamaffulgereincipicaliqualuxHarmonices. NamExcremalj&^ di- 
vergentia,faciunt paulo plus quam Diapafon;Convergencia , mediurn 
incerSextasmajorem & minorem.SieExcremaaf & ^Divergecia com- 
ple&untur fere Difdiapafon,Converg6cia fere Diapencc cum diapafbn* 
Telluris vero & e*, Divergencia, plus aliquanco func complexa , quara 
Sextam majorem, Convergentia Diaceffaron abundans. In fequenti 
eopula Telluris& ?rurfum incerConvergeniiaefl: idem diateffaFO* 

Bb^ ab^LO- 



&motum 

eorporis 



196 DeMotibusPeanetarum 

CAP IV 

abundans , ac incer divergencia dcfticuimur Harmonica proporcione i 
minorenimeftquarnHermdiapaf0n( fiicalicec loqui)hoceft, minor 
quam femidupla. Dertique incer Veneris & Mercurijdivergencia, 
paulominusincereft compoficaex Diapafon & tertia minore ; incer 
convergenciaeftDiapenceabundans, pauloplus. 

Ecfi igicur unum incervallum paulo longius abic ab Harmonicis : 
. fuic carrten hic fucceflus ihvicamencum ad progrediendum ulcerius. 

difnsad 8 ve kranc aUcem hae mea: ratiocinaciories. Primum incervalla hxc , 
ra»i\atmo- in quancUmfunclongicpdinesfme mocu , non.apceadHarmonicaex- 
ft^pertcn. aminartcUr, quia Harmonijs magis familiare (nbjeclum eft Mocus, cau- 
tum. sa eelericatis & cardicacis. Deinde , in ijfdem , in quancum func diame- 

Analogia tr [ Orbriim» credibile eft , pociorem efle habicam racionem Cor porum 

later conve , r , n ■ r „ 

xumorbem regulanum quirtque,exana!ogia : quia qusrano eit Corporum Geo* 
&cucuia- me&ricorum folidorum > adcceleftesorbes , undiquaque vel claufos 
eaTem^qus C(xle ^- 1 rtlaceria , uc vulcartciquicas, vel claudendosfuccefltveplurima- 
interfohdas rum g yracionum agglomeracione : cadem eft & Planarum figu- 
figuras & rarum,circUloinfcripcilium(qu£efio;ura;Harmortiasgignunc)adcircr- 

Barmomas: . . A r r u c ■ r 

eadem «ia los cceleftes motuum, caeceraque lpacia, m quibus nuncmocus. Ergo 
inter corp» fi quaerimus Harmonias , quaeramuseas nonmhisittcervallis,ucfunc 
femidianiecri Orbium; fediniilis,ucfuncmenfuraemocuum,hoc eft, 
in ipfis pocius mocibus. Sane incervalla non alia pofliinc accipi , pro 
femidiamecrisOrbium,quariiMediocria;nosver6hicde Excremis a* 
gimusincervalliso Non agirnus igicur de incervallis refpe&u fuorum 
or bium ,f ed refpe£tu mOcuum. 

Hisigicurde caufis cum ad motuum extremorum cbrriparano* 
hertt tranfiviflem;primum manferuncmagnicudine eafdem mocuum 
proporciones , qux prius eranninrervallorum.tancummodo everfa? ; 
quare eciam intermocusinvencaefunc proporciones aliqua?,uc prius, 
inconcinnajj&abHirmonijsalieria;. Id vero rurfum raCus fum me- 
rico mihi evenire ;quippe qui comparem incer fe atcus Eccenci ici, qui 
neqUefincexprefli&numeran menfura magnicudiriis ejufdem , fed 
nUmerentiirgradibUs&mimicis,quaMuncinplanecisdiverfis imagni- 
tudinis diveila: ; neqiie eciam facianc apparenciam ullibi cancam, quan* 
tum dicic numerus cujufqucmfi cancum in cencroEccencnci cujufque, 
quod nullo corpore eftfufFultum, acproinde eciam incredibile eft , 
lenfumvelinftinclumnacuraleminillomundilocdullumefle , appa- 
renCiae hujus capacem ,■ imo & impoffibilc , fiquidem comparabam di- 
verforum planecarum arcus Eccencricos , causa f iue apparenciae in cen- 
tris fuis, quae diverfi obcinec diverfa: comparatae verd diVerfic apparen* 
tes magnicudines, in uno debebac Mundi loco C\t apparere ; uc id quod 
faculcacem habet comparandi illa , fic in illo communis apparenciae lo* 
copraefens* Aucigicur removendam cx animo cerifuiapparenciam 
feorum arcuum eccencricorum , auc alicer informandam. Quod fi re- 
moverem apparenciam , & mencem ad ipfadiurna Planecarum icinera 
attenderem ; vidi ucendum efle praeccpto illo, quod fupcriori capitc 
NumcroIX. cradidi. Mulciplicacis igicur arcubus Eccencricorum di» 
tirnis in Orbium intervalla Mediocria > prodicrunt h«ec itinera. 

Arcus 



Harmonicis Lib. V. 197 





Diurni 




Prim.Sec 


Saturni Aphe/if 
Perihelij 


I.S3- 
2. 7. 


Iovis Aphelij 
Perihelij 


4.44 
f.lf. 


CMtrtis Aphelij 
Perihelij 


2S.44- 
34-34- 


Tel/uris Aphclue 
Perihelix 


fS. 6. 
60. ij. 


Veneris Apheli& 
Perihelia 


9/. 29- 
96. fO. 


Mereurij Aphehj 
Perihelij 


201. 0. 

307- 3- 



Incervalla 


Itinera 


mediocria 


diurna- 


9fio. 


/065 
1202 


$200. 


1477 
163S 




S.627 


1524. 


3161 


1000. 


34$6 
361? j 


724 


4149 

4207 


3SS. 


46S0 
7I4S 



CAP. IV 

lta Saturn* 
vrx fcptima 
partem ce- 
ficit , itinc- 
ris Mercu- 
rialis riicjnc 
quod An- 
ftoteles lib, 
11. de ccclo 
rationinon 
fentaneum 
ceufuit , uc 
femper is,cj 
Soli propi* 
or. majus 
fpaciumco- 
hciat, qua 
quiremo- 
tior : quod 
in antiqua 
aitronomia 
obtineri 
nonpoicft; 



Quod igitur attinec fingulorum itineradiurna, proportionesijS 
comprehenfasopOrceceafdem magmtudine eiTe , quae prius fuerunc 
in intervaliis, fed Ipecie everfas : quia arcus Ecceiitrici, uc di£tum > ha- 
benc filorum interVaUorum a Sole proporcionem everfami 

Itinera verd binornm extrema vel diverfa vel conVerfa fi cohfide- 
iemusjmulto fnirius harrhonicurh quicquam apparet,quam prius,cum 
ipfosarcu > cenfideraifemus. 

Et fane fi rem penficemus diligemius , apparebit , hon valde ve- 
pifimileeile , Creatoremfapientifllmum Harmoniasinter ipfapotiffi- 
mum itinera Planetaria procurafle. Nam fi funt Harmonicae propor- 
cionesitinerum:eruncreliquaomriia,qua:habencpIanecaj,coaclta,& 
ex itinenbus nexa , ut hon fit locus alibi procurahdi Harmohias. A c 
cui bono Harmoniai inter itinera ; aut quis has harmonias percipiec ? 
Duo furte,quae nobisharmoniasihrebusnacurahbuspatefaciunc, vel 
lux vel fonus • illa peroculos* fenfusveoeculcosoculis arialogos , hic 
peraures>recepci,qUasipeciesoccupans mens , fiveinitincT:u(dequo 
lrb»lV.abunde)fiveper ratiocinationem Aftronomicam vel Harmo- 
nicam , dijudicac concinnum ab incohcinho. Jarh foni in coelo nulli 
exiftunc,nectamcurbulencuseftmocus ; ucexaccricuaurscceleftise- 
liciatur ftridor. Reftaclux.fihaecdocere debetde icineribus Planc- 
tarum ,• docebit vel Oculos , vel fenforium ijs analogon > fitum ih certo 
loco ; & ut ftatim ipfa per fe lux edoceat, coram videtur adeiTe oporce- 
reienfum, Ericigicurienfusin toto Mundo;fcilicecucunus&idemo- 
mniumPlanetarummocibusfimuladfic, Nam illavia, abobfervacio- 
nibus, per longiffimas Geometrias & Arichmecica? ambages , per pro- 
porciones orbium & caecera antea difcenda, ufque ad itinera haec ipfa, 
tradacta , nimis eft longa pro inftintftu aliquo naturali , cujus movehdi 
•ausa barmonias incrodu&as efle confencaneum videtur, 

Bb 3 Omni- 



CAP.IV 



I^g H AR MO NICIS LlB. V. 

Omnibus igicur in unum confpeftum coaclis , conclufi re£e' , dl« 
mim^sverisicineribusPlanerarumperauramffcheriam , oporcerenoa 
oculos convercere adApparences arcus diurnos, & apparences quidem 
omnes ex uno cerco & infigni Mundi loco, (cilicec ex ipfo corpore So- 
lari , fonce Mocus omnium Planecarum i videndumque , non quam al- 
tus a Sole fic Planecarum quilibet, nec per quancum rpacium in una die 
crajiciac,- hoc enim raciocinacivum eft &,aftronomicum,non inftingui- 
bile : fed quancum angulum in ipfo folis corpore diurnus cujusque mo- 
cus fubcendac , vel quancum arcum fub uno communi circulo , ex Sole 
defcripco , qualis eft Echpcica , quolibec die conficere videacur ,- uc ita 
haecapparenciajbeneficioluminisadcorpusSohsperlacajCumipfolu* 
mine redla in creacuras , inftin&us hujus parcicipes, fic influere poflic : 
ficuchbroquarcojfchemaccclimfoccum, beneflcioradiorumdiximus 
influere, 

Docecigicur AftronomiaTychonica, (remocisaplanecario motu 
proprio , parallaxibus orbis annui , quae fpeciem ipfis induic ftacionum 
& recrogradacionum) mocusdiarnos Planecarum in fuis orbicis (appa- 
rentesvelucifpe&ancibusexSole) efiehofce. 
Jpparentes diurni 

Httrmoms binormn diurni. 

Vrim Set. 

% Aphelius 1.4^.8. 
Perihelius 2.j 5. b. 



Harmoni tfingulorumprofria 
Pnm. Sec. 



a J 



Com^f. 

bi 



Incer /.4,? 



4 Tercia 
e " - major. 



d 5 
c$ 

rT 

hi2 

1 1 

s»4 



c . * 

sk 
h L 

iS 
15" 



^Aphelius 
Pehhelius 



4.30. c. 
5. 50. d. 



Iater 4.3/. 
& /»jo. 



eft— 



$" TerciamU 



o^Aphelius 26.14. e. Inter 25.2/. 
Perihelius 3.81» F. & %$**. 



Tel.Aphelius 57-3.g 
Pefihelius 61.18. h 

? Aphelius 94./0. 1. 
Perihelius 97.57. k. 



Iriter $7. 2%, 
&<$i.t8. 

Intet 94.50. 
& 98.4^ 



nor. 



e ft«— .Diapenie 

5 

e ^. — Semitomj 
16 



eff 



24 



Diefis 



2S 



% Aphelius 164.0.!. Incer 164. o. 
Perihelius 3840. m. & .794, ©; 



Diapafon,; 



eftJLcum cercia 
iz minore 

Noca, quddMercurij magna Eccencricicas,Faciacmotuumpro- 
porcionem nonnihil difFerre a duplicaca diftanciarum proportione. 
Namfifeceris, uc ioo.mediocremdiftanciam,adi2i.Apheliam,dupl© 
cantam proporcionem mocus Aphelij> admocum medium 245- /#. 327. 
cuncprodicmocusapheliusj67.&fi, uc 100 ad 79. diftanciamperihe- 
liam ; duplo cancam proporcionem mocusperihelijadmediocreoie- 
undem ; Perihelius mocus fiec 593. ucrinque major,quamhicpoftiii 
quia fcilicec medius mocus in Anomaliamediavaldeexobliquoin- 
fpettus,non apparec tancus, fc. non »45 w* wfec, fed minor * eirciter tf 

fcrupu* 



HarmonicisLib. V. 199 

fcrupulis; ergo eciam Aphelius & Perihelius minores elicientur. Mi- 

nus autem Aphelius , & plus penhelius , propcer 1 h.Opc; Eucl: uc caviCAP. rv* 

eapice praecedenci , Numero VI. 

Quod igicur incer hos apparences mocus fingulorum excremos ef- 
fencHarmoniaj,&Goncinnaincerval!a,idvel ex proporcionibus di- 
urnorum arcuumeccencricorum ,fuprarelacis,pocuiprcefumere ani- 
mo: cumvideremibipaffimfemifles regnare proporcionum harmo- 
nicarum ; fcirem vero, apparencium mocuum efle duplam proporcio- 
nern,proporcionis moruumeccencricorum. Sed dacur experiencia 
ipsa,vel fine raciocinacione , quod affirmacur, comprobare; nc vides in 
cabella proxima. Valde n. prope ad harmonias accedunc proporciones 
apparencium mocuum fingulorum; fic uc Sacurnus & Jupicer paulo ad- 
modumplusquam TerriascompleeTanrur,Majorem&Minorem:ex- 
cefliisiiiic5/./4. hic54. 55.aucminus,fc. iefquicommaca fere ; Terra 
paul6admodum,fciiicee j37-i?8.vixfemicommace,plusquamfemi- 
tonium;Marsaiiquanco (fcilicec,29. 50. quodadj^. ?5»vel j5.56.acce- 
dic) minusquamDiapence;MercuriusfupraDiapafon , propiusobci- 
nec Tertism Minorem , quam Tonum,minus fchaberper g-g. 39. circi- 
ter, quodeftcircicer duo commaca, fcilicecfere 34. 35. vel 35, 36. Sola 
Venus minus aliquid obtinet, quani func omnia concina, ipfaque adeo 
Diciis:eftenim proportio ejus inter duo & ttia corhata, fuperatque beft 
fem Diefeos, exiftens circiter 34.35. fere 35.36. corhate diminuca D;.sfis. 

In hanc confiderationem etiam Luna venit: Nam deprehenditur 
ejus Apogajaeriiotu horariusin Quadris,omniumfc.'cardiflimus., ^6^r. 
i6y?c.Periga;a;inCopulis,omniumfcilicec velociflimus^/^y.i^y^t-.qua. 
racione formacur exacliflime Diaceflal-on. Nam pars cercia dc 26. 26 
eftfc 49. - cujus quadruplum eft 3/. 1/. • Ec noca ,quod Harmonia Dia- 
teflaron incer moc 9 apparencesahbinufpiaminveniacur : notaetiarn 
analogiam QuartaeinHarmonijs, cumQuadra inPhafibus. Ha:citaque 
invemuncurinmocibus fingulorum. 

Ae m binorum incer fe collacorum Planetaru motibus extremis, cla- Qvp Has- 
riflimusfol Harmoniarumcceleftiumftatim adprimum afpectumeni- nionis,n ; 

r ■>■ f : '. r. ' r - " "r r rerbinoru 

ticur , live diverfos motus extremos mter fe compares , iive converios. converfos 
Nam inter converfos Saturni & Jovis,proportio eft exactiflime dupla , &divcrtt» 
feu 0iapafon;inter,diverfos,paul6adrnodumampliusquam tripla,feu "' 
Diapafoncum Diapente. Namde/^. $ofec. cerciaparsefti^r. sofec. 
cumSacumusproeohabeac ipr.^Gfec Igicur Planecaria habec plus 
unam Diefin , auc paulo quid minus fc. 26. 27. vel 27. 1$: & minus uni- 
co Secundo ad Aphelium % accedence , exceflus eric 34. 35. quanca eft 
rnacuum excremoru ?. Incer Jovis & Marcis diverfos & eonverfos re- 
gnanc Trifdiapafon , & Difdiapafon epidiacrion, non perfecTe. Narn 
pars otlava dei;%pr.- 1 fec. ed^pr. qfjec. cum Jupicer habeac^pr. 30/?«-. 
quos inter numeros adhuc intereft j ^ 1 9. quod eft mediurcinter 15-. 16 
& 24. 25-. Semiconium & Diefin, fcilicec proximeperfe&umLimma videiibri 
lzG-125. Sicpars quinta deiGpr.y^fec. eftjpr. x^fec cum Jupicerha- iv.fo^L 
bezzspr.zofec deeftigicur hic proporcioni quincuplaicircicer 21.2-2, 
quancumpriusalcera abundabac,ferefc.Diefis24. 25. Propius accedic 

Har- 



morus. 



ioo De Motibus Pianetarum 

Harmonia $"• 24. quae ad Difdiapafonpro majori Sexca adfcifcic mino- 
rem. Nam de 5-. 30. quinfa parseft i, 6, quaefumpca vicies quacer, con- 
fticuicJ6. *4- cum quo.26. 14. non plus quam femicommafacic. Mars 
Cum Tellure minimam proporcionem forcicus eft , exattiffime fefqui- 
alceram , feu Diapence : nam pars cerciade 57 pr. ^Jec. efl ijpr.ifec. cujus 
duplum 7,Sfr. 2. fec. quem ipfifTimum numerum habec Mars , fe. 3%pr. 
tfec Majorem illi proportionem forcici func Diapafbn cum Tertiami- 
norij.)2.pauloimperfeftius. Namparsduodecimade6i/>r. i8y£cr.eft 
5/>r. tffem.y^c. quajfumptaquinquies, iitzjpr. iiyfc.cumproeoMars 
h3beatz6pr.14.fec. DeeftigicurdirninutaDiefiscirater,fc.35.j6.Tel~ 
lns vero & Venus communes fbrcicifunc h«rmonias,maximam.j. 5. 
minimam 5 8-Sextas>majorem &minorem,rurfum nonperfeftiflime. 
Nam pars qtiincade *)7pr.3?(ec. eft lypr.jijec & hujus criplumfic 5"g/>r. 
34 fec. quod eft mocu Telluris Aphelio plusper 34. 3$. quodeftfere 
jf. 36. cancum fuperac Harmomcam Planecaria. Sicparsoclavadc 
94 pr.fiofec. eftn^r. jijec^- cujusquintuplumeft j^r.i^ykc.quodeft. 
quam proxime sequale medio motuiTelluris ; quare hic minor eft pla- 
necariaharmonicaper29»3o. velio.i),qnodeftrurfumferei5._?6.Die- 
fisdiminuca.adeoque appropinquathaecminima illorum proportio , 
HarmoniaeDiapente: pars enim teiciade94/>r. fo/eceft. 3ipr. 37 /ec. 
eujus duplum 63 pr. I4fec. a quo deficic perihelius Telluris mocus $\pr. 
\%/ec particula 31. 32 . uc cxacie Planecaria medium ceneac inccr vicinas 
Harmonicas. Denique Venus & Mercurius fbrcici func proportionesi 
maximamDifdiapafon,minimamSexcamduram»nechas plane per- 
fc&ifiime. Nam pars quarca de J84. eft $6pr. ojec cum Venus habeat 
94 pr. ro/ec accedic igicur Quadruplas , unum comma circicer. Sic 
quincaparsdc j64^r. eftfzpr. 4%fec quae terfumpcafacic98/>r,.z4j£i?. 
cum Vcnus habeac 97^. i7fec fupcrac lgicur Planecaria beflc comma» 
ciscircicer, hoc eft \z6. J27. 

HajfuncigicurHarmoniasPlanecis interfe diftribucaij neceftulla 
ex praxipuiscomparacionibus ( convergencium fcilicec , & divcrgen- 
ciumexcremorum mocuum ) qua: non adeo prope Harmoniam ali- 
quam veniac,uc fivei chordx fic cftenc cenfs, auresimperfeciionem 
haud facile difcreturas fuerint » exceproillo excefTu uniusjincer Jo- 
vem & Marcem. 

Sequicurautem,utnequctuncmulturnaberracuri fimus abHar- 

G^EHat. monijs , fi mocus ejufdem plagae eomparemus. Addica namquc Sa- 

mdSafi curru 4- !• cum *$' 54« ac * incermediam 1. 1. conflacur 2. 5. cum 53:. /4. 

»>iagse mo quodeft inccr Apheliosmocust» % . Addc Iovis 5. <j. cum 54. 5-5 , colligi- 

tus biqo- cur5.12.cum 54.55quodeftincerPeriheliosSacurniIovis.SicaddeIovis 

5.6. cum 54.55. adintermcdiamfequentem^-s^.min^^.i^Sjprodicj.^ 

min^.^.interapheliosjaddeadeandem 5.24. min 9 157.153.^ 2.3.mi- 

»us 29. 30 , prodic 5.^6. minus 24. 2C.circiter, id eft j25.8tf4.vel 1. 7. fere, 

interpenhelios: hocquidem inconcinnum adhucfblumeft, Adter- 

tiam ex intermedijs 2- 5. adde Martiam 2.3. minus 29. 30 , pirovcnic 4.9- 

minus 29. 30 , id eft 40. 87 > inconcinnum alcerum incer Aphelios ; fi 

pro Marcia Terream 15. )6> addideri* plus IJ7. i3g.»creabis5-8. plus 

|jr. ijf 



HarmonicisLib. V. 201 

K7- J38- incer perihclias. Ec ad quartam incermediarum 5. g. sainus CAP -M 
30 3j. vel z. 3. plusji. 5.2 , fi Telluns 1$ j6. cum 137- 138. addideris , col- 
liges quam proxime 3, 5. inter aphehos mocus Telluris & Veneris. 
Nampars quintade94^nW. $0 /ecutd. eft i$prim, <$ fecund. cujus cri- 
plumeft/6^r/>w. 54/ecaW. cumTeilushabeat57/>r. ?jec, Adeandem 
fi Veneris^. 35. addideris^accumulasj.S. incer perihehos. Nam pars 
o&ava de 9jpr. ^fic eft upr.i zfec. -+quae fumpca quinquies foenerac 
6i^r. /fec. cum Teilus habeac$i/?r. isfic. m 

Denique ad ulcimam intermediarum 3.5.011x1 126.127,^1 addideris 
Veneriam 54. 55-, componecur 24, 25. ulcra3- 5. &fitdiflbnuminter- 
vallum ex ucroque compofitum mter aphelios. Sin autcm addide- 
risMercurialempropornonem^. 12. minusjg. 39;jam de 1.4. feuDif- 
diapafon decedet quam proxime Diefis integra, pro propor tione mter 
motusperihehos. 

Perfe£t£ ig cur inveniuntur Harmonia? , incer Sacurrii & jovis 
convergentes, Diapafbn; incerJovis& Marcis convei-genr.es , Dia- 
pafon cum Tertia molli fere,incerMartis& Telluris convergenres, 
Diapence;intereorum periheliosSexcamollis; incerTeliuiis & V'e- 
nerit. aphelios Sexca dura , inter penhelios Sexca mollis; inter conver- 
fos excremos Venens & Mercurij Sexta dura. - interdivergentes vel 
etiam incer penhelios , Difdiapafon: adeo ut fine damno Aftrorioriaia; 
omniumfubcilifiimeexobfervacionibusBraheanis excrufta: , reiidua 
Cxihfllmadifcrepanciaconfumipofie videacur; pr«efercim in mocibus 
Veneris & Mercurij* 

Notabisautcm , ubinoneft HarmoniaMajorperfetla, ucincer 
Jovem & Martem;ibi folum proxime perfedam deprehendi interloca- 
rionemfiguraefehd-e , cumpenhelia Jovisdiftantia ficproxime cripla 
aphelia; Marcis : uc ita ha?c biga perfe&am Harmoniam , quam non ha- 
betinmotibus, aftedtetinintervallis. Notabisamplius, Planetariam 
Saturni & Jovis majorem , excedere Harmonicam , fcilicet Triplam , 
quantitate fere tanta quanta eft Veneris propria; & tantudem fere de- 
eflecommuni majori Martis &Telluris , tantundem & duabus com- 
munibus, extremorum Telluris & Vene ris , convergentium & diver- 
gendum. Notabis cercio , fere in fiiperioribus efie Harmoriiasftabi* 
licasinterconvergentes .-acininferioribus, intermotus eju(dem'pla- 
gaz. Nota & quarc6_,incer Saturni & Telluris apbelios , efle proxime 
quinque Diapaion; nam pars tricefima fecunda de tfprim. jficund, efl: 
iprim. 47 fic cum aphelius Saturnihabeat ipr. 46 (ec. 

Porromagnum difcrimen intercft inter explicatas firigulorurn 
PlanetarumHarmonias, &inter jundlorum. Nam illae quidem eo_ 
dem temporis momento exiftere rion pbflunt , hae vero omnino 
poflunt : quiaidemFlaneta , verfansinfuo Aphelio , nori fimul po- 
reft efle & in oppofito Perihelio : at duorum Planetarum alter 
in Juo Aphelio , alterin fuoPerihelio pofluntefle eodem tempo- 
rismomenco. AdedquequsproportioeftCantusfimplicisfeu Mo- 
jsodia:, quamChoralem Muficam dicimus, &qu«efola Veceribusfuic 

Cc cognita 1 



202 De MOTIBUS PlANETARUM 

cognica, ad cantum plurium vocum j Figuratum diftum , invencurh 
proximorum fa?culorum .* eadem eft proporcioHarmoniarum, quas 
fingulidefignancPlaneca:,adHarmoniasjun&orum. Icaquejam por- 
rd^ Cap. V. & VI. fingUli planecae comparabuncur cum Mufica Cho- 
rali vecerum , ejufquepropriecacesin planecarummocibus oflenden- 
turrac capicibus fequentibus,juncti planecae, cum figurata modernaMu= 
fica paria facere demonftrabuncur. 



GAPVT V. 



InProportionibus motuum Plane- 

tariomm apparentium (ex Sole veluti fpeclran- 

cibus) expreffa effe Loca Syftemacis , feuClavcs Scalse 
Muficas, &generacancus,Duri& 
Mollis. 

i 

Q Vod igitur inter nosduodecimterminosfeuMo- 

^^•cus, Planecarumfex , folem circumcurrencium , furfum deor- 

fum, & quaquaversum ftenc proporciones Harmonica?, auctalibus in- 

tra infenfilem parcem Concinni minimi proximse, probacumeft ha- 

dtenus , per numeros hinc exAftronomia , indeexHarmonicape- 

ticos. Quemadmodum vero libro cercio primum Harmonicas pro- 

portionesfeorfim fingulaseruimuscapiceprimo, cunc demum capi- 

tefecundo , easomnes,quocquoceranc,inunum commune Syftema 

feu Scalam Muficamcompegimus,im6pociusunamearumDiapafbn, 

qua; casceras poceftace completlitur , per illas caeceras in gradus feut 

Locafua divifimus , eaque , re ucScalaeffec, efFecimus: ficnunc quoqi 

invencisHarmonijs, quasDeus ipfein Mundo incorporavic , fequi- 

tur uc videamus, num ica fingulae ftenc f eorfim, uc nullam cum reliquis 

cognacionem habeancanvero omnes incer fe confencianc ? Quan- 

quam facile eft vel fine ulceriori inquificione concludere : Harmonias 

iftas fummo confilio fic invicem apcacas effe , uc incraj unam veluti 

compagem CeCe mutuo feranc s nec una aliam elidac: quippe cum 

videamus , in cam mulciplici comparacione eorundem cerminorum, 

liufpiam non occurere Harmonias. Nifi enim omnes omnibusapca- 

tae eflenc in unam Scalam ;facilefieripocuiflec ( &fa6"Uim eftpaffim « 

necefficateficurgence ) uc plures diffonancisc exifterenc. Uc fi qui* 

?^$~i i nncer primum & fecundum cerminum confticuerec Sexcam majorem * 

^— - ^ 1T inter fecundum & cercium, Terciam ltidemmajorem, finerefpetlu 

^ j'priorisi hic incer primum & tcrcium admiccercc difTonanciam & inceiv 

valiunjinconcinnum 12.^5« . 

;Ageve^ 



HarmonicisLib. V. 205 

Age vero videamus, an quod jam ratiocinando collegimus, id CA ^ y, 
reipfa (ic inveniatur. Cautiones tamen aliquas praemiccamus , quo 
minus impingamus in progreffu. Primum fuperfluitates illas,vel 
defeetus , femitoniominores , inpraslens diffimulareoporcecnam 
quasilla;caufashabeanr,pofteavidebimus. Deinde duplicationevel^ 
contraria bifedlione continua motuum, redigemus omnia intra «Syfte- 
mauniusO£tav3e,propterIdentifonantiam omniumDiapafon. 

Igitur Numeri, quibus fyftematis Octavae Loca feu Claves omnes 
exprimuntur, capite odavo Libricertij, folio47. m tabellaexpofiti 
funt : quos nuraeros fcilicet intellige de binarum chordarum longku- 
dine. Per confequens igitur , celeritaces motuum , eruntinter fe in 
proportionibus everfis. 

Comparenturnuncmocus Planecaruminparcibusconcinuefub> 
duplis. Eftigicur 

Motus Vrtm. Sec* 

Penhtlij £ feptimun-ifubdupla,feuj28'& , <* 
Aphelij $ fextum fubdupia, feu 640 
Penhelij % quincum iubdupla , feu 3.2 da 
Aphelij Veneris quincum fubdupla , feu 32 da 
Perihelij Terr£equincumfubdupla,feu32<^ 
Aphelij Terrae quintumfubdupla, fcvtjzda 
Perihelij Martis quartum fubdupla, feu 16 da, 

ApbeIijMarcisterriumfubdupla,feu8i'* 
Perihelij Jovis fubdupla 
Apheliflovis ful dupla, 
PeriheiiusSacurni 
Aphelius Saturni 

Signet jam Sacnrnitardiflimi motus aphelius, id eft , cardiffl- 
ntUSjlocum Syftematisgravifiimum G. numero \ prim. ^Jecund. 
Eundemigicurfignabic& Tellurisaphelius , fed quinque Diapafbn 
alrius , quia ejus numeruseft ^prim. 4?Jecund. &quisaufic inSacurni 
aphelio moru de uno Secundo concendere ? Efto camen >• difFerencia 
non erii major , q. 106, io7,quod eft commate minus. Hujus 1 pr.47 fec. 
quarcam parcem zrfec. fi addtderis, conficietur zpr.i4fec. cum Saturni 
perihehus hzbeat 2 pr 15- fec, Jovis aphelius fimiliter,fed altius uno Dia- 
paion. Igr hi duo motus fignanc Clavem £,velpauI6 admodum altioree 
Eunc.Sume de ipr. 47fic tertiam %6fec- & adde toti>procreabis z pr. 
2i(ec- pro Clave c: & ecce perihelium Martis,ejufdem magnitudinis» 
fed per quatuor Diapafon altius. Eidem r prim, 47 fecund. adde & 
ditrudium %4.fic- , confiet zpr. 4ifec- ,pro Clave d: & ccce hic prae- 
fto perihelium Iovis , fed uno Diapafon akius: numerum enim proxi» 
mumobtinecfc, zpr. ^sfee. Siduascerciasaddideris,fo ipr. nfic. -+: 
proveniuntz/jr^g^-.EcecceapheliumVeneris^/T.^g^-.Signacigi^ 
tur hic h >cum feu Clavem e, fed per quinq;Diapafon alciusmec mulcum 
fuperat periheli 9 Mercurij, habens^r. ofec. fedz. incervalhsDiapason 
fupenus.Dcniqidivid8duplumipfiusi^.47/f.fc.j/»r.^4j?f.innovem J 

Cc z fcpar? 



3> 


O. 


z. 


?4- 


3, 


3- - 


z 


/8-- 


I. 


55- 


I. 


47.- 


2. 


-2J.» 


h 


17.- 


2. 


45"* 


2. 


if- 


2. 


15. 


J. 


46. 



20 4 D£ MoTlBUS Planetar um 

.„ . k^. 

cap y &paritem unaro 24 fec. aufera coco,reftacjj!>r io/fr. -+pro clave/quani 
fignacfere aphelius Marcis ^pr.yjec fed percYia Diapafon alcius , & ip- 
fenumeruspauld major jufto,appropinqUansclavi/e. Namparsfe- 
decimade fpr-. itfec. fcilicec 13 fem. /»r. ablaca a}pr. 34fic. relinquic 
$pr. 20 Cem.jec cui proximUs eft %pr. 17/cc. Ec fane etiam in Muilca 
loco/, crebro adhibecur/e,ticvidereeftpaffim. 

Omnes igicur claves cancus duri, incra una O&avam (exccpca clave 
^quas neque per fe&ioUes Harmonicas Libro IILCap. II. fignabacur j 
fignancur ab excremis PlaUecarum mocibus omnibus, excepCis perihe- 
lijs Veneris & T&lluris> & aphelioMercurij,cujusnumcrus2pr.j.#/ec. 
appropiriqUaccIavir?. Nam aufer ad. 2pr. 41 fec. parcem fedecimam 
io^r-s-.reftac2 />r,3o/Fc.clavice:icafoliperihelijVeneris&Terra;exu- 
lanc ab hac Scala , uc vides in cabella. 

^=z=:iz:=z:=zz:zz™z=~ % .^zz%--l 

te'^ 5^- S* -? C5* w.- '. «^ §*• SLi ^ 

- * , r« 1 4 r r- s r s 

■* • ■ 

(?oarra fi a Sacurni moru periheiio zpr. ijfec. fiat inicium fcala;,ja- 
feeacurq; isreprasfencare clavemG: cuncclaviy? veniunc^r. 32-fec. q, 
appropinquacvaldeaphelioMercurij;Clavi b vemuntzpu 42,fec. q,eit 
proxime penhelius^ , p xquipollericiam Oclavarum;Clavi c veniunc 
3pr. ofec. perihelius Mcrcunj & Veneris prOxirne j ClaViiveniunCi^r. 
23/ar. - nec mulco eli obcufior aphehus MarCis, Cc^pr. isfec. ut fic hic fe- 
re canto minor numerus fua clavi , quanto prius itidem fua major erac : 
Clavi d% veniunc fpf. jtjec. quam obic aphelius motus Tcllurisfere $ 
Clavi e veniunc^ pr. ^ofec eftque perihelius Telluris3^r. 49/rc. Jovis 
vero aphelius rurfurn ceaec^. 

Hoc pa&o claves omnes incra urtarri o£tavam cantus moIlis,excep- 
ta/, exprimuncur ab aphelijs & perihelijs plerifque planecarum moci- 
bus , prafercim ijs , qui prius eranc omifli, uc vides irt Tabella : 

— kgsaz :* — g---*~ — - — 



r §. f j* §. ^ ?:^ p g, 

s^ £" s? 5? ^ &" §• 5 H 









lm aucem prius/e fignata, J omifla: jam A fignacur,/e omiccicur s 
»a«ifeaioacs Harmoaie* CAP,- H. elavexn / eciiana omiferunc. 

Iftigi- 



HaRMON!CI$LiB.V, 205 

Eft igicurincoelo dupiicivil, &in duobus quafigeneribus Cantus, 
fcxpreffa fcala Mufica > feufyftemaUniUsOttavar,cum]ocisomnibus , 
per qus in Mufica cradUciCur cantlis nacuralis, Sola in hoc eft diffe- 
rentia , quddin fe£ciombus quidem noftris Harmonicis,ucraquevia 
conjundim incipit.ab Uno &eodcmcerminoG ; hic verdinmotibu9 
planetarum j qUi prius erat § i jani in Molli genete fit G, 



CAPY; 



In mottbus ccslorumjic : 



y. — 



-*:$:±: 



pm^z&^^^ 



z$±zzzzz: 



=t:^ 



**: 



t^ H4 i-l N ,h *« 

Oi t> t>» ^ ^ S0 

o o co O o ^ 



i-, o ^o or> 

**• oo CJ\ Q"\ 

k» O 



o+> 



\j -* ^i. w N 
00 0> o ^ i» 



O "-0 00 

coN O; 



PeT jecliories Harmohicasjic : 



y 4 ..Z7.ZZZ: ^^$_[_£ 



^zzzzaZSz 



iw 



=_£— -:*:$:* 



:__*_*_?=_■ 



:$3£ 



_ . 



k» »m ^, _■ 

O 00 o O °* 



*! o 



t_ _ _ t-4 i-i 



O 



fc» 

O 



o o o 



(4 O 

„ <*> 

_. o 



N_mficutinMuficafehabec2|6oad)2oo.vel 6 adf.fiein lllo fy- 
fteririace , quod coelum exprim lt fe habenc 17-28 ad /440 , fcilicec eciam 
Ut _ ad 5. c_ fic de Cceteris plerifque 

zi6o ad 1800, i<5_jo. 1440. ijjo. jjdgo, 
Uc 172.? ad J440. 1296. 115-2. iogo. 864» 

Jam igituir nori amplius miraberis , excelienciflimUm Ordinem (b- 
norum feu graduum in fyftemate vei fcala Mufica , confticui ab homi- 
nibus:cumvideas,ipfoshacinrenihilaliud , quam DeiCreacoris fi- 
rr.iasagere, & ludere velucidrama quoddam ordinacionis mocuum 
cceleftium. 

Verum fupeft eciam alius modus, quoduplicemincelligamusin 
cceIofcaIamMuficam:ubifyftemaquidemidem , cenfioverogemina 
concipicur , alcera ad aphelium mocum Veneris, ol.era ad perihelium: 
quiahujus planeca.mocuumvariecaseftminimjequancicacis;ucqua^fe 
concinecincramagnicudinemDiefios,Concinniminimi. Ec aphelia 
quidem cenfio , uc f upra , habet aphelios motus Sacurni , Telluris , Ve- 
neris, & fere Jovis , in G. e, fj , perihelios verd Marcis & fere Sacurni , & 
ur prima fronce apparec , etiam Mercurij , inc.f. ty: periheliaconcrs. 
tenfiolocumdaceciamaphelijsMartis, Mercurij, fcferejovis, peri- 

Cc j kelijf 



2o6 De MoriBus P1.ANETARUM 

heli js vero Jovis , Veneris , & fere Saturni ; quadamtenus vero etiam 
®A p - V/ Telluris ; & proculdubio etiam Mercurij. Narn efto , ut jam non aphe- 
lius Veneris,(ed penhelius spr.jjec.locum e capiarjeiproximeaccedic 
eciam perihelius Mercurij $pr. ofec. per Difdiapafon , per flnem capicis 
IV.Hujusvero periheiij ?, j pr.j /ec.pars decima, i$/ec. ablata,relinquic 
Zpr.^fec. periheliumJovis,obtinencemlocum^: & parsquindecima 
12 pr. addica , cumulac ^pr. iffec, apheliumMarcisfcre,obcinencem 
Jocum/ & fic in £, fequencur eandem fere tenfioncm etiam perihelius 
Sacurni&apheliusjovis. Acparsodavazj/fc.fumpcaquinquiesjdac 
1 pr. ^fjec. qui eft perihelius Telluris ,• qui etfi in eandem cum praemif- 
fis fcalam non quadrat;uc quae non ordinac intervallum /.g.infra e,ncc 
24. 2$. fupra G. tamen fi jam perihelius Veneris, & ficetiam aphelius 
Mercurij, excra ordinem pro e, capianc locum d% , tunc hic perihelius 
TelluriscapietlocumCr ,• &confentiecetiamapheliUsMcrcurij,quia 
pars tercia 1 pr. ifec. de 3 pr. ijec. fumpca quinquses , foffrr. %Jec. cujus 
dimidium2pr. 32/?<r-t-.proximeacceditadapheliumMercurij, quiin 
hacexcraordinariaaccomrnodacioneobcinebitlocum c. _ Suncigicur 
hi omnes incer fe quidem tenfionis ejufdem : alci ter tamen Scalam di- 
vidit Veneris perihelius;cum tribus (vel quinque ) prioribus , eodcm 
fc. genereHarmonico, q,apheli 9 ejufdem,incenfionefua,putageneie 
Duro: aliteretiamejufdem Venerispenheliuscumduobuspofterio- 
ribus, eandem dividit; puta ,non in Concinna alia, fed faltem in diver- 
fum Concinnorum ordinem ,• qui fcilicet proprius eft generis Mollis. 

Sufficitaucem,hoccapice, quidincausaverfecur , oboculospo- 
fiiifle : quare ver6 unumquodque fic fuerit fa£tum, & quae caufae non 
cancura confpirationum , fed ctiam diffidenciae per minima > id lucu* 
lenciflimis dcmonftrationibus patefiet Cap; IX. 

C A R VI 

InExtremitatibusmotuum Planc- 

tariorum exprefsos eke quodammodo Mo- 

dos feu Tonos Muficos. 

C equitur hoc ex antedi&is, nec opus efl: multis verbis, 

•^finguli enim planecaefingulaquodammodofignanclocafyftematis, 
motuperihelio,quatenusdatum eftfingulis , percurrere ccrtum ali- 
quod mtervallum in Scala M ufica,certis ejus Clavibus , feu locrs Syfte- 
raaciscomprehenfum,cujufqueabillaClave feuloco incepcum , qui 
capice praecedenci concigic jllius mocui aphelio , Sacurno quidem & 
Terrx G s acjovi ^,quaeinGaltiustranfponipoteft,Marti/e, Vene- 
ri a Mercurio A, in altiori Syftemate. Vide fingulos in Notis ufita- 
ris. Non formant quidem intermedios locos, quos hic vides notis im- 
pletos, ar ciculace , ficuc excremos : quia ab uno excrcmo , non falcibus 
& incervallisj fed concinuA cenfione nicuncw ad oppoficuoi > media o- 

imnia 



Har moni c t s L i b. V. 207 

mnia f mfinita in potencia ) permeantes adtu : id quod aliter a me non CAP> ^* 
potuic exprimi , quam per concinuam feriem Nocarum incermedia- 



bacurnus Ji.picer Marstere lerra 




Venus *"* Alercunus Hiciocumhabetetiamj) 



rum. Venus fere manec in unifononon sequans cenfionis amplicu- 
dine vel minimum exconcinnis incervallis. 

Atquifignaturaduarumincommuni SyfiemateOlavium, &for- 
maciofceleci Oftavae, percomprehenfionemcertimtervalliconcinni, 
eftrudimencumquoddam diftinctionis Tonorum feu Modorum:func 
ergd Modi Mufici incer Planecas difpertiti. Scio equidem, ad forma- 
tionem & definicionem diftinctorum Modorum requiri plura , quac 
cantus humani, quippe mtervallati,funtpropria:itaque voce quodam- 
modofurnufus. 

Liberum aucem eric Harmoniftas , fencenciam depromere fuam .* 
quem quifque planeta Modum exprimatpropius ,' excremishic ipfi af- 
fignatis. Ego Saturno darem ex uficatis Sepdmum vel O&avuni , 
quia fi radicalem ejus clavem ponas G, penhelius mocus aicendit ad 5: 
JoviPrimumvelSecundum ,quiaaphelioejus mocuad G accommo- 
dato,periheliusad b pervenic,-Marci Quintum vel Sextura >• noneo 
tantum,quia fere Diapente aiTequitui ,qu'od intervallum commune efl 
omnibusmodis : fedideo pociflimum . quia redaftus cumcsetensad 
communefyftema, perihelio motu c aflequitur,aphelioad/alludic: 
quaj radix eft Toni feu Modi Quinti vel «Sexti: Telluri darem TertiumTell» ea nft 
vcl Quartum : quiaincra femiconium ejus motus vertuntur,- & vero Ml * A MI 
primum illorum Tonorumintervallumeftfemicbnium > Mercuriojaba c* Ji- 
vero ob amplicudinem incervalli , promifcue omnes Modi velToni<:>as,'nhoc 
convenienc: Veneriobaneuftiamincervalli, planenullus,acobcom- noftt , '!°; 
mune Syftema, eciam Tercius & Quarcus, quia rpfarefpectu cstero-Jetiam & 
rumobtinec e t fAmemob 



u&eie, 



CAP VT VII. 

Harmonias univerfales omnium 

fexPlanetarum ,veluti communiaContra- 



'.TSflD 

pun£laj quadi iformia dari. 



J^JVnc opus , Vranie, fonitu majore : dum per fcalatri 
-' Harmomcam cosleftium mocuum , ad altiora c,onfcendo ; q u a ge- 

^auinud 



208 De Motibus Planetarum 

' nuinus Archecypus fabricas Mundanaerecondicusaffervacur. Sequi* 
miniMufici moderni,remque veftris arcibus, anciquicaci non cogni- 
Anne fla. cis, cenfece : vos hisfaxulis ultimis , prima univerficacisexemplage- 
gitium fe. nuina , bis milhum annorum incubacu , candem produxicfui nunquam 
f C1 ° i 1? non P rocu g a Nacura : veftris illa vocum variarum concencibus , perque 
ins S *uns veftras aures,fefe ipfam,qualis exiftac peniciffimo iinu, Menci humana;, 
Compom- Dci Crcacoris nliaj dilecliffima: infufurravic. 

doftmfii- Quas Harmonicas proporciones bini Planecae vicini Mocuum fuo- 
quamMo- rumextremicacibus complecterencur , idexplicacum fuic fupra. Ve- 
tetam pco rum CO ncingic rariffime, uc ducpfcrcim cardiffimi, fimui in lua incidac 
gio exiffam excrema incervalla.- verbicaufa, Sacurni& Jovis apfidesdiftanccirci- 
rextum cer gi gradibus : igicur Licerea , dum haec illorum diftancia, cercis vice- 
peSt«Re norum annorum faicibus ycocum Zodiacum emeciacur , anni labuncur 
gius,ca;ce- oclingenci; neque camen falcus,quioclavumclaudicfaeculum, praeci- 
riq ; Sacri fefercur adipfiliimas apfidas; &fipauld longius aberrec ,• expeclandi 
diwre^po- fum alij octingenci anni,uc falcus illo felicior cum racione quseri poffic ; 
tscunc.Ve- idque coties icerandum, quocies modulus aberracionis in unius faicus 
rumheus dimidiaci prolixicace concinecur. Tales Periodosefficiunteciamcae- 

vos>inc<se- i - /- i •« • i- t • i 

lopiures ceraz bigaeltngulae , quanquamnonicaprohxas. Incenm vero con- 
quam fex cingunc eciam aliae Harmoniae binorum Planecarum ; incer mocus non 
cocdan"" excremosucrofque, fedintermedium, velunum vel ucrumque :'eseq; 
Nam Lu- in diverfis veluci cenfionibus. Nam quia Saturnus ex G in § & paulo 
na fcC ^ fim ulcerius cendicur , Jupicerexfun d &amphus: poffunc igicur concin- 
nodiatn gereincerfc & ^Harmonia;etiimiftajmpraDiapafon,Tertiautraq> r ,& 
cantiiiat , Diateffaron ; illarum qdem alcerucrap cenfionem , q habet amphtudi- 
cunis^ffi- d mem reliquae; hasc vero per amplicudinem Toni majoris. Diaceffa- 
«knsCou- ron enim eric noncancuma GSaturniin cc Jovisfedeciamab^Sa- 
fette fym- curniin;&/ Jovis, &per incermediaomniaincerG. ^.illius&fc. aWhu- 
BUiberh- ) us - Diapafon vero & Diapence infolisapfidum punctis concingic. 
•t, feipar- Mars vero majus naclus incervallum proprium , hoc obcinuic, uc eciam 
tlbus,Cura *Diapafoncumfuperioribus, peraliquam cenfionis amplicudinem fa- 
feduium ci aC - Mercurius cancum obcinuicincervallum ; ucpierumque omnes 
poliiceor. Harmonias cum bmnibus conftituac,incra unam periodum fuam, qua; 
^Mufi- non ^oWxiot efl trium menfium fpacio. Telluse concra, Venufque 
camccee mulco magisj/anguftia propriorumincecvallorum, reftringuntHar- 
ftem , ex P n "moniasfuas non cancum cum.casceris , fedmaximeincerfemucuas, ad 
f erc defcri"paucicacem fpe&abilem. Quod fi cres in unam Harmoniam confpi- 
ptamjhuic raredebeanc:mulcaequidem vicesfuncexfpectandae; mulcae cawen 
tum/vr- Harmoniae func ; ucicacancofacihuscontinganc , dumvicinamfuam 
enievene- proxima quarque excipic : yidencurquc incer Marcem , Tellurem & 
farnf POn " Mercurium , criplices concingere fspiufcule. Quacuor vero pianeca- 
ienJ° a ~ rumHarmoniae, jam incipiunc fpargi in faecula: quinque Plaheca. 

rum'. in Myriadas annorum. Uc vero fex omnes confenciancid longifl. 

fimisaeyifpacijsincerfepcum , &nefcioan penitus impcffibilc ficbis 
•rinltri concingere , per exaclam evolucionem; pociufque principium quod- 
Mundi. damTemporis demonflrecaquoomnis Mundiaecasdefluxeric. 

Qnod fi unica fola, concingere poffec Harmoaia fexcuplex , auc 

incej 



HarmonigisLiberV; io£ 



jnterplures unica infignis ; eaprdculdubio prochara£tereCreationis 
haberi poflet. Quaerendum igitur , an & quot omnino formis redigan- 
tur omnium fex planetarum motus in unam communem harmomam? 
Methodus inquifitionis haee eft, ut incipiamus a Terra & Venere; quia 
hiduo faciuntconfonantiasnonpluresduabus,& (quodhujusreicau- 
fam continetj per intenfiones motuum breviffimas. 

Age igr prfcfigamus duoveluti fceleta Harmoniarum, fingnlabinis 
numerorum ( quibus termini tenfionum fignantur ) excremitacibus 
concenca, quidq-, ijs congruac ex var iecate mocuum cuiq; Planeca? con- 
cefforum, eonquiramus. PrimumfceleconhabeacincerTerram& Ve- 
nerem 3,5. &>ingravifi]macenfiGnernocumdiurnum Telluris apheli- 
'\1mj7pr.\3Jec. inacucifllma, Veneris pei ihelium 97 pr, 37/f e. caeterier- 
go ficerunc: 



CAP.VI* 



Harmom* rianecarum omiiium feu iiniver- 

fales Gtnens Duri 



1H fy oncordx 



In Tenfiond Gravif- 
firna. 
Sc^rr. fec 
e %ij. <§■- — - — . 380. io 

... ~~3E "" 2.8,-, 15 
5 !??• 



A cutif- 
fima. 
Sc Pr.Se. 



g<5/ 
cv/ 



2JZ. 48. 

190. id 195. tq.. 



VenuseS- 



■^ 



9/. S 



n- 



T «'g''?, §: 






97- 17 
58. ;*. 

55. jf. 
19. n- 



l 



IJt c conccrdzt 

InTenfionc Gravilfi- j Acuciifi- ! 
ma. I ma 



e9^'. 
c ^ij. 



Sc pr.Scc'Sc.i'1'. Ge. 

-$- 5 8o. 20. j 

V " "04. H i ju. 11 

-^i^c- '°-j l >5- J 4- 



Veaus ev- 



*~ 95 •' 



Ter.g^C_I$I **■ 3- 



dtii — — V-— 38. 1. 



0* 



* tf 



*k 






2. 1*. 

I. 47- 



g»; 



-$■ 



*• 34' 



4^ 



M: 



.*7- 57- 

5S. 34- 

y. 3- 

t*. 17. 



5* 



A— 4- 4-M 4- «• 



35- 



| | $ G — -$- 1. 47- 



s. *9 



»■ ■ — — ■ -c 

Adhancuniverfalemconcurnt^aturnus 
_ctuaphelio,Terraaphelio,Venusaphelio 
fcre;inaltiffima tenfione concurric Venus 
perihelio;in media tenfione concurritSa- 
turnusperihelio,Jupiterapheiio,Mercurius 

penhelio. I ta Saturnus diiobos motibus po- 
KftcoacuirerejMarsduobus^MercurJus^. 



Hic csteris manentibus, Saturni perihelius 
&Jovis aphehus non feiuntur; ac eorum lo- 
coconcamtMarspenheliomotu. 

Caeteri fingulismotibusconcurrunt;fo» 
lus Mars due-feus , Mercutius ciuatuoc 



Dd 



§ecun- 



De Motibus Planeta r um 

fecundiim igi" fcelecon eric, in quo incerTerrarti & ? cft alcera poffibiHs 
Harrnonia 5. 8- Ubide? apheliomocudiurno94£r. ^o/ec. parso&ava 
|i pr. 5 \fee -. fumpca quinquies , occupac de mocu Telluris 5-9^. 1 6 fec. 5c 
deperihclio$ 97/>r. J7/&. parsconfimilis, occupacde motu Telluris 
^ifiy.iy^c-CxceriigrPlanecajconcordanciequencibusmocibusdiurnis.. 

I- j . i , - . -- , - , - : -^ i* : __ « 
HarmonidcPIanecarumomnium leu umver- 
fales Generis MdHis. 



IJt f) concordet. 



*g% ■- 

d f 9/ 



InTenfione Gravif- 

fima. 
I . Sc. Pr.Sec 

t_I~ 379-™ 
___$_- »84-3i 

i § *i7. + 

_3JE %g 9- 40 



E 



:_fcA~ 



Ven» df %_^.^..„ s 
_~Z_ 



Tei. g #'/'/) 



j__$:i- 



£ : 



*S>-3« 



J U P-W \ $ 



% 



y. T — - 



Acurii- 

firaa. 

Sc I. Sec 

tj>t.s6 

Z'4#; 4 
I9/.I4 

61. x 
jo. JI J 



1-. c cwcorda. 

•^ 1 



4- 51 



InTenfioneGravif. 
■ Sc. Pr Sec 

g c y $ j y7- 4 

$d> S» | k$- ig_ .40 






i_ • 1« 



Marsg/t/ A . *$ 



J* 



_ 






*I 




Acutif- 

lima. 

Sc.pc.Scc 

'44- 4 
19. 14 
Itfi. 4} 

97>17 



JO. i» 



Jap.cj ~5«fc-~- 4J<S 



= . 



3= 



fcurfum hic ln tenfipnemediaconcurrunt Sa- 
turnusmotuperihelio,Jiipiter aphelio, Mer- 
eurius perihelio. Jn renfionc altllTiisa fcre 
eoncurrit perihelius Telluiis nsotus. 



r. sj I j Satcrn. G A ~ i . 



*• f 



*S* 



Ethiccjctritisapheliojovi* , &perihelioSa- 
turni, adrmtcitui Mersunj aphclius proxim* 
prsetcrpcriaelium. Cseterao. aent. 



Teftacur igr experiencia Aftronomica, poite cohcihgere univerla» 

ksomniiimmocuumHarmonias.eafque duorum generum , Durifc 

Mollis j &inucroquegenere,forma:feu(fiicalicec) Toniduplici9i & 

inunoquolibecquacuorcafuum, cum aliqua cenfionis lacicudine, & 

cum aliqua eciam variecace parciculariumHarmoniarum Sacurni,Mar° 

tis & Mcrcurij, eujuique cum cseccris: ncc id prseftari folis mocibus in» 

termedijs , (cd omnino excremis omnibus, praecerquam aphclio Mar- 

tis , & perihelio Jovis,- quia ciim ille obcineac/e, hic d, Venus obcincns 

incermcdium dq vel e pcrpecuo , non ferc illos fiios vicinos diflbnos iit 

harmonia univerfali , quod facerec , fina&afuiflecfpacium cxcedendi 

cx e vcl d?. Hoc impedimenci habec conjugium hoc Tclluris & Vc- 

neris, ccu maris& fceminx, quiduo planeca gencra Harmonia- 

«"urn diftinguut, in duras fciiicec & m«fcula8,mollesque & famihinas : 

proui 



Harmonicis Liber VJ atn 



jsroiitalterconjugum alteri fueritgratificacuSjTerrafciliccitvclinA- 
p hel io fiio fiierie, canquam digriicacem cuerls m ar i tal em , & oga urgens 
viro digna,Venere in periheliumfuumvelucadcolumferiiota&de- 
trusa.vel eam in ApheliUm afcendenccm blande admiferic; ipfave Tel- 
ius, fuuminPeriheliumverrus?jinqueejus velucicomplcxus defcen- 
derit, voluptaciscausa, poficisclypeopaUlHper&armiSidperibusqu© 
viro conveniencibus.-cunceriirri Harmoniamollis eft. 

Quod fi hanc oblocucricem ? filerc jiibeamus, hoceft , fi confide- 
raverimus, quscnam efle poftinc Harmoriue , nori orhnium, fed quinqi 
fakem reliquorum Plarietarum,exclufomotu?j adhucquidem TeL 



CAf.TO 



Harmoniae Pianetarum quinque, diffiraulaca 

Veriere 



Generii Duri 



la Teniiosie Gravif- Acutif- 
fimfl. fima. 

Sc.pr.iee. Sc.Pr.8e. 

d 9y. •*£ — " 5*2- iBjjjH 24. 

a *f __3E*Z~ * 8 * V I 292 ' 48, 

& _*Z i2% - fl 



Verius hic— — ; 

ob- e* -—4- 
ftrepit . . _ 



Ter.gwf; 






7- t 









97' 37 

5& J*. 
5<f. }<r. 



Gene¥ti Mollu 



JnTcnfione Gmiffl- 

rna. 

Sc.pr.8ec 

■541. 18. 

[17J. ro 

l?inusobr — — , 

ikepit.ct- +— 







2t 









31. 



f. jb. 
4- ** 



G. 



* 



-3L^. 



2. ip 
i. 47. 



a* 



b«y 0- — ^ 




Acutiffi- 

ma. 
Sc.Pr. Se. 

?/«■ 14 
i$o. /7. 

*j*. /6- 

JH175. 4*- 
^7; 37- 

58. J4- 



3J. 8. 
*^; i7. 



1 

li 



ij. 



%\ 



% 



♦• 



f. 11 



x. 8. 
i. 47- 



* jo. 



11. 

ro. 



Hic in graviffima tenfione concurrunt 
Saturnut , Terra.aphelijsjinmediaSa- 
«urnus perihclio.Jupiter aphelio; in acu- 
tjffiriw, Jupiter periheli»; 



II 



Hicnontoleratur aphcliu» Jovis, at 
in acutiffima tenfione concurrit Satwffc 
nus periheliopioximc. 



lus oberrac chorda fua^, rjfcg afcendit ab eaultrafemitohiutn : poiTunt 
jgitur cum^ corifpirare b,b,c s d } dp e: ubi Jupicer , ut vides, chordam d 
fignarismocuperihelio,admitcitur,- fupCreft igicurde Marcisaphelio 
difrlculcas. N?,m Telluris apbeIins,obcinens j?,nonferc iliuminy^. 
perihelius vero , uc fupra didlum Cap. V.ab aphelij Martij eonfenfu ab* 
fhorrec circicer dimidia Diefi. 



t>d 



Quatuoi' 



Ojg De MoTIBUS PLANETAR UM 

«•;■.-■ ' - 

cap. vir QuatuorveroPIanetarurn., SaturnijJovis,MartiSiMercurij,poi 

teft & haec eiTe Harm®nia > m qua fic eciam aphelius Marcis, fed eft fine 
fionislatitudirieV 



IJt l) comord.es 


*_^ # cuncordet. y , 


Sc.Pr.Sec, 


kj _. ,.,,, . ,. 


"/■ $ "' 3" • >°' 
9 *?• -Z§ ^* - • y ' f- 

8.,. 

* fe .. -&A- — ■ J °^ <3 
d9j ____.$. i6 7 . f S - 


$ # ~ *~ 

* ff _. _sg_A.__, 

d% .____.$. 


__ ; ' 

k ">- zz$t$z *« *. 




■ 




.: 


o* V 

** :_pz;' 




' .". .r-i 












^dj. — $ — f. m 




2f d > zz$zz 


\ & / 4- ■ " ,. _; 


. - • ' t 


• 




% a ___£__ 



Nihilig.turaliitdfunsmotus ccelorum. quam perenriis quidara 
conccntus(rati 9 naIi3 noh vocalis ) pcrdiirona_testenfiones>eluti 
quaidarnSyncopationesyielCadentias(quibushominesimitanturiftas 
d onantiasnaturales; tendens incertas&pra.fcriptasclaufulas, _n- 

t! 'T 0rU ! (vcIuci Voctim ) ^q» 6 Notis immehfitatem 

Tempo ismfignien S &diftingu e „ S ;utmirum amplius non fit , tan- 

dem inventam efle ab Homine . Creatoris fui Simi! ,rationem canen- 

oi per .concentum , ignocam veteribus . uc fcilicer totius Temporis 

mundaniperpecuicacem in brevialiquaHorsparce. perarcificiofara 

plurium vocumfymphoniamluderet, DeiqueOpificiscompIa- 

eentiam in openbus fuis _ fuaviffimo feafu voluptatis, ex 

hac Dei lmicacrice Mufica percepca?, quadariis 

cenusdeguftare^ 



" 



■ . 



E 



Ha&MONICIsLiB. V. 215 

CAP VT VIII. 

Quisinconcordantijs coeieftibti^ 

Difcanci , quis Alci , quis Tenoris , quis 

Baflivicemobeac? 

cfih^cfiincvocabulavocumhumariarum s neciri 

ccdo voces auc foni cxiftunc, ob fummam mocuum cranquillica- 
tem"; acne fubjeda quidem , in quibus Harmonias deprehendimus , 
iub mocus vengenere comprehenduntur ; quippe cum folum appa- 
rentesexSolemocusconfideremusietfidcnique caufanullatahseftin 
coelo } quse voces cerco numero advocec ad faciendam Harmoniam, 
qualis eft in cancu humano;prius quippe erac nunierus Planecarum fex, 
Solemcircurneuncium, exnumero quinqueincervallorum, afiguris 
Regularibiis defumpcorum ; poftea demum (ordine Naturae non tem- 
pons) democuumcongruenciaitacuendum fuic • nefcio camen quo 
pacto m i hi vim faciat h«£c admirabilis congruentia cufn humano can ttii 
ut hartc quoque parcem comparacionis , eciam iine fohda caufanacura- 
li , pf ofequi cogar. Quas eilirn libro cercio , Capice X VI. proprietatcs 
Baflb tribuit ufus , vindicacque natura : eafdem quodammodo Satiir- 
nus & Jupiter obcinenc in ccelo •; quas Tenori > nos in Marce inveni- 
mus;quas Alto,eaeinfuncin Tellure & Venere ■; quasDifcanto , eaf- 
dem habet Mercurius,finon aequalicace intervallorum,atcercepro- 
porcione. Uccunque enim proprijs ex caufis capite fequenci deducan- 
tur cujufque Planeca? Eccencricicaces,&: per eas, prppria cujufque mo- 
tuum incervalla: lllud tamen inde refulcat admirabile, necfcio an non 
juxcaprocuracum, nec mere neceflitatum temperamentumi quod 
I. ut Alto Bafliis opponitu r; fic duo Planecae funt , qui Alti naturam ha- 
bent, dubquiBafii, velutinquohbetGenerecantus ucrinqueunus: 
czecerarum fingularum Vocum finguli; quddque IL uc Altuspene fu- 
prcmus, in anguftijseft, neceflarijs & nacuralibus decaufis,lib.III. ex- 
plicacis: ficpene intimiPlanetaj,Terra&: Venus,anguftiflimamotuurn 
habenc intervalla, Tellusnonmultdplusfemitonio, VenusneDielin 
quidem; Ill.ctut Tenor liber eft, modefte tamen incedit; fic Mars, uno 
Mercurioexcepto , maximumintervallum/icilicetDiapente , facerc 
poceft.TV. ctutBafliis Harmonicos falcusfacic; ficSacurnus & Jupicer 
intervallaobtinent Harmonica, ipfiqueinterfeaDiapafon ufque ad 
Diapente epi Diapafbn veniunc: V.& uc Difcancus liberrimus eft , pius 
quam omnesreliqui , idemque &celerrimus ; fic eciam Mercurius 
plufquamDiapafon, breviflirno redicu perambulare po- 
teft. Sedfichocfaneperaccidens:audiamus 
nunc Eccencricicatum caufas» 

(O 

..,.; < CAP; 



£14 De MoTIBUS PlANETARUM 

CAPVT IX. 

Ortus Eccentricitatum iii Plane- 

%is fingulis ex procuratione Harmoniarum 
intereorum mottas; 

f~» Vm igitur videamus , Harmoniasuniverfalesonv 

^ - * niumfex Planecarum nontemere pofieevenire, prsfertim pef 
excrerriicacesrhocuum, quasvidimusomnes concurrere aduniverfa» 
les Harmonias , excepeisduabus , quae ad proximas univeriahbus con- 
currebanc : cum mulco mirtus temere poftic accidere , uc omrtia loca 
fyftemacis Oclavar,conftttucalibrotertio per fec~tioncsHarmonicas,fig- 
nencur extrcmitatibus motuum Planecariorum ; omnium vero mini- 
me, ucfubcilifllmumhegociumdiftin&ionisHafmoniarum cceleftiunt 
in duo genera > durum & mollfe, cafU prOveriiac , fihc cura fingulari O- 
pificis:fequitur lgitur ut Creator,fapieritiae omnis fons, approbator Or- 
dinis perpetuus, fcaturigo Geornetriaj & Harriionices sterria&fu- 
pereflenciahs, uthic inqUam cceleftium Opifexipfiflimus,Harmoni- 
cas proporciones , ortas ex figuris planis reguiaribUs, acijunxeric ad 
folidas quinque figurasregulares , exque utraque claflc , Uhum per- 
fectiflimum ArchecypumccelorurricOriformavcrie^ inqriO, ficuc per 
folidas quinque figUras , Ideae relilcerenc orbium, quibUs fex ftellas ve- 
huncur : fic etiam per plaharum figurarum fbboles , Harmoriias ( libro 
tercio ex ijs dedu£tas),Eccencricitacum ih fingtilis orbibus mehiura^ad 
mocuscorporurhproporciohandos, concirterencur : exquc his duabus 
rebus concemperacio una fier et , & majoros Orbium proportiohes,mi= 
noribus Eccencricicacum, ad HarmoniasprOcurandas neceflariarum* 
nonnihil cohcederenc; & viciilim, ex proporcionibus Harmoriicis, iJ- 
lacpociffimum Planccis accommodarehcUr , quse cum folida quaque fi> 
gura cognacidriem majorem haberenc ; qua id per Harmohias fieri po- 
tuic: eaque candem racione 8cproportionesOrbiUm, &finguIoruni 
£cce»tricicates, ex Archecypo fimulenafcerencuf , ex Orbium vero* 
amplitudine & mole corporum , pgriodiea Tempora fingulorura 
relultarcnc 

Quam mechodurn,dum per uficacam Geomecris ftcecheiofih in lu~ 
cem Incelle£tus humani proferrc nicor: faveac Auchor ipie Ccelorum, 
PacerIncelle£tuum,Largicof fehfuUmmorcalium 9 ipfe immorcalis & 
fuperbenedi&Us } impediacque , ne quid indignum ipfius Majeftace , 
de hoc opere fuo , noftrae mencis tenebra; pfoferaht;efriciacque,ut 
perfe£cioneni ipfius operum , fan&itace vitae, ad qiiam Ecclefiam fuara 
incerris elegic , &fahguine filij lui & peccacis mundavic , ope Spiri- 
tus fui fancli , nos Dei imicacores ajmulemur ; procul babences omncs 
diiTonanciasinimicitiarumi ©mnesconcenciones,aemulatiOnes> iras* 
rixas , diflenfiones, fe&as ; invidiam , proVocaciones, irncaciohes pc# 
di&eria, cseccraquc carnisopera;quodmecumomnes,quifpiriturrB 

Chrifti 



HarmonicisLib.V. i« 

Chriftihabent,nortoptaburtccantuni , fed&fattiscxprimere » voda- 
tioncmquefuamcercamfaccreftudebunc , iprecis omnibus omniurd 

ftarcium pravis moribus , obcencuZeli, auc amoris vcricacis , auc fingu» 
aris erudicionis , modeftiacve erga coacenciofos pr aeceptores , ' aliovc 
quocunquc (peciofo prastexcu veiatis & fucacis. Facer fandlc , 
fcrvanos in confonanciadile&ionrsmucuae, ucfimusunum , ficuc8e 
tu cum filio cuo, Domino noftro, & Spiricu fantto unum es,& ficuc om» 
nia opera tua, per fuaviflima cortfonanciarum vincula , unum fecifti:& 
uc ex redu£ta gencis cuae concordia , (ic scdificecur corpus Ecclefiae tuae 
inhis terris > ficuci cu ex Harmonijs ccelum ipfum extriixifti* 

T&ationes priores* 

I. Axioma 

COnfentaneum eft,ubicunque omnino fieri potuit> 
Harmonias inter Excrema mocuum cam fingulorum quam bino» 
rumPlanecarum confticui debuifle t jomnivarias > ucvariecasiftamun- 
dum exornarec. j 

IL Axioma 

' Interualla quinque , Orbium fex, oportuitmagni* 

tudtne quadamcenus rerpondere proporcioni orbium geomecrico- 
rum , qtfi figuris quinque regularibus folidis inicripci funt & circum- 
fcripti : idque ordine eodem , quifiguris ipfis nacuralis eft. 

De hoc vide Cap. J. gf Mjfierium Cofmographicum ,& 'Epitomet Afiron, 
Lib. IV. 



111. Propofitio, 



InterTellurem &Martcm , eartdemquc &Vcnc« 

tem incervalla, debuerunc cfle proporciorte ad orbes fuosrnirtima, ea- 
q-.proximesequalia; mediocria &rurfiimfereajqualiainterSaturnura 
& Jovem , incerque Vencrem & Mercurium,raaximum incer Jovero 
& Marcem. 

7^amperII t quxfigurocminimamfkcmnt ortium gcometricorumpropor- 
tionem , ijfdem Flanetx rejpondentes infitu , debent itidem mtnimamfiicefcj> * 
mediocrem vcrb ij, quifiguris mediocrisproportionis refj/ondenfi, tf maximamij, 
quifigur& maxim&proportionis. Sedquo ordine efiinterfiguras Dodecaedrott 
1$ Icojaedrom eodem efi inter planetarum higas,una tMartis $ TeUuris, altera 
TcUuris&Vtncm : g? quo ordine Cubus i$ QEtaedron i todemhiga %H & 
tiga ?$ i quodeniqueordine Tetraedron , todem ef biga Iovis {§ Martisi 
vide Cap. III. Ergb minima erit inter orbes Flantiariosprtmb dittoj proportio i 
inter verb Saturni Jovisque } fere aqualUci,'qu* inter Vtmu Mercurijquei 
dzniquemaxiaa inter Iovis & Martis orbet* IV, Ax± 



CAP.IX. 



2i& DyMoTiBus Planetarum 

IV. Axioma 






p lanet^omnesdebenthaberefiiasEccentricitates, 

-■■ non minCis quam lacicudinismocum, & fecundum eas , eciam 
diftariciasa Sole,fontemocus,diverfas. 

Sicut effientia motus confiflit non in ESSE , fidin FIERI, fic etiam fbe- 
cies fiufiguraregionis , quam Planetn quihbetmotupermeat. , nonFlTfhtim 
ab initiofbhda^,fedfuccefiutemporisacquirit demum fiiam non longitudinem 
tariturii , fed etiam Iztitudinem £f proptnditetenLj, , perfbcio dimenfionum ter~- 
nario;fitquefic paulatim connexione £f accumuUtione plurimarum circulatio- 
num,ut repr&fentetur fjtecies crbis concavi, idem (um So/e centrum hahentis; jl- 
cut ex filifinci plurimis inter fie connexis z$ conglomeratis circulisfiruiiur 
adiculaBombyci, 



V. Propofitio* 



f Viqj biga? vicinorum Planetarum fuerunt attri- 

^* buenda;duaeHarmonkediverfce. 

ISfjm per IV quilibet planeta habet difhxntiam d Sole longiffimam, £*f bre- 
'vifjimam iquare per C ap. III, hujus ; habebit $ motum tardiffimum £$ celer- 
rimums. Dux ergb funt primarix comparationes extremorum motuum, una. 
Divergentiuminduobusplanetis , aitera OmvergentiunLs. Diverfx autem 
iriterft_j> , 'Utfint , necefie efl ; quia major erit proportio divergentiurrLs , minor 
Convergentiumu>. Sed gf per diverfits Flanetnram bigas , oportuit efie Harmo- 
niasdiverfds ; njt h<ec varietas ad exornationem Mundiproficeret , per Axi /., 
etiamque ideb,quia intervallorum inter binos , funt proportiones diverft,per III, 
At cuique proportioni orbium, ccrt& refpondent proportiones Harmonic*, cogna~ 
tione quantitetiva, irthujus libri Cap. V t demonflraturru. 



Vl. Propofitio, 



. o armoniae duas minimse 4. ^. Sc ?. 6» loeum non ha^ 

■* t bericincerplanecasbinos. 

Efienim f. ad^.iJt looo. ad$oo,$ 6. ad f. ist iooo ad 233 "+ • -At or- 
bes circumfcripti Dodecaedro £=f Icofaedro, majorem habent proportionem adin- 
fcriptos ,fci/icet eam quam ioooad 70 f ffc: £jf h& dux proportionet indicant 
interva Ua inter Orbes Planetarios proximos ixterfe, feujpacia minimaj : in cx* 
teris enim figuris re^ularibus orbes diftant longius dfeinvicems. lam uerfr 
proportio motuum adhucmajor efi,proportionibus intervallorum , nifiingensfib 
proportio Eccentricitotum ad Orbes , per Capitis III Numerum 13. Efgoprdf 
portio motuum minima, majsr eft qudmfunt 4-f$f.d. Igitur hdt Iiarmoni& 
flfiguris qttidem regularibus impediu ? locum interplanetes nultumfirtiuntur.- 



VII. Pro- 



HarmonicisLiberV! 21? 

1 ~* 

Vll Propofitio. 

tj Arrnoma Diateisaroii mter convergentes motuj 

-* ■* binorum Planecarum locum nullum habere poceft , n-ifi fincillis 
propriae excremorum proporciones jundfcepJus quam Diapence. 

Sit enim $,4.inter convergenles ,tj)fit primb nulla Eccentricitas ,mtlla P/a- 
ttetisfingulispropria motuum proportio, (ed ijdemmotus gjf convergentes tfMe- 
iiij : tunc fiquit ur ,iJt intervalla refpondentin, qu<eper hanc (uppofitionem erunt 
Orbium fimidiametri , conflituant hujus gportionis befiem, (ci/ic&t 44.S0.f424. 
per cap. III. Jtqui h<ec proportiojam Iflmincr quam cujuscun^figurx Regula- 
ritorbium proportio: lta/^Orbis interior totusficaretur a p/anis regu/arisfigu- 
f& cuicun^ Orbi exteriori inficriptA. Hoc verb efl contra Jxioma II. 

Sit fecundb aliquafumma propriarum proportionum inter mof extremos z 
ftffit converoentium motuumproportio $, 4. veljf. loo.interval/orum verb re- 
fifondentiumfit proportio 1000. 79 f. cum nullafigura regularis facia-t mino- 
rem,orbium proportioriem. Et quiafuperat ilia motuum everfia hanc intervaUo- 
tumexcefiuyfo. 7<)f.aufiraturigr hic excefius etiam a proporticne \ooo. ?cf. 
fecundum doHrinam Cap. III, refkitg434. 7pjo.dimidium prcpoytionis crbiurn. 
Ergb duvlum huj-tsfi. Syoi. 6320. idefl:ioooo. 7100. eflproportio crbittm. Huic 
ttftfir proportionem intervallorum convergentium )ooo.79f . refkibit 7100. 79 f. 
circiter To n* major. Tafipb debet efie ad minimumfitmma binarum proportionum t 
tfuas medii habent ad convergentes utrincu,ijt inter motus convcrgentes pcffit 
t(?eDiatefiaron.Divergentiaigrextremaintervalla,adconveroentia extrema, 
jitmm&mproportibnumfhciunt,huius circiter dup/am,id efiduos Tonos , & rnct 9 
ccnvergentesrur(itmdup/umh:tjus,ide(l , quatuor Tonos ; qucd efl p/us quant 
Diapsnte. Si igr duorum vicinorum planeinrum fumrnapropriorum e(l minor s 
<guam Diapente: inter eorum convergentes non poterit efie Diaiefiarons. 

VIII. Propofitio. 

C Aturno §£ Iovi debebantur Harmonia? 1. 1. Sc i. $. 

*-* id eft Diapafon & Diapence epi Diapafon. 

j\am ipfifunt primiii fitpremiex Planetis,^ nacii fitnt figuram primam 
'*Cubum,g cap. I.huf: Z$ hx Harmonia (unt primx ordine natura^ (unt capittt 
frimarum (hmi/iarum foura/ium , Ttifeiiloritefieu Tetragonicm , tf Trigonic<e t 
fer diih lib. /, Quod verb caput efl, Diapa(on i.z,eflproxime major prrpcr- 
tione orbium Cubi Semitripla\quare apta efl trtfiat mincrproportio mctuum p/a- 
tiefzrum cubicorum.per cap.III. Num. \$;tf) percon(equens, 1.3. (ervit proma- 
jcriproportione. Hocverb idemetiamfic. Si enim aliqua Harmoniafe habet ad 
proportionem aliquam orbium figuralium , (icutfe hahet proportio motuum e# 
Sote apparentium adproportionem intervallorum mediocrium,meritb ■folishfar- 
tnonia tribuetur motibus. At naturale efi, vt proportio motuum divergentium, 
Jitmultb major, proportionis Orbium fefquialtera, per finem cap. III. hoceft,apt 
propinquat dupltx. proportioni proportionis Orbium; & 1. 3. efl etiam d/tp/a pro- 
portionis orbium cubicorumiquippe quam dicimitseffe SemitriplamfErgo Tripltt 
debetur divergentibus Saturni & lovu. Plurimas alias cognationes harum 
froportunum cum Cuho videfugra C^P- H» 

Is IX.Pro- 



218 De MoTlBUS Planetarum 

capjx IX. Propofitio. 

£ Aturni 8c Io vis Motuum extremorum proprias 

^ proporcionesjundl:a:debueruncfieri z.%. Diapcnce circicer, 

Idcx antecedenti Jequitur ,{t n.Iovis pibelius motusejltriplus aphe/ij Satur- 
rti, gf vicijjim lovis apheli 9 dupf 9 perihe/if '%, quare ablata i.2.alu.j;rejklt 2 t j. 

X. Axioma. 

t* um libera est eleclio per castera, Planctae fuperiori 

^* debecur propor cio mocuum propria, qus natura prior > aut quse 
generis pratftantioris , aut etiam qua? major eft. 

XL Propofitio. 

p Roportio aphelij motus Saturni ad periheliunl 

•■- debuit fieri 4. 5. Tertia major , Jovialium vero 5,6.1 ercia nainor. 

'ISfam quiajunttim pojjident 2. 3, hoc verb harmonice aiter non dividitur , 
quam in 4.^.$ <$.&:HarmoJies igr Deus Harmoniam z.$.divijit harmonice,per 
Jx.I.effy partem Hirmomcam ma)orem, $ generis DuripraJhntioris,qu:ppt 
majculi, majori i$ a/tiori llanetx i) dedit , minorem f . 6. inpriori Iovi, per X. 

XV. propofitio. 






•y Eneri Sc Mercurio debebatur Major Harmonil 

* /. 4. Dildiapafoni 

'I\famjicut Cub 9 e'fi figuraprima primariarum.fic OEhedron efiprima Se- 

cundariarum ,per cap. I. huf libri. Etjicut Cub 9 geometrice confiderat 9 ,eji exte- 

rior, OEhedron interius,illifc. hoc injcriptile;jicetiam in Mundo ^quidem £J? 2f. 

Junt fugiorum gf exteriorum¥/anetaruprincipiu,Jive ab extra; £ verb^ %funt 

principiu interiorumjive, ab intra: £$ interlocatum eji inter illoru curricula 0- 

Ebiedron; vide cap . III.Debetur igr ? (f $ etiamex Harmonijj aliquaprimaria. 

£5 cognatn QEfaedro.Porrb ex Harmonijs poji 1 .2.£$ 1.3 Jequitur ordine natur-a* 

lii.a.ij) eji illa cegnatn cubicx. i.2.quia ex eadem figuraru jeciajc. Tetragonica 

Vo™Dii- f ^ orti,illiq ( commenfurabilis efi,fc illi 9 dup/a; Ochedron verb etiam iji Cubo co- 

jp\A,T[ifh, gnatum $$ commenjurabile. Efi & cognatzt 1 . 4.Q[faedro,privato nomine.fppter 

ScniRiipla numerum in illa auidew quaternarium ,fi£ur a verb in Ottaedro latentem Qua- 

&c. lnter- , , ■ 1 ■ • j- ■ ° r, ■ • i ,/ r- • ■ "~~ > n 

dum iare drangulam ,cujus orbiumproportio axitur iemtdupla. hjUs igr propurticms ejt 
nomenjp- Harmonia i.^.continue mu/tiplex ,in prcportio/ie dupla,ejijcil k Semidup/aqua- 
ItnouUs.ab drup/a,v ; de cap.II. Ergb i.^.debebatur %Z$ "§..Etquta).2.inCubop.U<zeJimi- 
folute con-ncr Harmonia binorum: cum illijitus obtigerit extim': erit inCiTaedfohtec i*4 t 
*deratis u t^, m ma j Gr H arm onia binorii; "Vt cuijif obtigit intim 9 , Sed Z$ h<xc cauja ejl,cur 
Quantuas.-' '- 4 ♦ hic pro majori datz Jit ,non pro minori. Cumenimproportiocrbium QUsedri 
inteidum jfr Semitriplaipofito qucdperfbciajit infcriptio Oihedriinter planetas , (quaH- 
n-cre pro-"f^*^ non perfith eji Jedpenetrat aliquatenus^. , qtiod predejl nobis ): propcr- 
portioncm tione ' igitur ccnverfentium cpcrtet ili.as Semitrifl* fejquialteraefe mrncrem i 
lumfnterfe*^^ ^ J -3 ejl plane dupla Semitrip/tt, & ' ficmajorjujiaiquantb majorerit 
bmarum jujio i. 4.quippe majcr quam t3.Ergo ne dimidium quidem de i.^.tcleratur in* 
Pioponio- tercmvergentes. 'Alonpetejligituri. 4.efeminorQQaedrktt:eritigiturMa^ 

jor.Jm* 



imai. 



Harmonicis Liber V. 219 

jor. Amp/ius t.4.ficefi cognatx Otfaednco quadrangulo, cujus orhium propor- 
tio eji Semid.upU : ficut i. 3. efi cignatnCubo ,vt cujus orbium proportioefi Sc- CAPI ^i 
rnitripla-s> t Sicut enim ys.efl multiplex SemitripU , ejusficilka dupla^i fic 
etiam hic 1. 4. efi multiplex SemidupU, ejusfiilicct bif dupla,hocefi quadrupU. 
Quareji 1. s.debuitfieri major Harmonia Cubuper Vlbjlebet igitur etiam /.*, 

Jfien major Harmonia Ociaedrifui. 



1 



XIII. Propofitio. 

ovis 6c Maitis extremis motibus debebantur Har-» 



monias, Major quidem j. %. Trifdiapafoncircicer , Minorverd 
j. Z4. Tercia minor fnpra Difdiapafon. 

fjjimquia Cubus (ortitus efi 1 \2.Z$ 1.3. proportioverb orbium Tetraedri, 
quodeji fituminternd' ^nomina^t Trip/a, eji dupla proportionis orbium Cu- 
t>i, nominatx SemitripU: ergc convenkns erat., vt etiam Tetraedro accommo- 
dtfentur proportiones motuum,dupl<e proportionum cubkarum. Sunt autem ip- 
Jarum quidem ). 2.&1. }.dupU,Proportiones h<e,j,4. Z$ j.^.^At /.9. nonejl 
Harmonica, i§ 1. 4.jam ejiabjumptitin OBaedrons. Vicinx igitur Harmonix 
hk proportionibttf (uerunt fumendx,per Ax, I,Sunt verbprimum ipfi 1.9. vki- 
n<s, minor i,8>i$ majcr 1.10. Inter hasde/eciumjhcit cognatio cum Tctraedro , 
cuinihi/ eji commune cum Pentagono, cum 1. lo.fit Jetix pentn^onicx: major 
verb Tetraedro cogndtio e(l cum \.g. multis nommibus , qu<t requireex Cap.II» 
Amplius pro 1. g.fhcit (j 1 hoc,qubd[quemadmodumi. }.ejl majorCubi t &' J.4» 
majorOt%iedri , quiafunt proportionum inter orbesfigura/es , mu/t.p/ices i fic 
etiam j f g fieri debuit major Tetraedri i quiavthujus ccrpus ejiinfcr/pti (ibi 
OtTiiedri dup/um ,vt difiumC^p. I: fic etiam proportionis hujus Tetraedricx. 
terminus S . eflOffaedricee proportionis termini 4.duplus. Amp/iusficut 1. 2, 
minor Cubi,e(l unu Diapafbn;& '1.4 major Oihedri,efi duo Diapafomfic iam 1. g. 
major Tetraedri debuitfieri tria Diapafon.Piura autemDiapafon debebatur huic 
qukm illis,quia cum Harmonia minor Tetraedrica necefiaribjit omnium minort* 
in Cceterisfiguris, maxima (quippe $ orbium Tetraedricorumjpportio eji omniti 
figuraliu maxima):Harmoia ctiam majorTetraedrica debuit majores c&terarib 
JuVare numero ipfaru Diapa/on.Habzt denid ternari 9 intervalloru Diapajbn fh- 
miliaritntem cum Trigonicafpecie Tetraedri , habetperfiBione ' quadam , fc<tn» 
illud,Qmne trinum^ficium; cum etiam Oiionarius,ef terminus ,fit primus Cu- 
bicorum numerorum quantitatis perficla, triumfi. dimenfionunLs. 
fe II. Ipfii. 4.fiu6.24,v'icin& funtHarmoni&,major quidem f.24.minorverb 
6.20. Jeu$, 10. Rurfum autemj.io. efificJa: Pentzgonica,cui cum Tetraedro ni- 
hi/ commune efl. At s.2 4$pter numeros $.4.{quoru fobo/esjunt numeri y.24) 
fhmi/iaritatem habetcum Tetraedro» Nam a/teros terminos mincres ,fic f. £? J* 
hknepJ/igim 9 :quiaeorum ievifjfim 9 cognationis grad 9 efi cumfiguris ,vtvidere 
eji cap. II. Prxterea orbium Tel raedrigportio Trip/a eft:tantc% verb debet efie & 
convergentimn intervallorumproportio circiter: per Ax. II. Atquiper cap III, 
proportio motuum convergetium appropinquat everfxfijquialterx interva/lorii 
jefquia/tera verb TripU, efl inter^ooo. Z$ 19J circiter. ghta/ium igitur aphe/P, 
^i mot 9 efi iooo,criiii majorquam lojpaulb, minorquam $3$. tertia illi 9 parf» 
mu/tb: TsfonigiturHarmoniaio, }%hoceJi woo.jjj/fed Harmonia 24. yhoceji 
1009. 20 f, locum habetinter convergentesffovis ifl Martis, 

Ee* XIV. Pro. 



^p Df MoTlBUS PlANETARUM 

cap.ix. XlV. Propofitio, 






u OtuumMartis cxtremorum propria proportio de- 

"^*- buic fieri major quam Diaceflaron 5. 4. 6c circicer jg. 25» 

Sintenim prxcifxfamHarmoniit f.24.^ 1.8.^^3,24. Iovitf Marti 
communiter attributtt , Prop. XIII, Auffer minorew j . 24.it majore $.24* 
refkit 3 . / . fumma propriarum utriusque. At lovis fblius propria,fupra quidem 
pr. XI. inventi%efl f.d. Hanc igitur aufbr afumma propriarum 3 . /. Hoceji , 
aufer 2f.30.ab iS- 30. reffat Martis propria 1$ . 2 r ,qut efi major quam 18. 24 
feu 3. 4.Fietautemadhucmafor,Jiperfequentesrationes, communis major 1 '. S ', 
augeatur. 



XV. Propofitio. 



1 Nterconvergentesmotus,Martis & Telliiris,Tel- 

\ luris & Veneris , Vencris & Mercurij, difpercienda; fuerunc Har- 
moniae.2. 3. Diapence, 5.$. Sexcamollis, 3,5.Sexcadura; eaequehoc 
ipfo ordine. 

TSfam Dodecaedron tf Icofaedron , figurx inter Marttmffitlurem, £? Ve- 
nerem interlocatx ,minimam habent proportionem nter fuos orbes , circumfcri- 
ptum if infcrtptum: erge illis ex poffibilibus Harmonijs minimx debentur ,quip- 
pecognatx propter hoc,&zrt Ax. II. locum habeat,. Atqui Harmonix om- 
nium minimx,fc.^.6.^ 4. 5% nonfuntpoffibiles,ptr VI.Ergb debentur fguris di~ 
Bis, Harmonixproxime majores hifce ffcilicet vel f.4jvel2. 3. veff.f.ve/}. f. 
^Rjirfumfgura inter Venerem £§ Mercurium interlocskt ,fciticet Oche- 
dron,proportionem habet eandem fuorumorbtum,quamCubus:at cubopro minori 
Harmonia , qux efl inter motrn convcrgentes , obvenit Diapafon ,per VII. ergo 
deberetur per analogiam etiam Olhedro tanU,fc. 1. 2 t prominori,fi nihit diver- 
fitatis accederet. Accedit autem hoc diverjitutis , qubd Cubicorum quidem pla- 
netnrum , Saturnifc. £*f lovisjingulorumproptixmotuumproportionesfunblx, 
efficiebant fitmmam non majorem , quam 2,3, hic verb Othedricorum Planetn- 
rum,Veneris $ Mercurij,iingulorumproprixfunBxfhcientJummam majorem 
quam2.;. quod fkcilejic apparet. Efloenim, quodtequireret analogia inter 
Cubum £? Ot~hedron,(ifola effetijtt inquam Minor Ofhedrica, major quamfunt 
hicprxjcriptx , adebquejit plane tanto , quantafuit cubicas ,Jciltcet I . 2: erat, 
•verb Major /. 4 .per. XII. Abtata igitur hinc, quam modo pofuimus , Minore 
j. z , manes adhuc 1. 2. profumma propriarum Veneris £jf Mcrcurlj ; atqui 1.2. 
flusejl qudmjumma 2.3. propriarum Saturni £5? Iovis. Etverb maforer» 
fummam hanc, mafor Jequitur eccentricitzis,per Cap. III. majorem verb Eccen- 
tricitntemjequitur minor proportiomotuum convergentium,per idem Cap. III. 
Quarejit accejjione majoris Eccentricitatis ad analogiam inter Cubum Offlz* 
edron,vt minor etiam requiratur convergentium Vemris gf Mercurijproportio, 
ejuam 1.2. Id etiam conveniens. erat Axiomati I. vt Harmonia Diapafo» ab- 
/umpta in Cubicos , conciliaretur OBnedricis alia proxima , f$ ' per priorem de- 
tmnflrationem ,minor ouami. z. Eflautemhac proximeminoi "3.%. qu<tvt 

& • . 



HarmonicisLib.V. aai 

c 
wajor ex tribus , delebaturfigurx majoru orbiumfluorumproportionis, OtTaedr» 

fiilicet: Minores igitur f.8>& 2.3. vel;. 4. relinquebantur lcofied.ro £f De- 

decaedro ,flgurisproportionis Orbiumfuorum minoris • 

H<e wr0 re(idu<z, inter duas refiduasfic flunt diflributtt. Sicut enim exfi- 
guris,licef <equaliuminterJitosorbes proportionum , (Jubm quidem fortitus efi 
Harmoniam 1. 2 t OcTaedronverb 3. f. minorem . eb qubd Jumma propriarum* 
Veneris $ Mercurij fuperarat flummam propriarum Saturnitf lovis:flicetiam 
hic Dodecaedro , quamvis id eandemjhciat* orbiumjuorum proportionem,quam 
Icofledro,debebatur minorquam Icofiedro,proxima tnme fipter fimilem cauflam» 
fi. quia hxcflgura efl inter Tellurem $ Martem , cuf injuperiorib 9 magnafhUn 
erat Eccentrkitas ; Veneris verb gf 'Telluris , i/t infequentibus audiemm, Mi- 
nimtefuntEccentricitztes. AccumOtTzedronhabeat ;. /. lcofiedron, cujus 
orbiumproportio minor ,Jitccedentem ,paulb minorem iUa,fc. f.S: rclinqueba- 
tur igitur Dodecaedro vel2. _?. refidua, vel $< 41 potiits verb illa, quippe propior 
Icojaedricx f.S. quia & Jlgur&fimiles funt, 

At nepoffibilis quidem ftit 3. 4. Etficnimflktis magna erat injitperioribus 
propria proportio motuum extremorum Martis: At Ttilus , vrtjam diBum, g? 
in jequentibtts patebit , conferebat propriam minorem , quam irtjumma utriujifc 
Juperara Diapentej). f^onpoterat igiturlocumhahere 3. ^.perVlI. Id eb 
amplius, quiavt flquetur prop. XLVlI.major efic debuit intervallorum con- 
ver^entiumproportiojquiimiooo^ppi, 

XVI. Propofitio. 

VEncris Sc Mercurij motuum proportioncs , cujuf- 
quepropriaj, junc~taedebueruntefEcere5. i2.circicer. 

Auprenim minorem harmonicam 3. 5. huic bigxcommunitertributnm 
Frop, XV. abillorummajoril. 4>vel 3. 12. per. XII. rejkit 5. i2.flumma 
propriarum utrius^. Itzque Mercurij Jolius propria motuum extremorum pr*- 
portio , minorefl quam 5. 12. quantiute propri<z Veneris. Intelligehoc de his 
primis rationibus, Tsfam inpaperjccundas rationes, accedente communibus u- 
•triustfc Harmontjsaliquofermento, eJficietHf/utJblapropria Mercurij perfecli 
ebtineacj. 12. 

XVII. Propofitio. 

HArmoniaMotuum, Martis & Telluris, divergen- 
tium, nonpotuitefleminorquam^. t-2. 

T^amjolus Marsnacimfitit inpropriajitorummotuumproportioneplus 
quam Diatefflaron iiff plus quam iS. 2j.J> XlV.Minorverb Harmonia iUorum 
efi Diapente 2, z.per XV.junb~t<t igitur h&duxpartes ,faciunt 12.2^. At de- 
betur & leUurijuapropriaproportio y per Axioma IIH. Ergb , cum Diver- 
gentium Harmonia ex diclis tribus confiet, elementis ; erit iila major qudm 
iz.2<) t SedHarmoniaproximemajor quam 12,2 5, hocefi^o./i^, eftf.iz>fiiii' 
tet 60. 144. ^uareji Harmonia ofusefiprohacmajori duorumP/anetzirum 

E t fropor- 



%l% D^MoTtBUS PjLANETA&UM 

" proportione tmtuum,per Axiomat. 1, illa nonpoterit ejfe minor , quam 60. 14 4. 
vels-12. 

Hactenus igicur omnibusreliquisPlanecarumbigisobvcnerunc 
fusbinae Harmoniaj, racionibusneceflarijs > folabiga Telluris & Ve- 
ncris adhucdum unam fblam Harmoniam $. 8. per Axiomaca huc ufq; 
ufurpaca , forcicafuic. Reliquam igicur cjus Harraoniam , Majorem 
fc,,feu mocuum Divergencium,jam porro,novo inicio fac"co,gquirem'. 

Pojieriores Rationet. 

XVIII. Axioma* 

HArmonia: motuum univerfales , contcmperatio- 
nemocuum&x , confticuendarfuerunc , praecipuepcrexcremos 
mocus. Probaturper Axioma I. 

XIX. Axioma. 

HArmonise univerfales per aliquam motuum lati- 
cudinem easdcm qoncingere debuerunc > fcilicec uc canco crebrius 
acciderenc. 

'Alamjtadindividuapuntfa motuum fuij?ent determinatA ifieripotuijfet, 
pt nunc^uamcontingerent , aut certe rarijjime ;. 

XX. Axioma. 

t eft naturalisfima diftin&io Gcncrum Harmonia- 

rum, in Durum & Molle , uc libro Ill.probacum; fic ucriufquegc- 
neris Harmonia; univcrfalcs procuranda: fuerunc inccr Planccarum 
cxcremos mocus. 

XXI. Axioma. 

HArmoniarum utriusque Gencris , diverfae (pecics 
infticuendas fuerunc, uc pulchricudo Mundi cx omnibus poflibili- 
bus variecacis membris concinnarecur; idquc per excremos moeus, fal- 
sera aliquos. Per Axiom.J. 



KKll Propofitio. 



p Xtremi Planctarum motus fignare dcbueruntloca 

*^ feu clwrdas fyftemacis Diapafon , vel claves fcal* Mufic^ 

Tljm 



HarmonicisLib. V: 225 

fsfam ortus $ comparatio Harmoniarum incepu.ru ah uno communi ter- — 

wino genuit (calam Mujicam,feu divifionemDiapafon infua loca ve/fonos, vt li- 
ho Til.probatum. Cum igitur requirantur Harmonicz intermotuumextremtt 
vari<z,per Ax, 1. cff XX, £J? XXI: quare requiritur Jyjlematis alicujus , ctele- 
JlisfeuJcaU Harmonkcz , realis diflinciio per extrema motuurru-. 

XXIII. Propofitio. 

/^v PortukefseunambigarnPlanetarum, intercuius 

^* mocus nuliae poflent exiftereHarmoniae,praecer duas .Sextas, Ma* 
jorem 4. 5. 6c minorem 5. 6. 

C um enim efiet necefiaria diflinBio generum Harmoniarum ,per Axioma 
XX. idque pcr matuum extrema in Apfidibus, per XXII ; quiafola extrem d-* , 
tnrdifjimusjcjlic&t ijf velocijjimus, indigent definitione procurantis ttf ordinan- 
tis , intermedia tenjiones proveniunt ultrb cumipjo tranfituplanetcz d tardiffi- 
mo motu sd velociffimum \, (ine peculiari curd: hcec igitur ordinatio aliterperi 
nonpotuit , nuin extremis binorummotuum Planetorkrum ,Diefis feu24.2y.de- 
/ignaretur;el qucdGenera Harmoniarum Diefi dfiinguantur, per ea qualibro 
lll.fitnt explicatcX. Atqiii Diefis efi difjerentia vel duarum Tertiarum, 4. /.£-f 
5. 6. velduarunt Sextarum J.f. & f.S , vel earundem abundantium uno vel 
pluribus Diat>aJoninterva/iis. Du<evero Tertid 4. 5. £?* 5. 6. non habuerunt 
locuminter binos PlanetKs ,per Pr. Vl.Jedneque TertU vel Sextcz abundantes 
intcrvallo Diapafin, ujjjiam inventctjunt ;pr<zterquam <j. 12. in biga Mtrrtis gf 
Telluris ;neque tamen illa aliier, nificum focid 2.$:itnque etiam intermedi<z s .$ 
& 3- f.af i.2,juxta admittebantur. Ergc relinquitur , vt dand<t fuerini uni 
Planctnrum big<z,du<zjext<z, 3. 5. $$ 5. 8. Sed]f> [oLi Sextcz variaiioni moiit- 
umillorum concedend.<z(iterunt ,Jicut neque ter;-?iinc s juos ad comprehenfionem 
interv.-tlli proxime maforis unius Qtiavcz i.z.dilatarent, neque adprcxime mi- 
noris Diapente 2. 3. angujliam contraherent. JS(am etfi verum ejl ,qucdduo 
planetcz , Jhcientes Diapente convergentibus motuum extremis , £•? Diapafcri 
divergentibus, ijdemetiam Sexiasfixcere, s$ 'Jic Diejin quoque permeare pofjint; 
at hoc ncn redcleret (ingularem providentiam Ordinatoris motuum. Diejis e- 
nim , mimmum intervallorum , potJlTlte latens in majcribus omnibus, qu<z com- 
frehenduntur ab extremis motuum , ipja permeatur quidcm tunc d motibus in- 
termedijs, continud tenfione variatis; atnon determinatur ab eorum extremis j 
cum (emper minor fit pars toto , Diefis (cil/ceA , intervallo majore 3.4. quod efl 
inter -2, ^ t Q 3 1.2. quodtotu?n a motuum extremis determinari hicponeretur» 

XXIV. Propofitio 

Planet£dud,quimutantgenusHarmonia?,difTe-' 

rentiam propriarum proportionuminter motuum extrema , debenc 

facereDiefin , &uniuspropriapropordodebeteflemajorDiefi.' de- 

bencque mocibus aphelijs facere Sexcarum unam, periheiijs reliquam. 

Qum enim extrema metuum duasfhciant Harmonias } unicd Diefidiffe- 

tenteS) 



%i4 DeMotibusPlanetarum 

(2ap ix. rentes > idpoteflfieri tripliciier: aut enim , vt unius Planet* motus maneat hv^ 
finns , a/teriusvariaur per Diefimaut irtuterque varietur per fimifiem Diefisi 
faciantque $. 5. Sextam majorem, quando fuperkr efl in ApheliO , infirier in Pe- 
rihe/ioyex ijsjpacijs excurfuficio fibimutub obviantes fuperkr ujquein Peri- 
hi/ium, inferior inApheliumfiiciant f.S, Sextztm mincrern:aut denique %rt unu» 
ti/tero plus Variit motum juumab Aphe/iO in Perihe/ium , (itqus excefius unius 
Diefios; & JicSextamajorfit inter utrumque aphelium , Sextnminwr mter u- 
trumque periheliunu. Primus verc modtts non efl legit.mta ; efiet enim a/- 
Str horum P/a neturamfine Eccentricitnte , contra Axioma III I. ji/ter modus 
minhs.pu/cher fuit & mihiis commodus \ miniis pu/cher , quia miniis Plarmoni- 
cw. Duorumenim Planetarum prcprU motuum proportiones fuifient inconcin-' 
n<s ; nam inconcinnum efl , quicquid ef Diefi yninus : pr<ejktt verc unumfioliim 
F/anetnm hac inconcinna parvitete laborare. §}&}& nefieri quidempotuit ;qu'm 
txtremimot us hoc pacio abtrrafient a Locis ffiiematis , flu clavibusfca/.-? Muji- 
cx> contr.t XXII. M;nis etiam commcdus fififiif, quia Stxta. illis tantumr.icdh 
momentis con-tiffient, qitibus p/anette fiafle.tt in contrzrijs apfldibus : nulla fuifi 
fiet /atitudo , per qudm h<e Sexta , & fic univerja/cs Harmom* fcfme.ts , con- 
tinoere potuifient : r.irifjimxtgitur fitifievt umverfa/es Harmonue, Lcis Plane- 
tarum omnibusadcertcrum in Orbitis fitis , £$ unicorum punticrum angufiias 
tedaiiis ; contra Axwma XIX, liefhzt ioitur modus tertius : irt uter^ qui- 
4cm I '/ 'inetnrum fuu n propriumvarief motum ; fiedalttr a/tero pliisger un#f& 
perfbEfom Diefia adminimum,, 



XXV. Propofklo. 



p Lanetarum , geimsHarmoniasmutantium, Fupe- 

* rior debec habere proportionem motuum propriorum , rmno- 
remTonoparvo9 10. infenorverorhinorem^eniiconio^.j^. 

'j\a?n aut aohelzjs motibxsfhcient 3. j. autperihe/ijs, per prxmijTanu* 

Nonperihelijsefi ' t enim tunc apheliorum mctuum f.Sjnfiricr igi.tur una Dic* 

fip/ishaberst inproprrtionepropria,quamfuperic'r, pereandem prtemifldptj> ¥ 

ld vsrb efi contra AxiomaX- Faciuvt igitur aphelijs _?. j,perihelijs f. S>mi- 

wus qtiam i/licptr 2 4.. 2f. ^htidfi aphelij motusfhciunt Sextstm duram 3. 5» 

trqp jupenoris aphelir." cum inperioris perihelio fkcietplus quamScxtstm duram» 

(idjici r * enim infbrior totam proprinm propcrtionerrL». Eodem mcdo ,fi perihc*. 

Jij motusficiunt Sextzim mol/em f. $ fupericris perihelius^ infiriorv aphe/im 

fiicient mimts quamfixtnm moliem : auftrt enim inferior tctam Juam propritm 

' troportionerru, Qtij dfit ' infericris prcpcrtio propria *.quarct fimitonium 15 j6* 

jampoflet pr^teri>extas etiam Diapente contingere,qii:a Sextzi mcl/is ,diminutn 

fimitonio ,fit Diapente,hocverc efi contraProp. XXIII. Minvs igitur fimito- 

nio habet p/aneta inpricr in ixterval/c fibiprcprio . Et quia juperioris pro- 

tria proportio majcr efi propria inprict is, per unam Diefin , Diefis verb addita 

Stnnt^mo fhat Tonum mincrem 9. )c. (upericris igitur prcpria propcrtin, 

efl mLtcr^uamTonutmincrj.io, 



Harmonicis Liber V. 225 
XXVI. Propofitio* CAPI3t 

p Lanetarum,genu$ Harmoniaemutantium,fuperi- 

J- ordebuichaberevdlDiefinduplicem575. 625.hocefti2. ij. fere, 
promotuumexcremoruintcrvallo.velSemiconium 15.16. velaliquid 
incermedium, Commace 80. 81- diftans vel ab illo, vel ab hoc: inferior 
vero, vel Diefin fimplieem 24. 25 . vel difFerenciam incer Semiconiu & 
Diefin,quae cft 125.1^. hoceft42.43.fere.veIdeniquefimiliceraliquid 
incermedium , Commacego. 8i.diftansvelabillo,velabhoc:fc.ille v 
duplicem, iftefimpiicem Diefin,ucrumq;incervallumCommacedi- 
minucura. 

Namfuperioris propria debet efie major,quam Diefis,per XXP^. minor verb 
quam Tonus $>. to.per prxcedentenui. At verb (upefior debet excedere inpriofem 
Diefiuna,per XXIV. Etfitadet Harmonica pulchritudo, l/t proprtte horum ,Jt 
obparvitntem nequeunt efie Harmonicaejaitem ex Concinnisfintfiifieri hocpofi 
Jit, per Ax. I. Atqui Concinna mincra,qaam ejl Tonus 9. io.Jitnt tantitm auo , 
Semitonium tfjDiefis: h&c verb dijferunt interfe non Diefi,/eda/iquo minori iri~ 
tervallo izf.lzS. Nonpofitint igitur (imu/habere (itperior Semitonium,inferiof 
Diefinfedaut (uperiorhabebit Semitonium if .\6,inferior \2 f.128 h.e.42. 43. 
aut infbrior habebit Diefin 24.2f.fuperior verb duplicem Diefin iz, i;.fkfe. 
Cum verb utriufi^ P/an&tafint (equa/iajurasquarejtinpropfifs ipjorum vio/an- 
da fuit natura Concinni : aqua/iter in utrotfe violanda fkit. ,- vt dijfer-entia pro- 
priorum ipfis intervaUoru manere pofia cxzchDiefis,addiJcriininanda genera 
Harmoniarum necefiaria\j , per XXIV. oMqualiter autem tunc violabatur 
Concinni natura in utro^fiquantojupcriompropriaproportio deficiebat, a Die~ 
Jiduplici , (itperabatve Semitoniiim ; tdntb etiam infbriorispropria deficerst X 
Diefifimp/ici } fuperaretve intervallum i2\.. /&?. 

Porrb hicexcefius ve/d?fbcfus, debuit efie Comma go. $1. quia rurfum ttul- 
lum aliud intervauttmmonfirabatur a proportionibnsHarmonicis; Z$ vt Com- 
ntajic exprimeretur inter motus ccelefies,ficutexprefium cfl in Harmonicis,fici- 
licet (olo excefiu £f defeciu interfi intervallorum-j>. Comma enim in Harmoni- 
cis difiinguit ihtcr Tonos, majorem g? minorem, nec a/iter innotefiit. 

^Rejht vt dijqniramus , utra ex propofitis , potiora Jint intervalla 

Num Diefes ,fimplex proinfbriori p/anet.t , dup/exproJuperiori:anpotius 

Semitonium j> (uperiori, £•? iifAzg.proinJiriori. Etvincunt argumentisDiet 

fes. Nam etfi Semitonium vane exprefium efi infiala Mufica : at jocium 12 /. 

• 118. non efi exprefium. Contra fi? Diefis efi exprefia varie, gf duplex DieJtt 

quodammodbjfi.in refblutione Tonorum in Diefis Semitonia £5? LimmaW.tuytc 

enim , i/t libro III. cap. VIII dlclum , proxime invicemjuccedunt duf. Die~ 

fies, duobus /ocis. Jlterum argumentum, qubd in difiinclione gemrum proprit* 

Juntjura Diefios, nul/a Semitonij ; majbf igitur refyecJus habendm f*itDiefion % 

quam Semitonij; Conflatur ex, omnibus hoc i Juperioris propria-/» debere efie 

1916. 3i2<j.fiui4. /f .Jbreiinjbrioris propriam 24;, 2$o,fiuss> 36.fkrl. 

Qu2r icur ucrum fumma fapiencia creacrix occupata fueric in cenu- 
ibus iftis raciunculis coriquirendis & Refpondeo, ficri poifc, uc mulc» 
me raciones lateanc, At fi podcrofiorcs Nacura HarmQnices non tulic. 



-226 De MoTIBUS PLANETAR UM 

CAP.IX. 

quippe inpr6p6rci6nibus,infraomhium coricirinorurh quacicatem de- 
fcendencib p : abfiirdu rion efli Deum vel lftas, ucciinq, appareac tenues > 
efferecucum^cumnihilfinecausaOrdinaveric.Abfurdi^n.lohgeefiecaf- 
firmare, Deumhasquanricaces, ihfra quiderh praefcripcum ijs cerminu 
Toni rninons.forruico arripuifle. NecfufKcicdicerc ;TancasfUmpfir, 
quia cancae placueruc : in geomecricis eriim/ubercaci ele&ionis fubje&is, 
nihil Deo placuic firiecausagebmccricaqualicunq,;ucapparecinoris 
foliorurri , in fquariiis pilcium, in pelhbus ferarum , earumque maculis 
& macularum ordirie > & fimilibus* 

XXViL PropOfitio. 

rt? cliuris& Vencris rnotuum proportio Majbr, debu- 

* ic efle Sexca dura,incer mocus aphciios» - iViinori Scxca mollis>inccr 
perihelios. 

Oportuit h. difiinguigenera Harmohiarum,per Ax.XX. Id autemfieria* 
/iter non potuit ,quam p Sextas^XXIlI. Earum igr unam 58. cum acceperint 
terraB ' %,fpximiPlaneta,^ ' lcojiedrici^ XV:oportuit & ' atteram ;. f.ijstri- 
bui. Nonverb inter extremos > convergcnta vel divergcnta; fed inter ejufde 
plag£extremos,unaminteraphetios,alterainterperihclios,fpXXlV.Eflpter- 
ea& 'Harmonia 3. f xognafo lco(iedro,quippc fctl <tutruefcPentagoniea.Vid.ca.Il 
Ecce caufam,cur prsecifaj Harmonia? incer hbrum duorUm mocus 
apheliospotius& periheiiosinveniancur; nonvcrdinccr eonvcrgen- 
tes > uc in iuper ior ibus. 

XXIIX. Propoficio. 

qp Elluri jpropria motuum proportio competebat 

-*■ 14. 15. circicer : Veneri 3?. 36 circiccr. 

Nam hi duo difiinguere dcbuerutgeneraHarmohiarum,fppramiptm:ergb g 
XXVIyTellusquidem vt fuperior t nanciJci debuit inicrvalium 2$/6: 3 125. idcji 
prs)4.i^.Venusverb,vtinfbrior , intervaSum24j,2fo.ideJis^.j6^>xime, 
F cce caufam, cur hi duo planecaj cam parvas habcanc Ecccncrici- 
t'aces>& fecundum cas, parva incervallafeu prdporciones mocuumcx- 
trerriorum proprias: cum camcn proximeilla fuperior Mars, &proxi* 
jne hac inferior g, infigncs, omniumque maximas habeanc. Hoc verd 
verumefle.Aftronomiaconfirmac;namCap. IV. Terra plane 14/15. 
habuic, Venus vero 54. jc, quodaftronornicaccrcuudo vixdifccrnere 
in hoc Planeca poceric a. 55. 56» 

XXIX. Propofkio* 

\t Artis & Telluris Major motuumHarmoniajcliucr- 

gencium pura> hon pocuic eflc exmajbf ibus, quam j. 12. 
SupraPro. XVIl.hoh erat mihbrum aliquaitiuncverb nefyatiquamajorum 
^'NumaIterabWicommuna,(euMinor2.i % cum^pria 
s -u'\;n".- Juperat 



HarmonicisLiberV* 227 

CAP IHf 
%perat\$.2f,fhcitplusquam 12. 2f. hocefi ,6o. \2 f. adde igitur Tellurispro- 

priamif, 16 .hocefl j 6 '. <$o ,per prx.mifa.rn , accumulatur plits qudm f <$. i2f, 

quodeflproxime 4. 9. plus fiilicet quam OiTava $ Tonus major , paulb. ^At 

Harmonia proxime major , quam Oclava {£ Torius, e/lf.12. Diapajoncum 

Tertiamoui, 

Nocaquod non dicQ,noneflehancproporcionem necmajorem 

nec minorem, quam 5. 12. fed hoc dico , fi necefle fic illam fieri Harmo- 

cam, Harmoniam llli aliam non compecicuram. 

XXX. Propofitia 

11 ErcUrii propria motUum proportio debuit fieri 

*T - majoromuibusalijsproprijs. 

'j\a?nper XVl.proprictVeneris £5? Mercurij junHctJhcere debuerunt cir- 
citerf. 12, SedVeneris propriafeorfim,efl tantum 243. 2%o. hoeefl l^fS.ljoo: 
hctcverb ablataa^. 12. hocefl a6zf. i^oo.relinquit 62 f. 145$. majoremqudm 
Diapafon cum Tono majore,MercurioJoti:cumMartis fpria , qu<e illi iriter cctte- 
ros Planetzts eji omniu maximafit minor quam fefquiaitera 2\f. hocefl Diapete, 

Adeoque Veneris £•? Mercurif infimorii proprictjunblct , ctquant quatuor 
fiipremorum propriasjunfhsfere : quiatrt jamjintim apparebit ,Saturni £? It- 
vis proprictjunclce excedunt 2,$.Martis d 2 ,;.nonnihiiaeficit :Jummk 4,'^.hoc 
efl 60. 13 f, adde Tclluris 14.1 j. hoc efl^6 ,60. dccumulatur 56. 1 jf . quodpaulb 
plus efl quam f.\2; quantn modb eratfumma propriarum Veneris gf Mercurif, 
Hocverb non quctfitumefl,nec ab\aliquo pulchritudinis drchetjpofeparato zf> fin- 
gu/ari de/umptum^fed provenit ultrb^necejjitate caufdtum cx Harmoriijs hafte- 
ttusjhbilitis nexarumj> t 

XXXI. Propofitio. 

■jV/j Otus Telluris aphelius cum aphelio Saturni per a- 

•^ Jk liquocDiapafonconcordaredebuic. 

Nam Harmonias univerfales oportuitefie,per XV III: qUare etiam Saiurni 
cum Tellure $ Venere.AtJimotuum Saturni extremorum alter cum neutro ho~ 
rum concordafiet ; hoc minusfitifi&t harmonicum, qudmfiuterg^ illius extremu* 
concordet cum hisplahetis , per Ax, I. Ergb Saiurnusutro^fuo extremo , con- 
cordare debuit; aphelio cum uno ex duobus hifie Planetis; periheliocumreliquA 
cum nihil impediret , quippe in primo P/anetas. Erunt igitur iflct Har- 
monictve/ Identifon&.ve/ Diverfifonce 3 hoc efl proportionis ve/ dup/ctcontinue # 
velalterius. At nequeunt ambctproportionis alterius efe : nam inter terminos 
$.f. (definientes Majorem Harmoniam interTelluris £jf Veneris aphe/ios,per 
XXVlT)nonpofiunt conjiflere duo media Harmonica: Sexta enim nequit dividi 
in tria intervalla Harmonica. Vide lib. lII.\Nj>npotuit igitur Saturnusutro% 
fuomotuDiapaJonfhcerecum Medijs inter jȣf f .Harmonicis : fedvt tf> cum 3 
Terrct,t£ cum fSUeneris concordentejus mof; necefieefljirteoru alter cum alttf 
ro terminorum,fi.cum uno diciorumplanetnrumipferum concordctidentice,Jett 

Ff z> peralU 



225 De Motibus Planetarum 

cap iv p^a/iquotDiapafons. Cumautempr<eJkintioresJint Identicte;Jhtuend<terunt 
etiaminterextremamotuumpr&fklntiora,fc.interaphe/iosiquidz3princip'u' 
locum obtinent ob elevationem p/anetarum , £•? Harmoniam 3.yde cjua vt ma- 
jore Teiiuris £jf Veneris nunc agimus,propriamJibi quodammodb £•? cumpraro- 
gativd vindicant. Etjientm Harmonia ifkl etiam perihe/io Veneris j £j? ali- 
quo Teiiuris intermedio competit,per XXII: at iniiiumfit d motuumExiremis, 
Motus intermedij fkint p ojiprincipid-*, Jam ciim ex alteraparte habeamus 
Saturni altijfimimotum aphelium ; ex a/teraparte cum illo covu/anduseriia^ 
phelius Telluris potiits qtidm Veneris ; quia horum duorum fgenus HarmontA 
diflinguentium, iiid iterum ejl a/tior. EJi £•? aliapropior cauja: qucdraticnes 
pojieriores , in quibusjam verjdmur, derogant quidem prioribus , fed iantiim cir- 
ca minima, quodejiin Harmomce , circa interval/a omhibus concinnis minora, 
Sedper rationes priores, non Venerisjed Teiiuris aphe/ius, approximabat Har$ 
monitz Diapajon aliquot, cum Saturni aphe/io conJiituehd<s. Coiiige enim in 
unam furvmam primb propriam Saturninorum motuum proportionem 4. j '. id 
ejiab apheiio inperihclium Saturni, ex Xl.fecundb convergentium Saturni i$ 
lovis l.z.ideji dperihe/to % adapht/tum. Iovis,exVIIl,terttb divergentium Iot 
vis £$ Martis 1. S.idejiabaphelio lovis adperihelium Martis,ex XIV; quar- 
tb convergentium Martis £=? Tel/uris,2.$, id eji, dperihe/io Martis ad aphei-um 
Telluris , ex XV: accumu/abis inter aphe/ium Saturni £=? aphelium Teiluris , 
proportionemj^o. cuideeftnonplm quam 30.^2. ideji j/. 16 .feu femitoniunzs , 
quo minusjit 1. 3%.Jeu quinque Diapajonsi Itnquejijemitonium inparticu- 
las minimo concinno minores feBum , quatuor htselementis addatur sperfefkl e- 
rit inter propojitos Saturni £$ Telluris aphelios Harmonia Pcntztkis Diapajott?". 
At vt idem apheli Saturni cum aphelio Ueneris, Diapajon a/iquot faceret;opor- 
tuifi&t Rationibus prioribus integrumpre Diatefaron eriperc_j>:addito enim 3.S 
qttod eji inter aphelios Teiiuris £•? Veneris , adjummam I.jo.ex qtiatuor prioru 
btts elementisconjiatum ; coUigitur tanquam ex priorib 9 raiionibus , inter apheii- 
os Saturni ef Vencris 1. /o. quod intervallum dijjertab 1.32 , Pentakis Diapa- 
Jbn ,per 32.50. hoc eji per 16 . 2$ . quod efl Diapente cumDieJi ;t$ abHex akifdi* 
apajonjeu 1. 64. dijfiertper fo. 64. quodeji 2f, 32 ,Jeii Diatefidron , minusund 
Diefi: 'JSfon igitur inter Vencris £•? Saturni,Jedinter Telluris £■? Saturni dph* 
tlios , IdenticaHarmoniaJhtuidebuit , vtSaturno cum Venere cUverj2f6n4 
Marmonia rejkiret*. 

XXXII. Propofitio. 

t NHarmonijs Planetarum univerfalibus gcneris 

f Mollis , mocus «Sacurni plane apheliuscum cxceris Planecisex- 
afte concordare non pocuic 

TS[am Tellusmotu fuo aphelio adHarmoniamuniverJalcmgenerismollit 
non concurrit , quta apheltjTeliuris gf Venerisjhcmnt intervallum 3.5. generis 
Duri,per XXVII. Satumus.verb aphelio fuofhctt Identicam Harmoniam cum 
aphe/io Tel/uris,per XXXI.Ergb nctfc Saturnus aphe/iojuo motu concurrit.Suc- 
cedit tnmen /oco aphelij motus,intenjior aliquis Saturnimotut,aphelio proxim\ 
adgenus efiam moiie 3 vt Cap. VII. .abparuit. 

XXXIII. Pro* 



HarmonicisLib. V. 116 
XXXIII. Propofitio. fejj.fi 

DVrumHarmoniarum8c Scalas Mufica? genus,cft 
familiare modbus aphelijs, molle perihelijs. 

T\lametJiDura conJiituiturHarmonia interTeUurisnonapheliumtzn- 
tum , cum Veneris apheiio ;Jedetiam inter Te/luris motus aphe/io infkriores cum 
Veneris inferioribus, ujque in ejus perihelium: $ vicijjim Mcl/is Harmonia non 
tnntuminter Venerisperihelium cum Telluris perihe/iofedetiam interl^eneris 
fuperiores ujifc in aphelium , cum 1 ellitris Juperioribus ,per XXJfll: propria tz- 
men i$ evidens aejignatio generis ,ft tantum extremis utriufque, per XX £J* 
XXIf^. Propria igitur Duri dejignatio, eji tantum in aphelijs motibus, propria 
'MoUis > tantum inpcrihelijs. 

KKXIV. Propofitio. 

DVrum genus familiarius efl Planetae iri compara- 
cione duorum fuperiori, Mollc inferiori. 
J^am quia Durumgenus efi aphe/icrum motuumproprium, MoRe perihe- 
liorum ,per pr&mifiam ; aphelij verb funt tnrdicres $ graviores perihe/i/s: Du- 
rum ioitur ejl motuum tnrdiorum , Mo/le ce/eriorums. Atcfui ad tzrdos motus 
Jhmi/iar iusje habet Planetnrum ducrum Jupericr , adceleres infsrior ,'quiafm- 
per in Mundo altitudinem confequitur motus proprij tnrdiUs. Ergo etiam ad 
Durum Sca/& genus Jhmiliarius f habet , duorum,qui utriqueje accommodant 
generi , is quifuperior; ad Mol/e, is qui inferior. ofAmp/ius, Durumgenus uti- 
turintervallis majoribus 4.'% g? ■$■', \; MoReminoribus 5. 6.Z$ j \ $, Atqui etknt 
fuperior P/aneth & majorem orbem hab&t,H$ tnrdiores , idejl majores motus,pro- 
lixioremtfe circuitum : quibus verb utrinque magna conveniunt t illa interjejh- 
miliarius coeunt* 

XXXV. Propofitio. 

C Aturnus cum Tellure , Durum genus ampledtun- 

*-* tur familiarius , Jupiter cum Venere, genus Molle. 

T^amprimb Te/lus cum Venere comparatn, tji cum eadeni utrumc^ genus 
dejignans, Juperior ejl i Terra igitur Durum potijjimum genus amp/etlitur JUe- 
nus oenus Mol/e , per prtemifiams. Saturnus vero aphelio fuo pet Diapafon con- 
fonat cum Tel/uris aphelio per XXXI. Qutre etiam Saturnus> per XXXIII y 
Durum genus amp/eciitur. Deinde Saturnus aphe/io motu , per eandem , 
Jov&t magis genus Durum , refpuitgenus MoRe,per XXXII, Habet feipitur 
Jhmiiiarius ad genus Durum ,quamadMo/icj> t quia genera proprie dejig- 
nantur motibusExtremis* 

lam quod Iovem attinet; is in comparatione cum Saturno,e(l infbrior: ergb 
vt SaturnQ (kfotur Dhrumgenus ,Jie levideb&tur Mo/le,perpr<tmtj?anu>. 

Ff S XXXVI. Pro> 



23P De Motibus Planetarum 
taii XXXVI Pfopofitio 

| Qvis motus perihclius cum pcrihclio Vencris in 

4 unam Scalam Muficam , ac nonetiam in eandem Harmoniarri 
confptrare debuit; multoque minus hoc cum perihelio Telluris. 

'A^jtmquia Iupiter debebatur generi Mollipotiffimum ,per prxmiftam ; iSi 
•verbfkmi/iares furit motiv perihelij,per XXX: lupiter i^iturperihcliofuo dejig- 
ndredebuit Scalam ^enerii MoUis , ejusfti/icet cerfum locum fiu phthongunu. 
Sedijj ' perihelij^Ventris i$ TeUuris eandem Scalam dejignant , per XXVI h 
Ergb cum horuwperihe/ijs, hvis perihe/ius in eandem tenfionemjociandus ftfit. 
T^on vetb cum Veneris periheliopotuit conftituere Harmoni&nLi. TSfam quia, 
per VIII. cumaphelio Saturnifacere debuit ). j.circiter, id ejl , clavem d fjfte- 
tnatis iSius, in quo Saturniapheliusfkciebat clavem G, Veneris verb aphehui 
c/avem e ; igitur appropinquavit clavi e intra f]>acium Harmonix minim<t : 
'A£am illa eji / . tf . at. inter d. e. eft intervallum mu/tb minhs ,fcificet 9. 10. To^ 
tous, <lAc etfiin tenftonetcrihelia , %JenuS e/evatur a d tenftonis aphe/i<e ; ah 
etevatiohxceft minor Dieft,per XXVIII. Diefts verb (ea^minus altqwd) 
mntlti Tono minori , nondum ttquant intervallum Harmonix minim<x 5". &. 
f^onpotuit igitur perihelius lovis cumaphe/io Saturnipr<tter propter i.j. tue- 
ri, & \ftmul 'concordare cum Venerc_t. Sedneccum TeSure. Namfiperihelius 
lovis ad perihelij Veneris fta/am accommodatus fuerit in eandcm tenfionem ,ftc 
vt infra quantitatem concinni minimi tueatur intcrvallum cum aphe/io Satur- 
ni ). z> dijfyns fti/icet aperihelio Veneris Tonomincre fc 9 10. feujd, 40. (pr<e- 
ter aliqua Diapafon) verfi*sGravia : TeSuris equidemperihelius ab eodem perl- 
he/io Vencris dijhtper j.S.ideft per 2f.^o. Ita^dijlnbunt perihelij Telluris 
$$ lovisper 25. }6>pr<£ter Diapajbn a/iquot. Iaverb Harmonicum non eft : 
quippe iuplum ipfius 5- . 6 .feu Diapente , diminutum und Dieft. 

XXXVII. Propofitio. 

AD fummam propriarurri HarmGniarumSaturni &C 
Jovis2.$, &adcommunem ijs majoremi. 3, accedereoportuic 
interVallum , aequale intcrvallo Veneris. 

l\am Venus aphelio motu proprie deftgnationem adjuvat generis Duri , 
perihe/io generis Mollis ,per XX VII, ^ XX XI II. SedSaturnus aphelio con- 
Jpirare debuit etiam adgenus Durum, tfftc ad aphelium < l)eneris,per XXXV. 
lupiter verb perihelio adperihelium Vencris , per pr<tmiftam. ^tantum igi- 
tur Venusfhcit intervat/ufn ab aphelic in perihelium , tnntum etiam accedere 
necefteeft motui lovis i/li, quicumaphe/io Saturnifacit 1. 3. adperihelium hvis 
ipfiffimutn^. Sed convergentium Iovis tf Saturni Harmonia eftpracifie 1 , 2. 
per VIlI. (lAblato igitur intervallo j.2. abeo quod plus eft quam 1. j. relinqui- 
turaliquid,quod txMundemplus eft quam2.j. profumma propriarum utriuf. 
que proportionunLs. 

■Supraprop- XXXIII. cratpropria Veneriorum motuumpropor- 

C1024, 



•I ■ 



Har monic i s L i b. V. 231 



CAP.nc 
110247, ijOiVeljj-. j6.proxime, Acverocap, IV. incer iacurni aphe- 

lium, & Jovisperihelium,invencus eftexceflus fupraj.j. paulomajor, 

fcilicecincer26.27.&27-2$.Acunic0minucoiSecundo,quodhaudfcio 

an difcernac ^ftronomia,ad Sacurrii aphehum mocilm additOjaequacur 

plane quancicas hicpra;fcripcai 

XXXVlll. Propofitio. 

A Dditamentum 145. *$■©• ad fummampropriarum 

^* Sacurni5cJovis,quaehacT:enus primis raciphibus confticuebatur 
2- £. diftribuendum ficfuicincerPianecas,ucdeeoSaturnoaccederec 
Comma go.8j. Jovi Refiduum /9683. 200oo,feu 62. 6}-fere. 

Diftribuendum illudfiiifie inter utrum^ Planeta,m,fiquitur cx XIX. yt 

*tterifc aliq ualatitudine concurrere pofiet adHarmonias vniverfiles generis fibi 

fhmiiiaris. <&Atqui243. 2^o.mtcrvaliumefiminus omnibus Concinnis': NuUx 

igitur Juperfitnt leges Harmonicx , quibus iiiud dividatur inpartes duas Concin- 

nas s nifijoliim ill<t, quibusfitpra prop. XXFl t adjeclionem Diefios 24. 2 j. opus 

fitit ; irtfi. abeat in Comma 80. gi.( quodetTunumtf quidetn primarium ex ijs 

quxConcinnis injerviunt) & ' in Rejiduum 196 'S '2 \ 20000 . quodefipauib majus 

Commate,fic. 62 . d^.fere .f^on autem duofidunum Commafmat aljcinden- 

dur/Ls ; ne nimium inxquales partes fiierent , ciimproprid Satumitf ' lovisfint 

proxime ttquales : fecundumaxioma X ,etiam aa Concinna (f tjs minuticres 

partes extenfum : fimul etiam ideb, quia Comma defnitur intervallis Tono ma- 

jore £3 Tono minore , non itzi duo Commatn. Pcrrb Saturno, altiori £■? valentio- 

ri Planetg, debebatur harum partium noniUk potius, qu<z major , licet is haberet 

propriam 4.5. majoremijed illa , qu<eprior ef pulchrior,hoc ejl, magis Harmoni- 

ca->. f^am inAx. X , prxceHitretyecius prioritntis cs? perfbtlionis Harmoni- 

c& > ultimas tentt refpefius quantitztu, quia nuiia puichritudo efl in quantitate 

perJLs. ltsimotus SaturnifiuntQiffisi , Tertiamajoradulterina,vtliht 

Jll.Cap: XH.appeliavimus ; ■Jovisvetb Jf6i.gooo. 

Nefcioanincercaufasadditiiacurno Commacis fic comemoran- 
dunv,ucfcilicec£xcrema «Sacurniiutervalla poflenc conftituere pro- 
porcionem8-9, Tonummajorem : anpociusidulcrorefulcavericex 
caufis ancecedencibusMocuum, Habes igicur hic pocius,loco Corolla- 
rij, caufam , cur fupra cap.I V. fol. 19?. incervalla Jacurni deprehenfa 
finc Toni majorisproporcionem cOmple&i proxime, 

XXXIX, Propoficio. 

t N Harmoniis Planetarum uniuerfalibus , generis 

■■• Duri , Sacurnus mocu exacle perihelio concordare non pocuit » 
nec Jupicermocu exa&eaphelio. 

Qum enim Saturniaphelius^ cum TeSuris^ Venerisaphelijs, exaile con- 

- cordare debuerit ,per XXXI. concordabit cum yfdem etiam ts Saturni motus t 

quiejiintenfiar aukmaphettmejus^perHnamTertitmduram 4. y. aphelij enim 

Teilurb 



15* De MoTIBUS PlANETA^UM 

. ^r • TeUuris cf fcneris fkciunt Sextaw duram, quxper demonftrata lihri IH.divi* 
"' ' jihi/is eji in Diatefiaron & Tertiam duranu,, Ergb motus Saturni, quiadhuc 
cclerior ejihocjam concqrdato, infra tmmen magnitudinem intervaUi Concinnit 
u nbjn exacTe cohcordahit. At ta/u ejl perihelius Saturni ipfjfimus , quia dijht 
ahejus aphelio plus quam intervaUo 4 5- .p/us fci/icet uno Commate go.g j. (quod 
minus eft Concinno minimo ) per XXXrlH. f^on concordat, igitur exafie 
perihe/ius Saturni. &At necexacle aphc/jus Iovis : is enim cumperihelio Sa- 
turni, nonexacie confohante, confonatp>erDiapafonperfeBum»peTVllI. qu*- 
'reper dich /ihre III. nec ip/e txacle confikart poterit. 

XL. Propofitio* 

AD communem lovis & Martis divcrgeritium rhb- 
cuum Harmoniam 1. $. Tn£Uiapafon , prioribus racionibus fta- 
bilicarn , addi oporcuic Limma Platonicum. 

Nam quia inier aphe/ips Saturni tf TeUuris dehuit cfie\.$2. hoc efti2,i8\4* 
fer XXXI; ah aphelio verb TeUuris adperihelium Martis dehuitefie j. 1. hoc ejl 
384. 2^6,perXV\ ii ' ahaphelio Satitrniadejut perihe/ium 4. /. yit 12. //» 
cum additamcnto ,per XXXVllT, denie^ * perihelm Saturni ad aphe/ium h- 
njis 1,2. ve/ie, jQ.perVlIkfeftat igitttr ahaphe/io Iovuadperihe/iumMartis 
30. ts6,dempto Saturni additamento. Atqui 30. 2f6. fuperat &. z\6. hoeeft 
i. 8. quantitdte $0. $2. hoceftl^. )6. veliao. 2f&. quodeft Stmttoniunts. De- 
iratlum igititrat 40.256. Saturniadditamentum,quodprop.XXXVllI. de- 
ftuit eficSo-8). hoceji 240.2 43, rtlinquit J 43, 2f6 ; id verb eji Limma P/ato- 
nicum yfci/ieet )g.sp. ftre : vidtlih. II /» Ad) . 8. igttur addendumftitLim- 
maP/atonicunL». ' 

Icaquemajorjovis &Martisproporcio,divei:gentiuna fc. mocu- 
um , eue debec 245, ^048, quod cftmcdiumquodaromodointer 243. 
&JS7. & 243:» 1944. ideftintcr r *.&j. g-quarumillamfuprarcquire- 
bat Analogia, hanc Harmonica cpncinnitas vicinior. 



XLL Prbpofkio. 



kartis motuum propria proportio nccefsano dupla 
eft faftaproportionis Harmonica? j. 6. fcilicet 25. 36. 
T^am quiaproportio lovii t§ Martis motuumdivergcntium > dehuit efit 
&4;.2048.'tdtft7l9.to4#>pcr$r<*ctdtntem:convergentiim verbf. 14 , id 
cji \2io. 614 4,p& Xlir.Jumma ergb propriarum uttiuJqutneccfiariQJuit 729. 
SZto.vt/ 72900. jziooo. Sed Iovis fo/ius propria dehuit fieri 6 f 6/. 
Jooo t idtji ie <4$76' 128000 3 ptrXXXVlIl. kXh/at*trgbhacIovia/i,kbu- 
triufqutftmmA» re/inquiturpropria Martis jx$oo. 104976. tdejlzf. 36. cujus 
dhmtdiatft f.i. 

^A/ittt (ie. Al ttphelio Saturniadaphe/iumTeUurismotumeJif.ji.feu 
**». 3S40. db eodem 1U0 ad.perihe/ium lovis ejly j.Jett 120. s6o t cumjuo addi* 
to*w$to t ffinc vero ndaphdittm Mtrtis eft ^ £4jS* rfo, 1728. Jgitur a& 

aphe* 



M 



Harmonicis LiberV. «? 

Aphelio Martisadadaphelium Tellurisrelinquitur 1728- 38 '40. minus addifa- 
tntnto iUo Saturni & Jovis divergentium proportionis. At ab eodem apkelio 
Telluris adperihelium MartUefl j.2.hoc ejt 3840. 2^60. Interergb Martis aph- 
elium^periheliummotus,relmqueturproportio\yi8.Zf6o, idefl %?< qo.feu 
ft, tzo.minus diclo additumento. Sed 8 'l -l ' zo.Commate minus efl quam 86.120. 
feuz. 3, Ergbji de 2. /. detrahatur Comma^ , detrahatur d) additamentum di- 
Bumlquodper XXXVlII.efl <zquale proprU IJeneris^trelinquitur propria <f\. . 
Sed propria IJeneris , efl Diefis diminuta commateper XXV I, C ^omma verb , • 
g? Diefis diminuta Commate ,fhciunt Diefin integram 24 2f. Si ergb az. $. 
kocefld~24. $6, aufbr .ts diefin 2 4. z^. r elinqustur Martipropria 2f . 36 .njt pri^- 
«s : cfyjus dimidia / . 6. cedit intervallis , per cap. III. 

Enicerumcaufam,curfupraCapice IV,fol. J95. Martis intervalla 
«xtreraa,proporcionGmHarmonicaui 5. 6,comple£ti deprehenfa finc 

XLll. Propofkio. 

artis &: Telluris Maior,feu diuergentium commu- 

nisproportio,neceiTariofa£ta e&24. 125. minor quam Harmo- 
nia5. i2 5 prioribusrationibus ftabilita. 

Propria enim Mart is debnitfieri Diapcnte, cuifit ademptn diefis } perpr<tce* 
dentem Communisverb convergentium Martis &Tellurisifiu Mino'r,debuit efee 
Diapente z.Z.g XV.Propria dtni^ Telluris, efl dupticatzi Diefis, cul fit adempttk 
Comma, £ XXVl.tlf XXVllI.Exhis verb elementis conflatur Major,feu di* 
vergentium <?i : S Te!luris,fitqi duo Diapente (feu4, 9, hoc efi 108. Z4 ? • ) cum 
ttna Diefi,qu<efit multntu Commate, hocefl cum Z43.2fc\fit fi. 108 -2 fe fleu f$. 
iZ^.hocefl 6oS- }f00. AtquihoceflminuSi quam 62 f. ifoofhocefl^quam^JZt 
quantitate 6og ,6z~ . qrtxefl fere 36. zp.wiwr Concinnominimo. 

XLlll. Propofitio. 

AD Harmoniam aiiquam uniuerfaiem , Martis apta 
eliusconfpirarenonpotuitunfcalamtamengenerisMoIlisiilurn 
quadarntenus confentireneceflarium fuic 

Nam quiaperihelius Iovis obtinet locum d tertfionis acut<t ingenere MoUi,Z§ 
*uerb inter illum ff Martis apheiiumcfie debiiit Harmonia f. 24. ergb Martit 
tphelius obtinet locumiadulterinumtenfionis ejufdem acut<e.Dico ddulterinum: 
riam libro IILcap. Xll.cumrecenfireiitur Confonantia aduiterin<t;exq.comp0~ 
Jitio ne fjfiematum\ deduceretunomifi&funt dliqune > qu<z in ipfb fifiematefimplici 
naturaii exiflunt, Itaq^ lecior pofl lineam qiix definitfic 8 1 .Izo.adfcYibat ifla. 
a qua fi auferas 4, 5". feu %z. 40. reftat 27. 32 diminuta Sexta mollis: qu» 
eft inter df. vel ce vel a c. Odavx etiam fimplicis. 
Et irtfubjetfa Tabellaprimam lineam occupent ifki, 

Pro 5. 6, eft 27. %£. deficiens. 
E>? quibmpatvt , in Syflemate natuYnli, clavem fgenuinkm/Ut iSa efi eit 
ineit principtjs ordinatn, cum d clave conflituereSextamMollem deficientemfe» 
tdulterinam. Qum igr inter perihelmm Jevis in cUmgcnmnd d, conflitutum^ 

Gg i$ ' intt* 



254 De MoTlBUS PiANETARUM 

CAP.IX. • . 

^ inttr apheliumMartis,fitperficTaSexta mollis JupraDifdiapafin,non verb de~ 
fickns,^ XIII: fiquitur Martem aphelio motufignare locu,quiJit uno commate 
altioy ctavegcnuina £;ita% non nijt Cadulterinu obtinebit: eot^ nonplanefiedfial- 
temquadamten 9 in hancjcalam confintii.Concordatiam verb kniverfialem ne^ 
puram ne%adultcrinam ingreditur '. NamVeneris perihe/ius obtina locum e 
tenfionis hufi.At inter eSefi difionantia,ob vicinitatem.Difondt igr &,ab uni 9 
planetarumfic. k %perihelio. Sedt$ nc&tcris % motibus difionat, remittuntur n. 
tf uno Commateminus,qtiamg uriam Dlefin: qudre citm inter perihelium $ & 
aphelium (fifit Semitonium £5 Comma,inter igr aphelium £ '& aphelium'^ erit 
Semitonium t$ Diefis (dijjimulatis OEhvis), hoceft Tonus minor\ quodadhuc 
iifionum efi intervallum. Tantum a, in Mollk generis Scaldm aphelimMartis 
eonfintit,non etiam in Duri. Nam cum aphelius ^Veneris confiiret in e generis 
DuriiMdrtisyerb aphelius (diffimulatis Otkvis ) (ItJhBus altior quam t,To- 
tto minore > necefiarib igr aphelius ^ in hae tenfione medius inter f £5 fycaderet, 
fecienscumg (quem in hac ten(ione occupat aphelius Telluris ) intervaUum 
2S' 27-pldne inconcinnum, Tonumfc. majorem , cui ademptafit Diefis. 

Eodem modoprobabitur Martis aphelius etiam a Telluris motibus. difiidere. 
Nam quia cumperihelio IJeneris Semitonium & Commafhcit , per diHki , id efi 
14. le.fidperihelijTerr* i$ *UeneritJhciunt SextamMollem \ %.fiui}.24.per 
XXyll, Martis igr aphelius cum perihelio TeUuris(additis illi OB avis) Jhciet 
j4.24-.fiu7. )£. inconcinnumintervaUum •', nedum Harmonicum , vttf 7.6, 
Efi n t difionum $ inconcinnum,quicquidefi inter f.6,t$ S-g.vn hic 6.7. Sednec 
ullusalius Telluris mbt 9 concordare potefi cumaphelio Martis.NamJupra diciu, 
qubd is cum aphelio TeUurisfhciat 25.27. inconcinmm (difiimuidtisOBavis) : 
jamverba6, 7. vel 24, 2$. ufiqucM2$. 27.emniaJuntminoramthimo.inter- 
valloHarmonico* 

XLVI. Corollarium. 

PAtet igitur ex hac XLIII. de Iove §C Marte, tc cx 
XXXIX. de Saturno & Jove, & cx XXXVI, de Jove & Tellure , 
& ex XXXII.de Saturnotcurfupracap. V.planecarummoc p excreroos 
ncq; omnes ad unum Sy ftema haturalc feu fcalaro mufic am perfechfii- 
me accommodatos effe , neque qui ad fyftema tenfionis ejufdem 
accommodatierant,- omhesiLlos , locaillius naturali ratione divifif- 
fe, feu (ucccflionemConcinnorum intervallorum mere naturalem ef- 
fecifle dcprehcnfum fit» Nam pribres (unt caufcquibus fihguli plane- 
tae fingulas funtnacT:iHarmonias,quibus & omnes planetaj Harmonias 
univerfales ; quibus dehiq; & Harmoniaeuniverfales duo genera , Du- 
rum &Molle:quibus poficis,jai$i impedicur omnimoda accommodatio 
ad unum naturale fyftema.Quod fi illae caufae non praecefsiflec necefla- 
rio: dubium nullum eft, quin vel unum fyftema , unaq; ejus tenfio Pla- 
necarum omniiim motus excremos complexum eflec : Vel fi duobus Cf 
ftemacib 9 op p fuic, pro duobus cantus generibus > Duro & Mollhnon ii 
alcera tantugeneris duri ,fedetiam in reliqua generis Mollis, ipfiffimua 
prdo fcalae naturalis fuiflet exprefs*. Habes igr hic difto cap.V, promif- 
fes caufas diflidiorum p minima,& omnibus gdem concinnis minora. 

XLVII.Pro- 



HARMONICIS LlBER V. 255 

XLV. Propofiticx CAP IX 

A D communem maiorem V eneris &: Mercurii E)i(- 

■*-*• diapafomnecnonadMercunjeciam propriam , lUpraprioribus 
racionibusprop. XII.& XVLllabilicas, accedereoporcuicincervallum 
iequale incervallo Veneris^fic uc propria Mercurij fierec perfedla 5, 12 » 
& (lc 5 ucroque mocu cum unicoperihelio Verteris concordarec. 

'A(am quia Saturniaphe/ins cum aphelio Telluris concordare debuit , P/a- 
net<eextimi , figura fii.-e circumfiripti g? altifjimi, cumTe/iuris , qux.fi gura- 
rumclafes diflinguit , a/ti/Jimo: fquitur legibus oppoftorum,njt Mercurijperi- 
helius cum Telluris verihe/io conjpiret, quippe P/anet<e intimi,fgur<eju<t injcri- 
pti , £=? humilimi , So/ig, vicinifjimi, cum Telluris , fepis illius communis , motu 
humi/imo : i/li quidem adDurum , hiad Molle Harmoniarum genus defgnan- 
dum , per prop. XXXIIL £? XXXIF*. SedVensris perihe/ius cum Tellurispe- 
rihe/io concordare debuit in Harmonia f.$. per XX/^II. Erpo etiam perihe- 
lius Mercurij , cumperihe/io Veneris in unam Sca/am dehuit contemperari. E- 
rat vero prop, XII. ex prioribus illis ratioritbus definita Veneris i$ Mercurij Di- 
vergentium Harmonia y 4. Iliaergojamper has poferiores rationes fuit fer- 
mentanda accefjionetotius intervalli Veneris. Non igr amplius abaphelio ,fed<i 
perihe/io Veneris ad perihe/ium Mercurij eflperfeBa DiJRiapaJons. Jtqui eti- 
am convergentium Harmonia %, r . perfecla eji , per prop. XPf. E.i igiturjub- 
tratiaab 1. 4, rejht fo/i Mercurioprcpria 5- . iz. etiamperfbcta , non verb am- 
plius ( vtprop. XVl.perprioresrationes)diminuiaproportioneVenerisi!pria h 

A/iar atio. Sicut SaturnumtJ) lovemjolos exteriiis nullatenus contin^Ut 
Dodecaedrontf Icojiedron, conJugat<t:fce<edem MercuriUm filum interius non 
tangunf.tangunt n. Martem, Tellure ' ^Venerem, illum intiis ,hancextra\me- 
diam utrincu.Sicut igr in propriasproportiones motu uSaturni £5? lovis , qui Cu- 
bo £5? Tetraedro fu/ti funt ,diftributim additumefl aHiqrid&quale propri<e Vene- ' 
ris:Jicjam propri<e Mercurij fo/itarif ,qui OBaedro,Cubi.i^ Tetraedrifociafigut 
ra continetur, accedere debuit tantundem : quippe (icut Oc/aedron,fgura unica- 
inter Secundarias, vicem fuflinet duarnm,Cubii5 ' Tetradri inter , Primarias,de 
quo vide Cap. I.fic etiam inter Planetds inpriores , unus Mercurius efl locc duo- 
rum exfuperioribus , Saturnifci/icet £^f lovis* 

Tertib, ficut Saturnus altifjimusper aliquot Diapafonjwc efl , inproportio- 
n r \. ^z.continue dup/a, concordare debuit apheiiofucmctu, cumduorum quige- 
nusHarmonitS tnhlnrit ,altioris Jibiijbpioris motuetiam aphe/io : per XXXI: 
jic viceversa, £ humilimus, rurfiimg a/iquot diapajon, h. e. inproportione 1,4. 
etiam continue dupla, concordare debuiigihe/iojuo molu tum duc>rum,quigenus 
Harmonix muUnt ,inftriork fihifyjimi/iter propioris mctuperihelio. Quartb (u- 
periorum trium ^b^^ijinguti tzMthm extremi conjjirant ad Harmonies uni- 
'verfales ; infbrioris igr ef unici , Mercurij fc ambo extremi conjpirar edebuerut 
tideafdem : nam medij,Tsl/us g? $,genus Harmoniarum mutare dcbuerunt, per 
XXXIII. XXXlV.Deniifa in bigis tribus fttperiorum invent&Junt Harmoni*. 
perfecla inter convergentes mot 9 ; fermenUt<z verb inter divergentes, & 'tipri<e 
finguhrum:in bigis igr duabus inferiorum viceversa non inter convereentespo- 
' tiffiwum, nec inter divergentes fjed inter ejujdem p/ag<z motus,perfec?<t Harmo- 
ni* reperiri debuerunt. Et quia Telluri if) % , duxperfeftx. debebantur : quare 
etiam ? fj* ? du<z debebatur perfcB<e.Et i/li quidem duo 3 tam inter aphelios pfcBB 
fortiri debuermt , quam interphelios, quia geri 3 HarmonU mutare debuerunt : 

Gg z Venus 



225 De M OTIBUS PlANETAR UM 

Uenus verb $ Mercurius,utpotegenusHarmdniitnonmutantes,nonetiamrc- 
quirebant perfeclas inter utram^bigam , tamapheliorum quam periheliorum 
motuum.jedjuccejjit pro Harmonia perfecia apheliorum^i/t qu<efbrmentzttajam 
Juit , HarmoniaperfecJa convergentium : vtjicut ^Venus inferiorumjuperior , 
propriam motuum proportionem hab&t minimam omniuniper XXVllI.Mercu- 
rius, inferiorum inferior , proportionem propriamjna&imam omnium Jortit 9 eji 9 
per XXX: Jic eiiampropria \Jeneris, omniumptopriarum e(?&t imperfeEiifiima; 
Jeuab HarmonijsremotifJima;jppriaverb $ omnium ftpriarumgfeciiffimajdejt 
Harmonia abjoluta ,Jine fermento; & fic tnndem undi^rationes ejent oppofta, 
Sicenim magnaliafapiencicefua: decoraricis, quieftantefscu- 
lum & ufq; in fa;culum : nihil redundac, nihil deficic , nec locus eft cen- 
furarcujufqUam. Quamdefiderabiliaoperaejus,&c. omhiaduplicia 
unum contra unum, nec ulli fuum deeft oppoficum; uniuscujufq; con- 
flrmavic {rationibus optimis fkibilivit) bona {Ornatum Q 'decentiam')&. quis 
facurabicur videns gloriam eorum f 

XLVL Axioma* 

£ Olidarum figurarum interlbcatio inter Orbcs 

, *r planecarios,filiberaeft, necprajccdenciumcaufarumneceflicaci- 
busimpedica, perfedtionefequidebec analogiam infcrirJtionbm &cir- 
cumfcripcionum geomecricarum;adeoque &conditiohespr6pbrtio- 
nisinfcripcorumadcircumfcripcos. ■..-.- -. „ 

'Pjjhilenimejlmagis confentaneum quamfut infcriptiephyjica Ceometrh 
$am> tanquam opus typumJuum^exacJ e reprafentefa 

XLVII. Propofitio. 

C I Figurarum inter Planetas infcriptio liberaruit , 

•^ Tecraedronfupracangeredebuicangulisorbem perihelium Jo- 
visexacle, infracencrisplanorum,apheliumMarcisexacl:e:Cubusver6 
& 0£laedr6,angulis ia Orbem perihelium fui quasq; Planetadhfifteces, 
cencris planorum penecrare debueranc orbem fui incerioris , fic uc illa 
cencra verfencur incra Orbes , aphelium & perihelium: Dodecaedron 
concra &Icofiedron,angulis excraftringencesfuorum Planecarum Or- 
bes perihelios , cencris planoru non plane attingere debuerut aphelios 
orbesfuorum inceriorum: Echinusdenique Dodecaedricusj ftansan- 
gulis in perihelio orbe Marcis , medijs puh£cis inverforum laterum, ra- 
diosbinosfolidosincerftinguencium^ debuicvenire proxime orbern 
aphelium Vcieris. . ~ 

, EJlenim Tetraedronjgurd media Primariaru^ 'ortu ^Jituin Mundo» 
*qualiter igr,Ji nihil impediebat ,Jumovere debuit utram^ regionem gfy ^ffl. 
Cuiquia Cubusfurjitm erat (fexterius,\Dodecaedro deorju^ inter'ms:par erat 
ergb,ut tf illoru injcriptio ajfefiaret contrarietatemeftCufTetraedron tenebat 
medium,& altera illarum eXcefiumfhceret inJcriptionis,altera dejec~iunnalter& 
fcjnteriorem orbequadamten 9 penetrarUi.alteranon attmgeretJStquia Ocla- 

edroit 



Harmonicis Lib. V. 251 

CAP. IX. 
edron efi Cuho cognatum y ttqualemhahens orhium proportionem ; lcojiedronve- 
rb Dodecaedro : quodigitur Luhus habet dcperfetiione injcriptionis , idem if 0- 
fkiedro debebatur : qucd Dodecaedron , idem & Icojiedro. EJi 0$ conjtmilis O- 
Iktedri (itus)Jitui Cubii lcojiedriverb ,Jitui Dodecaedri : quia vrt Cuhus alterum 
tenet terminum adextcriora : fic Ocluedron tenet reliquum extremum adinte- 
ricraMundi,Dodecae'dronverb(j * Icojiedronmediant': Convenit igitur etiam 
(imilis injcriptio ,illic penelrativaOrbis planetmij interioris , hic dejciens ah 
iilo. Echinus verb, qui fummitdtibus an ^ulorum rcpr<efentat Icojiedron, haji- 
bus Dodeca'e'dron } utramtfe eiiam regionem, tntn inter Martem Z$ c fellurem, Do- 
decaedro } qudm "mter Tellurcm d) l^enerem , Icofaedro tributas implere_j, com- 
■plectijeu difyonere dehuit. ^Utrum autem oppojitorum , utrijbcietati conveniat, 
jixiomapr&miftum clarum facit. Tetraedron enim,habens infcriptum orbem ef- 
fkbilem, medium fortita eji locum inter Primarias Jiipata utrin^,Jiguris incom- 
menfurabdium Orbium, quarumexterior Cuhus,imerior Dodecaedron,per cap.I 
huius. Hacverbqua/itas Geometrica, Effabilitzis infcripti, reprcefntztt inNa- 
tura injcriptionem flaneturij Orbis perfeSktm^ Cuhus igitur cumjbcid hahent int 
fcriptos , ex dimidio (dltefn effabiles , id eji ,Jolapoteniia ; debent igitur Jemiper- 
fbcTzim reprdjenture injcriptionem ; ubi licct non ipfa Orbis planetarij Extremi- 
tas, atja/tem interius a/iquid, if) nominatim Medietas inter Orbcs,aphe/ium £$ 
perihe/ium Jiper alias rationes feripojfit ,attingatur a centris p/anorumfgura. 
Dodecaedron contrdcu njocia hahent infcriptos p/ane inejfabi/es d) /ongitudi- 
neradij t$ potentia : debent igitur plane imperjetktm repr&Jentztre infcriptio- 
nem , £$ ptnitusnihil de Orhe planeUrio attingeniem ,hoc eji ',deficientem,& 
ufque adapheliump/anetce orhem nonp/anepertingentemjuorump/dnorum cen- 
tris. Echinus &tfi Dodecacdro z$ fbci& cognatut ejl shah&t tzimen a/iquidjimi- 
le Tetraedro. f^am radius infcripti laterihus ejus inverfis, eji quidem incom- 
menfurahi/is circumjcriptitadio , at commenfurabilis eji interim /ongitudir.e , 
dijkmtict hinorum angutorum vicinorum. Itztcj,perfbBio commenjurationis ra- 
diorumfere tztnta , quankt Tetraedro imperfeBio altrinfecus tztntzt, quantzt Do - 
decaedro tf Jocice. ConJenUneum igitur eji, eiiamphyficam injcriptionem ei 
competere , necplane Tetracdricam , necplane Dodecaedricam ,Jedgeneris in- 
ter?nedij ; vt quia Tetraedronplanispertingere debuit adjummum Orbu , Do- 
decaedron non attingere , certojpacio ;jam hcec aculeatajigura iaterihus inverfs 
interj^acium IcoJi'e'dricum,$ ' inter orhis injcriptifummujiet.jpxime hancftim- 
mitatem attingem : Jitnmen etiam ifkif^ura in fbcietzttem reliquarum quinque 
adfcifcenda fuit , leges^ ifi*, fkxntibus legihus illarum , toleraripotuerunt. lmb 
qUiddico toleraripotuerunil quihus ilU carere nonpotuerunt, 'Afamji Dodecae- 
dro competebat inJcriptiolaxa,necattingens;quidaliudindefinita7n illam laxi- 
tatem intra certce quantitatis^ metas coercere potuitiquam h<ecfubjidiariajigura a 
Dodecaedro £? Icojiedro cognatzii injcriptione Juaproxime attingente , \necplus 
deficiente (Jitamen dejicit 3 ) quam Tetraedron excedit & penetrat ? de qua 
quantiktte jam infequenti agemusi 

Valdeverifimilem reddichahc caufam Echini afTociati duabus 
cognacisfiguris(utfcilicecdecerminarecur proporcio Orbium Marcis 
&Veneris,quamilla; indefinicam reliqueranc) quod invenicur Semi- 
diamecer Orbis Telluris iooo.propeadmodu medio loco proporcio- 

Gg 3 nalis 



238 DeMotibusPlanetarum 

CAP. I3C 

nalis inter orbem Marcis pcrihelium & Veneris aphelium : quafi (pa- 
cig^^id^ciumquodEchinusvindicatcognatisfiguris, interillas> utpotefimi- 
lib v.fjj Jes , proportionalitar fit divifum* 

rfz.ubiP.P r r 

folidi an- 



guh O O. 

media in- 
rerfa laccra 



XLVlll. Propofitio. 



I 



Nfcriptio Figurarum regiilarium folidarum intcr 

OrbesPlanetariosnonfuic mera; libercacis : impediebacur enim 
Circa minima ab Harmom js inter mocus Excremos flacutis. 

T^aifa per Ax. I. d> II. Proportio orbium cujus^ Figura non ipfa perjeipfam 
immedtate debuit exprimi ,Jedper iUam qu#rend<£ pnus fterunt , motibuseL ex- 
tremii accmmoda mx Harmonix , ipfis Orbiumproportionibmjhmiliarijstm** 
Detnde, vtgAx.XHX. XX Harmonia univerfales duor ttm gener um efie 
poffent, fermenti nm nihil addiopoyt uit Harmonusjingularum bigarum Majo- 
ribus,per rationes pofieriores. iJt igitur ijkijkirt- pofient , fitif<J.proprijs niii 
ratiombus irequirebantur intervaUa diffidentianonmhii 'ab ijs , qu&funtex in- 
fcriptione perfeSi dfgurarum inter Orbes , legibus motuuvn Cap. 111. explicatis. 
Jd-vt comprobetur , & vt appareat quantum derogeturfingulisfguris per Har- 
monias proprifs ratiombus /fcibJitzts : age ex iUts extruamus intervalla planeta,- 
rum d Scle , novdjbrmd calculi nec atned tentatd a quoquam^ 

Erunt autem inquifitionis hujus tria capitz, : Primitm ex cujufa^planet^ 
Ca'eu1us wotibus binis extremu , inquirentur ejus £jf Solis intervaUa itidem Extrema^ , 
interyallo- ex jjj j{ a ^ us or ^ s in $& Extremorum intervallcrum dimenfione , cufusq, pla- 
tarinrum netxproprta, Secundo y ex i/fdem motibu<extYemts , tn dtmenjtone omnibus ea~ 
ci H irmo. dem, innuirenturmotus medii, eorumq. proportio. Tertib ex propcrtione motu- 

nica poli- ',. . /irr/i *"•■{-, i- r % . J- -.-■•* // 

ticacmcr. um medwrum jam patepcta , proportto Orbittmjeu Medtorum tntcrvauorttm 
gentium. invefl gafatur , £Sf und etiam extremorum i iUaque comparabitur cumpropor- 
tionibtts f^ttra/ibus. . 

Quid primum attinef.repetendumcft ex Cap. III. numero VI. qubdpropor- 
tio motuum extremorumjit duplaproportionis everfz rejp mdehiium intervaUo- 
rum a Solzj. Citrn igitur etiam quadratorumproportiojtt dupfa proportionis 
fitorum laterum : ergb numeri quibus extremi motusjingulcrum exprimuntur, 
conjiderabuntur irt ^Juadrati,^ qtt<tfit<£ iUorum radices dabuntextrema inter- 
'VaUa, qttorumfkcile efl mediun arithmeticum accipere,pro Jemidiametro Qr- 
bis & Eccentricitute. Igitur Harmonix hatlenusfkibilitaprtefcripjerunt 



Planetis- 


Vlotuum pro- 


Horum Radi- 


I Erg6 femidia- 
mctcr Or- 


Ecccntrici- 


In dimenfione 




portiones 


ces aut pro- 


tas. 


femidiametri 






longata aut 


bis. 




Orbis 100000 






muluplicium. 








Saturno 
pcr XXXVIII. 


«4 
fci 


8o 
90 


tf 


S 


j»t 


Jovi 
per XXXVIII. 


6?8t 
8ooo 


8io]oo 
8? 444 


Sf-zz 


Sfl-.i 


+9S4- 


Marti 


i/ 


5° 








perXLI. 


16 


6o 


V 


s 


9W 


Telluri 
per XXVIII. 


ipi6 


9)Si « 
S>6ilS 


9S178 


i^47 


>7J° 


V eneri 
perXXVlH. 


14? 

2/0 


S>8/9 

10000 


99W 


yos 


710 


Mercutio 
perXLIV. 


f 

il 


65=>-o 
^looo 


806*4 


I7J75 


*'j;x 



Mfc 



Har monic i s L i b. V. 259 

Jdficundum expropofitis rurjum oput hahemm capitis III, numero XII. tt* 
li ofienfum, qubd numerus, quiexprimit motum medium injfportione extremo- 
rumfit minorMedio eoru arithmetico,minor etiamgeometricofimifie differetia 
Medij utrffy, Et quia omnes mot* medios eXquirim 9 in dimenjione eddem ; quare 
emnes j>portiones , haclen 9 Jhhilitx inter binos g> binos,omnes etiamfingu/orum 
pprue, explicenturin menfitra communis minimi dividui. Tunc quarantur Me- 
dia , arithmeticum £ dimidiationem dijfcrentite eXtremorum cujufy motuu,geot 
metricum.per mu/tip/tcationem extremi unius in alterum, $ extraclionem ra- 
dicis efhSfo: tuncjemifiidemediorum differentid ablald d gcometrico Medio , 
conjiituetur numerus Motus medij , in dimenfione cujufif. extremorum motuum 
propria . qu&fhci/e per regitlam proportionum tranfmutatur in communem. 



CAP.IX. 



Proportio- I j iingulo ] 

nes:Harmo-|Numeri motuu | rurt.jp- 




extremorum 

jj. 139968. 
1.-1 7 7 «47? 
2J.. 35429+. 
2J..+ 3 2000, 



^.2073 600. 
,^1.2985984. 

.4478976. 

.4800000. 

.7464950. 
.76 Soooo. 

.1 2800000. 
.3 0720000. 



64] 

SiJ 

6-561] 

8000J 
2*1 

291 61 

250J 

fl 

i-ij 



Media fingulorum con- 
tinuata. 
Arithmcti • Geometricum 
cum ieuradix. 


Diffcre 1 
tia_ie- ! 
miffes. 


Numerus motus medij in di. 

m.nilone 
Sua Communi» 


72.50. 


72.00. 


25. 


7i-rf* 


1 $6917. 


7280.5". 


7244.9* 


178- 


72,271. 


390263. 


30.50. 


Jo.oo. 


25- 


29.75. 


24«75*4« 


3020.500. 


301 8.692. 


904. 


3°i7.788. 


4«3 5 322» 


246".5oo. 


24«.47-j'. 


125. 


246.4625. 


757^32». 


8.500. 


7.746. 


177- 


7.369. 


18864610. 



iigtirx ultra punclum pertinentad prareifionem numeri in p.dcnarijs 

Inventaeflergb ex prdtfcriptis Harmonifs,proportio Mediorum diumorum 

motuum , quxjcilicst efi inter cujuf/^gradutt £$ minutorum $c. numeros inter 

fi comparatosiqux qudm propinque accedat dd Afironomiam,fhci/e eji exp/orare* 

Tertium caput propofiiorum indiget capitis III. numero VIII. InventA 
enimproportione diurnorum mediorum motuum infingulisPlanetis,datur inve~ 
nire d> proportionem Orbium. Ejl enim proportio mediorum motuum . propor- 
tionis Orbium everfie fifquialtert.Atqui etiamproportio Cubicorum numerorum 
cft fefquia/tera proportion is Quadratorum aaeajdem l^adices adfiriptorum in 
Tabu/a Clavij, quamjubjunxit fitx Geometrite PraBktz. Quarejiquttran* 
tur numeri noflri motuum mediorum (decurtati , uhi opus erit , aqualinumero 
cyphrarum) inter Cuhicos il/iusTabuU, exhibehuntadfiniflramfith titu/o Qua- 
dratorum, numeros proportionis Orbium: tunc Eccentricitates fuprdfingu/is ad- 
firripta. indimefione cu']uJ^ ; femidiametrorumproprid 3 Jhci/e per regu/am propor- 
tionum tranfyonentur in dimenfionem omnibus communem, n/t ijs additis adfi- 
midiametros orbium , inde^ ablatis , confiituantur interva/lafingu/oruma So- 
/e, extrema. Dahimus autem femidiametro Orhis Telluris dimenfionem rotun- 
dam )ooooo,vt moris efl mAjironomiaiid^ hoc confi/io,quia hic numerusfeu qua» 
drate multiplicatusjeu cubice ,fimper conjkit meris cyphris ; itzify etiam motum 
medium Teuuris ejferemus numero 1000 000 000 ; per regu/amproportionum fhci- 
entes,vt nmierummotus medij cujufyplmet&adnumerum motm medij Te/lu» 

risjfis 



240 DeMotibusPlanetarum 

', ris;fi:tooooooooo ad novam dimenfionem. Iu quinq. folis radicihus cubic% 
tranjigtpotertt negocium , jingults ittts cumunico letturts numero comparatis. 



NumeriexmQtibus medijs Numcri 

in dimenfione , portionisor 

Priftina, Novacvcrsain- biuni intcr 

ter cubos qren- quadratos 

da. inveriti. 
156917. 2.9539960. 955<S- 
390263, 11877400. 5206. 
T, . 2467584. 1878483. 1523. 
<f. 4635322. icooboo. IOOO. 
$. . 7571328. 612220. 72 1. 

£,.»8864680. 245714. 392. 



4- 



Semidi- 


ametn ut 


Supra. 


8:5, 


S 5222. 


5 5 • 


9 5I78- 


99295. 


8062-5. 


•■- 



Eccentricitas 


Tntervalla extrc- 


Indimenfione 


macmergentia. 


Propria Com- 


Aphc- Perihe- 


ut lupra. muni' 


lia. lia. ' 


<y. 562 


•IOI ig. 8994. 


^2 22. 25 8 


54.64.. 4948" 


5- 138 


1661. 1384 


164.7. 17 


10,17. 083 


705- 5 


726. 716 


i7?75- 85 


476. 308 



jipparet igitur inultim&Jerie, quales prodeant Numeri, quibm convergentia 
iinorum exprimuntur intervall.i: qui omnes vaide prope accedunt adilla inter-- 
valla,qut£ inveni exobfrvationibus Bmheanis. Injolo Mercurio parvula eji dif- 
ferentia.Nam Afironomia videturei dare intervallahttc 470. j$$. 306. omnia 
breviora. CaufadiJJidijvelin Objervationti paucitutem conjicienda videtur,vel 
m Ecceniricitntis magnitudinem. IJide cap. III, Sedadfnem calculi propero. 

lam enim fhcile ejl, comparare proportionem orkmmfguralium cumpropor* 
tione intervallorum convergeritiuni^. 



Nam fi Semic1i£.meteroibisfiguracircnmfcripti 

^uareftcommu- TuncSemidr infcripti 

DJter 100000 , fiat ex pro fiet 

InCubo 8994- % 5 77 3 $ 5«9+. 

InTetraedro 4948. 2(- 3 33 83 1649. 

la Dodecaedro 1 3 8 4 <f< 7 9 4 6 j noo. 

-Inlcofiedro 983-T. 79 + 6$ 7S1. 

InEchino 1384^ i 2 i7i 728. 

InOtlaedro 71 6. £ 5773$ 4«3» 

taQSarlxaro Oftaedri 71 6.3. 70711 506. 

tcI 4.76.%. 707 ii 33*« 



6um fit intemllum ex 
Hatmonijs. 



Medium 
■phelium 
aphelium 
aphelium 
«phelium 

mcdiuni 

aphelium 

perihelium 




Pauibfjnfamedium hvis defendunt plana Cubica;ttonpIan} ad ipfie>& 
Mcdium Mercurij,plana Oc~h'edrica;paulb infrafummumMartisJTetraedrica; 
nonplane adipfumjummum HJeneris^ /atera Echini ; longeverb ab aphelio Tei- 
iuris deficiunt plana DodecaZdrhlonge* etiam, ■£$ fere proportionaiiter abaphe* 
Tw XJenera ,plana Icojiedri: OBnedridenicL quadratum plane ineptumtfl rxee 
injuria; nam quidplanafigurx interjolidas? iJides igrjtplanetnrum interval' 
4a deduca ntur ex proportionibus Harmonicis motuum , haBenui demonjlratis ; 
jiecefe efe zrt illa ttintu evadant ,quanta h&patiuntur , non verb , quantarequi- 
rerent leges injcriptioriis iiber<t,prop.XLv.pr<eJcript»e: quia hic^Q^pi^^jy^ 

&)|t£.g/&W0S' injcriptionis perfeBa, non erat ampliusjuxta iilumalterum %qq-~ 

fJLOV d$(lOWCOV \vhxQ\^&ivtGaleniverbisutar,exhu)uslibxtV~fon- 
-tifpicio de/umptis, Tantum addilucidationempropoptionis prxjcriptx^ ipjo nu* 
merorum calcuio demonjlrandumftit. 

Non dillimulo, fi Harmoniam convergentium Veneris & Mercurij 
augeam propria proporcione mocuum Veneris,eademq;,uc confequi- 
-tur , minu am propriam Mercurij ,- tunc prodire mihi per hanc mecho- 
^um,inteirallaMergurij i ScSolisiXtaH!'69,388.f07.qu??Yaldepr£Ecifere- 

prsefen. 



Har monic i s L i b. V. 241 

CAP.l* 

praefencancur ab Aftronomia. Ac primo diminucionem illam non pof- 
fumdefendereracionibus Harmonicis s nonenim quadrabic aphehus 
Mercurij in ullam fcalam Muficam; nec cenecur inPlanecis,oppoficis in 
Mundo, plenaria racio oppoficionis omnium condicionum, Deinde 
mocusMercurijmediusdiurnusficnimismagnus , e6q,periodicum 2 
cempus , quod eft cocius aftrbnomia: cernffimum , nimium abbrevia- 
rur, Icaquemanebinpolicia Harmonica mocuum, hic ufurpaca & coco 
cap. IX, confirmaca. Veruncamen hoc exemplo vos, quocquoc in hu- p I8T »cMi» 
jus Hbrileclionem incidecis, Machemacicis difciphhis , & furoma? phi- 
lofophia: cognicione imbu ci , bmnes provoco : agice ftrenui, vel unam 
exHarmonijspaffimapplicacis convellice , curh alia aliqua permuca- 
ce >• & experimini, num cam prope aftronomiam, cap. I V.prarlcripcam 
accelfuri ficis: vel concendite raciohibus, num mehus & cbhveniehcius 
aliquid mocibus cccleftibus aftruere , difpoficiOnem vero a me adhibi- 
cam in parce vel coco deftruere pofficis. Quicquid ad gloriam per cinu- 
cricCondicoris &Domini noftri ,• id asque vobispermeum hunclibru 
1 icicum efto ,-ac ipfe licenciam mihi fumpfi ad hanc horam ufque , mu- 
candipaffimilia, qua;prionbusdiebusofcicancicura , veljproperanci 
ardore prarpoflere concepca deprehendere pocui. 

IL. Epiphonema. 

T3 Onumerat,folidasrigurasingene(iintervallorum 

-M cedereracionibusHarmonicis,Harmoniafquebinorum Majores, 
Harmonijs univerfahbus omniumyquancum hujus erac necefie. 

Pulchro cafu adfeptenarij fffujidratum ILdevenimusiVthoc veluti Sab- 
hatum quoddam fuccedat ,pnetmfiisfex folidkOclonarijs EJfatorunu, deopere 
Coehrunu>. Meritb etiam Epipho nema fbci , quod inter Axiomata prxmitti po- 
tuit : quia etiam Deus jam defuncius opera Creationis , vidic omni a, qu&~ fece- 
rac, &ecceeranc valdebona, 

Duo funt Epipho nematis memhra: primum de Harmonijs ingenere , fic dc* 
monfiratur. Nam uhi deltBus efl inter diverfafemutub non ex afiefirentia ; M 
prxferenda efieprxfki ntiora, derogandumq^ viliorib 9 ,quantu necefe efi, ipfa vox 
T% XOCUM) 1 Ult omatumfigmficat , arguere videtur. Atqui quanto vitn cot~ 

pore,forma materia , tnntb prteflnt ornatus Harmonicus Geometricofimplici. 

Nam xrt; Animantum corporaperficit vitzt, quia ad hanc agendam funt natstiw^ Hb.lY» 
qwidex Archetypo Mundijqui eflipfa efientia divina,fiquitur: fic regiones F/a-M- «^J* 
net is attrihutas, motus,fideris quam^Jui, metatur ; quia i/tfidus moveripofieS t 
regio illi fita fuit affignatzi. Atq uifigur<e quin^folidx , vi vocis ipfius, adjpacia 
regionum pertincnt ,& ad i3arum,corporum% numerumiHarmonix verb admo- " de ^™ 
t us. Kurfiim vt Materia dijfufa efl ?$indcfinita ex feipsaiFormadefinita,unita t 
& terminans ipjamateriam: ficetiam proportmnum Geom&tricarum infinitx 
fiint i Harmonixpaucx. Etfienim inter GeomUricas etiam certifunt gradus de- 
fiiitionumformationumque & refiriclionum ; necplures trihus exifierepojfunt 
ex adfiriptione orhium adfigurasregularet : attamenhasetiamcommunecum 
reliquis omnibw accidensfiquitun qubdprxfupponitur infinita quantitatumfi- 
ilio pofiibJis i quameiiamacluquodammodi involvunt ilU, quarum tcrmini 

Hh ' funt 



242 DjE MOTIBUS FlANETARUM 

C AV TV 

fimt interfi incommenfinr abdes . At Harmonic<sproportiones omnes Jitnt effabiles 
omnium termini commenjurabi/es ; y^ defumpti exfigurarttplanaru, certa ~S fi- 
nita fpecie.Infnitas verofclionismateriam;commenfuratio verbjeu EJfabilitas 
terminorumfirmarepr<efentat. IJt igitur materia Forma,iJt rudejaxum ,jufl<e 
quidemquatitatis ,Ideam humanicorporisflc Geom&trkce Figurales ^pportiones , 
Harmonias appetut ; nonzrtfingat& ' fbrment illasJedquia\h<ecMateriaadhanc 
Formam,h<ec faxiquantitas adhanceffigiem ', h<ec ati&mfiiguralis proportio , ad 
hancHarmor. iam quadrat aptiusii/t igitur fingantur firmentura. ampiius, Ma- 
teria quidem d fua Forma,Jaxum d Co/apte injbeciem animantis; proportio vero 
erbiumfgura/ium, kfitd, idefi,propinqud £3? apta Harmonid. 

Qu;:huc uffyjunt difh , c/ariorafentex hiflbria mearum\inventionum t 
Cum ante z 4 . annos in hanc contemplationem incidifemiprimum inquifivi,num 
aquaiibus intervallis ab invicem difmrtnt orbes planetnrumjinguii ( dflnnt n. 
orbes in C opernico , necfefmutub attingant ) : nihil ficilicet puichrius agnojce- 
bam<equaliUtis ratione^JUi verb caput tf cauda deejl: nulium enim numerurn 
certum corporum mobiliumj, , nullam certam intervallis quantitatempr<ebeba>t, 
h&c materidlis xqualitas. C°^taviigitur de intervallorum Jimi/itudine ad 
orbes ,ideflde Proportione. At fequehatur qtierela eadem,nam etfi proveniebant 
quidemintervallainter orbes in<equaJia fdne ; <vtnec in<equaliter in.equalia^ , 
irt vult Copernicm ,nec quantitas proportionis , nec numerus orbium ejfcieba- 
tur. Wranjivi adfgurasplanas regulares;fbrmabantur ab ijs intervallapcr ad- 
fcriptionem circu/orum: fidadhuc nullo certo numero.^Ventum adquincjfjolidns; 
hic g? numerus corporum , f£ infervallotum ma^nitudoprope verapatebat>a'd- 
eb -utfuper re/iqud difirepantid ad Aflronomi&perfeElioncm appei/arems. Per- 
fitfa ftiit his zo. annis Aflronomia ; ^f ecce adhuc interval/a difcrepabant dfigu- 
risflidis ; necdum caufiepatebant Eccentricitatum inxquahfifime diflributaru 
inter Planetas. Sci/ica in hac Mundi domo qu<erebam nilnififixa, frm<e eli$ 
^antioris ,fid qu<efiaxis conveniret; ignarus, Architecium iliajinx ifie in articu- 
latiffimamejfgiemanimaticorporis. ltapaulatim , his ptxfertim ultimis p 
annis,vetumadHarmonias,de(ertis circa minimaFiguris folidis : cum quia ili<e 
Jfabant a partib 9 FormSy auamultimamanus imponeret;figur<ed Materid,qu<e 
in Mundo efi numerus corporum, g£ fbaciorum rudis amplitudo: tum etiam quia. 
iM<e dabant Eccentricitates, quashct nepolficebantur quidem : ill<efilictt nafium 
ocuios ii\ re/iqna membra conciliabantJhtu<e;cui ifl<eJo/am externamrudis maf 
fie quantitutem pr<efcripfirant. 

G^ujre Jicut neq^corpora Animantumfitnt fhtfa ,nequejaxi molesfierifol&t, 

ttd mrmampuram alicujusfigur<e geometricx ; fed derogatur extern<efigur<£ 

rotund<e,quantumvis eleganti^manete tamenjufla mo/is magnitudine) ,vt cot- 

pus organa vit<e neccffaria ,fiaxum verb effgiem animantis nancifi pofiit : fic 

etiam proportio, quam Orbibus p/anetarijs pr<efriptur<e erant fgur<eJo/id<e , "vt 

infirior, £3? tanthm corpus materiam^JfecTuns, cederedebuit Harmonijs;quan- 

tumejits ,erat neceffie adhoc,%rt fiUre ill&juxta, mof ^globoru exornare pofent. 

X vil*. iui! Alterum Epiphonematis membrum,de Harmonijs univerfdlibus, cognatam 

ttv Axiomzpriori probationem habet. 'JSfamiUipotiusdebeturJuprema ve/uti perfecJicnif 

ta a um- ^ iHm ^ q UO dmagis perficit Mundum ; ilii viceversd derogandum,ffi derogan- 

paite. , d im,a/terutri) ; quodpofleriores hicpartes tenet. &At magts Mundum perfcit 

univerja/is Harmoniaomnuim ? quamflngufares binorum i$_ binorum vicim- 

tumge-z 



HarmonicisLib. V. 245 

rumgeminx. EJienim Harmonia , qu&damunitntisratio : magis Igitur uniti^^ ^ 
funt ,fiomnes'Jimulin unam , quamftbini quifyfeorfim in binas confpirent Har- 
monias. fffuarc in confliciu uirarum^ , cedere debuerunt ex binis bino rum P/a- 
netnrum , aiterutrxjtngulares < irt (fare pofent univerjales omniuwu. Potius 
autem Majores, divergentium motuum , cedere debuerunt ; quam Minofes ,con- 
vergentium. Si enim divergunt illi , JfyeEfant igitur ad Ptarietas non bigtxpropo- 
Jit<t, fed alios vicinos ; £jf (i convergunt hi', Vergiintigitur,alterutrimPlanetx. 
motus adreliqui motum,permutatim:irt in bigajovis jjf Ma'rtis',illtw aphelius 
adSaturnum , hujus perihelius ad Tellurem vergit ; at illim periheliw vergit 
ad Martem , hujus aphcliits ad lovem. Horitm igitur Harmonia lovi sf> Mar- 
timagis ejl propria;i!iorttm,divergentium,Harmoniaa Jove & Martequod^m- 
modbejialicnior. oJ^linus autem Udebatur unionis ratio , quxbinos £3 ' binos 
vicinos colligat ; (i alienior S remotior abijs Harmonia firmentar&tur : qttam 
Ji propria , quajc. e(i inter vicinsru m Planetarum motus magis vicinos. he tj, 
tzimen vaide magna feit kxcfermentntio : Lnventn enim tfl ratio , qua &Jki- 
rent Harmonix univerjales omnium Planetsirumj, , ex^ dijtinciorum dttorum 
generum , gf cum aliqua tenjionis latitudine, , quxfaltem Comma ^equaret ; if 
jinvulares zfta?n binorttm vicinorum bin.-e a(?erefentur;Convergentiuw qttidem 
motuum in quataor bigis , perfbcict ; aphelicrum in una, perihelivrum in duabus, 
itidtmperfecix.divergentiumverbinquatuor bigis ,infra difcrepantiam unitts 
Diejios, intervaHi minimi, qitantum humana vox in cantufigurato (cre pctpe- 
tub peccat; in unica verb Iovis $ Martis, inter Die(in £5? Semitonium. Jpp.iret 
igitur hancmutuam cefjionem undiqua^ ife valde bonam. 

Ha&enusigrdeDeiCreatorisoperenobis cfhni§m{]£j&. R». 
ftatnunc , uc velrandem oculis&manibusdetabulademonft-auo- 
num ablatis, inqueccelumfublatis, Patremluminumdevotus&r fup- 
plexcomprecer: OquihimineNaturaedefide^urimnobispromoves 
luminisGratix, utper.idtraniTeras nosin lumenGlonae,gra iasago 
tibi Creacor Domine , quia delectafti me m faftura tua , & in ope- 
nbus manuum tuarum exultavi : En nunc opus conftimmavipro- 
feffionismeae, tantisususingenij viribus.quantasmihi dcdifti ; ma- 
nifeftavi glonam operumtuorum hominibus,iftas demonftrariones 
le£turis> quantum de illius infinieate capere potuerunt anguftiaeMentis 
meas >■ promptus mihi fuit animus ad emendatifllme philofophandum: 
fi quid indigaum tuis confilijs prolatum a me, vermiculo, in volutabro 
pe-scatorum nato & innutrito,quod fcire vehs homines: id quoque in- 
fpires, ut emendem: fi tuorum operum admirabili pulchritudine in te- 
meritatem proledus fum , aut figloriam propriamapudhominesa- 
mavi,dumprogrediorinoperetua'gloriaedeftinato ; mitis& miferi- • 
corscondona : deniqueut demonftrationesiftamia?glcria?& Ani* 
marumfalucigedant , neceiullatenusobfintjpropitius 
efficere digneris. 

Hh % CAPUT 



844 Ds Motibus Planetar um 

GAPVT X. 

EpilogusdeSole, coniecturalis. 



A 



Mufica cadefti ad auditorem , a Mufis ad Chora- 

gura Apollinem ,;a Planetisfex circumeuntibus, Harmoniafque 
facientibus,adSolem in curriculorum omnium centro , immobilem 
loco, in feipfum camen fe revolvencem. Cum eiiim 3bfohlriffima fit 
incer excremos Planecarum mocus Harmonice , non quoad veras celc- 
ritates per auram aetheriam." fed quoad angulos, quos formarit termini 
diurnorum arcuum de orbicisplanetarum , connexi cum eentro Soiis; 
Harmoniaveronondecoreccerminosj ideft , motusperfefingulos ; 
fed quacenus incer fe jundi & comparacijfiutK objeftum alicujus Men- 
cis:& cum nullum objedtum fruftra fn ordinatum,non exiftente aiiqua. 
re, qua? ijlo moveattir ; anguli vero ifti praefupponere videantur actio- 
nem aliquam, limilem vifus noftri, auccerte fehfionis iilius, qua libr.I V* 
Nacurafublunaris percipiebac angulos radiorum ex Planetis , in rerra 
formacos : equidem qualis in Sole vifus , qui Oculi finc , auc quis inftin- 
£tus alius , percipiendi hosangulos,etiamfineoculis , aeftimandique 
Harmoniasmocuum,admencis veftibulum quacunque porta ingre- 
diencium , qua;denique Mens iftain Sole ; conjicere nonfacile eft,cer- 
ram incolencibus. Utcunque camen fe habeanc ifta, cerce circumpO- 
ficio illa fex orbium primarior um circa Solem,colentium illum perpe- 
tuiscircumvolucionibus, Scveluciadoranciumfficucfeorfim jovisglo* 
bumquacuor,Sacurnumduo>Tellurem vero&nosejus ihcolas uni- 
ca Luna curfu cingic , colic , fovec , nobifque famulacur ) , & illi 
confideracioni jam accedens fpeciale hoc negocium Harmonicumi 
^eftigium evidenciffimum fummac providenciae rerum Solarium, 
hanc a me confeffionem excorquenc : Non cancum exire in cotum Mu- 
dum ex Sole, ucafoco vel oculo Mundi, Lucem; ucex corde , vicam & 
calorem , uc a rege & mocore , mocum omnem : fed vicifllm eciam in 
Solem colligi ex omni Mundana provincia , jure regio , hos veluci red- 
ditus Harmonia? defiderabiliffima? , imo confluences eo fpecies mocu- 
um binorum, mencis alicujus opera in unam Harmoniam colligari , & 
veluc cx rudi argenco atque auro Monecam fignari : denique in Sole 
CURlAM,Palacium,&PraecoriumfeuRcgiameffecociusregniNacu- 
rae > quofcunque dederic illi Creacor Cancellarios , Palacinos , Praefe* 
&os; quibufcunque paraveric iftas fedes,feu creacis ftacim ab inicio,feii 
olim huc cransferendis. Nam & cerreftris ifte ornatus pociflima fui 
parte, diu admodum fpeculacoribus & ufurpatoribus, quibus camen e « 
racdeftinacus,carebac, fedefque vacua?eranc, Subicigicuranimum 
cogicacio , quid fibi vofuerirtc anciqui Fythagoraei apud Ariftocelem , 
quicencrumMundi(quorfumIgnemreferebanc, Solem vero fubin- 
tcHigebant) folici func appellare Jovis E X C U B I A S, AIOZ <J>T- 
A AKH N ,■ quid icem vetus incerpres agicaverit animo, cum verficu- 

lumcx 



HarmonicisLib. V. 245 

lumexPfalmoficredderec,IN SOLE POSUIT TABERNACU- CAp . x 
L U M. Sed & in Hymnum Procli philofophi Placonici nuper incidi , 
fcripcum m Solem, refercumque venerandis myftenjs, fi ei unum lllud &«£&&, 
K/w. eripias : quamvis hoc ipfum in eo quadamcenus excufavenC ve- b * s | lbris 
cus mcerpres , jam cicacus : uc ille fcilicec Solem invocans , illum fubin- mehtio. 
celhgac.quipofuicinSolecabernaculumfuum. Vixicenim Proclus s u b Coti- 
quo cenapore , Jefum Nazarenum fervacorem rioftrum, Deum profi- flamino, 
ceri , deofque gencilium poecarum concemnere, fcelus erac , quod om- & 5™j? "* 
hibus fupplicijs vindicabanc Mortarchs orbis, populufque adeo ipfe; Apoftata. 
Proclusigicur,quifiliumdeivelexphiIofophiafuaPiaconica, nacura- v . , 
li mencis lumine confpexerac eminus, lucem illam veram , quae lllumi- e j US libio 
nac omnem hominem , veniencem iri hunc mundum : qui divinicacerr. jyTjj^^ 
ih rebus fenfilibiis cum fuperfticiosa plebe nequaquam quaerendam cQ ,-_ 
fe jam fciebac : Deurn cameil in Sole , quam in Chrifto homine fenfi h°^ ,u '' 
quxrere , videri maluic ; lic fimul & gentes fallerec, Tkanem poecarum r ,um in °t 
verbocdnus hoflorans ,• fimuljfuje pbilofophiaj opCraretur , abftracturus n o fi' n c di- 
6igences&Chriftianosafenfihbus , illosaSolevifibili, iftosaMaria. vinorapta 
fiho.quiaMyfieriumincarnacioriisrefpu._bat, nacuraUMericislumini ^Tdcau 
nimium eonfifus : fimuldenique , quodhabebamCh.iftiamd.v.nifli- nam uni- 
mum, &: Placonicae Philofophia.maxime confencaneum , ipfeabijs yf rS ™j°f 
cranfumpcurii,iriillamfuamphilofophiamadopcareC t Icaquedacnr chrymis 
dofh-inae Evangelij de Chrifto , concra hunc Procli Hymnum , adio in ae0 ^- 
rem fuam : habeac fibi Tican iile res fuas XevcrdwicL dCTcifJLteiov Cpd- authoris 
ag , fj.2cr(rctTilwdi3-i^(^ J 'iSlw msfitfs K^ihdiov l&LCpiyyicLxv- t> P us, rufp.- 

n • r-y ■ ■ ■ 1 - 11 . cionem o- 

yJhoV , quamfpeciemeciamCopernicuseilargitur:habeaceciam7rot- m..emau- 

XwoW ^(p^ictg, qaamvisillosnonhabeacperanciquosPychago- ^tl 

reos , fed eorum loco t* '&%" > ^ $«**# » ( quod ipforum do- £™J 
gmafuccelior Prociusoblivionefa?culorum , Velucd.luviodelbrma- na chri- 

cum , non aghovic) habeacSc ymfihlw eX fe &&swajtrwi , &C J£ 
quicquideftnacurale : cedac viciciflim philofophia ProcliChiiftianis «*# 
dogmacibus , cedac Sol fenfibilis Mariaefilio , filiumillum Dei , poiuicjo" 
quem Proclus alloquicur fub Ticanis nomine , ^aopxl^, u dvcL,7TVI- f™« 

yvgajJvfzXM* 7 ^^ ' & ^ a ' nwfo™ ***»«« iy^mooio ip p f ~ bra " 
fofayoiYig j & illam poceftacem immenfam J u.aj£0Mdj/,& qua; in* nulla ^"J 
philofophia legebantur ance promulgacionem EVangelij , Da?m onas qi 



rseca- 
reiuna 
tiam» 
uastame 
cfenden- 




Verbu pacris'eft ille UKW 7T(JLyyiViTCL0 SlSi « (pClLvivl^cbt 'appJlfe muiauerat. 
ymTt)$(§> J 7TclvctclIo ^oi^eim o^vfjLOLy&og hr dftviteifif loilav Jfi"*^ 

* Similia tamen non nulla Orpheo vctuftiflimo, &prope Mofissquali, tanquamhujus difci- nOB Ya i»i 
pulo tribuuntur ap. Suidanv Viie & Hymnos Orphei , in quos fcirpfit Produs. b*nu 

Hh | Secua= 



1\6 De MoTIBUS Pl ANETAR UM 

cap. x, fecundum illud > Terra erat rudis indigeftaque moles , & cehebrje fu- 

per faciem abyffi;&,DivificDeuslucem a tenebris,aquas ab aquis,mare 

ab anda; & v Omnia per ipfum Verbum faclafunt. Quis nifi Jefus 

An^i- Nazarenus , Dei filius, 'fyyfcM CLVdy^yivg , paftor anima- 

nusifte, rum , cui offerendatxgflr/n 7TQ\vS ) ciLX.PV© J > utnospurgcta peccatis» 

pars erat 5 , . 

M^&)- exc l ue fordibus eruat wg ytViUMg •> ( quafi peccati originalis fomicem 

~* . facerecur) & a pcenis malifque euftodiac, 7%t)UJJM §0QV OLILLCL JYwjff t 

5 fciliceciramPatris? &quzealia velut exHymnoZachanaedeprompca 

legimus, A%7\iw )>7m<i>i.tc'ciQ'a.g oMw^^gtov XoKoypTov > 

utfc. animabus verlantibus in tenebris &umbra morcis,dec <£#©-' 

cLyvov Sc oX@qv cLsvtpihizlov cltt zvo-ifiing i&Twmg \ id enim eft, 

fervire Deo in fanclicace & jufticia omnibus diebus noftris. 

Hsecigicur&fimihafeponamusnos jam, adquedddrinamEccle- 

fi£Cacholicaj,cujusfuncpropria,remiccamus: Cujusverbcarsapotif. 

i. . fimum radtaeft mentio Hymni, idvideamus. Eundemenim Solem , q. 

Sicetiam v a , ,„ .,-.-■/ i i *1 / ■ > v • .7 . , 

orpkeus. Y^oSriV cteLLOVMg pvLLCL fihovo-iov i%o%tTtvet , eundemde cu- 

KQtTLLX j us p ro fapia oriundus Phoebus, KiQctP, w t/Vo M<rKZ7\cLJLLi7\7TQV 

tov sir 1 - lLvvcilfi Ltiyci KVLLct@cLev(p7\oio-@>oio yiv$7ws, & cujus chori 

OftW.0- conlbrs eft Pzean , riAnVct? ctefioving 7rcuia.7rrifiov@ j ivgict kovllov. 

ViQV eundeminquamprimoftatimHymniverficulofalutac TLvffogvoiPp 

fipJLLQV @>0L<ri7\&CL. Quo exordio fimul indicat , quid Pychagoreifub Ignis 

ihKW. vocabulointellexerinc, (ucmirumfic, difcipulumamagiftrisinCen- 

* triloco, quodipfiSolidabanc, dirtencire): fimulcotumHymnum a 

corpore Solis, ejufq; qualitate luCe,fenfilib p , ad intelleftualia tranlrerc; 

& illi fuo TIvpJ, VQiPCO (igni fbrce Scoicorii arcifici ) illi Placonis fui cre- 

a co Deo,Menci principi feu AvTOVU), fedem regiam in corpore Solis aP 

fignavki Creacuram & eum, per quem omnia creacafunc, confundens 

in unum. Ac nos Chriftiani , melius diftinguere docli , Logon illum ^- 

ternum& increatum,qui tr&tftgogTOvQzoV, &quinuIIisfedibuscon- 

tinetur, quamvis fic incra omnia , nullis excludirur, quamvis ipfe excra 

omnia, fcimus carnem ex ucerogloriofiffimaj Virginis Mariae in unica- 

temPerlbnajfufcepifle i &confummaco carnis minifterio, ccelos, in 

quibus & pater cceleftis , exccllenci quodammodo prae caeteris Mundi 

parcibus,per gloriam fcihcec & majeftacem habicare 3gnofcicur,fedem 

regiambccupafle, eciamquefuisfidehbus inilladomopacrisfuiman- 

fiones efle pollicicum:de caacero fuper illa iede curiofius aliquid inqui- 

rere,lenfufque vel rationes haturalesad id indagandum arceflere,quod 

oculusnonvidit, aurisnonaudivit,&in corhominisnon afcendicfu- 

pervacuumexiftimamus:Mentemverbcreacam, quancaxumque fic 

illa praeftanciaj, Creacori fiio mericb fubjicimus,- necDeos Incelligenci- 

as cum Ariftotele& philofophis gencilibus , nec Spiricuum Planecario* 

rum exercicus innumerabiles cum Magis introducimus , adorandofve 

aut 



a 

cu!.xSolis 
cmon- 
-» ftratum 
oc in co- 



HARMONICIS LlBER V, 247 

autTheurgicis fuperftitionibus adrnutuum commercium exciendos 
proponimus : hocdiiigenter cavences , jam porro qualis Mens qua:que 
fit , pfertim fi qua in corde Mundi viees animae mundi gerens , Naturse videLibri 
rerum arclius eft alligata, ('autfieciamaliquaecreacura:incelligentes,mcideftel- 
Naturae diverfae ab Humana,globum ficanimatum forfitan mhabi- lan< £v C iv 
tan t , inhabitabuntve) naturahbus etiam ratiombus inquirimus hbere. de An^ma 
Quod fi licet analogia; filo ducence, labyrinthos myftenorum Nacura* Mundi & 

\ r. r ii nonnullis 

permeare; non mepce quis, opinor,iic ruenc argumentatus, quod quae e , muniji 
eft habitudo fex orbium ad commune illorum , totiufque ade6 mundi 

centrunr, eadem fit & TftS focLVoicLS ad TOV VOVV 5 ut tiae facukates ab A* 
riftotele , Placone, Proclo & caeteris diftinguuntur : &rurfum,qucd 
quse hablcudo revbliitibhum localium, Planetarumfingulorumcirca n 

1 > ■ /a r\ • •','•' iJcqiiate- 

Sdlem idSoiiseYrationem^gra.Og/O^mfpaciototiusfyftemacisme-ftantwn 1 
dio; eadem fit etiam habitudo § d'iW0Y)TlX.% ad TO j/og^opjdifcurfuum d< 

ratiocinationismultipliciumsadintelledtiortem merttalem fimplicifii- h 
mam.NamuriSolinfeipfum revolutus,peremiflam exfe fpecieha,mo- mentajrijs 
vetFlanetasomnes : ficetiammens,utphilofophidocent,feipfamin- ^ a m c °j/ 
telligeil3,mqueie:psaomhia,ratiocinationesciet, fuamquefimplici- 
tueminiliasdiducens'& explicans , omniafacit intelligi. Adeoq; coriwj^iv? >l? 
nexa func incer fe & colligata, motus Planetarum circa iblem in eorum 
centro , & ducm-fusratiocinationum : utnifiTellUs , domiciliumno- 
ftrurri; annuumcirculum/medium interorbescaeteros ,metaretur, lo- 
cum exloeo , ftationerh ex ftatione permutans, - nunquam humana ra- 
tiocinatioadveriflimaPlarietarumincervalla^&adcaeteraabijsdepen- Y i<?e0 P- 
dencia fueritenifura,nunq Aftronomiamconftitutura. Exadverio i 9 noimm 
q jiecem Solis in centro miindi, pulchro refponfu confequitur intelle- pattem 
ftionis fimplicitas; eoqaodha&enus nobisufurpatum femperfuicfo* CAP# • 
lares llksHarmoniis mocuummeque plagarum diverficate,neque fpa- 
ciorum Mundi amplitudine definiri.Nimirum fi qua mens ex Sole pro- 
fpicit Harmomas iilasiilli defunt adminicula motus & ftationum diver- 
farum fedis fuae, ex quibus ne£tat ratiocinationes & difcurfus interval- 
lis planetarum dimetiendis neceflarios. Comp irac igr diurnos cujufq; 
Planetae motus , non ut ij funt infuis orbitis; fed uci per angulos ad cen- 
trum Solis allabuntur.Itaque fi cognitionem habet magnitudinis fphae- 
rarum : hanc illi opor tet a priori inefle , Cme ratiocinationum labore .* 
quod quidem quadamcenus & de humanis mentib 9 ,& de natura fublu- 
nariverum efle,fupre exPlatone&Proclo patuit» 

QuaecumitafintJnonequidemmirumfueritjfiquisexhociPytha- 
gorae cratere, quem Procl p in ipfo ftarim primo verfuHymni propinatj 
h iuftu liberaliori aflumpco concalefatlus, fi Harmonia chori Planeta- Lkeat & 
ru nfuaviflimainfoporem datus,fomniare incipiat: Perglobosqdem f abulan«Ja 
rehquos de loco in ; ocum uccedltes circa Solem, difleminaras efle di- Atfa^ntka' 
f;urfivas(euRatiocn)aciva^taculcaces;qu3rumpr£eftantiflimautiq-,& &fomnii- 
abfolutiflimaillacenferidebet, quae efl in illorumgloborum medio, n °sc C p™l 
humana fcmTellure : in Sole ver6 Intelledlum fimplicem, 7W0 yotpqv nem ,rai i 

C xt "" l 1 ■ ^^ taii» 

ieuJNOVy nabicare, omnis Harmoniae foncem, quicunque ille fit. 

Nam 



248 De Motibus Planetarum 

CAP. X. • " 

Nam Fivelde nuda globorum illorum vaftitate fic vifum eft Ty- 

choniBrahe,non effe frufrraneam illam in mudo, fedincolisrefercam: 

quancoverifimiliusnosabillavariecace , q,inhoc Tellurisglobocer- 

nimuSj operum confiiiorumq; Dei, conje&uram eciam de cjecerisglo* 

bis capiemus ? Qui enim fpecies ereavic, qua: aquas incolerenc, fub qui- 

bus camen nullus aeri locus, quem accrahanc vivencia: qui in aeris vafti- 

cacem , penis fuffulcas immific volucres; qui nivofis fepcencrionis plagis 

urfos albos,albas viilpes dedic,pabulumq; illis, marina Cece , his avium 

ova ,• quifolicudinibusseftuancisLibya?,Ieones, quidiffufiffimis Syria? 

planiciebuscamelos;famifqueillis, hifceficiscoieranciam:hiccineom- 

nem inglobo Telluris confumpferic arcem , ucnonpoffecomnem bo- 

nicacem,uc non vellec, ca:ceros eciam gldbds conveniencibus exornare 

creacuris; quas vel revolucionum prolixicaces brevicacefque , vel Solis 

propinquicas & remocio , vel Ecceritncicacum vanecas, vel corporum 

nicor auc obfcuricas, vel jfigurarum,quib 9 cjlibec regio fulcicur, proprie- 

tacesfuadebanc. Eccen. ucanimancumfa;clainhocTellurisg!oboma- 

fculi effigiem in Dodecaedro, fcemina; in Icofiedro, ( quorum illud ex- 

teriusTelluris orbem fulcicjioc incerius)gener acionis deniq; effigiem, 

in iilius conjugij divina proporcione ejufq; inerTabilicace habeanc: quid 

czecerosgloboshaberepucabimus afiguriscsceris/' Cuibono Jovem 

quacuor Lunaj,Sacurnum duas, curfibus cinguncucnoftrumdomicihu 

hascnoftra Luna unica/ Ad eundem vero modum eciam degloboSolis 

raciocinabimur, con jedlurasqj ab Harmonijs,c«cerisq;, defumpcas,per 

fe quidem ponderofiffimas,conjeduris alijs, magis ad corpora vergen- 

tibus, magis ad vulgi capcum accommodacis , velut incorporabimus, 

Ulene globus vacuus, caeceri pleni func, fi omnia aliarefpondehc propi- 

us? fi ucTerra nubes,fic Sol acras fuligines expirac? fi uc illa imbrib 9 hu- 

meclarur & virefcic, fic Sol maculis illisfuis exuftislucefcic , emicanti- 

bus in ipfb corpore, toco igneo, fiarhulis clarioribus. Cui uf ui hic appa- 

racus, fi globus vacuus? An non vel f enfus ipfi exclamant , ignea hic ha- 

bicare corpora > Mencium fimplicium capacia, vereque Solem effe 

7TV^g J/os^SfinonRegem , acfalcemRegiam $ 

Abrumpo confulco & fomnum &fpeculacionem vaftiffirriam; tan-, 

«um illud exclamanscum Pfalce Rege : 

Magnus Dominus nofter,& magna vircus ejns & Sapientias ejusnon 

eftnumerus:laudateeum ccelijlaudace eum SoLLuna &PlanecaJ,quo-* 

cunque fehfu ad percipiendum, quacunq,- hngua ad eloquendum Cre- 
Tuq; ante atorem veftrumutamini : Laudace eum Harmohi» cceleftes , laudate 
omnesM oe etim vos Harmoniarum dece&arum arbicri:lauda & cu anima meaDo- 
^ 1 ^^ 11 minumCreacorem tuum, quamdiufuero: namqj exipfb&peripfum 
namq; tu' & in ipfo funt omnia > ^gyj rd dl<drf& 5 j@i} rd VOlgy, j tam ea quae ig- 

Hasdais noramuspenitus,quameaquasfcim p ,minimaiIlorumpars;quiaadhuc 
animate p i us u i C r a eft. Ipfi laus,honor & gloria ih faecula feculorum Amen. 

fpeqscuras r F I N , I S. 

Abfolutum eft hoc opas die 17. 17. Maji, aano MDCXVIU ; rcvifiis Tetb bbei V,fiateriBi Aua 
ia eo typi progrediuntur) 9. 1$. Febtuarij anno MDCXIX. 

Lincl Metropoli AaflrU Supr-Afti/anx* 

r APFEN* 



A P P E N D I X 

AD L. V. HARMONICORVM. 

QVamfitprd in Indice capitum Ubri V. profbfiusfum Appendicem : iUam hic 
non efi vtexpeiiet /eclor .' Aitophora caepic 

Irifticui, currence roca Verum urceus exic 

Caufas dicam breviter ': magnum Z$ exundantflumen non commodenavigatu- 

rus eramicum ecce copifs aquarum in tenuem rivum fubfidentib 9 ,vadum paluit , 

quodpedes transirem, navi infua flntione relkt*a> ad ufusmagis necefiarios. Hoc 

ejl quoddko:Ptoiemxi Harmon: libri III, quos habeo Gr<ecoS manufcriptos , cum 

commetarijs Porphyrijphilofophitffundiffimhltidcm Gr<£Cis,abinitiouf<% adlib. 

Il.cap.VlI.digni mihifemjp vi(i(unt,qui Gr&colatini integriexiret inpublku: 

ea%de causa ante annos Xx&piiUos in Latinum firmone vertere\qu<t verfiog- 

ceffit ufyadmediefatemcodkis Porphyriani.^uo min 9 u/terius pergerem,impe- 

dimetomihifiiit locimutatio,conjuntlzicumplurimis mo/efiijs,ii pnfiqudm Lin- 

eittm veni, novumfiudiorum Afironomicorum initium. At verb cum ante annu 

propofui(?em meos Harmonkorum librosfV. edere; momentum ingens videbamfi- 

tum in compara-tione mei operis cum Ptoiemako .p/ertim /ibri mei V,cum ultimis 

capitib 9 /ib.lll Pto/em<ti,quorum tria cxtrema nihiihabent nifi /emmaia feu ti- 

tufas d Pbo/evz&o. Itz%re(uit.t>itegenio,propcfuioperisfeip(b mutili unamfoiam 

partemdecerpere , qu<£ maxime admeam materiamfhciebat,.®)uem adfinem tf 

yerti iibrum Ptolemxi III, a cap. Hladfinemitf trib 9 ttitimis /emmatitf inani- 

hus fiios textus ex principijs afironom \<tPto/emaic£,S$ ex mente authoru ,quat£ 

potuitfieridexteri&te concinnatos Julfici: j/ deni^ commentnrios feu Nctas ad~ 

jeci,quibus £•? Porphyrian<e commentationis , iikll. capite Vliabruptx, defici* 

inhoctertio fitppLtur > {$ invents Pto/emaka cummeis comparantur ,(f dif- 

crimen o(leriditur,interPtolem£ifymbolifmoS tfmeas demonfirationes legitimasi 

undeinfirmitAS ii imgfbciio Symbo/ifmorum iiioru , $ caufa potijfimahuj 9 rei, 

fc.fh/jitas brincipiorum AfironomU Pto(emaic<£,patefci: t r 'um igrjolahcec appen- 

dix adjopag-.iibri occupatura'ejfa:ecce coortum inUred beliumBohemicum vici- 

num,quoif itinerafunt impsditn,^ oper.tr ij p/eri^ nomina profitentur militi&i 

ltaq.primitm nospaoyrus, deinde (f oper<e pra/i adminiftr<t defecerunt ; tempus 

denicL fhftidiofiffimis moris nimio protracium. Qujbus impedimentis excitetus, 

vix tztndrm me rcfb:xi,meum<fc inftitutum corripui i qui iibrum authoris optimi ' 

Ptolemai $ cammentatoris Porphyrij, mutiiatn partkulxeditione , tzinthm non 

txpeneremMnitus^aboierem^^iuinpotPigr rcliquumopera dimidium inv^r- 

ftpne Porphyrian<e expofitionis impendere?mNotai in capita iib. II tf IH.refidua 

canjcriberem, ii cumPorphyrianis, cum<^ijs,quas jamhabeo confcript.tsin l:Lr. 

Ilfpene totum,con)ungerem:vt itzt opus tntegreiur,^ quaparte extat , Gr<eco- 

latinum edatur? fguam ad editionem a/iud tempus, aliuscj. locus requiritur , Z$ 

Typograpbut idoneus, 

Neverb quideorum, qux (uprdjitm pol/kit 9 tpenit 9 d.fideraripsfiet d Le'fore, 
aut ne ve/ in hac u/tima parte deefiet a/iqutd ad integritnte Jeu adfaci/orem in~ 
teSedum opis mei Harmonici.age capitum libn IIIPto/em<ti titulos exfcribam, 
cum<L /ocisfitis in opere meo comparaboitf quid in Notis meis infit,fuinmaria ra- 
tione confcribanu>. 

Primum qu<e Pto/em<tus libris 1. II. gf initio tertij de Harmonka difciplinJ 
tradidit.iiiaego methodo alia, haudpaulb diversajibro meo (Ilcomp/exur futr. 
Citm autemPto/em<t 9 Harmoniarum principia ex numeris abftraEiis petat.,cum 
"vttcribm:ego contrd, vitn numeris vt nurnerantibus inefie negans, pro ijs nurne- 

■ ■ Ii ros 



aso . Afpenbi x. 

fos mmeretts, id<eft , res ipfas numeris ijt(ubjeclas,figuriisfc» planas reguiaretj 
£# circulidivi/iones ijs adminifirandas,principia(kituens Harmoniarum, necef 
farib Libros I. & II. defiguris Harmonicis , meo libro lllpramifi. 

JamPtolcmxmlibrotert-iocap.;.o,perisfuipr<£(cripjithuncfttutum\S\jfo 
quod gcnus rerum refcrenda fk nacura feu visHarmonica, ejufq-, fcien-' 
cia \oftendens, qubdfit aliquodpriricipium-caujalcfirmale , mentale ,adeo% di- 
uinum, auod rebus concitiet Harmonias. Cap. IV. Quod vis HarmOriicae 
concenaperarionis omnibus rebusinficqUarumNaturaalcioriperfe- 
£cionisgradu confiftunc : &quod idmaximeappareacin humanis A- 
nimis, mq; coeleftibus revolucionibus. Vbipdrtitionem vides,corttm , qa<e 
tcfabant Ptalemtto dicenda iprimum fi.de Harmonijs 'iri Animis exifientibus * 
ficundum de Harmo nijs in cocli motibus^ Et deprimo quidemfiquuntur Capitzi 
tria i deficando re/idtta capitia novem. Cap. V. Confinantiasfingutas comparait, 
cumfhcultxtibus Anima ratiQKalis fingulis ,id%concise ,per (uh&ivifiones utri' 
mq^ rerum comparatarunu. Cap. VI. Genera Harmoniarttm /ingula cumfin- 
gulis gener&us (eu claffibtts virttitum compavat.. Cap. Vlh Muinliones Tono- 
rum cum mutiitionibusfludiorumpublicorumper temporum diffimiittudincms i 
mdeodL etiam cum mtttntionibus affeclmm i» Animisfnbitaneorum comparac. 

In hacparte multa contra Ptolemaum difjtutofymbolifmos fi.iUos tpoti ffim.i 
parte non e/se necefiarios, nec caufiles,nec naturales,fidpoeticospotiits ^ orato- 
riosinamiUas,qa<t in animis irifunt fkcultates ifvirtutesfJ>eciaies,rionfortiri nee 
Ideam nec numeros conflitutionis fux ex Harmontjs, tanquam ex Ar'chetypo,fid 
habere caufas atias confe/sas aut evidentecquin rie quidem reftoderc ad^numerus 
fid lono) quafitd aui male affetlata operdjfeciem ijs concitiaridivifionis xque- 
multiplicis; multas abunAantes , aut viciffim defic%us,difjimularhqiixdam qua 



toinusjitccedunt, crinibus trahvdenii^ qux maxime g? dexterrime invicem fe- 




Qubdverb Toni Muficates comparatur affetlib 9 $ morib* publicts,idofiedi 
tnaximt naturale efie, t$ habere modum caufe:ubioccafione teXt 1 'Ptoiemaiciadt 
duxiPhilofphoru variorupiacitade cognationeAnimoru,Numcroru,$3 ' harmo- 
niaru interfi, quib 9 d> Epilogurit mei libri Vadjitnxi.Et tpdnominatim attinei 
effeci 9 tonoru tn movedis animh diverfimode : iUammateriaego compkx* fitrii 
peculiari cap:XVlibri mei M.Sic qutdattinc* Iuilitiam CommuiatiVam Di- 
fiributivafytf Amicitiam,(f Oeconomica atjL PoIitica:dehac materia,quaten* 
in ijs vaieant fportiones Muficx,fbci Digre/Jtone infinemeilib.lll. Depigjma-t, 
teriam ipfam pmifiijam capitis III & lV,tf qux de V t Vl. Vllingenerfverai 
dici potuerunt ; completfus ego fum tribus primis £? rurfitm feptinw' capite 
mei libri IV: ubiexpiicata Animorum naturaofiendi ; quandoquidem circtt- 
l 9 geom&trid fetius ji infcriptione*figuraru planaru,comparationepartium ctti& 
toto,definiat vere & 'proprie proporiionesHarmonicsw.irianimis igiturefieritiali 
muadam ratiorie inefie circutum ,f>rmaliter $$ abfiratJt nonamateria tiintum» 
jeiaiam abipsd quodammodo qitahtitatc, materialitcrconfideratd : quarecutit 
tirculo inefie in animis $$ HarmoniaSj & hanc caufam efie cur Animi movean- 
turHarmonifs.fidhxcomnia ingencrc tantuminuli* confiquentejcaufatione dL 
fiributionis Animi infhcultatesfj>ec'tales>Sic igr habet res cum Anifnu humanfs, 
<j$uodmotiones cccleftes attinet,Ptolemx 9 librifui III, cap. VHIcomparat 
Ztdiacu tumjyfiematefiu fcaUMaficaxapite IXconforimtias if>/as cumA^eBib» 

Pi*4 



ApPENDlX 2L5I 

Planetnrum, tiicojlendi ego, quihus in partibus mancaJltdoUrina de JJ])ec7ibus 
apud Ptolem<eum,$ quomodo wtegratione numeri,hinc Afpecttiunf', inde Confo- 
nantiarum, appareat tnndem naturaiis £•? caufalis harumrerum COnnexio. EJi 
autem h<tc genuina materia mei iibri IV. pr&Jertim cap. IV. V. VI. 

Capite X, PtoUrhctus ex motu Planet<t ab ortu in occajumjhcit qUandam 
melodiam, cap.XI,ex motuvero Planetnrumtnaltum^ profundum ihcitge- 
nera cantm.Cap.XIl, ex motu intatera Xquatoris ^fheit diverfitntem tohorum 
MuficaliUm.Cap. XIII, ex varijsconfigurationibusplanetnrumcum Sote,Jhcit 
varia fyflematis Tettachorda. In his lVcapitibus oflendi Ptotem<xum luxuriare 
exercitio comparandi poetico vei oratorioicurt ea quxcomparat , honjint in c<x.lo 
realia,excepta partictita cap. XI,quam adtria ultima capita,propter cognatio- 
nem matcriae voto rejecTnm. Ojiehdi etiam, hicpartim incompaYabilia compara- 
ti,rcclamante comparatorum natura,partim-qu<eomnibUs membrisrejfondent, 
accidentarie faitem > nonverb ex aticujm caufk heceffitnte 'coh.trere. Hatlenus 
igitur nihii vei parum , quodcummeis Harmonij s cctiejlibus conveniat* 

<^At verbjequem cap. XlVPtotemki , proponit inquirere, juxca quos r.u- 
merosprimos ccmparari pofiinc fbni fyftemaris fcu fcalas Muficae,cum 
fpha?ns primis in (yftemace Planecario.H/t ego opendhcomparafionem tto- 
iem<to tfPythagoricis infua ujitnta JJironomia faife impofibilcm ;i'c&t 'tentztve- 
rim aliquidprincipij s Ptolemaicis confentnneu commimjci,vt itn tituio nudo fuus 
context 9 Jubderrtur. Qftendi &riam,cum 'primit ffh<tr<e quahtitntitf fuis confi'ct\, 
non minm quamchord<t (uis longitud.inib^sioportuifecomp^ratioheix fecuncliim 
quantitates -injlitui ;cum tnmcnproportiojbhctrarurna pr portiont chcrdarhm^, 
confonantium piurimizm abhorreat ,. Emendatn-m verb & ' caufalemjeu Archety- 
picam cohnexionem fbhararum Mundi cu*n corporibus ^regtiiaribtiz ,tgo-a prm- 
cipio mei iibri V, repetij ex meo Myfterio £, cfmographicoi 
, Caput XVPtolemxi quxrit , quoniodo fumi poflint rnotuil proprfoi u 
proporciones n numeros;,W deefttexf '„ Qitendi igr eadern qu<e infud . « 
De cxtero conjideradum hoc dedi,<ntibdhic Vtcicmctus ahte-iyooanms matertam 
mei libiVppriam trailnre inftitueritifip frtxm afhonomia ' potuiftt :E't?o itacj. in 
emendatn JjlronoMsriiqirxveros gf* Jimpikts ptanetatrum mntusretintt, >elimi~ 
natis apparentijs,qutt oculorum dfceptionibus conjhxnt,ojlehdi,in cceio fecu.ndum 
•verafn & ' genuinam rationemqwatiintivam;^ wenfurahiie ,ncn verbt nudam 
teviculam <ffmbolifationem,inefte HarwpntCat proportiorfes omnes ,hfarmoniuru 
'jgenera,fjfiema feufcaiam Muficam,^ claves ejtis pieras^fTonorum varietatesi 
vocumfiguralis mufict &mulosplanet<ts, contrapuncia deni^ univerfaiia 6pri- 
mariorumplanetnrum, variata $f> generib 9 Z$ tonis.'(fap. XVl tf! nltimo Ptolc^ 
fn<e 9 poilicefur,indagarefevelle,Qua. racione familiaritares F.rronu compa- 
rari poflinc cum f am iliar icacib 9 fonorii >,principta fc, afiroiogica, de planctis 
beneficis & 'maleficis ,amicis inter fe vel hoftibus, per Harmonias coslefiesdewon- 
Jirarefategit. Et quia etiam huic capki deejl textusieitm ego "vtpotui, puefertim 
ex MacrobiOiConcinnavi.at.Jimuloflendiih hotts, quidhuic ncgocic dejit,q< w&F 
fcifm ajlronomiam antiquam Juccedait, In meo verb operc nullam fariext can. 
XVfrefpondentem habeo,ntji'pautulaex Epilogo Libri V.Nam af-roUgi.: .ti-it 
deJiderumeffeSiibusinterrAi me<everb cxlcftesHarmonix non ffcmantw i r.i- 
diosin terra,fe'din Sole- Ate^ hicfinis e(i operisPtotemaiciycHm q> ctiain :ummam 
Appendicii in veflibulo UbriV ' promiffozjinirem : nifi mc rcrf' s$i 'jiit.rs ;>.v}' v-r. t 
tdfatisfhciendum e/tiam ys,quiame contendernrit ,%? D. Rohriids Fhfdibus- 

/i % Ma'.,i 



252 A P P E N D I X. 



Medici OxonienJis , qui librum ab hinc anno de Microcojmo (f Macrocofmo edi- 
tum Harmonicis contemplationibus implevit , mentionem in meo opere Harmot 
nico ne omitterem: Jed ojiehderem lecloripaucisiquibus in rebus inter me & illum 
conveniret , qitibus viciffimdiffideremus. 
De Mufica Igitur author ille duos tomos eflpoUicitus, quorum unus de Macrocofmo in* 

Mundana J CT ' t pt m jam litcemvidtf , alter de Microcojmo adhuc expeffiatur. Prior tomus 
tiFlud Mc traUatus : duos complexits, diJiinBis etiam temporibus prodift; nam primum tra- 
dici Oxo- Efatum de Mitndo triplici,poJl hundihasFraricojurtenfes autumnales anni i6i7> 
aien (is. atterum de Artibus , quas natitrd Mundanm. Simias appellat, ; Pajchalibus nun- 
dinis annifequehtis \6iSvidh In altero igitur tralTatuinter artes coUocavittf 
Muficam-3 , complexus materiamiibrimeiferti/ quadamtenus i in priore vero 
tra3atu,qui feptemhbris abfblvitur >tertium librumdefiinavit Mujtcx Munda- 
n<e , titulum eundem ufurpans , quem ego iot i meo operiprafxi: materiam verb 
Itbri mei lVff) Vattigit. Igiiur ab ejus Mujica artificialifhciamus initium. 
Tradit iUam iibris VII: in quotumprimo recerifdt atithores , t$ nomehclatuYas , 
i$ vim in Arivmoi i hommuhta. De authoribus fcuhifloria^inVentiohis ' ego hi- 
hil, vel certe pauca,quippe meum intentum efl, rerum naturalium cdufas aperU 
re : Nomencidturas neceparias complexusfum in definitionibus Weis paffim ,fu. 
terflutts omifi. De vi Mujices in Animis ago lib. IHcap: XV, tf libro IV pafZ 
Jims. In fecundo aUthor res ipfas aggfeditur , quas dicit Intervaila & T e mpo- 
ra\j> . ^R, ttrjum ego de Temporibus feu longitudine vel brevikitejottorum nihilad* 
modum dixi ifunt enim, drbitrdrix , nec indigent inquifitione cakfarunu. ln- 
tervalla qu&dam appettat ftmplicik^ , qu&mihi (unt Concinna minimddifona t 
Tonusmajor, minor femiionium , diefis : alia vult efe ex his compofita - t qu<t e- 
go Conjonantias dppeUo. r <jlAtquifententiamharicveterurn-i , quodconfonanti<t 
componantur ex intervaUis minoribus Unqudm natura prioribus , ego refittuvi 
exprefe capiie iV mei libri III, oftenfo , quodmihora e contrdrio oriantur ex 
confonisfefe majoribus. Tertio libro explicat (yflema Jeufcalam Muffcam, qust 
fr&cipu* pars efl mei libri 111, a cap: IV uf% ad IX. %efiqui quatuor autho- 
rit libriprdxin habent , qttam ego ne attirigo quidenu,. Tf^am in IV de menfitrx 
taBus , ejuscfc modis varijs, d> valore Noiarumper eos,pr<ecipit , de quo egopau- 
culalib. 111 cap: XViJ lib: IVcap. III. In Vhabetpr&ceptin tompofitoritLs 
cantusfigurdti , quam ariem ego nonprofiteor. In VI excurtit etiam advaria 
inftrumenU Mufica, de quibus ego ne cogiUvi quidem, In Vlldeni^ novum in- 
Jlrumentum ipfe dperit. Inhis igitur 4 poflremis iUefic a me differt , irt Ptd » 
tlicus a Theorctico :nam pro eo qubd ipje ihfirumenp tradit,ego rerumfeu confo- 
nantiarum caufas inquiroid [pro eo quod ipfe docet componeremelospluriumvo- 
cumsego dernojirationes maihematicas concinno plerorume^, qu<e naturaiiter inf 
fittfin cantu tiim Chorali qitam Figurato, Propterea etiam in ipfius opereplu- 
rim<e funtpiifurx ; in meo,diagrammata mathematica literis injlrucTa. ^Uidetu 
etiam,ipjumpiurimum dele&ari rerum anigmaiibus tenebrojis, citm ego res ipjat 
cbfcuritnte invoiutas in lucem inieUettus proferre hiidr. lUudquidemfhmilia- 
re eji Chymicis , Hermeticis , PdraceiJiJiiSihocpropriitmhabent Mathcmatici. . 
dAdeoq. etiam libris II & III, ubi earidem mecum irdclat materiam , hoe 
iijcriminis ejl inter nos i qubdqux ipfe tranfumit aveteribm sego e rerumNa- 
tura eruo tf ab ipjis JUndamentis conflituo : ip{e,qu* accepit , ea confitfa (propter 

•Varian- 



APPENDIX 253 

variantes tradentiumjententias ,) & incorreiTa , ufurp&t ; ego naturaii ordi- 
neproccdo, iit omnia fecundum ieges Naturxfint emenaatu, £jf confufio vitetur ; 
adeofy ne quidem ad veterum placitn applico confiitutd , nifiubi confufio nuliafe- 
quitur t Ita , uhi ego veieres exprefie refuto, de caufis concordahiiarum difieren- 
tes : ibiilleveteres citra dubitzitionis aleam fequitur ; de cdufis verioribus ne co- 
gitat quidemj,. ^Uno vcrbo, in difciplina Hafmonica, alter Muficum agit voca- 
lem & lnflrumehtalem ; attef philofophum g? Mathematicum. 

Jam adaltefum duthoris locum tfanseamus, ubi Muficdm ille in Mundum 
introducit, Hic verb immane quantum inier nos difcfimen efi* Primum quas 
ilieharmoniasdocereintendit , ete(untmeriSymboiifmi , dequibusidemdico , 
quodde fymbolifnis Ptolem&hpoeticos poiius efie aut oratbfios,qudm philojophicos 
aut mathemaiicos. Hecanima eji totius illius Operis,vt vei ex titutopatet Ma- 
crocofmi £-f Microcofmi Njim in iomo dttero demonfifare proculdubio intendet , 
nobile iliudthema.Toii 9 mundi magni^omnium^ efipartium Ideds reperiri in ho- 
mine.Hec eadem anima efi & ' primi tomf; qiiia totum mUndum difiribuit in tres 
regiones ; ubifccundiim ceiebratiffimum itiudHefmeiis axioma , fupef a fim ilia 
Jeu analogafacit inf cris. H<e'c verb anaiogia vtper omniafuccedac , fepe crini- 
bus trahenddfunt,qM ittrin^ comparaniur. xJMea de analogijs fententid, ex 
digrefifijne in calce mei tibri Illpatet : nimirum eifii ' analoqia proportionum inj> 
geomexricis fbrmale quidefi, rejpeclu ipfius materix quantitzttivd indcpnitce £5? 
in deierminatte : tamenrejpzclu pfoportimum harmonicarum materiatis potius 
affeJ;iopotefl hdb&kquia cum Hafmonic&proportionet certam quantitzttem de- 
finiant, analogid contrdfeipfis in tnfinitum excurrerefunt aptte, & Jic materia- 
lem infinitzitis affeblionemjnpponunt,, 

Et(ivefbfimitia nonulia Macrocofmicis ittis &ego iraBo in opere meo: vi 
qubd libro IJ^ Terram animalfhcio : at idfit ratione ionge atid. Njc enim 
contendo analogiam efie meram inter Terram £3? animaiia , nec defumptum efie 
volo archetjpum animdiisex ipsa Terra ; fed iliudfimpliciter propofitum habio 
demonftrare , illa opera,qufc JpeEkiniur inglobo Telluris , non pofie ex motibus e- 
lementorum , dut materite affeciionibus foiitnrifs provenirefedtejkiride Anima 
firxfentia: jam i/t inteliiganiur meaargtimentii, opusfiiitallegationefunfhi', 
onum animtz variarum in corpore animalis. lam zftpropiut acceddmus,adfiin- 
diimenta,quibus Kobertus de Fiuclibus fuperfiruit fuam muficam MukidananLs » 
primum ilie totum mtindum, omnestj, tre}eiuspartes, Empyream^ Calefiem , E- 
lementarem, occupat, : egofoiam cceleftem; neceam tofam,fedfolos planetzirunL* 
motus quafijub Zodiaco. lliefifus veteribus , qui vim Harmoniarum ex nUme- 
ris abftraciis efie credebant ,fat habet ,fiquds inter partes concordantiam efit* 
demonfirabit j eas numeris quomodocun%comprehendat,, nuliacura, cujusmo- 
di unitnies iilo numcro accumulentur : ego nufpiam doceo qudrere Harmonias, u- 
bi res,inter qudsfunt Harmonix, nonpofiunt menfurari eadem quantitntis men- 
fufa ;(ic vt causa quantitzttis eademfit inter iliasproportio, qu<e intef duas chor- 
dasejmdem tenfionis , causd longitudinis. Proptered ilie totum Mundum ratio- 
ne femidlameiri in tres xqualesparies dividit ,fat cognitum habens , eequales il- 
las minime efie ; fedideb folutn , quid pfima u»itits,efi mundus Etementnrts ,fi- 
cunda, Mundus<ztherius,teftia, Empyreusi f$ verb unitates pingi aliter non 
pofiunt , qudm tqualitate lineafum : <tt ego, nifitejletur afironomia de eddem^ 
unitntum menfurd quantitntivd , ncquaquam ijs njt unitatibus utcr ad nu&e- 

ij } randas 



254 



A* 



PE N D IX. 



randtUpropoftionesHarmonicas. llle tamen , fitis infiflens principijs , pyrami> 
dem^educens ex bafi, circulo magno Telluris,ejus verticem adipjitm apicem cce* 
li empyreiflatuit ; $ altitudine ejus in tria ttqualia (perinde ac(i unmtes ve- 
rijfime aqualeshabuifiet) divisd, numerat quot partes veniant Empyreo , quot 
Ccelefli, qubd Elementdri. Namjummum Etementziris regionis hocpaElo dublo 
longius abefl djummo Ccelefiis,qudm dfumme Empyrei:^ in divifione Pyrami- 
dis , refyeclu quidem axis , tribus regionibus tria veniunt&qualia, rejhectu verb 
trianguiiperaxem, Empyreo venit unitas, Ccekfli tres, Empyreo quin% unita- 
tes : refyetlu deniftfbacij feu cor,pulentue.flgurx, Empyreo unitas, ealeflifeptem, 
Etemcntari novendecim unitates veniunt. Qujdnunc dicam de aiterd contra- 
ridPyramide lucis , cujus bafinjacit ipjamadorandam trinitatetru> , injummo 
Empyrei coeii apice , verticem verb inipfa terra collocat ? Has duasPyramidas 
cum inter fe permifcedt , extfo mixiurd proportiones muficas elici<vL , rem tentat 
•a mti operis propofito dlverfiffimamj>. 'Nfarrt ipfiiucem (fbrmix. gf Anima: far- 
gitricem) c9 Materiam ,duo interfi diverfiffimacomparaL , tf quibus quam- 
titates nequaquam eodemrejpeiiu infitnt : ego vcrb prottrminis formanda. pro- 
portionis Harmonic* in mundo, non admitto nifiiUa,qit<t ecdem reffieclu quanii- 
tatesfecipiunt ;verbi causdmotum Martistf motum Jovis ,d/urncir. 'Nj-cmi- 
nus daverfitatis inter ncs £5* in hoc confifiit, quld iUe Eiementari regioni quaiU- 
er adfcribit gradus dbfcuritatis £5? tenebrarum cjuia quadibec resait , quatu- 
or quarcashabeCj/Swf nonminus quam tres tertijts , $J> quin^.quintas : pim- 
ife Terrx inefic omnes auatuor , aqu/z tres , ( eoq^ iilam cfiejam peHucidnm) , ae- 
riduas , igniunam. ^Kjur.Jum alibi, quamlib&t regiomm , cujuslibztfeu Etemen^ 
tifiu Cceti in triafubdividit fpacia , injiimmum mediitm {§ knum , non ubi^fe-, 
quente Jenjuumprobabilitatcj. %)ides , unitaies ejus rurfum efie arbitrarias. 
llle tamenpergit ob id inier Terram $ aquam fhtuere Diatefiafon , triavefb 
ejus iniefvalla, tonum, tonum, femiionium, tribus applicareflpacijs ,fimmo, n;e- 
dio,imo; ciim illi certas ex caufis fuis quantitates, ifh ne metas quidem d natura, 
menjuras verb fecunaum hxcgeneraiiffima principia, piane indeterminatas ha- 
teant : d) fic de c&terk . dyitmihiunituteS naturaies ,binifc. mcius planeia^- 
rumextremi ( feudiurnifiuhorarij ,nihiiinterefl ) expreffid naturdin certas 
Juas quantitates , fiint propofiti , in quibus Harmonias qu&rarrui. Ille in tenehrc- 
rum $ lucis gradibus , qu&rit proportiones Harmonicas , nuilo refleclu alicujus 




'vatim injito animopiBum circutngefkit , elicit,fiuab ilid reprxfentariprobat,- 
Ego totum corpus HarmonicA contemperationis , cum omnibus partibus , in ex~- 
tremis planetarummotibusproprijs, fecundum certas zf ab Aftronomiddemon- 
Jiratasmenjuras inefie demonfiravi. Ipfiita^ conceptusfitus Mundi,mihi Mun- 
dus ipfejeu in eo reales P/anetarum motus/itnt fubjeBum Harmoni& Mundanx. 
Ex his paucis conjhre arbitror ,etfiad inteiligenda Myfleria confirtd* 
tihiloJbphU profundijfimx, quam tradit Kobertus,cognitioneproportionumhar- 
monicarum omninb opus efl: tamen iilum , qui veltotum opus meum edidicit,ad- 
hucd Myflerijs iHis perpiexiffimis abfttturum haudpaulb iongius, ac ipfe ab acu- 
ratiffimd certitudine demonfirationum mathematicarum recefiem/iti Atfy hic 
jamcfiam Appendkis FINIS eflo, \ 

Emen- 



SMINDANDA IN 0PE8.E. 

INiiioftiat , dtm ttbrosprimot ultimb tmprejfot peculiarem hahere fcritmfitiorum. Numcrot iguttp 
hofcccorrige. Lilr.f.41. Etlib. Ul.fO. 6y iri. 15«. xof.to*. 1lz.2z8.22j. 2}6. 2}7. Rtliquatrra*, 
tafit corrtgc , Lib. I.f. z.liifeaantepentilr. undique. Pag. 17, lin.fenutt', tuncquje 

Interfilta $l&f s;infcrenturduofiliacttmtyfis &neis. Fel. 6 3. ultegctur w margme ad con/e- 
&*r, zjsfiltum \ fo , & adccnfett. xo.filitim 8.2 lHrtllt. 

£ibro III.foL 1/. 24 Nottt comgendtfunfexfil. 103 Jtijuenti. fel. 2$. lin. 17. jn partcs. Fol. 
Z9.indtagrammafefrioriNeta77iadcyfhram6.extJ>acio tnjttbjeiiam lineam dttrudc , deficlum^erh 
fiffteexfitio8 6. 

Fol 33. 34 jj Textns ex d&erfirum temporemfchedif cotletlns ,'atnon fatis aftc compofitus , etfi 
'iera omnia habet,obfcuritntem tnmen exconfujione diftingiUndorum , & repetitione frofojtttonum con- 
iraxit. Qu&fttonet diftinft* funt iftit. I. AftConfonantiiehabeant parces, qua? ipfae quoquc fint 
conlonantii rel faltem concihna intervails ? Rcfponfioeft h*c , Inconforiantijseffediftin&aifta, 
primo proportioricm , rerri geometricam ', deinde ptoportionis qUalitacem , confonantiarn ipfam : 
in quantum igitut fitnt ptopotfiones , excedi uriam ab afta , minorem a majori , & fic unarh alterius 
partem efie pofTe ; in quantum vefo quaeiibetillarum qualitatem confonantis accepit a figuta fu«s 
demonilrabili, nonaccidereipfiscoriipofuionerri. Argumentafuhtifta. 1. SpeciesutfpGcies,in- 
divifibilis & unaeft. 2. Speciem confticuitcaufafua : atcauf<einterfefunt diftindteefingularum 
toncordaritiarum : igitur & lpfic coQcofdantiaccontta fefunt difiincta Tpeciei nec poteft diffolvi u- 
ria. ucmajor, in aliasfuie fpeciei, utpartes , fed beneinminoresfpeciei altcrius. 3. Si,ucparsmul- 
tiplicata,auget quantitatem,fic etiam.pats confbnanfia; eonioria vcl coucinna, augetet Confonah- 
tiam ve! concinnitatem rotius.nonefficeretiir tandem ex accumulatione diflonatias & Inconcinna/ 
Qyafiio II. An confoiiantia: nabeant uham conuTiunen: mcnfutam , puta , Tonum , Diefini 
Coruma &c- Negatiir : neque cnim ut funt ptopottiones: quia fic funt incommenfura6iles , id cft 
commsnfurabili menfura carentes : neque ut fiint fpecies, quia caufis , ex quibus orta: , quibufqua 
de5ni:x,etiam Concrafe;m'utu6 diftin<fta:funt. Habetn. quodamiiiodo naturam figurarumjam ve-< 
r6 Trigonus & pentagonus in eodem circulo , longicndines habcnt laterum incommenlurabiles. 
Oeaique meufjra quidem ptior eft menfuratis : cohcinna vero.ur Tonus vel Diefis, &c. pofteriora 
funtcOnfonantijs. Etriota,confariantijscommuriesiuncparces iftae TohusMajor, Minor,fe- 
aiitonium &c:fed nec omncs omnibus, nec una eamm eft, qua: fola emetiatur confonantias . 

tol. j $. tn Dtagrammate priori dete Notamfeft 8 , & cyphrafn ^juxtz 9 ;foiie Srero Notam aliant 
fitpra s tnfjiacio ipfias 8 ,fequente cyphra 3. In Dtagram: Jicknde , cjfhncm 4 ex medta tinea tnpent- 
mamtransfir. fet. jS.lm.uiitm. ctele^ioculam dua;. Fol-.j-i.intertiodtagrammatepro 66»» ttnea, 
medta;fcribe$Ginfenimd. Fot: 4 f. lih: 11, Tonum minorem praduro. Ibidem tn Dtagr. e regio- 
"eVl.exprimeiotranfteifitm. Defil.^y & f^ 'itdefol. 10 j, Fot. j-yfcribef). yofGz. F0t.60.de- 
ftfiumfupfU cxfil. 25;, ejttt cfc Prep: XLtll. Ibtd t 9 . a fine lege Pro 3 . 4. . tft (• o. &c. Fol 77. ttn: J. 
^Uadrarum dej.uriit: Fol. Siin margine aliegentitrconjeclatiaig & joitbri II eirfropofifio^-^ltbri 
!• &p*oxime infirius ,fn>pej?tie +j ejtt-idem. 

Fol. 111. hn: zr. enim opera jam , tin: 22. facultatis liatmoniea; , & com. lih: dnlefcnutt: illos fc> 
*rioven: Fol. 113.li1f.x1, prscipue. Fol-.xiifm. 32 munitifiimum , Ftl. \z6ltn:i\. infit divin. Foti 
127. //»; 5J, quippelpeciesmotuum. Fol.xr+lin-.ult: Sohematibus^quaehinc. Fol: 1 4.1. iin'. an~ 
ftptOT*//:planetas) priusinnocefcitlatus: rtdt. Fci-.i^. Ihi. c.y, fuhtifta.-piiusufuipavimusPrbp: 
» I > cenrrura. Fol. /4.7 tn margine defintjigna jt. ^>- fol. 1/0 adfrof: XV tn margtne allegetut 
Itb.I.Prof.XLW.&lib.ll.Confec.XXlX. 

Foi.itf.lin. z+iiddeiftanmnonpoieft. Eodeniexfundafnentoetiamfic ratiocinabimur.' 
Afpectus eft angulus , quem rhecitut aicus femicirculo.minoi : Refiduiim eft majus fcmicifculbjnul^ 
lum igitur metitur anguluminullurn afpeftum: quareRelTduum non confideraturin conftitutionc 
afpecfuum. Atconfideratuiiriconftitutionefeaioriishatmqnicse. Nbnigiturcohaerentinter fc » 
fe&iothordseharmonica 3 quacRefiduoutitut, &feclioZodiaciefficax, qiis hon utitur. Etfic 
profliga. Foltiii6infcraturefiam{chem*exs.re. Fol. 193 inmbella , Satuinus 107/9. F*l:\tn 
i» inie abtlLpro SatUrni tege Mercuf ij A phel: 47 o. Fol: i$S. in mbella , dete diurni iieratum. & *- 

c 1. A f. 

/udtiterasinitialelfcribchatCypkrat — i dtlttis qftas tnfytnic. ittm , & Perihelius tf. r. 

f 8. e 24. 

^«^/«4/iey?/wW»D/^r/jOTOT></V«:tf./^«,necrntllt6eftetavioraphelius Martis. Fol: zrtintx- 

Maadjiniftrameregi»nedf)gdjuprcmerumdceftjignum $. F»k.2\i.lm:]. tenfionis. Fei.zxy' 

b1H19.legfjiQO.79fo. / r «/:223,/ir»M}ipoteftate: Fol. I.26 lcge XXIX Prop. Fci: i^iPropoJi 

XLILtegt S4. jjc. /#/:i3#^/'Prop. XLIV. &>incttftede } XLV. Piep: Ftb 23«. 

is margine politiS. 

Rejlquameadaquae m nonhullis cxemplanbusoccurrcnc, 

leftorfeipfofacile corriget. * 



I 




W; * 






■ 




w 
a. 




ln